Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 13 }$ to precision 24.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 13 }$: $ x^{4} + 3 x^{2} + 12 x + 2 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 4 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 3 + \left(10 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a\right)\cdot 13 + \left(11 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{2} + \left(4 a^{3} + 10 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{3} + \left(9 a^{3} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{4} + \left(4 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{5} + \left(2 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{6} + \left(3 a^{3} + a^{2} + a + 2\right)\cdot 13^{7} + \left(5 a^{3} + 6 a^{2} + 7\right)\cdot 13^{8} + \left(6 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{9} + \left(5 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{10} + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 2\right)\cdot 13^{11} + \left(11 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{12} + \left(9 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 13^{13} + \left(a^{3} + 5 a^{2} + a + 2\right)\cdot 13^{14} + \left(a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 13^{15} + \left(12 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{16} + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{17} + \left(3 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{18} + \left(11 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{19} + \left(10 a^{3} + 2 a\right)\cdot 13^{20} + \left(a^{3} + 2 a^{2} + 4 a\right)\cdot 13^{21} + \left(3 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{22} + \left(4 a^{3} + 8 a^{2} + a + 9\right)\cdot 13^{23} +O\left(13^{ 24 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 2 + 11\cdot 13 + 6\cdot 13^{2} + 8\cdot 13^{4} + 2\cdot 13^{5} + 7\cdot 13^{6} + 12\cdot 13^{8} + 7\cdot 13^{9} + 6\cdot 13^{10} + 3\cdot 13^{11} + 7\cdot 13^{12} + 5\cdot 13^{13} + 6\cdot 13^{14} + 11\cdot 13^{15} + 7\cdot 13^{16} + 8\cdot 13^{17} + 3\cdot 13^{18} + 5\cdot 13^{19} + 4\cdot 13^{20} + 8\cdot 13^{21} + 11\cdot 13^{22} + 9\cdot 13^{23} +O\left(13^{ 24 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 8 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 3 + \left(3 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13 + \left(8 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{2} + \left(10 a^{3} + 3 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{3} + \left(10 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{4} + \left(a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{5} + \left(11 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{6} + \left(8 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{7} + \left(12 a^{3} + 2 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{8} + \left(8 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{9} + \left(5 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{10} + \left(2 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 13^{11} + \left(2 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{12} + \left(a^{3} + 9 a^{2} + 2\right)\cdot 13^{13} + \left(7 a^{3} + 12 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{14} + \left(5 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{15} + \left(8 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{16} + \left(9 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{17} + \left(8 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{18} + \left(11 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 13^{19} + \left(11 a^{3} + 3 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{20} + \left(a^{3} + 11 a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{21} + \left(7 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{22} + \left(12 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{23} +O\left(13^{ 24 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 11 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 7 + \left(7 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 13 + \left(9 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{2} + \left(2 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{3} + \left(4 a^{3} + 4 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{4} + \left(a^{3} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{5} + \left(12 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{6} + \left(5 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 13^{7} + \left(9 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{8} + \left(3 a^{3} + 7 a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{9} + \left(4 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{10} + \left(5 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{11} + \left(5 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{12} + \left(8 a^{3} + 8 a^{2} + 5\right)\cdot 13^{13} + \left(4 a^{2} + a + 10\right)\cdot 13^{14} + \left(4 a^{3} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{15} + \left(11 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{16} + \left(7 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{17} + \left(2 a^{3} + 6 a^{2} + 2\right)\cdot 13^{18} + \left(8 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13^{19} + \left(a^{3} + 12 a^{2}\right)\cdot 13^{20} + \left(9 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{21} + \left(4 a^{3} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{22} + \left(11 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a\right)\cdot 13^{23} +O\left(13^{ 24 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 11 a^{3} + a^{2} + 6 a + 10 + \left(a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13 + \left(12 a^{3} + a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 13^{2} + \left(a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{3} + \left(5 a^{3} + 7 a^{2} + a\right)\cdot 13^{4} + \left(8 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 13^{5} + \left(4 a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{6} + \left(6 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{7} + \left(4 a^{3} + a^{2}\right)\cdot 13^{8} + \left(a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{9} + \left(11 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 13^{10} + \left(7 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a\right)\cdot 13^{11} + \left(12 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{12} + \left(11 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 13^{13} + \left(10 a^{3} + 11 a^{2} + a + 2\right)\cdot 13^{14} + \left(4 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 13^{15} + \left(7 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{16} + \left(11 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 13^{17} + \left(9 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{18} + \left(7 a^{3} + 3 a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{19} + \left(11 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{20} + \left(11 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{21} + \left(2 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 13^{22} + \left(3 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{23} +O\left(13^{ 24 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 9 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 1 + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 13 + \left(11 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{2} + \left(3 a^{3} + 4 a + 9\right)\cdot 13^{3} + \left(7 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{4} + \left(12 a^{3} + a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{5} + \left(11 a^{3} + 8 a + 3\right)\cdot 13^{6} + \left(11 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{7} + \left(10 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 13^{8} + \left(9 a^{2} + 11\right)\cdot 13^{9} + \left(5 a^{3} + 3 a + 1\right)\cdot 13^{10} + \left(5 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 13^{11} + \left(6 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 13^{12} + \left(3 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 13^{13} + \left(2 a^{3} + a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{14} + \left(11 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{15} + \left(12 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 13^{16} + \left(a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{17} + \left(5 a^{3} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{18} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + 6\right)\cdot 13^{19} + \left(6 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{20} + \left(12 a^{3} + 6 a + 1\right)\cdot 13^{21} + \left(2 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 13^{22} + \left(9 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{23} +O\left(13^{ 24 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 11 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 8 + \left(4 a^{3} + a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13 + \left(12 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{2} + \left(9 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{3} + \left(9 a^{3} + 3 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{4} + \left(9 a^{3} + 3 a^{2} + a\right)\cdot 13^{5} + \left(3 a^{3} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{6} + \left(6 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{7} + \left(7 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{8} + \left(5 a^{3} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{9} + \left(9 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 13^{10} + \left(4 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{11} + \left(6 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 13^{12} + \left(8 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{13} + \left(9 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{14} + \left(10 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{15} + \left(12 a^{3} + a + 1\right)\cdot 13^{16} + \left(7 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 13^{17} + \left(8 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{18} + \left(4 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{19} + \left(2 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 13^{20} + \left(10 a^{3} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{21} + \left(3 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{22} + \left(12 a^{3} + 6 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{23} +O\left(13^{ 24 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 5 a^{2} + 2 a + 8 + \left(6 a^{3} + 3 a\right)\cdot 13 + \left(5 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{2} + \left(3 a^{3} + a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{3} + \left(7 a^{3} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{4} + \left(11 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{5} + \left(10 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{6} + \left(10 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{7} + \left(6 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a\right)\cdot 13^{8} + \left(a^{3} + 6 a^{2} + a + 9\right)\cdot 13^{9} + \left(5 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{10} + \left(7 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{11} + \left(9 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 13^{12} + \left(8 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{13} + \left(12 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{14} + \left(2 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 13^{15} + \left(7 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a\right)\cdot 13^{16} + \left(12 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{17} + \left(9 a^{3} + 3 a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{18} + \left(11 a^{3} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{19} + \left(a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13^{20} + \left(3 a^{3} + a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{21} + \left(5 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 13^{22} + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 13^{23} +O\left(13^{ 24 }\right)$ |
| $r_{ 9 }$ |
$=$ |
$ 11 a^{3} + 3 a^{2} + 12 + \left(11 a^{2} + 2 a\right)\cdot 13 + \left(7 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{2} + \left(a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{3} + \left(11 a^{3} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{4} + \left(a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 13^{5} + \left(12 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{6} + \left(11 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 13^{7} + \left(7 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 13^{8} + \left(10 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{9} + \left(5 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{10} + \left(11 a^{2} + 3\right)\cdot 13^{11} + \left(11 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{12} + \left(12 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{13} + \left(2 a^{3} + a^{2} + 10\right)\cdot 13^{14} + \left(12 a^{3} + 8 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{15} + \left(4 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{16} + \left(6 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{17} + \left(3 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{18} + \left(10 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{19} + \left(5 a^{3} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{20} + \left(a^{3} + 2 a + 3\right)\cdot 13^{21} + \left(12 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{22} + \left(4 a^{3} + 12 a^{2} + 1\right)\cdot 13^{23} +O\left(13^{ 24 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 9 }$
| Cycle notation |
| $(1,6)(2,9)(3,8)(4,5)$ |
| $(1,9,8)(2,6,3)(4,5,7)$ |
| $(1,2,6,9)(3,5,8,4)$ |
| $(1,3,6,8)(2,4,9,5)$ |
| $(1,6,7)(2,5,8)(3,4,9)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 9 }$
| Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $8$ |
| $9$ | $2$ | $(1,5)(2,6)(4,9)(7,8)$ | $0$ |
| $8$ | $3$ | $(1,6,7)(2,5,8)(3,4,9)$ | $-1$ |
| $18$ | $4$ | $(1,9,5,4)(2,8,6,7)$ | $0$ |
| $18$ | $4$ | $(1,8,4,5)(3,9,6,7)$ | $0$ |
| $18$ | $4$ | $(1,2,7,3)(4,9,8,5)$ | $0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
