Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 17 }$ to precision 83.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 17 }$: $ x^{4} + 7 x^{2} + 10 x + 3 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 1 + 11\cdot 17 + 10\cdot 17^{2} + 12\cdot 17^{3} + 16\cdot 17^{4} + 6\cdot 17^{5} + 13\cdot 17^{6} + 5\cdot 17^{7} + 6\cdot 17^{8} + 16\cdot 17^{9} + 4\cdot 17^{10} + 3\cdot 17^{11} + 11\cdot 17^{12} + 6\cdot 17^{13} + 4\cdot 17^{14} + 9\cdot 17^{15} + 2\cdot 17^{16} + 7\cdot 17^{17} + 11\cdot 17^{18} + 14\cdot 17^{19} + 7\cdot 17^{20} + 10\cdot 17^{21} + 9\cdot 17^{22} + 15\cdot 17^{23} + 9\cdot 17^{24} + 16\cdot 17^{26} + 9\cdot 17^{27} + 11\cdot 17^{28} + 17^{29} + 4\cdot 17^{30} + 14\cdot 17^{31} + 9\cdot 17^{32} + 17^{33} + 15\cdot 17^{34} + 2\cdot 17^{35} + 9\cdot 17^{36} + 7\cdot 17^{37} + 7\cdot 17^{38} + 5\cdot 17^{39} + 7\cdot 17^{40} + 9\cdot 17^{41} + 3\cdot 17^{43} + 3\cdot 17^{44} + 13\cdot 17^{45} + 5\cdot 17^{46} + 12\cdot 17^{47} + 13\cdot 17^{48} + 15\cdot 17^{49} + 10\cdot 17^{50} + 11\cdot 17^{52} + 7\cdot 17^{53} + 9\cdot 17^{54} + 16\cdot 17^{55} + 7\cdot 17^{56} + 5\cdot 17^{57} + 17^{58} + 15\cdot 17^{59} + 11\cdot 17^{60} + 9\cdot 17^{61} + 16\cdot 17^{62} + 12\cdot 17^{63} + 12\cdot 17^{64} + 17^{65} + 4\cdot 17^{66} + 2\cdot 17^{67} + 5\cdot 17^{68} + 2\cdot 17^{69} + 7\cdot 17^{70} + 12\cdot 17^{71} + 9\cdot 17^{72} + 4\cdot 17^{73} + 8\cdot 17^{74} + 14\cdot 17^{75} + 4\cdot 17^{76} + 9\cdot 17^{77} + 17^{78} + 14\cdot 17^{79} + 5\cdot 17^{80} + 7\cdot 17^{81} + 14\cdot 17^{82} +O\left(17^{ 83 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 6 a^{3} + a^{2} + 3 a + 5 + \left(12 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 17 + \left(13 a^{3} + 10 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 17^{2} + \left(14 a^{3} + 7 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 17^{3} + \left(8 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 17^{4} + \left(2 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a\right)\cdot 17^{5} + \left(13 a^{3} + 16 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 17^{6} + \left(a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 17^{7} + \left(4 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 17^{8} + \left(9 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 17^{9} + \left(4 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 17^{10} + \left(15 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 17^{11} + \left(7 a^{3} + 16 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 17^{12} + \left(a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 17^{13} + \left(12 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 17^{14} + \left(8 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 17^{15} + \left(15 a^{3} + 10 a^{2} + a + 3\right)\cdot 17^{16} + \left(13 a^{3} + 6 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 17^{17} + \left(3 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 17^{18} + \left(14 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 17^{19} + \left(a^{3} + 16 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 17^{20} + \left(16 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 17^{21} + \left(14 a^{3} + 3 a^{2} + a\right)\cdot 17^{22} + \left(7 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 17^{23} + \left(5 a^{3} + 16 a^{2} + 4 a\right)\cdot 17^{24} + \left(3 a^{3} + 5 a^{2}\right)\cdot 17^{25} + \left(16 a^{3} + a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 17^{26} + \left(4 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 17^{27} + \left(2 a^{3} + 6 a^{2} + a + 13\right)\cdot 17^{28} + \left(5 a^{3} + 8 a + 5\right)\cdot 17^{29} + \left(6 a^{3} + a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 17^{30} + \left(4 a^{3} + 2 a^{2} + 13\right)\cdot 17^{31} + \left(15 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 17^{32} + \left(14 a^{3} + 11 a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 17^{33} + \left(13 a^{3} + a + 7\right)\cdot 17^{34} + \left(10 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a\right)\cdot 17^{35} + \left(16 a^{3} + 13 a^{2} + 12\right)\cdot 17^{36} + \left(9 a^{3} + 15 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 17^{37} + \left(3 a^{3} + a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 17^{38} + \left(10 a^{3} + 7 a^{2} + a + 7\right)\cdot 17^{39} + \left(11 a^{3} + 13 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 17^{40} + \left(5 a^{3} + 10 a^{2} + 6\right)\cdot 17^{41} + \left(3 a^{3} + 14 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 17^{42} + \left(14 a^{3} + 3 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 17^{43} + \left(15 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 17^{44} + \left(15 a^{2} + a + 6\right)\cdot 17^{45} + \left(16 a^{3} + 5 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 17^{46} + \left(7 a^{3} + 16 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 17^{47} + \left(4 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 17^{48} + \left(7 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 17^{49} + \left(a^{3} + 14\right)\cdot 17^{50} + \left(13 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 17^{51} + \left(a^{3} + 15 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 17^{52} + \left(9 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 17^{53} + \left(4 a^{3} + 14 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 17^{54} + \left(5 a^{3} + 14 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 17^{55} + \left(11 a^{3} + 13 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 17^{56} + \left(4 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 17^{57} + \left(a^{3} + a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 17^{58} + \left(5 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 17^{59} + \left(13 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 17^{60} + \left(11 a^{3} + a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 17^{61} + \left(9 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 17^{62} + \left(3 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 17^{63} + \left(13 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 17^{64} + \left(3 a^{3} + 7 a^{2} + 16 a + 10\right)\cdot 17^{65} + \left(2 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 17^{66} + \left(6 a^{3} + a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 17^{67} + \left(16 a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 17^{68} + \left(9 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 17^{69} + \left(9 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 17^{70} + \left(9 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 17^{71} + \left(11 a^{3} + 16 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 17^{72} + \left(7 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 17^{73} + \left(6 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a\right)\cdot 17^{74} + \left(8 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 17^{75} + \left(4 a^{3} + 9 a + 5\right)\cdot 17^{76} + \left(12 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 17^{77} + \left(7 a^{3} + 9 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 17^{78} + \left(2 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 17^{79} + \left(14 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 17^{80} + \left(13 a^{3} + 15 a^{2} + a + 8\right)\cdot 17^{81} + \left(7 a^{3} + 2 a^{2} + a + 15\right)\cdot 17^{82} +O\left(17^{ 83 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 6 a^{3} + 2 a^{2} + 14 a + \left(15 a^{3} + 14 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 17 + \left(4 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 17^{2} + \left(7 a^{3} + 14 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 17^{3} + \left(16 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 17^{4} + \left(10 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 17^{5} + \left(8 a^{3} + 14 a^{2} + 5\right)\cdot 17^{6} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 14\right)\cdot 17^{7} + \left(4 a^{3} + 9 a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 17^{8} + \left(2 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 17^{9} + \left(a^{3} + 3 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 17^{10} + \left(10 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a\right)\cdot 17^{11} + \left(3 a^{3} + a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 17^{12} + \left(2 a^{3} + 10 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 17^{13} + \left(16 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 17^{14} + \left(11 a^{3} + a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 17^{15} + \left(12 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a\right)\cdot 17^{16} + \left(a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 17^{17} + \left(9 a^{3} + 16 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 17^{18} + \left(13 a^{3} + 4 a^{2} + a\right)\cdot 17^{19} + \left(a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 17^{20} + \left(16 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 17^{21} + \left(13 a^{3} + 16 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 17^{22} + \left(8 a^{3} + 13 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 17^{23} + \left(16 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 17^{24} + \left(12 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 17^{25} + \left(12 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 17^{26} + \left(3 a^{3} + 16 a + 11\right)\cdot 17^{27} + \left(4 a^{2} + 9 a + 14\right)\cdot 17^{28} + \left(9 a^{3} + 3 a^{2} + 15 a + 10\right)\cdot 17^{29} + \left(8 a^{3} + 11 a^{2} + 6\right)\cdot 17^{30} + \left(16 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 17^{31} + \left(12 a^{3} + 15 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 17^{32} + \left(8 a^{3} + 13 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 17^{33} + \left(3 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 17^{34} + \left(2 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 17^{35} + \left(12 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 17^{36} + \left(16 a^{3} + 14 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 17^{37} + \left(4 a^{3} + 16 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 17^{38} + \left(10 a^{3} + 16 a^{2} + 16\right)\cdot 17^{39} + \left(10 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 17^{40} + \left(3 a^{3} + 11 a^{2} + 9\right)\cdot 17^{41} + \left(9 a^{3} + 4 a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 17^{42} + \left(3 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 17^{43} + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 17^{44} + \left(8 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 17^{45} + \left(12 a^{2} + 4\right)\cdot 17^{46} + \left(12 a^{3} + 14 a + 8\right)\cdot 17^{47} + \left(16 a^{3} + 16 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 17^{48} + \left(8 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 17^{49} + \left(6 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 17^{50} + \left(9 a^{3} + 2 a + 11\right)\cdot 17^{51} + \left(14 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 17^{52} + \left(9 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 17^{53} + \left(13 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 17^{54} + \left(9 a^{3} + 4 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 17^{55} + \left(3 a^{3} + a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 17^{56} + \left(6 a^{3} + 14 a^{2} + 7 a + 15\right)\cdot 17^{57} + \left(10 a^{3} + 10 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 17^{58} + \left(15 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 17^{59} + \left(16 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 17^{60} + \left(15 a^{3} + 15 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 17^{61} + \left(9 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 17^{62} + \left(10 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a\right)\cdot 17^{63} + \left(10 a^{2} + 8 a\right)\cdot 17^{64} + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 17^{65} + \left(7 a^{3} + 11 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 17^{66} + \left(10 a^{3} + 14 a^{2} + 9 a\right)\cdot 17^{67} + \left(5 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 17^{68} + \left(11 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 17^{69} + \left(15 a^{3} + 4 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 17^{70} + \left(7 a^{3} + 7 a^{2} + 13 a\right)\cdot 17^{71} + \left(3 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 17^{72} + \left(10 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 17^{73} + \left(15 a^{3} + 15 a + 16\right)\cdot 17^{74} + \left(5 a^{3} + 8 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 17^{75} + \left(3 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 17^{76} + \left(11 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 17^{77} + \left(11 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 17^{78} + \left(15 a^{3} + a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 17^{79} + \left(10 a^{3} + 2 a^{2} + 4\right)\cdot 17^{80} + \left(a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 17^{81} + \left(2 a^{3} + a^{2} + 9 a\right)\cdot 17^{82} +O\left(17^{ 83 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 14 a^{3} + 4 a^{2} + 14 a + 16 + \left(10 a^{3} + 6 a^{2} + 1\right)\cdot 17 + \left(a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 17^{2} + \left(11 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 17^{3} + \left(13 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 17^{4} + \left(12 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 17^{5} + \left(8 a^{3} + 14 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 17^{6} + \left(14 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a\right)\cdot 17^{7} + \left(6 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 17^{8} + \left(6 a^{2} + 4\right)\cdot 17^{9} + \left(3 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 17^{10} + \left(16 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a\right)\cdot 17^{11} + \left(7 a^{3} + 12 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 17^{12} + \left(15 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 17^{13} + \left(10 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 17^{14} + \left(4 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 17^{15} + \left(13 a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 17^{16} + \left(14 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 17^{17} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 17^{18} + \left(4 a + 5\right)\cdot 17^{19} + \left(11 a^{3} + 13 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 17^{20} + \left(16 a^{3} + 16 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 17^{21} + \left(7 a^{3} + 12 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 17^{22} + \left(14 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a\right)\cdot 17^{23} + \left(14 a^{3} + 14 a^{2} + 14 a\right)\cdot 17^{24} + \left(2 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 17^{25} + \left(9 a^{3} + 14 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 17^{26} + \left(16 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 17^{27} + \left(a^{3} + 14 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 17^{28} + \left(16 a^{3} + 10 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 17^{29} + \left(13 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 17^{30} + \left(8 a^{3} + 15 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 17^{31} + \left(12 a^{3} + 15 a^{2} + 6 a\right)\cdot 17^{32} + \left(4 a^{3} + 16 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 17^{33} + \left(14 a^{3} + a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 17^{34} + \left(13 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a\right)\cdot 17^{35} + \left(a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 17^{36} + \left(4 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 17^{37} + \left(12 a^{3} + a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 17^{38} + \left(13 a^{3} + 16 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 17^{39} + \left(16 a^{3} + a^{2} + a + 13\right)\cdot 17^{40} + \left(12 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 17^{41} + \left(14 a^{3} + 7 a^{2} + 16 a + 10\right)\cdot 17^{42} + \left(7 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 17^{43} + \left(3 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 17^{44} + \left(13 a^{3} + 3 a^{2} + a + 13\right)\cdot 17^{45} + \left(6 a^{3} + 6 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 17^{46} + \left(14 a^{3} + 16 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 17^{47} + \left(10 a^{3} + 13 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 17^{48} + \left(11 a^{3} + 2 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 17^{49} + \left(7 a^{3} + 11 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 17^{50} + \left(4 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 17^{51} + \left(9 a^{3} + 8 a^{2} + 13\right)\cdot 17^{52} + \left(10 a^{3} + 16 a^{2} + 11\right)\cdot 17^{53} + \left(5 a^{3} + 13 a^{2} + a + 1\right)\cdot 17^{54} + \left(11 a^{3} + 6 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 17^{55} + \left(5 a^{3} + 16 a^{2} + a + 14\right)\cdot 17^{56} + \left(4 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 17^{57} + \left(3 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 17^{58} + \left(8 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 17^{59} + \left(15 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 17^{60} + \left(14 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 17^{61} + \left(7 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 17^{62} + \left(4 a^{3} + 14 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 17^{63} + \left(11 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 17^{64} + \left(6 a^{3} + 15 a^{2} + 8 a\right)\cdot 17^{65} + \left(16 a^{3} + 14 a^{2} + 8 a\right)\cdot 17^{66} + \left(2 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 17^{67} + \left(16 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 17^{68} + \left(6 a^{3} + 16 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 17^{69} + \left(10 a^{3} + a^{2} + 9 a\right)\cdot 17^{70} + \left(14 a^{3} + 13 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 17^{71} + \left(9 a^{3} + 15 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 17^{72} + \left(2 a^{3} + 14 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 17^{73} + \left(6 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 17^{74} + \left(8 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 17^{75} + \left(15 a^{3} + 12 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 17^{76} + \left(13 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 17^{77} + \left(6 a^{3} + 15 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 17^{78} + \left(9 a^{3} + 15 a + 9\right)\cdot 17^{79} + \left(9 a^{3} + 9 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 17^{80} + \left(7 a^{3} + 14 a + 12\right)\cdot 17^{81} + \left(2 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 17^{82} +O\left(17^{ 83 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 10 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 9 + \left(12 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 17 + \left(12 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a\right)\cdot 17^{2} + \left(2 a^{3} + a^{2} + a + 8\right)\cdot 17^{3} + \left(15 a^{3} + 14 a^{2} + 11 a\right)\cdot 17^{4} + \left(16 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 17^{5} + \left(15 a^{3} + 4 a + 11\right)\cdot 17^{6} + \left(a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 17^{7} + \left(9 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a\right)\cdot 17^{8} + \left(14 a^{3} + 16 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 17^{9} + \left(13 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 17^{10} + \left(4 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 17^{11} + \left(10 a^{3} + 16 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 17^{12} + \left(16 a^{3} + 16 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 17^{13} + \left(6 a^{3} + 9 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 17^{14} + \left(2 a^{3} + 7 a^{2} + a + 16\right)\cdot 17^{15} + \left(11 a^{3} + 4 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 17^{16} + \left(10 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 17^{17} + \left(11 a^{3} + 3 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 17^{18} + \left(11 a^{3} + a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 17^{19} + \left(14 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 17^{20} + \left(10 a^{3} + 7 a^{2} + a + 8\right)\cdot 17^{21} + \left(a^{3} + a^{2} + 7\right)\cdot 17^{22} + \left(3 a^{3} + 11 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 17^{23} + \left(15 a^{3} + 15 a^{2} + 15 a + 10\right)\cdot 17^{24} + \left(10 a^{3} + 10 a + 15\right)\cdot 17^{25} + \left(16 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 17^{26} + \left(11 a^{3} + 6 a^{2} + 1\right)\cdot 17^{27} + \left(13 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 17^{28} + \left(6 a^{3} + 6 a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 17^{29} + \left(a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 17^{30} + \left(3 a^{2} + a + 1\right)\cdot 17^{31} + \left(2 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 17^{32} + \left(15 a^{3} + 16 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 17^{33} + \left(9 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a\right)\cdot 17^{34} + \left(3 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 17^{35} + \left(10 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 17^{36} + \left(12 a^{3} + 8 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 17^{37} + \left(10 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 17^{38} + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 17^{39} + \left(9 a^{3} + a^{2} + a + 14\right)\cdot 17^{40} + \left(14 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 17^{41} + \left(15 a^{3} + 16 a^{2} + a + 9\right)\cdot 17^{42} + \left(9 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 17^{43} + \left(14 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 17^{44} + \left(a^{3} + 8 a + 16\right)\cdot 17^{45} + \left(10 a^{3} + 4 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 17^{46} + \left(14 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 17^{47} + \left(9 a + 12\right)\cdot 17^{48} + \left(8 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 17^{49} + \left(4 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 17^{50} + \left(12 a^{3} + 15 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 17^{51} + \left(12 a^{3} + 7 a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 17^{52} + \left(7 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 17^{53} + \left(6 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 17^{54} + \left(9 a^{2} + 12 a\right)\cdot 17^{55} + \left(a^{3} + 10 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 17^{56} + \left(16 a^{3} + 16 a^{2} + a + 2\right)\cdot 17^{57} + \left(12 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 17^{58} + \left(6 a^{3} + 12 a^{2} + 9\right)\cdot 17^{59} + \left(a^{3} + a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 17^{60} + \left(7 a^{3} + 15 a^{2} + 6\right)\cdot 17^{61} + \left(7 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 17^{62} + \left(9 a^{3} + 7 a^{2} + 10\right)\cdot 17^{63} + \left(8 a^{3} + 14 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 17^{64} + \left(a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 17^{65} + \left(8 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 17^{66} + \left(8 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 17^{67} + \left(14 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 17^{68} + \left(2 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 17^{69} + \left(9 a^{3} + 16 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 17^{70} + \left(15 a^{3} + 14 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 17^{71} + \left(9 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 17^{72} + \left(9 a^{3} + 10 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 17^{73} + \left(6 a^{3} + a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 17^{74} + \left(2 a^{3} + 3 a^{2} + a + 12\right)\cdot 17^{75} + \left(a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 17^{76} + \left(10 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 17^{77} + \left(7 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 17^{78} + \left(16 a^{3} + 12 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 17^{79} + \left(2 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a\right)\cdot 17^{80} + \left(9 a^{3} + a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 17^{81} + \left(13 a^{3} + 4 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 17^{82} +O\left(17^{ 83 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 10 a^{3} + 16 a^{2} + 14 a + 1 + \left(6 a^{3} + 15 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 17 + \left(9 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 17^{2} + \left(9 a^{3} + 9 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 17^{3} + \left(16 a^{3} + 15 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 17^{4} + \left(7 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 17^{5} + \left(14 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 17^{6} + \left(6 a^{3} + 2 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 17^{7} + \left(11 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 17^{8} + \left(10 a^{3} + 13 a^{2} + 16\right)\cdot 17^{9} + \left(6 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 17^{10} + \left(14 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 17^{11} + \left(2 a^{3} + 15 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 17^{12} + \left(16 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 17^{13} + \left(14 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 17^{14} + \left(16 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 17^{15} + \left(15 a^{3} + 4 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 17^{16} + \left(13 a^{3} + 3 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 17^{17} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 17^{18} + \left(12 a^{3} + 5 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 17^{19} + \left(a^{3} + 5 a + 13\right)\cdot 17^{20} + \left(2 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 17^{21} + \left(4 a^{3} + 14 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 17^{22} + \left(2 a^{3} + 7 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 17^{23} + \left(2 a^{3} + 5 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 17^{24} + \left(9 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 17^{25} + \left(6 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 17^{26} + \left(2 a^{3} + 12 a + 2\right)\cdot 17^{27} + \left(14 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 17^{28} + \left(4 a^{3} + 14 a^{2} + 15 a + 10\right)\cdot 17^{29} + \left(8 a^{3} + 7 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 17^{30} + \left(15 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 17^{31} + \left(13 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 17^{32} + \left(7 a^{3} + 10 a^{2} + 16 a\right)\cdot 17^{33} + \left(16 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 17^{34} + \left(11 a^{3} + 16 a + 11\right)\cdot 17^{35} + \left(14 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 17^{36} + \left(5 a^{3} + 10 a + 11\right)\cdot 17^{37} + \left(4 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 17^{38} + \left(6 a^{3} + 3 a^{2} + 12\right)\cdot 17^{39} + \left(15 a^{3} + 12 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 17^{40} + \left(12 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a\right)\cdot 17^{41} + \left(3 a^{3} + 4 a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 17^{42} + \left(10 a^{3} + 8 a^{2} + 14\right)\cdot 17^{43} + \left(10 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 17^{44} + \left(13 a^{3} + 7 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 17^{45} + \left(10 a^{3} + 5 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 17^{46} + \left(15 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 17^{47} + \left(7 a^{3} + 4 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 17^{48} + \left(14 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 17^{49} + \left(a^{3} + 12 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 17^{50} + \left(11 a^{3} + 4 a + 2\right)\cdot 17^{51} + \left(2 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 17^{52} + \left(2 a^{3} + 16 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 17^{53} + \left(16 a^{3} + 14 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 17^{54} + \left(14 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 17^{55} + \left(9 a^{3} + 13 a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 17^{56} + \left(14 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 17^{57} + \left(9 a^{3} + a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 17^{58} + \left(13 a^{3} + 15 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 17^{59} + \left(6 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 17^{60} + \left(16 a^{3} + a^{2} + 16 a\right)\cdot 17^{61} + \left(12 a^{3} + 12 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 17^{62} + \left(4 a^{3} + 15 a^{2} + a + 13\right)\cdot 17^{63} + \left(12 a^{3} + 13 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 17^{64} + \left(10 a^{3} + 14 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 17^{65} + \left(15 a^{3} + 14 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 17^{66} + \left(14 a^{3} + 16 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 17^{67} + \left(13 a^{3} + 4 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 17^{68} + \left(3 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 17^{69} + \left(2 a^{3} + 16 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 17^{70} + \left(13 a^{3} + 14 a^{2} + 15\right)\cdot 17^{71} + \left(9 a^{3} + 15 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 17^{72} + \left(a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 17^{73} + \left(7 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 17^{74} + \left(15 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 17^{75} + \left(2 a^{3} + 13 a^{2} + 15 a + 10\right)\cdot 17^{76} + \left(2 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 17^{77} + \left(3 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 17^{78} + \left(10 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 17^{79} + \left(2 a^{3} + 2 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 17^{80} + \left(16 a^{3} + 12 a^{2} + 12\right)\cdot 17^{81} + \left(2 a^{3} + 16 a + 14\right)\cdot 17^{82} +O\left(17^{ 83 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 14 a^{3} + 15 a^{2} + 6 a + 2 + \left(a^{3} + 16 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 17 + \left(14 a^{3} + 15 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 17^{2} + \left(8 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 17^{3} + \left(a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 17^{4} + \left(16 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 17^{5} + \left(13 a^{3} + 6 a + 12\right)\cdot 17^{6} + \left(a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 17^{7} + \left(13 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 17^{8} + \left(15 a^{3} + 13 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 17^{9} + \left(16 a^{3} + 16 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 17^{10} + \left(14 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 17^{11} + \left(5 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 17^{12} + \left(8 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 17^{13} + \left(2 a^{3} + 16 a^{2} + 9\right)\cdot 17^{14} + \left(8 a^{3} + 10 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 17^{15} + \left(10 a^{3} + 11 a^{2} + 16\right)\cdot 17^{16} + \left(15 a^{3} + 16 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 17^{17} + \left(2 a^{3} + 14 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 17^{18} + \left(3 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 17^{19} + \left(a^{3} + a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 17^{20} + \left(6 a^{3} + 11 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 17^{21} + \left(12 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 17^{22} + \left(15 a^{3} + 13 a^{2} + a + 3\right)\cdot 17^{23} + \left(a^{3} + 13 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 17^{24} + \left(5 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 17^{25} + \left(14 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 17^{26} + \left(9 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 17^{27} + \left(9 a^{3} + 6 a^{2} + a + 3\right)\cdot 17^{28} + \left(10 a^{3} + 15 a + 12\right)\cdot 17^{29} + \left(5 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 17^{30} + \left(13 a^{3} + 16 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 17^{31} + \left(15 a^{3} + a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 17^{32} + \left(16 a^{3} + 12 a + 14\right)\cdot 17^{33} + \left(7 a^{3} + 15 a^{2} + 15\right)\cdot 17^{34} + \left(5 a^{3} + 3 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 17^{35} + \left(10 a^{3} + a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 17^{36} + \left(13 a^{3} + 16 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 17^{37} + \left(5 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 17^{38} + \left(12 a^{2} + 7\right)\cdot 17^{39} + \left(13 a^{3} + a^{2} + 9 a\right)\cdot 17^{40} + \left(6 a^{3} + 7 a + 16\right)\cdot 17^{41} + \left(9 a^{3} + 11 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 17^{42} + \left(4 a^{2} + a + 5\right)\cdot 17^{43} + \left(14 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 17^{44} + \left(9 a^{3} + 14 a^{2} + 12 a\right)\cdot 17^{45} + \left(3 a^{3} + 13 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 17^{46} + \left(15 a^{3} + 13 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 17^{47} + \left(11 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 17^{48} + \left(15 a^{3} + 16 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 17^{49} + \left(3 a^{3} + 11 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 17^{50} + \left(16 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 17^{51} + \left(15 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 17^{52} + \left(2 a^{3} + 13 a^{2} + 15 a + 10\right)\cdot 17^{53} + \left(16 a^{3} + 11 a + 15\right)\cdot 17^{54} + \left(9 a^{3} + 14 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 17^{55} + \left(10 a^{3} + 5 a^{2} + 16 a\right)\cdot 17^{56} + \left(6 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 17^{57} + \left(13 a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 9\right)\cdot 17^{58} + \left(7 a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 9\right)\cdot 17^{59} + \left(10 a^{3} + 9 a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 17^{60} + \left(a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 17^{61} + \left(4 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a\right)\cdot 17^{62} + \left(7 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 17^{63} + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 17^{64} + \left(2 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 17^{65} + \left(12 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 17^{66} + \left(a^{3} + 13 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 17^{67} + \left(13 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 17^{68} + \left(14 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a\right)\cdot 17^{69} + \left(a^{3} + 16 a^{2} + a + 4\right)\cdot 17^{70} + \left(5 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 17^{71} + \left(7 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 17^{72} + \left(15 a^{3} + 4 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 17^{73} + \left(12 a^{3} + 9 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 17^{74} + \left(9 a^{3} + 7 a + 16\right)\cdot 17^{75} + \left(a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 17^{76} + \left(16 a^{3} + 15 a + 2\right)\cdot 17^{77} + \left(a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 17^{78} + \left(a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 17^{79} + \left(14 a^{3} + 15 a^{2} + a + 8\right)\cdot 17^{80} + \left(2 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 17^{81} + \left(4 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 17^{82} +O\left(17^{ 83 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 9 a^{2} + 8 a + 12 + \left(13 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 17 + \left(6 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 17^{2} + \left(4 a^{3} + 14 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 17^{3} + \left(a^{3} + 13 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 17^{4} + \left(10 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 17^{5} + \left(6 a^{3} + 13 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 17^{6} + \left(6 a^{3} + 6 a^{2} + a + 9\right)\cdot 17^{7} + \left(14 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 17^{8} + \left(10 a^{3} + 7 a^{2} + a + 1\right)\cdot 17^{9} + \left(13 a^{3} + 8 a^{2} + 12\right)\cdot 17^{10} + \left(3 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 17^{11} + \left(15 a^{3} + 8 a^{2} + a + 9\right)\cdot 17^{12} + \left(9 a^{3} + a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 17^{13} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 17^{14} + \left(6 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 17^{15} + \left(13 a^{3} + 13 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 17^{16} + \left(10 a^{3} + 2 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 17^{17} + \left(9 a^{3} + 13 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 17^{18} + \left(6 a^{3} + a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 17^{19} + \left(16 a^{3} + 6 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 17^{20} + \left(14 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 17^{21} + \left(15 a^{3} + 13 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 17^{22} + \left(12 a^{3} + a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 17^{23} + \left(14 a^{3} + 16 a^{2} + 8 a\right)\cdot 17^{24} + \left(13 a^{3} + 16 a^{2} + 9\right)\cdot 17^{25} + \left(10 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 17^{26} + \left(10 a^{3} + 15 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 17^{27} + \left(13 a^{3} + 7 a^{2} + 4\right)\cdot 17^{28} + \left(11 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 17^{29} + \left(a^{3} + 11 a^{2} + 13\right)\cdot 17^{30} + \left(5 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 17^{31} + \left(2 a^{3} + a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 17^{32} + \left(11 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 17^{33} + \left(16 a^{3} + 14 a^{2} + 2\right)\cdot 17^{34} + \left(12 a^{3} + 3 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 17^{35} + \left(15 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 17^{36} + \left(a^{3} + 9 a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 17^{37} + \left(13 a^{3} + a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 17^{38} + \left(2 a^{3} + 11 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 17^{39} + \left(13 a^{3} + a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 17^{40} + \left(16 a^{3} + 15 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 17^{41} + \left(4 a^{3} + a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 17^{42} + \left(13 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 17^{43} + \left(a^{3} + 14 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 17^{44} + \left(10 a^{3} + 10 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 17^{45} + \left(9 a^{3} + 10 a^{2} + 15 a + 10\right)\cdot 17^{46} + \left(5 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 17^{47} + \left(13 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 17^{48} + \left(12 a^{3} + 13 a^{2} + 3\right)\cdot 17^{49} + \left(6 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 17^{50} + \left(11 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 17^{51} + \left(2 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 17^{52} + \left(4 a^{3} + a^{2} + 16 a + 10\right)\cdot 17^{53} + \left(12 a^{3} + 16 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 17^{54} + \left(8 a^{3} + 14 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 17^{55} + \left(12 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 17^{56} + \left(13 a^{3} + a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 17^{57} + \left(14 a^{3} + 13 a^{2} + a + 7\right)\cdot 17^{58} + \left(5 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 17^{59} + \left(4 a^{3} + 15 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 17^{60} + \left(10 a^{3} + 15 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 17^{61} + \left(9 a^{3} + 6 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 17^{62} + \left(2 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 17^{63} + \left(8 a^{3} + 14\right)\cdot 17^{64} + \left(2 a^{3} + 5 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 17^{65} + \left(15 a^{3} + 3\right)\cdot 17^{66} + \left(8 a^{3} + 12 a^{2} + a + 12\right)\cdot 17^{67} + \left(5 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 17^{68} + \left(13 a^{3} + 15 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 17^{69} + \left(3 a^{3} + a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 17^{70} + \left(9 a^{2} + 9 a\right)\cdot 17^{71} + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 17^{72} + \left(7 a^{3} + 12 a^{2} + 13 a\right)\cdot 17^{73} + \left(7 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 17^{74} + \left(6 a^{3} + 8 a^{2} + 2\right)\cdot 17^{75} + \left(11 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 17^{76} + \left(5 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 17^{77} + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 17^{78} + \left(6 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 17^{79} + \left(14 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 17^{80} + \left(5 a^{3} + 15 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 17^{81} + \left(13 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 17^{82} +O\left(17^{ 83 }\right)$ |
| $r_{ 9 }$ |
$=$ |
$ 8 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 9 + \left(12 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 17 + \left(13 a^{3} + 15 a^{2} + 10\right)\cdot 17^{2} + \left(7 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 17^{3} + \left(12 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 17^{4} + \left(7 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 17^{5} + \left(3 a^{3} + 5 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 17^{6} + \left(8 a^{3} + 6 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 17^{7} + \left(a^{3} + 5 a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 17^{8} + \left(5 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 17^{9} + \left(11 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 13\right)\cdot 17^{10} + \left(9 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 17^{11} + \left(14 a^{3} + 3 a^{2} + a + 16\right)\cdot 17^{12} + \left(14 a^{3} + 13 a^{2} + 4 a\right)\cdot 17^{13} + \left(11 a^{3} + 16 a^{2} + 5 a\right)\cdot 17^{14} + \left(8 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 17^{15} + \left(9 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 17^{16} + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 17^{17} + \left(11 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 17^{18} + \left(5 a^{3} + 16 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 17^{19} + \left(2 a^{3} + 9 a^{2} + a + 8\right)\cdot 17^{20} + \left(a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 17^{21} + \left(15 a^{3} + 9 a + 15\right)\cdot 17^{22} + \left(9 a^{3} + a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 17^{23} + \left(14 a^{3} + 15 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 17^{24} + \left(14 a^{3} + 15 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 17^{25} + \left(12 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 17^{26} + \left(8 a^{3} + 16 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 17^{27} + \left(12 a^{3} + 8 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 17^{28} + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 17^{29} + \left(5 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 17^{30} + \left(4 a^{3} + 5 a^{2} + 15\right)\cdot 17^{31} + \left(8 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 17^{32} + \left(6 a^{3} + 8 a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 17^{33} + \left(2 a^{3} + 2 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 17^{34} + \left(7 a^{3} + 14 a^{2} + 9 a\right)\cdot 17^{35} + \left(3 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 17^{36} + \left(3 a^{3} + a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 17^{37} + \left(13 a^{3} + 14 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 17^{38} + \left(16 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 17^{39} + \left(11 a^{3} + 15 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 17^{40} + \left(11 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 17^{41} + \left(6 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 17^{42} + \left(8 a^{3} + 8 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 17^{43} + \left(11 a^{3} + 13 a\right)\cdot 17^{44} + \left(11 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 17^{45} + \left(10 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 17^{46} + \left(16 a^{3} + 6 a + 8\right)\cdot 17^{47} + \left(a^{3} + 13 a + 6\right)\cdot 17^{48} + \left(6 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 17^{49} + \left(7 a^{3} + 15 a^{2} + 7 a\right)\cdot 17^{50} + \left(7 a^{3} + 13 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 17^{51} + \left(8 a^{3} + 6 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 17^{52} + \left(13 a^{3} + 3 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 17^{53} + \left(10 a^{3} + 14 a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 17^{54} + \left(7 a^{3} + 7 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 17^{55} + \left(13 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 17^{56} + \left(5 a^{3} + 8 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 17^{57} + \left(5 a^{3} + a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 17^{58} + \left(3 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 17^{59} + \left(6 a^{3} + 16 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 17^{60} + \left(8 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a\right)\cdot 17^{61} + \left(15 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 17^{62} + \left(15 a^{3} + a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 17^{63} + \left(8 a^{3} + 16 a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 17^{64} + \left(a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 17^{65} + \left(8 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 17^{66} + \left(14 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 17^{67} + \left(10 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 17^{68} + \left(16 a^{3} + 2 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 17^{69} + \left(15 a^{3} + 7 a^{2} + a + 1\right)\cdot 17^{70} + \left(10 a^{3} + 4 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 17^{71} + \left(9 a^{3} + 13 a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 17^{72} + \left(13 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 17^{73} + \left(5 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 17^{74} + \left(11 a^{3} + a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 17^{75} + \left(10 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 17^{76} + \left(13 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 17^{77} + \left(7 a^{3} + a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 17^{78} + \left(6 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a\right)\cdot 17^{79} + \left(16 a^{3} + 10 a + 13\right)\cdot 17^{80} + \left(10 a^{3} + 16 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 17^{81} + \left(4 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 17^{82} +O\left(17^{ 83 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 9 }$
| Cycle notation |
| $(1,3,8,7)(2,6,4,9)$ |
| $(1,2,8,4)(3,9,7,6)$ |
| $(1,8)(2,4)(3,7)(6,9)$ |
| $(1,6,7)(3,8,9)$ |
| $(1,4,3)(2,8,7)(5,9,6)$ |
| $(1,9,2)(3,5,7)(4,6,8)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 9 }$
| Character values |
| | |
$c1$ |
$c2$ |
| $1$ |
$1$ |
$()$ |
$8$ |
$8$ |
| $9$ |
$2$ |
$(1,8)(2,4)(3,7)(6,9)$ |
$0$ |
$0$ |
| $8$ |
$3$ |
$(1,9,2)(3,5,7)(4,6,8)$ |
$-1$ |
$-1$ |
| $12$ |
$3$ |
$(3,7,5)(4,6,8)$ |
$-2 \zeta_{3} - 2$ |
$2 \zeta_{3}$ |
| $12$ |
$3$ |
$(3,5,7)(4,8,6)$ |
$2 \zeta_{3}$ |
$-2 \zeta_{3} - 2$ |
| $24$ |
$3$ |
$(1,7,3)(2,8,9)(4,6,5)$ |
$-\zeta_{3}$ |
$\zeta_{3} + 1$ |
| $24$ |
$3$ |
$(1,3,7)(2,9,8)(4,5,6)$ |
$\zeta_{3} + 1$ |
$-\zeta_{3}$ |
| $54$ |
$4$ |
$(1,3,8,7)(2,6,4,9)$ |
$0$ |
$0$ |
| $36$ |
$6$ |
$(1,9)(3,4,7,6,5,8)$ |
$0$ |
$0$ |
| $36$ |
$6$ |
$(1,9)(3,8,5,6,7,4)$ |
$0$ |
$0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
