Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 13 }$ to precision 91.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 13 }$: $ x^{4} + 3 x^{2} + 12 x + 2 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 5 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + \left(10 a^{3} + 3\right)\cdot 13 + \left(a^{3} + 5 a^{2} + a\right)\cdot 13^{2} + \left(3 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a\right)\cdot 13^{3} + \left(7 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{4} + \left(4 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{5} + \left(8 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{6} + \left(9 a^{3} + 11 a^{2} + 3\right)\cdot 13^{7} + \left(9 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{8} + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + 7\right)\cdot 13^{9} + \left(2 a^{3} + 6 a^{2} + a\right)\cdot 13^{10} + \left(6 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{11} + \left(12 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{12} + \left(10 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{13} + \left(12 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{14} + \left(8 a^{3} + a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 13^{15} + \left(6 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{16} + \left(11 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 13^{17} + \left(7 a^{3} + 7 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{18} + \left(6 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{19} + \left(4 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{20} + \left(a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 13^{21} + \left(8 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 13^{22} + \left(8 a^{2} + 11\right)\cdot 13^{23} + \left(11 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{24} + \left(5 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{25} + \left(a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{26} + \left(a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{27} + \left(7 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 13^{28} + \left(11 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{29} + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{30} + \left(4 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 13^{31} + \left(6 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{32} + \left(7 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{33} + \left(11 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 13^{34} + \left(6 a^{3} + 7 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{35} + \left(a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 13^{36} + \left(10 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{37} + \left(a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{38} + \left(7 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{39} + \left(2 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{40} + \left(7 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a\right)\cdot 13^{41} + \left(5 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 13^{42} + \left(9 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{43} + \left(8 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{44} + \left(5 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{45} + \left(3 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 13^{46} + \left(12 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{47} + \left(4 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{48} + \left(5 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{49} + \left(6 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 13^{50} + \left(12 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 13^{51} + \left(9 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{52} + \left(9 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 13^{53} + \left(10 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{54} + \left(a^{3} + 3 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{55} + \left(5 a^{3} + 2 a^{2} + 4\right)\cdot 13^{56} + \left(4 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{57} + \left(12 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{58} + \left(4 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{59} + \left(a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{60} + \left(11 a^{3} + 2 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{61} + \left(6 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 13^{62} + \left(a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{63} + \left(7 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{64} + \left(2 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{65} + \left(a^{3} + 8 a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{66} + \left(7 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{67} + \left(6 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{68} + \left(8 a^{3} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{69} + \left(8 a^{3} + 2 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{70} + \left(6 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{71} + \left(6 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{72} + \left(9 a^{3} + 9 a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{73} + \left(10 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{74} + \left(10 a^{3} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{75} + \left(5 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{76} + \left(6 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{77} + \left(8 a^{3} + a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{78} + \left(7 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{79} + \left(7 a^{3} + 7 a^{2} + 6\right)\cdot 13^{80} + \left(7 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{81} + \left(5 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{82} + \left(2 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{83} + \left(4 a^{3} + 6\right)\cdot 13^{84} + \left(a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{85} + \left(4 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{86} + \left(10 a^{3} + 11 a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{87} + \left(2 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{88} + \left(11 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{89} + \left(11 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 13^{90} +O\left(13^{ 91 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 3 a^{3} + a^{2} + 12 a + 10 + \left(9 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13 + \left(5 a^{3} + a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{2} + \left(a^{3} + a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{3} + \left(11 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 13^{4} + \left(10 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{5} + \left(7 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{6} + \left(7 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{7} + \left(8 a^{3} + 4 a\right)\cdot 13^{8} + \left(2 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 13^{9} + \left(a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{10} + \left(8 a^{3} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{11} + \left(12 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{12} + \left(8 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{13} + \left(7 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{14} + \left(6 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{15} + \left(10 a^{3} + 6 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{16} + \left(11 a^{3} + 3 a^{2} + 9\right)\cdot 13^{17} + \left(6 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{18} + \left(7 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{19} + \left(10 a^{3} + 12 a^{2} + 1\right)\cdot 13^{20} + \left(2 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{21} + \left(2 a^{3} + 7 a^{2} + a\right)\cdot 13^{22} + \left(5 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 13^{23} + \left(3 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{24} + \left(3 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{25} + \left(a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 13^{26} + \left(a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{27} + \left(12 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{28} + \left(11 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 13^{29} + \left(9 a^{3} + 4 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{30} + \left(9 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{31} + \left(4 a^{3} + a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{32} + \left(5 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{33} + \left(2 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 13^{34} + \left(3 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 13^{35} + \left(11 a^{3} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{36} + \left(8 a^{3} + 8 a^{2} + a + 9\right)\cdot 13^{37} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{38} + \left(4 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{39} + \left(12 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 13^{40} + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{41} + \left(a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 13^{42} + \left(3 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{43} + \left(8 a^{3} + a + 6\right)\cdot 13^{44} + \left(5 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{45} + \left(11 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{46} + \left(8 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{47} + \left(3 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{48} + \left(8 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{49} + \left(2 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{50} + \left(2 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{51} + \left(6 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 13^{52} + \left(7 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 13^{53} + \left(8 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 13^{54} + \left(12 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 13^{55} + \left(4 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{56} + \left(5 a^{3} + a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{57} + \left(3 a^{3} + 11 a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{58} + \left(5 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 13^{59} + \left(4 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{60} + \left(10 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{61} + \left(4 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{62} + \left(12 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{63} + \left(9 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{64} + \left(6 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{65} + \left(8 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{66} + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{67} + \left(9 a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{68} + \left(5 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{69} + \left(11 a^{3} + 9 a^{2} + 3\right)\cdot 13^{70} + \left(4 a^{3} + 8 a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{71} + \left(5 a^{3} + 2 a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{72} + \left(6 a^{3} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{73} + \left(3 a^{3} + a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{74} + \left(5 a^{3} + 1\right)\cdot 13^{75} + \left(12 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{76} + \left(10 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{77} + \left(5 a^{3} + a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{78} + \left(4 a^{3} + 9 a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{79} + \left(a^{3} + 8 a + 11\right)\cdot 13^{80} + \left(7 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{81} + \left(8 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{82} + \left(6 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 13^{83} + \left(7 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{84} + \left(5 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a\right)\cdot 13^{85} + \left(2 a^{3} + a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 13^{86} + \left(a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{87} + \left(7 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a\right)\cdot 13^{88} + \left(3 a^{3} + 6 a^{2} + a + 2\right)\cdot 13^{89} + \left(12 a^{3} + 8 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{90} +O\left(13^{ 91 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 4 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 10 + \left(a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 13 + \left(a^{3} + a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 13^{2} + \left(10 a^{3} + 3 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{3} + \left(4 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 13^{4} + \left(11 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{5} + \left(10 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{6} + \left(3 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 13^{7} + \left(5 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{8} + \left(7 a^{3} + a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{9} + \left(5 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{10} + \left(8 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{11} + \left(4 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{12} + \left(2 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 13^{13} + \left(9 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{14} + \left(7 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 13^{15} + \left(4 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{16} + \left(6 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a\right)\cdot 13^{17} + \left(2 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{18} + \left(a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{19} + \left(5 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{20} + \left(7 a^{3} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{21} + \left(4 a^{3} + 12 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{22} + \left(8 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{23} + \left(4 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{24} + \left(10 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{25} + \left(7 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 13^{26} + \left(10 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{27} + \left(8 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{28} + \left(11 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 13^{29} + \left(11 a^{3} + 2 a^{2} + a + 9\right)\cdot 13^{30} + \left(7 a^{3} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{31} + \left(2 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{32} + \left(8 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{33} + \left(5 a^{3} + 10 a^{2} + a + 10\right)\cdot 13^{34} + \left(3 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{35} + \left(7 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{36} + \left(a^{3} + 4 a^{2} + a + 2\right)\cdot 13^{37} + \left(6 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{38} + \left(2 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 13^{39} + \left(10 a^{3} + 7 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{40} + \left(5 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{41} + \left(2 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 13^{42} + \left(5 a^{3} + 4 a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{43} + \left(12 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{44} + \left(8 a^{3} + 8 a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{45} + \left(2 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{46} + \left(5 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 13^{47} + \left(10 a^{3} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{48} + \left(7 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 13^{49} + \left(12 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a\right)\cdot 13^{50} + \left(11 a^{3} + 8 a^{2} + a + 2\right)\cdot 13^{51} + \left(9 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{52} + \left(7 a^{3} + 9 a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{53} + \left(10 a^{3} + 4 a^{2} + 5\right)\cdot 13^{54} + \left(12 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{55} + \left(6 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{56} + \left(12 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{57} + \left(8 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 13^{58} + \left(8 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{59} + \left(12 a^{3} + a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{60} + \left(6 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{61} + \left(8 a^{3} + 12 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{62} + \left(7 a^{3} + a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{63} + \left(6 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{64} + \left(4 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{65} + \left(4 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 13^{66} + \left(9 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{67} + \left(2 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{68} + \left(9 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 13^{69} + \left(5 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{70} + \left(6 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{71} + \left(a^{3} + 9 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{72} + \left(5 a^{3} + a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{73} + \left(12 a^{3} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{74} + \left(10 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 13^{75} + \left(2 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 13^{76} + \left(11 a^{3} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{77} + \left(11 a^{3} + 10 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{78} + \left(12 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{79} + \left(12 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 13^{80} + \left(6 a^{3} + 9 a^{2} + a + 10\right)\cdot 13^{81} + \left(10 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 13^{82} + \left(11 a^{3} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{83} + \left(a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{84} + \left(7 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{85} + \left(11 a^{3} + a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{86} + \left(11 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{87} + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 13^{88} + \left(4 a^{3} + 2 a^{2} + 9\right)\cdot 13^{89} + \left(7 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 13^{90} +O\left(13^{ 91 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 11 a^{2} + 8 a + 4 + \left(9 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 13 + \left(a^{3} + 10 a^{2} + 2\right)\cdot 13^{2} + \left(9 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{3} + \left(10 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{4} + \left(2 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{5} + \left(9 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 13^{6} + \left(4 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{7} + \left(11 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{8} + \left(8 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 13^{9} + \left(3 a^{3} + 8 a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{10} + \left(2 a^{3} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{11} + \left(9 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 13^{12} + \left(12 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 13^{13} + \left(5 a^{3} + a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 13^{14} + \left(2 a^{3} + 7 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{15} + \left(12 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 13^{16} + \left(7 a^{3} + 4 a^{2} + 11\right)\cdot 13^{17} + \left(3 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 13^{18} + \left(6 a^{3} + a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{19} + \left(7 a^{3} + a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{20} + \left(4 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{21} + \left(6 a^{3} + 8 a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{22} + \left(10 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{23} + \left(7 a^{3} + 11 a + 6\right)\cdot 13^{24} + \left(9 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{25} + \left(12 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{26} + \left(11 a^{3} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{27} + \left(a^{3} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{28} + \left(2 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 13^{29} + \left(a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{30} + \left(a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 13^{31} + \left(3 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 13^{32} + \left(a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{33} + \left(4 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{34} + \left(4 a^{3} + 12 a^{2} + a + 9\right)\cdot 13^{35} + \left(2 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 13^{36} + \left(a^{3} + 2 a^{2} + a + 9\right)\cdot 13^{37} + \left(7 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{38} + \left(2 a^{3} + 8 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{39} + \left(6 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 13^{40} + \left(2 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{41} + \left(a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{42} + \left(a^{3} + a^{2} + 3 a\right)\cdot 13^{43} + \left(2 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{44} + \left(8 a^{3} + a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{45} + \left(5 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 13^{46} + \left(7 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 13^{47} + \left(2 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{48} + \left(3 a^{3} + a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{49} + \left(8 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{50} + \left(12 a^{3} + 5 a^{2} + a + 10\right)\cdot 13^{51} + \left(12 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{52} + \left(5 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{53} + \left(6 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{54} + \left(3 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{55} + \left(4 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a\right)\cdot 13^{56} + \left(6 a^{3} + a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{57} + \left(5 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 13^{58} + \left(5 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 13^{59} + \left(a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{60} + \left(2 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a\right)\cdot 13^{61} + \left(11 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{62} + \left(10 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{63} + \left(5 a^{3} + 12 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{64} + \left(3 a^{3} + a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{65} + \left(5 a^{3} + a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{66} + \left(7 a^{3} + a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 13^{67} + \left(2 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 13^{68} + \left(2 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{69} + \left(5 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{70} + \left(9 a^{3} + a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{71} + \left(2 a^{3} + 11 a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{72} + \left(12 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{73} + \left(6 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 13^{74} + \left(6 a^{3} + 4 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{75} + \left(a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{76} + \left(6 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{77} + \left(11 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 13^{78} + \left(2 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{79} + \left(a^{3} + 2 a^{2} + 4 a\right)\cdot 13^{80} + \left(9 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{81} + \left(8 a^{3} + 4 a^{2}\right)\cdot 13^{82} + \left(8 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a\right)\cdot 13^{83} + \left(5 a^{3} + a + 1\right)\cdot 13^{84} + \left(3 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{85} + \left(7 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{86} + \left(8 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{87} + \left(6 a^{3} + 6 a^{2} + a\right)\cdot 13^{88} + \left(3 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{89} + \left(3 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{90} +O\left(13^{ 91 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 8 + 9\cdot 13 + 11\cdot 13^{3} + 10\cdot 13^{4} + 3\cdot 13^{5} + 11\cdot 13^{6} + 3\cdot 13^{7} + 13^{8} + 9\cdot 13^{10} + 7\cdot 13^{11} + 11\cdot 13^{12} + 3\cdot 13^{14} + 12\cdot 13^{15} + 10\cdot 13^{16} + 12\cdot 13^{17} + 6\cdot 13^{18} + 5\cdot 13^{19} + 8\cdot 13^{21} + 10\cdot 13^{22} + 5\cdot 13^{23} + 13^{24} + 4\cdot 13^{26} + 13^{27} + 3\cdot 13^{28} + 12\cdot 13^{29} + 6\cdot 13^{30} + 7\cdot 13^{31} + 3\cdot 13^{32} + 6\cdot 13^{33} + 7\cdot 13^{34} + 12\cdot 13^{35} + 3\cdot 13^{36} + 10\cdot 13^{37} + 13^{38} + 11\cdot 13^{39} + 7\cdot 13^{40} + 2\cdot 13^{41} + 9\cdot 13^{42} + 4\cdot 13^{43} + 12\cdot 13^{44} + 9\cdot 13^{45} + 6\cdot 13^{46} + 3\cdot 13^{47} + 2\cdot 13^{48} + 8\cdot 13^{49} + 10\cdot 13^{50} + 12\cdot 13^{51} + 6\cdot 13^{52} + 2\cdot 13^{53} + 5\cdot 13^{54} + 13^{55} + 6\cdot 13^{56} + 3\cdot 13^{57} + 3\cdot 13^{58} + 6\cdot 13^{59} + 12\cdot 13^{61} + 8\cdot 13^{62} + 12\cdot 13^{63} + 12\cdot 13^{64} + 10\cdot 13^{65} + 2\cdot 13^{66} + 12\cdot 13^{68} + 4\cdot 13^{69} + 5\cdot 13^{70} + 10\cdot 13^{71} + 4\cdot 13^{72} + 6\cdot 13^{73} + 11\cdot 13^{74} + 6\cdot 13^{75} + 5\cdot 13^{76} + 9\cdot 13^{78} + 12\cdot 13^{79} + 8\cdot 13^{80} + 4\cdot 13^{81} + 4\cdot 13^{82} + 9\cdot 13^{83} + 2\cdot 13^{84} + 3\cdot 13^{85} + 9\cdot 13^{86} + 7\cdot 13^{87} + 6\cdot 13^{88} + 10\cdot 13^{89} + 8\cdot 13^{90} +O\left(13^{ 91 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 4 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 6 + \left(5 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13 + \left(9 a^{3} + a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{2} + \left(3 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{3} + \left(a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{4} + \left(4 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{5} + \left(5 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{6} + \left(2 a^{3} + 12 a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{7} + \left(12 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 13^{8} + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{9} + \left(10 a^{3} + 7 a^{2} + 1\right)\cdot 13^{10} + \left(a^{3} + 8\right)\cdot 13^{11} + \left(10 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13^{12} + \left(3 a^{3} + 3 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{13} + \left(9 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{14} + \left(10 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{15} + \left(12 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{16} + \left(2 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{17} + \left(9 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{18} + \left(11 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 13^{19} + \left(a^{3} + a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{20} + \left(3 a^{3} + 9 a^{2} + 7\right)\cdot 13^{21} + \left(3 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{22} + \left(2 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{23} + \left(a^{3} + 10 a^{2} + 7\right)\cdot 13^{24} + \left(8 a^{3} + a^{2} + 6\right)\cdot 13^{25} + \left(9 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 13^{26} + \left(12 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{27} + \left(5 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{28} + \left(3 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{29} + \left(3 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 13^{30} + \left(9 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{31} + \left(12 a^{3} + 10 a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{32} + \left(5 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 13^{33} + \left(4 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{34} + \left(4 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{35} + \left(12 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{36} + \left(2 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{37} + \left(8 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{38} + \left(3 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{39} + \left(2 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{40} + \left(9 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{41} + \left(12 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 13^{42} + \left(2 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{43} + \left(12 a^{3} + a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{44} + \left(6 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{45} + \left(4 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{46} + \left(8 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{47} + \left(6 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{48} + \left(4 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 13^{49} + \left(9 a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{50} + \left(6 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{51} + \left(4 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{52} + \left(10 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 13^{53} + \left(6 a^{3} + 7 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{54} + \left(11 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{55} + \left(11 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{56} + \left(11 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{57} + \left(4 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{58} + \left(7 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a\right)\cdot 13^{59} + \left(12 a^{3} + 3 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{60} + \left(a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 13^{61} + \left(3 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{62} + \left(12 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 13^{63} + \left(11 a^{3} + 7 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{64} + \left(7 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{65} + \left(10 a^{3} + 7 a^{2} + 1\right)\cdot 13^{66} + \left(8 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{67} + \left(7 a^{3} + 8 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{68} + \left(5 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{69} + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{70} + \left(3 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 13^{71} + \left(a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{72} + \left(10 a^{3} + 3 a^{2} + a + 9\right)\cdot 13^{73} + \left(10 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{74} + \left(5 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{75} + \left(10 a^{3} + 2 a^{2} + 11\right)\cdot 13^{76} + \left(8 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 13^{77} + \left(5 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 13^{78} + \left(11 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{79} + \left(12 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{80} + \left(12 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{81} + \left(11 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{82} + \left(12 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 13^{83} + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 13^{84} + \left(7 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{85} + \left(10 a^{3} + a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{86} + \left(6 a^{3} + 7 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{87} + \left(a^{3} + 11 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{88} + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13^{89} + \left(2 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{90} +O\left(13^{ 91 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ a^{3} + 11 a + 10 + \left(5 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 13 + \left(4 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{2} + \left(11 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{3} + \left(6 a + 12\right)\cdot 13^{4} + \left(3 a^{2} + 11\right)\cdot 13^{5} + \left(12 a^{3} + 2 a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{6} + \left(4 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{7} + \left(2 a^{3} + 4 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{8} + \left(12 a^{3} + 7 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{9} + \left(8 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 13^{10} + \left(3 a^{3} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{11} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + 9\right)\cdot 13^{12} + \left(3 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{13} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{14} + \left(2 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{15} + \left(4 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{16} + \left(9 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{17} + \left(8 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{18} + \left(10 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{19} + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{20} + \left(3 a^{3} + a^{2} + 7 a\right)\cdot 13^{21} + \left(11 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{22} + \left(11 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{23} + \left(9 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 13^{24} + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{25} + \left(3 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{26} + \left(7 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{27} + \left(6 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{28} + \left(2 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{29} + \left(12 a^{3} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{30} + \left(3 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{31} + \left(a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 13^{32} + \left(10 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{33} + \left(6 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{34} + \left(2 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{35} + \left(6 a^{3} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{36} + \left(5 a^{3} + a^{2} + 1\right)\cdot 13^{37} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 13^{38} + \left(11 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13^{39} + \left(a^{2} + 2\right)\cdot 13^{40} + \left(10 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13^{41} + \left(3 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{42} + \left(8 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 13^{43} + \left(9 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{44} + \left(10 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a\right)\cdot 13^{45} + \left(11 a^{3} + a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{46} + \left(11 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 13^{47} + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 13^{48} + \left(4 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{49} + \left(4 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 13^{50} + \left(12 a^{3} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{51} + \left(8 a^{3} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{52} + \left(a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{53} + \left(9 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{54} + \left(10 a^{3} + 5 a^{2} + 1\right)\cdot 13^{55} + \left(9 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{56} + \left(2 a^{3} + a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{57} + \left(2 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{58} + \left(12 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{59} + \left(7 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{60} + \left(10 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{61} + \left(5 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{62} + \left(4 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{63} + \left(2 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 13^{64} + \left(5 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{65} + \left(12 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 13^{66} + \left(5 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{67} + \left(3 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{68} + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{69} + \left(9 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{70} + \left(8 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a\right)\cdot 13^{71} + \left(12 a^{3} + 12 a + 3\right)\cdot 13^{72} + \left(4 a^{3} + a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{73} + \left(12 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{74} + \left(11 a^{3} + 10 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{75} + \left(9 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 13^{76} + \left(10 a^{3} + 5 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{77} + \left(12 a^{3} + 3 a + 11\right)\cdot 13^{78} + \left(8 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{79} + \left(4 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 13^{80} + \left(4 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 13^{81} + \left(a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{82} + \left(6 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 13^{83} + \left(12 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{84} + \left(11 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{85} + \left(7 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{86} + \left(2 a^{3} + 5 a + 4\right)\cdot 13^{87} + \left(10 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{88} + \left(6 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 13^{89} + \left(7 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{90} +O\left(13^{ 91 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 10 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 3 + \left(a^{3} + 5 a + 8\right)\cdot 13 + \left(5 a^{3} + a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 13^{2} + \left(5 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{3} + \left(3 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 13^{4} + \left(12 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{5} + \left(12 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 13^{6} + \left(6 a^{3} + a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{7} + \left(11 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{8} + \left(a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{9} + \left(8 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{10} + \left(2 a^{3} + a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 13^{11} + \left(2 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{12} + \left(3 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{13} + \left(3 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{14} + \left(11 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 13^{15} + \left(6 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{16} + \left(4 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{17} + \left(8 a^{3} + a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{18} + \left(12 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{19} + \left(10 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 13^{20} + \left(3 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{21} + \left(7 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{22} + \left(a^{3} + a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 13^{23} + \left(12 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{24} + \left(3 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13^{25} + \left(11 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{26} + \left(8 a^{3} + a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 13^{27} + \left(a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{28} + \left(5 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a\right)\cdot 13^{29} + \left(6 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a\right)\cdot 13^{30} + \left(7 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{31} + \left(10 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{32} + \left(6 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{33} + \left(10 a^{3} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{34} + \left(9 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{35} + \left(11 a^{3} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{36} + \left(5 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 13^{37} + \left(6 a^{3} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{38} + \left(10 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{39} + \left(9 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{40} + \left(9 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{41} + \left(3 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 13^{42} + \left(12 a^{3} + 5 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{43} + \left(a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{44} + \left(a^{3} + 11 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{45} + \left(7 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{46} + \left(9 a^{3} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{47} + \left(12 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{48} + \left(12 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{49} + \left(9 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{50} + \left(11 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 13^{51} + \left(8 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 13^{52} + \left(6 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 13^{53} + \left(4 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{54} + \left(8 a^{2} + a + 2\right)\cdot 13^{55} + \left(a^{3} + a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{56} + \left(6 a^{3} + 10 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{57} + \left(4 a^{3} + 6 a^{2} + a\right)\cdot 13^{58} + \left(8 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{59} + \left(a^{3} + a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{60} + \left(3 a^{3} + a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{61} + \left(9 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{62} + \left(a^{3} + 9 a^{2} + 2\right)\cdot 13^{63} + \left(2 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{64} + \left(11 a^{3} + 5 a + 4\right)\cdot 13^{65} + \left(5 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{66} + \left(4 a + 9\right)\cdot 13^{67} + \left(a^{3} + 5 a^{2} + a + 9\right)\cdot 13^{68} + \left(8 a^{3} + a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{69} + \left(5 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{70} + \left(3 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 13^{71} + \left(6 a^{3} + 11 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 13^{72} + \left(9 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 13^{73} + \left(12 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{74} + \left(a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{75} + \left(6 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 13^{76} + \left(4 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{77} + \left(5 a^{3} + a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 13^{78} + \left(9 a^{3} + 8 a^{2} + 4\right)\cdot 13^{79} + \left(3 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{80} + \left(11 a^{3} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{81} + \left(12 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{82} + \left(10 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{83} + \left(8 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{84} + \left(9 a^{2} + a + 9\right)\cdot 13^{85} + \left(8 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 13^{86} + \left(4 a^{3} + 3 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{87} + \left(a^{2} + 2 a\right)\cdot 13^{88} + \left(11 a + 12\right)\cdot 13^{89} + \left(8 a^{3} + 4 a + 7\right)\cdot 13^{90} +O\left(13^{ 91 }\right)$ |
| $r_{ 9 }$ |
$=$ |
$ 12 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 2 + \left(9 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13 + \left(9 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 13^{2} + \left(10 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{3} + \left(10 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{4} + \left(6 a^{3} + 12 a^{2} + 7\right)\cdot 13^{5} + \left(3 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{6} + \left(12 a^{3} + a^{2} + a + 10\right)\cdot 13^{7} + \left(2 a^{3} + a + 10\right)\cdot 13^{8} + \left(10 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{9} + \left(3 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{10} + \left(6 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13^{11} + \left(4 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 13^{12} + \left(6 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{13} + \left(7 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{14} + \left(a^{3} + a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{15} + \left(7 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{16} + \left(10 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{17} + \left(4 a^{3} + a^{2} + 12 a\right)\cdot 13^{18} + \left(8 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{19} + \left(5 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{20} + \left(a^{3} + a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{21} + \left(9 a^{3} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{22} + \left(11 a^{3} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{23} + \left(4 a^{3} + 5 a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{24} + \left(4 a^{3} + a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 13^{25} + \left(4 a^{3} + 5 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{26} + \left(5 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a\right)\cdot 13^{27} + \left(4 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{28} + \left(2 a^{3} + a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{29} + \left(2 a^{3} + 2 a^{2} + 11\right)\cdot 13^{30} + \left(8 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 13^{31} + \left(12 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{32} + \left(11 a^{3} + a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{33} + \left(6 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{34} + \left(7 a^{3} + a + 1\right)\cdot 13^{35} + \left(12 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{36} + \left(2 a^{3} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{37} + \left(12 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 13^{38} + \left(6 a^{3} + 12 a^{2} + 11\right)\cdot 13^{39} + \left(10 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{40} + \left(4 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{41} + \left(8 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{42} + \left(9 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{43} + \left(9 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{44} + \left(2 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{45} + \left(9 a^{3} + 2 a\right)\cdot 13^{46} + \left(12 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{47} + \left(4 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{48} + \left(5 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{49} + \left(7 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{50} + \left(8 a^{3} + 7 a + 11\right)\cdot 13^{51} + \left(11 a^{3} + 12 a\right)\cdot 13^{52} + \left(3 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{53} + \left(8 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{54} + \left(10 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a\right)\cdot 13^{55} + \left(8 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{56} + \left(a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{57} + \left(11 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{58} + \left(4 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 13^{59} + \left(10 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 13^{60} + \left(5 a^{3} + a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 13^{61} + \left(2 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{62} + \left(a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{63} + \left(6 a^{3} + 12 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{64} + \left(3 a^{3} + 11 a + 7\right)\cdot 13^{65} + \left(4 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{66} + \left(9 a^{3} + 11 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{67} + \left(a^{3} + 5 a^{2} + a + 10\right)\cdot 13^{68} + \left(10 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 13^{69} + \left(11 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 13^{70} + \left(9 a^{3} + a^{2} + 8 a\right)\cdot 13^{71} + \left(2 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{72} + \left(7 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{73} + \left(5 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{74} + \left(12 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{75} + \left(7 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a\right)\cdot 13^{76} + \left(10 a^{3} + 8 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{77} + \left(a^{3} + 3 a^{2} + 6 a\right)\cdot 13^{78} + \left(3 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a\right)\cdot 13^{79} + \left(11 a^{3} + a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{80} + \left(5 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{81} + \left(5 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{82} + \left(6 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{83} + \left(5 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 13^{84} + \left(a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{85} + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{86} + \left(6 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{87} + \left(4 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a\right)\cdot 13^{88} + \left(6 a^{3} + 6 a^{2} + 7\right)\cdot 13^{89} + \left(12 a^{3} + 7 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{90} +O\left(13^{ 91 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 9 }$
| Cycle notation |
| $(1,2)(3,8)(4,7)(5,9)$ |
| $(1,8,7)(2,3,4)$ |
| $(1,9,2,5)(3,4,8,7)$ |
| $(1,9,4)(2,7,5)(3,8,6)$ |
| $(1,2,6)(3,9,7)(4,5,8)$ |
| $(1,3,2,8)(4,9,7,5)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 9 }$
| Character values |
| | |
$c1$ |
$c2$ |
| $1$ |
$1$ |
$()$ |
$8$ |
$8$ |
| $9$ |
$2$ |
$(1,2)(3,8)(4,7)(5,9)$ |
$0$ |
$0$ |
| $8$ |
$3$ |
$(1,9,4)(2,7,5)(3,8,6)$ |
$-1$ |
$-1$ |
| $12$ |
$3$ |
$(2,7,5)(3,6,8)$ |
$-2 \zeta_{3} - 2$ |
$2 \zeta_{3}$ |
| $12$ |
$3$ |
$(2,5,7)(3,8,6)$ |
$2 \zeta_{3}$ |
$-2 \zeta_{3} - 2$ |
| $24$ |
$3$ |
$(1,9,7)(2,6,5)(3,8,4)$ |
$-\zeta_{3}$ |
$\zeta_{3} + 1$ |
| $24$ |
$3$ |
$(1,7,9)(2,5,6)(3,4,8)$ |
$\zeta_{3} + 1$ |
$-\zeta_{3}$ |
| $54$ |
$4$ |
$(1,9,2,5)(3,4,8,7)$ |
$0$ |
$0$ |
| $36$ |
$6$ |
$(1,4)(2,6,7,8,5,3)$ |
$0$ |
$0$ |
| $36$ |
$6$ |
$(1,4)(2,3,5,8,7,6)$ |
$0$ |
$0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
