Properties

Label 8.5e2_7e4_131e2.12t213.1
Dimension 8
Group $S_3\wr S_3$
Conductor $ 5^{2} \cdot 7^{4} \cdot 131^{2}$
Frobenius-Schur indicator 1

Related objects

Learn more about

Basic invariants

Dimension:$8$
Group:$S_3\wr S_3$
Conductor:$1030089025= 5^{2} \cdot 7^{4} \cdot 131^{2} $
Artin number field: Splitting field of $f= x^{9} - 4 x^{8} + 6 x^{7} - 2 x^{6} - 6 x^{5} + 8 x^{4} - 4 x^{2} + x - 1 $ over $\Q$
Size of Galois orbit: 1
Smallest containing permutation representation: 12T213
Parity: Even

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 67 }$ to precision 111.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 67 }$: $ x^{3} + 6 x + 65 $
Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ $ 58 a^{2} + 12 a + 59 + \left(42 a + 20\right)\cdot 67 + \left(19 a^{2} + 22 a + 46\right)\cdot 67^{2} + \left(34 a^{2} + 25 a + 63\right)\cdot 67^{3} + \left(20 a^{2} + 23 a + 10\right)\cdot 67^{4} + \left(15 a^{2} + 64 a + 32\right)\cdot 67^{5} + \left(45 a^{2} + 62 a + 39\right)\cdot 67^{6} + \left(58 a^{2} + 20 a + 14\right)\cdot 67^{7} + \left(59 a^{2} + 28 a + 3\right)\cdot 67^{8} + \left(37 a^{2} + 44 a + 9\right)\cdot 67^{9} + \left(12 a^{2} + 57 a + 29\right)\cdot 67^{10} + \left(39 a^{2} + 27 a + 26\right)\cdot 67^{11} + \left(66 a^{2} + 28 a + 6\right)\cdot 67^{12} + \left(13 a^{2} + 59 a + 66\right)\cdot 67^{13} + \left(40 a^{2} + 25 a + 20\right)\cdot 67^{14} + \left(37 a^{2} + 37 a + 63\right)\cdot 67^{15} + \left(50 a^{2} + 59 a + 49\right)\cdot 67^{16} + \left(15 a^{2} + 34 a + 60\right)\cdot 67^{17} + \left(35 a^{2} + 58 a + 53\right)\cdot 67^{18} + \left(18 a^{2} + 59 a + 39\right)\cdot 67^{19} + \left(24 a^{2} + 9 a + 64\right)\cdot 67^{20} + \left(10 a^{2} + 38 a + 51\right)\cdot 67^{21} + \left(18 a^{2} + 32 a + 15\right)\cdot 67^{22} + \left(22 a^{2} + 8 a + 34\right)\cdot 67^{23} + \left(66 a^{2} + 46 a + 14\right)\cdot 67^{24} + \left(3 a^{2} + 6 a + 26\right)\cdot 67^{25} + \left(55 a^{2} + 37 a + 27\right)\cdot 67^{26} + \left(9 a^{2} + 63 a + 11\right)\cdot 67^{27} + \left(15 a^{2} + 49 a + 32\right)\cdot 67^{28} + \left(a^{2} + 9 a + 40\right)\cdot 67^{29} + \left(10 a^{2} + 22 a + 57\right)\cdot 67^{30} + \left(6 a^{2} + 51 a + 48\right)\cdot 67^{31} + \left(22 a^{2} + 5 a + 49\right)\cdot 67^{32} + \left(36 a^{2} + 33 a + 53\right)\cdot 67^{33} + \left(27 a^{2} + 28 a + 36\right)\cdot 67^{34} + \left(65 a^{2} + 47 a + 38\right)\cdot 67^{35} + \left(60 a^{2} + a + 36\right)\cdot 67^{36} + \left(65 a^{2} + 26 a + 18\right)\cdot 67^{37} + \left(8 a^{2} + 54 a + 63\right)\cdot 67^{38} + \left(53 a^{2} + 3 a + 25\right)\cdot 67^{39} + \left(45 a + 8\right)\cdot 67^{40} + \left(11 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 67^{41} + \left(50 a^{2} + 4 a + 33\right)\cdot 67^{42} + \left(17 a^{2} + 4 a + 29\right)\cdot 67^{43} + \left(62 a^{2} + 66 a + 1\right)\cdot 67^{44} + \left(12 a^{2} + 32 a + 52\right)\cdot 67^{45} + \left(33 a^{2} + 38 a + 25\right)\cdot 67^{46} + \left(20 a^{2} + 64 a + 59\right)\cdot 67^{47} + \left(30 a^{2} + 2 a + 47\right)\cdot 67^{48} + \left(12 a^{2} + 14 a + 57\right)\cdot 67^{49} + \left(37 a^{2} + 22 a + 62\right)\cdot 67^{50} + \left(42 a^{2} + 24 a + 41\right)\cdot 67^{51} + \left(30 a^{2} + 46 a + 44\right)\cdot 67^{52} + \left(26 a^{2} + 31 a + 55\right)\cdot 67^{53} + \left(36 a^{2} + 6 a + 55\right)\cdot 67^{54} + \left(11 a^{2} + 55 a + 33\right)\cdot 67^{55} + \left(5 a^{2} + 35 a + 64\right)\cdot 67^{56} + \left(40 a^{2} + 55 a + 29\right)\cdot 67^{57} + \left(58 a^{2} + 64 a + 34\right)\cdot 67^{58} + \left(56 a^{2} + 29 a + 2\right)\cdot 67^{59} + \left(5 a^{2} + 54 a + 55\right)\cdot 67^{60} + \left(51 a^{2} + 2 a + 56\right)\cdot 67^{61} + \left(4 a^{2} + 27 a + 28\right)\cdot 67^{62} + \left(7 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 67^{63} + \left(42 a^{2} + 12 a + 28\right)\cdot 67^{64} + \left(63 a^{2} + 11 a + 30\right)\cdot 67^{65} + \left(21 a^{2} + 43 a + 44\right)\cdot 67^{66} + \left(44 a + 62\right)\cdot 67^{67} + \left(60 a^{2} + 24 a + 46\right)\cdot 67^{68} + \left(11 a^{2} + 30 a + 3\right)\cdot 67^{69} + \left(62 a^{2} + 57 a + 60\right)\cdot 67^{70} + \left(11 a^{2} + 56 a + 17\right)\cdot 67^{71} + \left(26 a^{2} + 47 a + 16\right)\cdot 67^{72} + \left(34 a^{2} + a + 7\right)\cdot 67^{73} + \left(33 a^{2} + 19 a + 38\right)\cdot 67^{74} + \left(6 a^{2} + 17 a + 7\right)\cdot 67^{75} + \left(27 a^{2} + 52 a + 66\right)\cdot 67^{76} + \left(27 a^{2} + 50 a + 44\right)\cdot 67^{77} + \left(35 a^{2} + 33 a + 3\right)\cdot 67^{78} + \left(23 a^{2} + 29 a + 4\right)\cdot 67^{79} + \left(55 a^{2} + 32 a + 64\right)\cdot 67^{80} + \left(50 a^{2} + 49 a + 62\right)\cdot 67^{81} + \left(17 a^{2} + 33 a + 52\right)\cdot 67^{82} + \left(19 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 67^{83} + \left(59 a^{2} + 18 a + 21\right)\cdot 67^{84} + \left(19 a^{2} + 34 a\right)\cdot 67^{85} + \left(40 a^{2} + 66 a + 54\right)\cdot 67^{86} + \left(43 a^{2} + 54 a + 42\right)\cdot 67^{87} + \left(36 a^{2} + a + 61\right)\cdot 67^{88} + \left(34 a^{2} + 15 a + 66\right)\cdot 67^{89} + \left(26 a^{2} + 63 a + 57\right)\cdot 67^{90} + \left(58 a^{2} + 41 a + 16\right)\cdot 67^{91} + \left(52 a^{2} + 4 a + 30\right)\cdot 67^{92} + \left(22 a^{2} + 10 a + 41\right)\cdot 67^{93} + \left(43 a^{2} + 3 a + 28\right)\cdot 67^{94} + \left(3 a^{2} + 25 a + 10\right)\cdot 67^{95} + \left(37 a^{2} + 55 a + 63\right)\cdot 67^{96} + \left(44 a^{2} + 30 a + 27\right)\cdot 67^{97} + \left(47 a^{2} + 60 a + 4\right)\cdot 67^{98} + \left(9 a^{2} + 51 a + 41\right)\cdot 67^{99} + \left(16 a^{2} + 19 a + 1\right)\cdot 67^{100} + \left(56 a^{2} + 32 a + 52\right)\cdot 67^{101} + \left(a^{2} + 53 a + 40\right)\cdot 67^{102} + \left(48 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 67^{103} + \left(17 a^{2} + 31 a + 64\right)\cdot 67^{104} + \left(55 a^{2} + 40 a\right)\cdot 67^{105} + \left(65 a^{2} + 32 a + 60\right)\cdot 67^{106} + \left(9 a^{2} + 45 a + 7\right)\cdot 67^{107} + \left(34 a^{2} + 11 a + 46\right)\cdot 67^{108} + \left(41 a^{2} + 12 a + 55\right)\cdot 67^{109} + \left(50 a^{2} + 22 a + 38\right)\cdot 67^{110} +O\left(67^{ 111 }\right)$
$r_{ 2 }$ $=$ $ 24 a^{2} + a + 38 + \left(18 a^{2} + 21 a + 54\right)\cdot 67 + \left(59 a^{2} + 12 a + 19\right)\cdot 67^{2} + \left(56 a^{2} + 28 a + 34\right)\cdot 67^{3} + \left(47 a^{2} + 36 a + 2\right)\cdot 67^{4} + \left(55 a^{2} + 66 a + 40\right)\cdot 67^{5} + \left(9 a^{2} + 55 a + 22\right)\cdot 67^{6} + \left(24 a^{2} + 10 a + 62\right)\cdot 67^{7} + \left(5 a^{2} + 41 a + 22\right)\cdot 67^{8} + \left(47 a^{2} + 43 a + 47\right)\cdot 67^{9} + \left(61 a^{2} + 20 a + 34\right)\cdot 67^{10} + \left(30 a^{2} + 37 a + 9\right)\cdot 67^{11} + \left(11 a^{2} + 48 a + 7\right)\cdot 67^{12} + \left(57 a^{2} + 60 a + 34\right)\cdot 67^{13} + \left(7 a^{2} + 62 a + 17\right)\cdot 67^{14} + \left(66 a^{2} + 10 a + 24\right)\cdot 67^{15} + \left(5 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 67^{16} + \left(45 a^{2} + 31 a + 46\right)\cdot 67^{17} + \left(31 a^{2} + 62 a + 17\right)\cdot 67^{18} + \left(45 a^{2} + 23 a + 45\right)\cdot 67^{19} + \left(2 a^{2} + 63 a + 54\right)\cdot 67^{20} + \left(54 a^{2} + 44 a + 20\right)\cdot 67^{21} + \left(28 a^{2} + 59 a + 60\right)\cdot 67^{22} + \left(11 a^{2} + 58 a + 59\right)\cdot 67^{23} + \left(31 a^{2} + 6 a + 40\right)\cdot 67^{24} + \left(66 a^{2} + 6 a + 44\right)\cdot 67^{25} + \left(2 a^{2} + 9 a + 40\right)\cdot 67^{26} + \left(38 a^{2} + 2 a + 47\right)\cdot 67^{27} + \left(4 a^{2} + 18 a + 3\right)\cdot 67^{28} + \left(32 a^{2} + 26 a + 29\right)\cdot 67^{29} + \left(15 a^{2} + 34 a + 46\right)\cdot 67^{30} + \left(64 a^{2} + 26 a + 13\right)\cdot 67^{31} + \left(30 a^{2} + 28 a + 31\right)\cdot 67^{32} + \left(46 a^{2} + 17 a + 37\right)\cdot 67^{33} + \left(26 a^{2} + 22 a + 12\right)\cdot 67^{34} + \left(10 a^{2} + 47 a + 47\right)\cdot 67^{35} + \left(37 a^{2} + 7 a + 47\right)\cdot 67^{36} + \left(50 a^{2} + 35 a + 24\right)\cdot 67^{37} + \left(63 a + 47\right)\cdot 67^{38} + \left(56 a + 3\right)\cdot 67^{39} + \left(60 a^{2} + 16 a + 33\right)\cdot 67^{40} + \left(22 a^{2} + 19 a + 38\right)\cdot 67^{41} + \left(11 a^{2} + 13 a + 24\right)\cdot 67^{42} + \left(3 a^{2} + 16 a + 38\right)\cdot 67^{43} + \left(59 a^{2} + 37 a + 28\right)\cdot 67^{44} + \left(31 a^{2} + 60 a + 54\right)\cdot 67^{45} + \left(22 a^{2} + 60 a + 7\right)\cdot 67^{46} + \left(38 a^{2} + 35 a + 48\right)\cdot 67^{47} + \left(63 a^{2} + 34 a + 45\right)\cdot 67^{48} + \left(48 a^{2} + 61 a + 57\right)\cdot 67^{49} + \left(15 a^{2} + 57 a + 31\right)\cdot 67^{50} + \left(34 a^{2} + 16 a + 59\right)\cdot 67^{51} + \left(58 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 67^{52} + \left(41 a^{2} + 44 a + 32\right)\cdot 67^{53} + \left(23 a^{2} + 58 a + 64\right)\cdot 67^{54} + \left(21 a^{2} + 40 a + 27\right)\cdot 67^{55} + \left(13 a^{2} + 55 a + 21\right)\cdot 67^{56} + \left(34 a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 67^{57} + \left(10 a^{2} + 58 a + 3\right)\cdot 67^{58} + \left(45 a^{2} + 12 a + 64\right)\cdot 67^{59} + \left(30 a^{2} + 20 a + 7\right)\cdot 67^{60} + \left(22 a^{2} + 43 a + 25\right)\cdot 67^{61} + \left(37 a + 27\right)\cdot 67^{62} + \left(20 a^{2} + 31 a + 9\right)\cdot 67^{63} + \left(57 a^{2} + 40 a + 5\right)\cdot 67^{64} + \left(26 a^{2} + 57 a\right)\cdot 67^{65} + \left(40 a^{2} + 46 a + 57\right)\cdot 67^{66} + \left(7 a^{2} + 30 a + 6\right)\cdot 67^{67} + \left(11 a^{2} + 28 a + 19\right)\cdot 67^{68} + \left(56 a^{2} + 63 a + 8\right)\cdot 67^{69} + \left(30 a^{2} + 20 a + 11\right)\cdot 67^{70} + \left(46 a^{2} + 53 a + 42\right)\cdot 67^{71} + \left(23 a^{2} + 22 a + 3\right)\cdot 67^{72} + \left(49 a^{2} + 52 a + 46\right)\cdot 67^{73} + \left(43 a^{2} + 12 a + 47\right)\cdot 67^{74} + \left(3 a^{2} + 8 a + 26\right)\cdot 67^{75} + \left(44 a^{2} + 64 a + 45\right)\cdot 67^{76} + \left(11 a^{2} + a + 8\right)\cdot 67^{77} + \left(7 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 67^{78} + \left(21 a^{2} + 66 a + 31\right)\cdot 67^{79} + \left(19 a^{2} + 66 a + 41\right)\cdot 67^{80} + \left(20 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 67^{81} + \left(32 a^{2} + 66 a\right)\cdot 67^{82} + \left(7 a^{2} + 10 a + 32\right)\cdot 67^{83} + \left(11 a^{2} + 37 a + 42\right)\cdot 67^{84} + \left(47 a^{2} + 19 a + 45\right)\cdot 67^{85} + \left(52 a^{2} + 49 a + 42\right)\cdot 67^{86} + \left(54 a^{2} + 5 a + 61\right)\cdot 67^{87} + \left(47 a + 51\right)\cdot 67^{88} + \left(10 a^{2} + 40 a + 41\right)\cdot 67^{89} + \left(52 a^{2} + 29 a + 19\right)\cdot 67^{90} + \left(51 a^{2} + 48 a + 48\right)\cdot 67^{91} + \left(58 a^{2} + 37 a + 37\right)\cdot 67^{92} + \left(57 a^{2} + 21 a + 40\right)\cdot 67^{93} + \left(44 a^{2} + 59 a + 59\right)\cdot 67^{94} + \left(42 a^{2} + 52 a + 47\right)\cdot 67^{95} + \left(41 a^{2} + 9 a + 59\right)\cdot 67^{96} + \left(51 a^{2} + 2 a + 56\right)\cdot 67^{97} + \left(45 a^{2} + 24 a + 25\right)\cdot 67^{98} + \left(46 a^{2} + 42 a + 9\right)\cdot 67^{99} + \left(59 a^{2} + 46 a + 6\right)\cdot 67^{100} + \left(4 a^{2} + 24 a + 39\right)\cdot 67^{101} + \left(22 a^{2} + 44 a + 14\right)\cdot 67^{102} + \left(20 a^{2} + 24 a + 16\right)\cdot 67^{103} + \left(66 a^{2} + 23 a + 26\right)\cdot 67^{104} + \left(36 a^{2} + 55 a + 36\right)\cdot 67^{105} + \left(48 a^{2} + 13 a + 54\right)\cdot 67^{106} + \left(63 a^{2} + 27 a + 41\right)\cdot 67^{107} + \left(28 a^{2} + 5 a + 38\right)\cdot 67^{108} + \left(63 a^{2} + 3 a + 39\right)\cdot 67^{109} + \left(15 a^{2} + 46 a + 5\right)\cdot 67^{110} +O\left(67^{ 111 }\right)$
$r_{ 3 }$ $=$ $ 61 a^{2} + 26 a + 4 + \left(25 a^{2} + 37 a + 54\right)\cdot 67 + \left(36 a^{2} + 43 a + 48\right)\cdot 67^{2} + \left(39 a^{2} + 57 a + 17\right)\cdot 67^{3} + \left(39 a^{2} + 30 a + 20\right)\cdot 67^{4} + \left(29 a^{2} + 12 a + 22\right)\cdot 67^{5} + \left(14 a^{2} + 36 a + 50\right)\cdot 67^{6} + \left(42 a^{2} + 60 a + 15\right)\cdot 67^{7} + \left(16 a^{2} + 31\right)\cdot 67^{8} + \left(4 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 67^{9} + \left(19 a^{2} + 14 a + 55\right)\cdot 67^{10} + \left(60 a^{2} + 58 a + 43\right)\cdot 67^{11} + \left(60 a^{2} + 17 a + 50\right)\cdot 67^{12} + \left(27 a^{2} + 50 a + 54\right)\cdot 67^{13} + \left(44 a^{2} + 22 a + 37\right)\cdot 67^{14} + \left(33 a^{2} + 53 a + 47\right)\cdot 67^{15} + \left(56 a^{2} + 63 a + 6\right)\cdot 67^{16} + \left(4 a^{2} + 22 a + 17\right)\cdot 67^{17} + \left(34 a^{2} + 33 a + 49\right)\cdot 67^{18} + \left(59 a^{2} + 49 a + 2\right)\cdot 67^{19} + \left(a^{2} + 36 a + 42\right)\cdot 67^{20} + \left(39 a^{2} + 26 a + 32\right)\cdot 67^{21} + \left(32 a^{2} + 35 a + 6\right)\cdot 67^{22} + \left(14 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 67^{23} + \left(4 a^{2} + 7 a + 34\right)\cdot 67^{24} + \left(9 a^{2} + 64 a + 46\right)\cdot 67^{25} + \left(44 a^{2} + 14 a + 50\right)\cdot 67^{26} + \left(20 a^{2} + 19 a + 54\right)\cdot 67^{27} + \left(58 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 67^{28} + \left(30 a^{2} + 41 a + 25\right)\cdot 67^{29} + \left(23 a^{2} + 5 a + 44\right)\cdot 67^{30} + \left(23 a^{2} + 18 a + 50\right)\cdot 67^{31} + \left(5 a^{2} + 28 a + 49\right)\cdot 67^{32} + \left(49 a^{2} + 26 a + 37\right)\cdot 67^{33} + \left(56 a^{2} + 31 a + 19\right)\cdot 67^{34} + \left(57 a^{2} + 42 a + 8\right)\cdot 67^{35} + \left(7 a^{2} + 15 a + 25\right)\cdot 67^{36} + \left(26 a + 23\right)\cdot 67^{37} + \left(40 a^{2} + 38 a + 53\right)\cdot 67^{38} + \left(40 a^{2} + 29 a + 42\right)\cdot 67^{39} + \left(48 a^{2} + 65\right)\cdot 67^{40} + \left(54 a^{2} + 18 a + 43\right)\cdot 67^{41} + \left(21 a^{2} + 8 a + 53\right)\cdot 67^{42} + \left(50 a^{2} + 25 a + 25\right)\cdot 67^{43} + \left(2 a^{2} + a + 31\right)\cdot 67^{44} + \left(18 a^{2} + 22 a + 5\right)\cdot 67^{45} + \left(35 a^{2} + 62 a + 34\right)\cdot 67^{46} + \left(43 a^{2} + 64 a + 17\right)\cdot 67^{47} + \left(46 a^{2} + 33 a + 46\right)\cdot 67^{48} + \left(16 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 67^{49} + \left(6 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 67^{50} + \left(11 a^{2} + 56 a + 50\right)\cdot 67^{51} + \left(6 a^{2} + 59 a + 13\right)\cdot 67^{52} + \left(30 a^{2} + 58 a + 3\right)\cdot 67^{53} + \left(56 a + 46\right)\cdot 67^{54} + \left(62 a^{2} + 19 a + 34\right)\cdot 67^{55} + \left(5 a^{2} + 15 a\right)\cdot 67^{56} + \left(61 a^{2} + 5 a + 47\right)\cdot 67^{57} + \left(31 a^{2} + 22 a + 61\right)\cdot 67^{58} + \left(24 a^{2} + 51 a + 6\right)\cdot 67^{59} + \left(65 a^{2} + 25\right)\cdot 67^{60} + \left(62 a^{2} + 4 a + 37\right)\cdot 67^{61} + \left(26 a^{2} + 57 a + 50\right)\cdot 67^{62} + \left(29 a^{2} + 31 a + 28\right)\cdot 67^{63} + \left(56 a^{2} + 58 a + 18\right)\cdot 67^{64} + \left(60 a^{2} + 19\right)\cdot 67^{65} + \left(40 a^{2} + 45 a + 53\right)\cdot 67^{66} + \left(66 a^{2} + 44 a + 59\right)\cdot 67^{67} + \left(23 a^{2} + 17 a + 36\right)\cdot 67^{68} + \left(54 a^{2} + 34 a + 39\right)\cdot 67^{69} + \left(45 a^{2} + 43 a + 61\right)\cdot 67^{70} + \left(14 a^{2} + 58 a + 28\right)\cdot 67^{71} + \left(61 a^{2} + 4 a + 22\right)\cdot 67^{72} + \left(41 a^{2} + 32 a + 37\right)\cdot 67^{73} + \left(11 a^{2} + 32 a + 17\right)\cdot 67^{74} + \left(23 a^{2} + 55 a + 7\right)\cdot 67^{75} + \left(16 a^{2} + 59 a + 23\right)\cdot 67^{76} + \left(46 a^{2} + 14 a + 53\right)\cdot 67^{77} + \left(39 a^{2} + 43 a + 20\right)\cdot 67^{78} + \left(23 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 67^{79} + \left(53 a^{2} + 64 a + 56\right)\cdot 67^{80} + \left(13 a^{2} + 51 a + 48\right)\cdot 67^{81} + \left(2 a^{2} + 27 a + 57\right)\cdot 67^{82} + \left(27 a^{2} + 13 a + 32\right)\cdot 67^{83} + \left(60 a^{2} + 4 a + 25\right)\cdot 67^{84} + \left(13 a^{2} + 58 a + 43\right)\cdot 67^{85} + \left(61 a^{2} + 63 a + 3\right)\cdot 67^{86} + \left(66 a^{2} + 40 a + 2\right)\cdot 67^{87} + \left(63 a^{2} + 10 a + 37\right)\cdot 67^{88} + \left(51 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 67^{89} + \left(51 a^{2} + 12 a + 25\right)\cdot 67^{90} + \left(30 a^{2} + 2 a + 40\right)\cdot 67^{91} + \left(13 a^{2} + 47 a + 6\right)\cdot 67^{92} + \left(60 a^{2} + 51 a + 57\right)\cdot 67^{93} + \left(a^{2} + 58 a + 63\right)\cdot 67^{94} + \left(27 a^{2} + 46 a + 36\right)\cdot 67^{95} + \left(2 a^{2} + 62 a + 58\right)\cdot 67^{96} + \left(59 a^{2} + 44 a + 18\right)\cdot 67^{97} + \left(4 a^{2} + 24 a + 34\right)\cdot 67^{98} + \left(10 a^{2} + 28 a + 42\right)\cdot 67^{99} + \left(42 a^{2} + 26 a + 38\right)\cdot 67^{100} + \left(30 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 67^{101} + \left(59 a^{2} + 21 a + 3\right)\cdot 67^{102} + \left(43 a^{2} + 48 a + 56\right)\cdot 67^{103} + \left(52 a^{2} + 66 a + 2\right)\cdot 67^{104} + \left(56 a^{2} + 58 a + 7\right)\cdot 67^{105} + \left(54 a^{2} + 57 a + 16\right)\cdot 67^{106} + \left(24 a^{2} + 13 a\right)\cdot 67^{107} + \left(5 a^{2} + 60 a + 65\right)\cdot 67^{108} + \left(14 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 67^{109} + \left(55 a^{2} + 26 a + 57\right)\cdot 67^{110} +O\left(67^{ 111 }\right)$
$r_{ 4 }$ $=$ $ 15 a^{2} + 29 a + 21 + \left(40 a^{2} + 54 a + 44\right)\cdot 67 + \left(11 a^{2} + 16\right)\cdot 67^{2} + \left(60 a^{2} + 51 a + 33\right)\cdot 67^{3} + \left(6 a^{2} + 12 a + 23\right)\cdot 67^{4} + \left(22 a^{2} + 57 a + 59\right)\cdot 67^{5} + \left(7 a^{2} + 34 a + 21\right)\cdot 67^{6} + \left(33 a^{2} + 52 a + 46\right)\cdot 67^{7} + \left(57 a^{2} + 37 a + 60\right)\cdot 67^{8} + \left(24 a^{2} + 18 a + 23\right)\cdot 67^{9} + \left(35 a^{2} + 62 a + 53\right)\cdot 67^{10} + \left(34 a^{2} + 47 a + 7\right)\cdot 67^{11} + \left(6 a^{2} + 20 a + 34\right)\cdot 67^{12} + \left(25 a^{2} + 24 a + 43\right)\cdot 67^{13} + \left(49 a^{2} + 18 a + 57\right)\cdot 67^{14} + \left(62 a^{2} + 43 a + 29\right)\cdot 67^{15} + \left(26 a^{2} + 10 a + 22\right)\cdot 67^{16} + \left(46 a^{2} + 9 a + 49\right)\cdot 67^{17} + \left(64 a^{2} + 42 a + 37\right)\cdot 67^{18} + \left(55 a^{2} + 24 a + 55\right)\cdot 67^{19} + \left(40 a^{2} + 20 a + 63\right)\cdot 67^{20} + \left(17 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 67^{21} + \left(16 a^{2} + 66 a + 8\right)\cdot 67^{22} + \left(30 a^{2} + 55 a + 66\right)\cdot 67^{23} + \left(63 a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 67^{24} + \left(53 a^{2} + 63 a + 25\right)\cdot 67^{25} + \left(34 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 67^{26} + \left(36 a^{2} + 51 a + 51\right)\cdot 67^{27} + \left(60 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 67^{28} + \left(34 a^{2} + 16 a + 41\right)\cdot 67^{29} + \left(33 a^{2} + 39 a + 17\right)\cdot 67^{30} + \left(37 a^{2} + 64 a + 40\right)\cdot 67^{31} + \left(39 a^{2} + 32 a + 52\right)\cdot 67^{32} + \left(48 a^{2} + 7 a + 35\right)\cdot 67^{33} + \left(49 a^{2} + 7 a + 58\right)\cdot 67^{34} + \left(10 a^{2} + 44 a + 20\right)\cdot 67^{35} + \left(65 a^{2} + 49 a + 53\right)\cdot 67^{36} + \left(14 a + 26\right)\cdot 67^{37} + \left(18 a^{2} + 41 a + 32\right)\cdot 67^{38} + \left(40 a^{2} + 33 a + 41\right)\cdot 67^{39} + \left(17 a^{2} + 21 a + 8\right)\cdot 67^{40} + \left(a^{2} + 40 a + 31\right)\cdot 67^{41} + \left(62 a^{2} + 54 a + 13\right)\cdot 67^{42} + \left(65 a^{2} + 37 a + 21\right)\cdot 67^{43} + \left(a^{2} + 66 a + 28\right)\cdot 67^{44} + \left(36 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 67^{45} + \left(65 a^{2} + 33 a + 21\right)\cdot 67^{46} + \left(2 a^{2} + 4 a + 56\right)\cdot 67^{47} + \left(57 a^{2} + 30 a + 20\right)\cdot 67^{48} + \left(37 a^{2} + 50 a + 25\right)\cdot 67^{49} + \left(23 a^{2} + 41 a + 8\right)\cdot 67^{50} + \left(13 a^{2} + 53 a + 59\right)\cdot 67^{51} + \left(30 a^{2} + 27 a + 42\right)\cdot 67^{52} + \left(10 a^{2} + 43 a + 58\right)\cdot 67^{53} + \left(30 a^{2} + 3 a + 30\right)\cdot 67^{54} + \left(60 a^{2} + 59 a + 28\right)\cdot 67^{55} + \left(55 a^{2} + 15 a + 66\right)\cdot 67^{56} + \left(32 a^{2} + 6 a\right)\cdot 67^{57} + \left(43 a^{2} + 47 a + 41\right)\cdot 67^{58} + \left(52 a^{2} + 52 a + 52\right)\cdot 67^{59} + \left(62 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 67^{60} + \left(19 a^{2} + 60 a + 66\right)\cdot 67^{61} + \left(35 a^{2} + 49 a + 16\right)\cdot 67^{62} + \left(30 a^{2} + 28 a + 33\right)\cdot 67^{63} + \left(35 a^{2} + 63 a + 1\right)\cdot 67^{64} + \left(9 a^{2} + 54 a + 15\right)\cdot 67^{65} + \left(4 a^{2} + 45 a + 40\right)\cdot 67^{66} + \left(44 a + 61\right)\cdot 67^{67} + \left(50 a^{2} + 24 a + 6\right)\cdot 67^{68} + \left(2 a + 26\right)\cdot 67^{69} + \left(26 a^{2} + 33 a + 49\right)\cdot 67^{70} + \left(40 a^{2} + 18 a + 64\right)\cdot 67^{71} + \left(46 a^{2} + 14 a + 30\right)\cdot 67^{72} + \left(57 a^{2} + 33 a + 33\right)\cdot 67^{73} + \left(21 a^{2} + 15 a + 58\right)\cdot 67^{74} + \left(37 a^{2} + 61 a + 63\right)\cdot 67^{75} + \left(23 a^{2} + 21 a + 51\right)\cdot 67^{76} + \left(60 a^{2} + a + 42\right)\cdot 67^{77} + \left(58 a^{2} + 57 a + 30\right)\cdot 67^{78} + \left(19 a^{2} + 32 a + 56\right)\cdot 67^{79} + \left(25 a^{2} + 37 a + 10\right)\cdot 67^{80} + \left(2 a^{2} + 32 a + 3\right)\cdot 67^{81} + \left(47 a^{2} + 5 a + 36\right)\cdot 67^{82} + \left(20 a^{2} + 49 a + 7\right)\cdot 67^{83} + \left(14 a^{2} + 44 a + 42\right)\cdot 67^{84} + \left(33 a^{2} + 41 a + 53\right)\cdot 67^{85} + \left(32 a^{2} + 3 a + 22\right)\cdot 67^{86} + \left(23 a^{2} + 38 a + 29\right)\cdot 67^{87} + \left(33 a^{2} + 54 a + 48\right)\cdot 67^{88} + \left(47 a^{2} + 42 a + 51\right)\cdot 67^{89} + \left(55 a^{2} + 58 a + 40\right)\cdot 67^{90} + \left(44 a^{2} + 22 a + 29\right)\cdot 67^{91} + \left(15 a + 22\right)\cdot 67^{92} + \left(51 a^{2} + 5 a + 20\right)\cdot 67^{93} + \left(21 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 67^{94} + \left(36 a^{2} + 62 a + 7\right)\cdot 67^{95} + \left(27 a^{2} + 15 a + 25\right)\cdot 67^{96} + \left(30 a^{2} + 58 a + 38\right)\cdot 67^{97} + \left(14 a^{2} + 48 a + 5\right)\cdot 67^{98} + \left(47 a^{2} + 53 a + 57\right)\cdot 67^{99} + \left(8 a^{2} + 20 a + 38\right)\cdot 67^{100} + \left(47 a^{2} + 27 a + 15\right)\cdot 67^{101} + \left(5 a^{2} + 59 a + 56\right)\cdot 67^{102} + \left(42 a^{2} + 12 a + 48\right)\cdot 67^{103} + \left(63 a^{2} + 36 a + 46\right)\cdot 67^{104} + \left(21 a^{2} + 34 a + 1\right)\cdot 67^{105} + \left(13 a^{2} + 43 a + 51\right)\cdot 67^{106} + \left(32 a^{2} + 7 a + 29\right)\cdot 67^{107} + \left(27 a^{2} + 62 a + 19\right)\cdot 67^{108} + \left(11 a^{2} + 49 a + 2\right)\cdot 67^{109} + \left(28 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 67^{110} +O\left(67^{ 111 }\right)$
$r_{ 5 }$ $=$ $ 4 a^{2} + 43 a + 25 + \left(20 a^{2} + 29 a + 59\right)\cdot 67 + \left(55 a^{2} + 52 a + 43\right)\cdot 67^{2} + \left(14 a^{2} + 9 a + 35\right)\cdot 67^{3} + \left(52 a^{2} + 5 a + 44\right)\cdot 67^{4} + \left(61 a^{2} + 38 a + 34\right)\cdot 67^{5} + \left(46 a^{2} + 59 a + 55\right)\cdot 67^{6} + \left(22 a^{2} + 26 a + 54\right)\cdot 67^{7} + \left(48 a^{2} + 33 a + 3\right)\cdot 67^{8} + \left(44 a^{2} + 38\right)\cdot 67^{9} + \left(21 a^{2} + 51 a + 29\right)\cdot 67^{10} + \left(14 a^{2} + 37 a + 11\right)\cdot 67^{11} + \left(56 a^{2} + 51 a + 32\right)\cdot 67^{12} + \left(45 a^{2} + 43 a + 10\right)\cdot 67^{13} + \left(10 a^{2} + 64 a + 40\right)\cdot 67^{14} + \left(43 a^{2} + 44 a + 8\right)\cdot 67^{15} + \left(28 a^{2} + 19 a + 59\right)\cdot 67^{16} + \left(44 a^{2} + 43 a + 23\right)\cdot 67^{17} + \left(19 a^{2} + 7 a + 51\right)\cdot 67^{18} + \left(65 a^{2} + 36 a + 7\right)\cdot 67^{19} + \left(7 a^{2} + 63 a + 65\right)\cdot 67^{20} + \left(17 a^{2} + 65 a + 29\right)\cdot 67^{21} + \left(38 a^{2} + 59 a + 41\right)\cdot 67^{22} + \left(25 a^{2} + 2 a + 53\right)\cdot 67^{23} + \left(30 a^{2} + 16 a + 31\right)\cdot 67^{24} + \left(31 a^{2} + 2 a + 46\right)\cdot 67^{25} + \left(22 a^{2} + 43 a + 30\right)\cdot 67^{26} + \left(56 a^{2} + 54 a\right)\cdot 67^{27} + \left(66 a^{2} + 17 a + 20\right)\cdot 67^{28} + \left(7 a^{2} + 32 a + 6\right)\cdot 67^{29} + \left(32 a^{2} + 20 a + 37\right)\cdot 67^{30} + \left(27 a^{2} + 29 a + 38\right)\cdot 67^{31} + \left(11 a^{2} + 49 a + 20\right)\cdot 67^{32} + \left(8 a^{2} + 33 a + 49\right)\cdot 67^{33} + \left(53 a^{2} + 49 a + 22\right)\cdot 67^{34} + \left(23 a^{2} + 6 a + 22\right)\cdot 67^{35} + \left(45 a^{2} + 16 a + 65\right)\cdot 67^{36} + \left(33 a^{2} + 50 a + 65\right)\cdot 67^{37} + \left(50 a^{2} + 22 a + 40\right)\cdot 67^{38} + \left(32 a^{2} + 62 a + 23\right)\cdot 67^{39} + \left(16 a^{2} + 44\right)\cdot 67^{40} + \left(54 a^{2} + 61 a + 20\right)\cdot 67^{41} + \left(21 a^{2} + 3 a + 52\right)\cdot 67^{42} + \left(10 a^{2} + 20 a + 34\right)\cdot 67^{43} + \left(55 a^{2} + 51 a + 50\right)\cdot 67^{44} + \left(50 a^{2} + 14 a + 52\right)\cdot 67^{45} + \left(2 a^{2} + 5 a + 43\right)\cdot 67^{46} + \left(24 a^{2} + 51 a\right)\cdot 67^{47} + \left(53 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 67^{48} + \left(19 a^{2} + 49 a + 53\right)\cdot 67^{49} + \left(64 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 67^{50} + \left(47 a^{2} + 61 a + 40\right)\cdot 67^{51} + \left(34 a^{2} + 43 a + 21\right)\cdot 67^{52} + \left(47 a^{2} + 33 a + 18\right)\cdot 67^{53} + \left(12 a^{2} + 20 a + 14\right)\cdot 67^{54} + \left(51 a^{2} + 9 a + 51\right)\cdot 67^{55} + \left(33 a^{2} + 33 a + 33\right)\cdot 67^{56} + \left(57 a^{2} + 21 a + 56\right)\cdot 67^{57} + \left(39 a^{2} + 27 a + 40\right)\cdot 67^{58} + \left(63 a^{2} + 32 a + 37\right)\cdot 67^{59} + \left(25 a^{2} + 44 a + 30\right)\cdot 67^{60} + \left(9 a^{2} + 57 a + 26\right)\cdot 67^{61} + \left(15 a^{2} + 20 a + 2\right)\cdot 67^{62} + \left(5 a^{2} + 42 a + 24\right)\cdot 67^{63} + \left(14 a^{2} + 49 a + 63\right)\cdot 67^{64} + \left(12 a^{2} + 17 a + 22\right)\cdot 67^{65} + \left(38 a^{2} + 26 a + 10\right)\cdot 67^{66} + \left(14 a^{2} + 65 a + 65\right)\cdot 67^{67} + \left(17 a^{2} + 53 a + 63\right)\cdot 67^{68} + \left(14 a^{2} + 66 a + 26\right)\cdot 67^{69} + \left(52 a^{2} + 25 a + 18\right)\cdot 67^{70} + \left(42 a^{2} + 63 a + 54\right)\cdot 67^{71} + \left(56 a^{2} + 11 a + 48\right)\cdot 67^{72} + \left(26 a^{2} + 47 a + 31\right)\cdot 67^{73} + \left(44 a^{2} + 8 a + 43\right)\cdot 67^{74} + \left(64 a^{2} + 3 a + 41\right)\cdot 67^{75} + \left(27 a^{2} + 23 a + 61\right)\cdot 67^{76} + \left(34 a^{2} + 54 a + 16\right)\cdot 67^{77} + \left(13 a^{2} + 19 a + 50\right)\cdot 67^{78} + \left(a^{2} + a + 58\right)\cdot 67^{79} + \left(56 a^{2} + 64 a + 59\right)\cdot 67^{80} + \left(27 a^{2} + 40 a + 29\right)\cdot 67^{81} + \left(6 a^{2} + 3 a + 16\right)\cdot 67^{82} + \left(62 a^{2} + 17 a + 31\right)\cdot 67^{83} + \left(21 a^{2} + 23 a + 15\right)\cdot 67^{84} + \left(4 a^{2} + 66 a + 16\right)\cdot 67^{85} + \left(45 a^{2} + 12 a + 31\right)\cdot 67^{86} + \left(10 a^{2} + 29 a + 41\right)\cdot 67^{87} + \left(45 a^{2} + 57 a + 60\right)\cdot 67^{88} + \left(61 a + 49\right)\cdot 67^{89} + \left(29 a^{2} + 33 a + 62\right)\cdot 67^{90} + \left(59 a^{2} + 64 a + 54\right)\cdot 67^{91} + \left(28 a^{2} + 44 a + 2\right)\cdot 67^{92} + \left(2 a^{2} + 5 a + 27\right)\cdot 67^{93} + \left(66 a^{2} + 2 a + 37\right)\cdot 67^{94} + \left(40 a^{2} + 54 a\right)\cdot 67^{95} + \left(25 a^{2} + 60 a + 4\right)\cdot 67^{96} + \left(44 a^{2} + 27 a + 53\right)\cdot 67^{97} + \left(14 a^{2} + 6 a + 44\right)\cdot 67^{98} + \left(5 a^{2} + 2 a + 39\right)\cdot 67^{99} + \left(23 a^{2} + 16 a + 30\right)\cdot 67^{100} + \left(49 a^{2} + 4 a + 60\right)\cdot 67^{101} + \left(63 a^{2} + 32 a + 4\right)\cdot 67^{102} + \left(19 a^{2} + 55 a + 41\right)\cdot 67^{103} + \left(37 a^{2} + 5 a + 37\right)\cdot 67^{104} + \left(47 a^{2} + 10 a + 30\right)\cdot 67^{105} + \left(61 a^{2} + 57 a + 31\right)\cdot 67^{106} + \left(45 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 67^{107} + \left(22 a^{2} + 65 a + 35\right)\cdot 67^{108} + \left(58 a^{2} + 65 a + 66\right)\cdot 67^{109} + \left(43 a^{2} + 30 a + 39\right)\cdot 67^{110} +O\left(67^{ 111 }\right)$
$r_{ 6 }$ $=$ $ 18 a^{2} + 46 a + 14 + \left(64 a^{2} + 28 a + 35\right)\cdot 67 + \left(54 a^{2} + 34 a + 42\right)\cdot 67^{2} + \left(36 a^{2} + 61 a + 56\right)\cdot 67^{3} + \left(19 a^{2} + 60 a + 47\right)\cdot 67^{4} + \left(24 a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 67^{5} + \left(7 a^{2} + 17 a + 31\right)\cdot 67^{6} + \left(46 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 67^{7} + \left(29 a^{2} + 9 a + 63\right)\cdot 67^{8} + \left(56 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 67^{9} + \left(21 a^{2} + 53 a + 30\right)\cdot 67^{10} + \left(34 a^{2} + 61 a + 24\right)\cdot 67^{11} + \left(23 a^{2} + 24 a + 35\right)\cdot 67^{12} + \left(52 a^{2} + 5 a + 36\right)\cdot 67^{13} + \left(41 a^{2} + 41 a + 30\right)\cdot 67^{14} + \left(2 a^{2} + 59 a + 47\right)\cdot 67^{15} + \left(10 a^{2} + 9 a + 51\right)\cdot 67^{16} + \left(42 a^{2} + 54 a + 14\right)\cdot 67^{17} + \left(60 a^{2} + 42 a + 14\right)\cdot 67^{18} + \left(10 a^{2} + 51 a + 58\right)\cdot 67^{19} + \left(57 a^{2} + 16 a + 60\right)\cdot 67^{20} + \left(23 a^{2} + 2 a + 56\right)\cdot 67^{21} + \left(8 a^{2} + 35 a + 55\right)\cdot 67^{22} + \left(35 a^{2} + 64 a + 24\right)\cdot 67^{23} + \left(3 a^{2} + 32 a + 58\right)\cdot 67^{24} + \left(37 a^{2} + 46 a + 1\right)\cdot 67^{25} + \left(10 a^{2} + 19 a + 50\right)\cdot 67^{26} + \left(7 a^{2} + 23 a + 4\right)\cdot 67^{27} + \left(25 a^{2} + 6 a + 54\right)\cdot 67^{28} + \left(35 a^{2} + 31 a + 48\right)\cdot 67^{29} + \left(39 a^{2} + 16 a + 66\right)\cdot 67^{30} + \left(37 a^{2} + 38 a + 11\right)\cdot 67^{31} + \left(40 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 67^{32} + \left(44 a^{2} + 40 a + 61\right)\cdot 67^{33} + \left(3 a^{2} + 19 a + 25\right)\cdot 67^{34} + \left(48 a^{2} + 58 a + 52\right)\cdot 67^{35} + \left(23 a^{2} + 15 a + 45\right)\cdot 67^{36} + \left(16 a^{2} + 55 a + 63\right)\cdot 67^{37} + \left(37 a^{2} + 61 a + 54\right)\cdot 67^{38} + \left(7 a^{2} + 61 a + 56\right)\cdot 67^{39} + \left(11 a^{2} + 23 a + 22\right)\cdot 67^{40} + \left(22 a^{2} + 2 a + 26\right)\cdot 67^{41} + \left(35 a^{2} + 66 a + 39\right)\cdot 67^{42} + \left(14 a^{2} + 62 a + 51\right)\cdot 67^{43} + \left(35 a^{2} + 23 a + 37\right)\cdot 67^{44} + \left(30 a^{2} + 54 a + 38\right)\cdot 67^{45} + \left(10 a^{2} + 46 a + 7\right)\cdot 67^{46} + \left(31 a^{2} + 66 a + 29\right)\cdot 67^{47} + \left(37 a^{2} + 57 a + 7\right)\cdot 67^{48} + \left(50 a^{2} + 4 a + 42\right)\cdot 67^{49} + \left(5 a^{2} + 23 a + 50\right)\cdot 67^{50} + \left(61 a^{2} + 29 a + 25\right)\cdot 67^{51} + \left(49 a^{2} + 41 a + 15\right)\cdot 67^{52} + \left(52 a^{2} + 12 a + 39\right)\cdot 67^{53} + \left(43 a^{2} + 44 a + 4\right)\cdot 67^{54} + \left(6 a^{2} + 62 a + 7\right)\cdot 67^{55} + \left(16 a^{2} + 7 a + 30\right)\cdot 67^{56} + \left(43 a^{2} + 15 a + 66\right)\cdot 67^{57} + \left(42 a^{2} + 52 a + 51\right)\cdot 67^{58} + \left(53 a^{2} + 5 a + 64\right)\cdot 67^{59} + \left(64 a^{2} + 45 a + 51\right)\cdot 67^{60} + \left(30 a^{2} + 6 a + 45\right)\cdot 67^{61} + \left(28 a^{2} + 49 a + 55\right)\cdot 67^{62} + \left(35 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 67^{63} + \left(33 a^{2} + 58 a + 7\right)\cdot 67^{64} + \left(61 a + 43\right)\cdot 67^{65} + \left(5 a^{2} + 59 a + 11\right)\cdot 67^{66} + \left(40 a^{2} + 47 a + 33\right)\cdot 67^{67} + \left(21 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 67^{68} + \left(31 a^{2} + 14 a + 28\right)\cdot 67^{69} + \left(42 a^{2} + 61 a + 46\right)\cdot 67^{70} + \left(14 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 67^{71} + \left(38 a^{2} + 65 a + 42\right)\cdot 67^{72} + \left(62 a^{2} + 29 a + 40\right)\cdot 67^{73} + \left(59 a^{2} + 48 a + 38\right)\cdot 67^{74} + \left(10 a^{2} + 36 a + 27\right)\cdot 67^{75} + \left(3 a^{2} + 51 a + 29\right)\cdot 67^{76} + \left(54 a^{2} + 54 a + 28\right)\cdot 67^{77} + \left(a^{2} + 53 a + 3\right)\cdot 67^{78} + \left(59 a^{2} + 29 a + 22\right)\cdot 67^{79} + \left(26 a^{2} + 36 a + 10\right)\cdot 67^{80} + \left(7 a^{2} + 65 a + 15\right)\cdot 67^{81} + \left(35 a^{2} + 52 a + 64\right)\cdot 67^{82} + \left(26 a^{2} + 66 a + 22\right)\cdot 67^{83} + \left(24 a^{2} + 63 a + 25\right)\cdot 67^{84} + \left(12 a^{2} + 63 a + 48\right)\cdot 67^{85} + \left(30 a^{2} + 53 a + 38\right)\cdot 67^{86} + \left(26 a^{2} + 46 a + 37\right)\cdot 67^{87} + \left(52 a^{2} + 45 a + 22\right)\cdot 67^{88} + \left(a^{2} + 49 a + 54\right)\cdot 67^{89} + \left(59 a^{2} + 4 a + 48\right)\cdot 67^{90} + \left(44 a^{2} + 28 a + 63\right)\cdot 67^{91} + \left(29 a^{2} + 60 a + 5\right)\cdot 67^{92} + \left(48 a^{2} + 65 a + 10\right)\cdot 67^{93} + \left(9 a^{2} + 27 a + 13\right)\cdot 67^{94} + \left(10 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 67^{95} + \left(58 a^{2} + 32 a\right)\cdot 67^{96} + \left(26 a^{2} + 38 a + 50\right)\cdot 67^{97} + \left(52 a^{2} + 27 a + 61\right)\cdot 67^{98} + \left(46 a^{2} + 32 a + 4\right)\cdot 67^{99} + \left(13 a^{2} + 49 a + 60\right)\cdot 67^{100} + \left(3 a^{2} + 65 a + 9\right)\cdot 67^{101} + \left(52 a^{2} + 19 a + 25\right)\cdot 67^{102} + \left(12 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 67^{103} + \left(27 a^{2} + a + 64\right)\cdot 67^{104} + \left(23 a^{2} + 57 a\right)\cdot 67^{105} + \left(14 a^{2} + 63 a + 43\right)\cdot 67^{106} + \left(51 a^{2} + 47 a + 25\right)\cdot 67^{107} + \left(25 a^{2} + 19 a + 47\right)\cdot 67^{108} + \left(6 a^{2} + 32 a + 59\right)\cdot 67^{109} + \left(15 a^{2} + 58\right)\cdot 67^{110} +O\left(67^{ 111 }\right)$
$r_{ 7 }$ $=$ $ 45 a^{2} + 45 a + 55 + \left(49 a^{2} + 8 a + 43\right)\cdot 67 + \left(23 a^{2} + 47 a + 51\right)\cdot 67^{2} + \left(15 a^{2} + 62 a + 37\right)\cdot 67^{3} + \left(62 a^{2} + 17\right)\cdot 67^{4} + \left(47 a^{2} + 21 a + 46\right)\cdot 67^{5} + \left(12 a^{2} + 57 a + 52\right)\cdot 67^{6} + \left(65 a^{2} + 36 a + 23\right)\cdot 67^{7} + \left(55 a^{2} + 24 a + 34\right)\cdot 67^{8} + \left(32 a^{2} + 51 a + 57\right)\cdot 67^{9} + \left(23 a^{2} + 29 a + 36\right)\cdot 67^{10} + \left(18 a^{2} + 34 a + 27\right)\cdot 67^{11} + \left(54 a^{2} + 57 a + 24\right)\cdot 67^{12} + \left(35 a^{2} + 17 a + 37\right)\cdot 67^{13} + \left(14 a^{2} + 28 a + 55\right)\cdot 67^{14} + \left(21 a^{2} + 29 a + 54\right)\cdot 67^{15} + \left(28 a^{2} + 37 a + 57\right)\cdot 67^{16} + \left(47 a^{2} + 36 a + 35\right)\cdot 67^{17} + \left(53 a^{2} + 16 a + 53\right)\cdot 67^{18} + \left(57 a^{2} + 46 a + 44\right)\cdot 67^{19} + \left(a^{2} + 53 a + 40\right)\cdot 67^{20} + \left(26 a^{2} + 65 a + 65\right)\cdot 67^{21} + \left(20 a^{2} + 38 a + 36\right)\cdot 67^{22} + \left(6 a^{2} + 66 a + 43\right)\cdot 67^{23} + \left(33 a^{2} + 17 a + 42\right)\cdot 67^{24} + \left(65 a^{2} + 18 a + 48\right)\cdot 67^{25} + \left(33 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 67^{26} + \left(3 a^{2} + 56 a + 57\right)\cdot 67^{27} + \left(42 a^{2} + 42 a + 54\right)\cdot 67^{28} + \left(23 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 67^{29} + \left(62 a^{2} + 30 a + 24\right)\cdot 67^{30} + \left(a^{2} + 66 a + 3\right)\cdot 67^{31} + \left(15 a^{2} + 11 a + 35\right)\cdot 67^{32} + \left(14 a^{2} + 60 a + 6\right)\cdot 67^{33} + \left(10 a^{2} + 64 a + 52\right)\cdot 67^{34} + \left(62 a^{2} + a + 41\right)\cdot 67^{35} + \left(64 a^{2} + 35 a + 9\right)\cdot 67^{36} + \left(16 a^{2} + 28 a + 66\right)\cdot 67^{37} + \left(46 a^{2} + 49 a + 23\right)\cdot 67^{38} + \left(26 a^{2} + 9 a + 66\right)\cdot 67^{39} + \left(39 a^{2} + 42 a + 1\right)\cdot 67^{40} + \left(57 a^{2} + 3 a + 34\right)\cdot 67^{41} + \left(9 a^{2} + 64 a + 4\right)\cdot 67^{42} + \left(42 a^{2} + 50 a + 28\right)\cdot 67^{43} + \left(43 a^{2} + 58 a + 4\right)\cdot 67^{44} + \left(52 a^{2} + 64 a + 60\right)\cdot 67^{45} + \left(53 a^{2} + 14 a + 46\right)\cdot 67^{46} + \left(11 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 67^{47} + \left(43 a^{2} + 65 a + 30\right)\cdot 67^{48} + \left(63 a^{2} + 12 a + 27\right)\cdot 67^{49} + \left(63 a^{2} + 31 a + 15\right)\cdot 67^{50} + \left(24 a^{2} + 43 a + 15\right)\cdot 67^{51} + \left(49 a^{2} + 48 a + 13\right)\cdot 67^{52} + \left(33 a^{2} + 20 a + 30\right)\cdot 67^{53} + \left(10 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 67^{54} + \left(9 a^{2} + 62 a + 17\right)\cdot 67^{55} + \left(17 a^{2} + 25 a + 34\right)\cdot 67^{56} + \left(33 a^{2} + 30 a + 26\right)\cdot 67^{57} + \left(51 a^{2} + 54 a + 20\right)\cdot 67^{58} + \left(16 a^{2} + 28 a + 51\right)\cdot 67^{59} + \left(43 a^{2} + 44 a + 32\right)\cdot 67^{60} + \left(26 a^{2} + 2 a + 28\right)\cdot 67^{61} + \left(23 a^{2} + 64 a + 35\right)\cdot 67^{62} + \left(26 a^{2} + 10 a + 41\right)\cdot 67^{63} + \left(19 a^{2} + 26 a + 17\right)\cdot 67^{64} + \left(54 a^{2} + 54 a + 57\right)\cdot 67^{65} + \left(23 a^{2} + 47 a + 19\right)\cdot 67^{66} + \left(12 a^{2} + 20 a + 56\right)\cdot 67^{67} + \left(28 a^{2} + 63 a + 40\right)\cdot 67^{68} + \left(21 a^{2} + 52 a + 55\right)\cdot 67^{69} + \left(39 a^{2} + 46 a + 33\right)\cdot 67^{70} + \left(9 a^{2} + 55 a + 55\right)\cdot 67^{71} + \left(39 a^{2} + 56 a + 45\right)\cdot 67^{72} + \left(44 a^{2} + 56 a + 35\right)\cdot 67^{73} + \left(29 a^{2} + 9 a + 51\right)\cdot 67^{74} + \left(58 a^{2} + 27 a + 16\right)\cdot 67^{75} + \left(35 a^{2} + 59 a + 26\right)\cdot 67^{76} + \left(45 a^{2} + 24 a + 61\right)\cdot 67^{77} + \left(51 a^{2} + 60 a + 1\right)\cdot 67^{78} + \left(6 a^{2} + 35 a + 14\right)\cdot 67^{79} + \left(51 a^{2} + 33 a + 40\right)\cdot 67^{80} + \left(31 a^{2} + 27 a + 45\right)\cdot 67^{81} + \left(25 a^{2} + 10 a + 25\right)\cdot 67^{82} + \left(45 a^{2} + 50 a + 31\right)\cdot 67^{83} + \left(20 a^{2} + 46 a + 10\right)\cdot 67^{84} + \left(50 a^{2} + 3 a + 66\right)\cdot 67^{85} + \left(58 a^{2} + 18\right)\cdot 67^{86} + \left(29 a^{2} + 58 a + 51\right)\cdot 67^{87} + \left(36 a^{2} + 30 a + 25\right)\cdot 67^{88} + \left(64 a^{2} + 22 a + 37\right)\cdot 67^{89} + \left(45 a^{2} + 28 a + 63\right)\cdot 67^{90} + \left(29 a^{2} + 41 a + 2\right)\cdot 67^{91} + \left(8 a^{2} + 28 a + 55\right)\cdot 67^{92} + \left(16 a^{2} + 62 a + 14\right)\cdot 67^{93} + \left(58 a^{2} + 36 a + 6\right)\cdot 67^{94} + \left(15 a^{2} + 65 a + 34\right)\cdot 67^{95} + \left(50 a^{2} + 40 a + 35\right)\cdot 67^{96} + \left(62 a^{2} + 59\right)\cdot 67^{97} + \left(66 a^{2} + 33 a + 52\right)\cdot 67^{98} + \left(14 a^{2} + 32 a + 11\right)\cdot 67^{99} + \left(30 a^{2} + a + 59\right)\cdot 67^{100} + \left(14 a^{2} + 64 a + 54\right)\cdot 67^{101} + \left(18 a^{2} + 14 a + 23\right)\cdot 67^{102} + \left(34 a^{2} + 63 a + 31\right)\cdot 67^{103} + \left(2 a^{2} + 59 a + 32\right)\cdot 67^{104} + \left(63 a^{2} + 66 a + 25\right)\cdot 67^{105} + \left(57 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 67^{106} + \left(36 a^{2} + 3 a + 35\right)\cdot 67^{107} + \left(18 a^{2} + 49 a + 18\right)\cdot 67^{108} + \left(2 a^{2} + 35 a + 43\right)\cdot 67^{109} + \left(8 a^{2} + 35 a + 30\right)\cdot 67^{110} +O\left(67^{ 111 }\right)$
$r_{ 8 }$ $=$ $ 48 a^{2} + 6 a + \left(51 a^{2} + 64 a + 54\right)\cdot 67 + \left(43 a^{2} + 63 a + 24\right)\cdot 67^{2} + \left(7 a^{2} + 24 a + 38\right)\cdot 67^{3} + \left(44 a^{2} + 9 a + 54\right)\cdot 67^{4} + \left(3 a^{2} + 50 a + 32\right)\cdot 67^{5} + \left(2 a^{2} + 13 a + 58\right)\cdot 67^{6} + \left(18 a^{2} + 64 a + 37\right)\cdot 67^{7} + \left(47 a^{2} + 47 a + 56\right)\cdot 67^{8} + \left(26 a^{2} + 52 a + 32\right)\cdot 67^{9} + \left(7 a^{2} + 49 a + 18\right)\cdot 67^{10} + \left(59 a^{2} + 32 a + 55\right)\cdot 67^{11} + \left(24 a^{2} + 22 a + 60\right)\cdot 67^{12} + \left(9 a^{2} + 15 a + 43\right)\cdot 67^{13} + \left(48 a^{2} + 23 a + 44\right)\cdot 67^{14} + \left(11 a^{2} + 51 a + 7\right)\cdot 67^{15} + \left(58 a^{2} + 61 a + 16\right)\cdot 67^{16} + \left(28 a^{2} + 3 a + 48\right)\cdot 67^{17} + \left(40 a^{2} + 42 a + 52\right)\cdot 67^{18} + \left(60 a^{2} + 45 a + 38\right)\cdot 67^{19} + \left(51 a^{2} + 46 a + 50\right)\cdot 67^{20} + \left(54 a^{2} + 18 a + 23\right)\cdot 67^{21} + \left(26 a^{2} + 61 a + 52\right)\cdot 67^{22} + \left(58 a^{2} + 48 a + 46\right)\cdot 67^{23} + \left(54 a^{2} + 25 a + 1\right)\cdot 67^{24} + \left(45 a^{2} + 26 a + 29\right)\cdot 67^{25} + \left(41 a^{2} + 13 a + 61\right)\cdot 67^{26} + \left(15 a^{2} + 46 a + 24\right)\cdot 67^{27} + \left(66 a^{2} + 10 a + 49\right)\cdot 67^{28} + \left(66 a^{2} + 40 a + 34\right)\cdot 67^{29} + \left(9 a^{2} + 49 a + 24\right)\cdot 67^{30} + \left(47 a^{2} + 50 a + 12\right)\cdot 67^{31} + \left(34 a^{2} + 17 a + 46\right)\cdot 67^{32} + \left(54 a^{2} + 63 a + 2\right)\cdot 67^{33} + \left(a^{2} + 45 a + 47\right)\cdot 67^{34} + \left(46 a^{2} + 55\right)\cdot 67^{35} + \left(2 a^{2} + 52 a + 43\right)\cdot 67^{36} + \left(64 a^{2} + 22 a + 11\right)\cdot 67^{37} + \left(6 a^{2} + 62 a + 5\right)\cdot 67^{38} + \left(16 a^{2} + 50 a + 1\right)\cdot 67^{39} + \left(20 a^{2} + 44 a + 8\right)\cdot 67^{40} + \left(3 a^{2} + 55 a + 27\right)\cdot 67^{41} + \left(47 a^{2} + 56 a + 33\right)\cdot 67^{42} + \left(61 a^{2} + 39 a + 4\right)\cdot 67^{43} + \left(56 a^{2} + 20 a + 20\right)\cdot 67^{44} + \left(17 a^{2} + 5 a + 65\right)\cdot 67^{45} + \left(42 a^{2} + 62 a + 19\right)\cdot 67^{46} + \left(35 a^{2} + 46 a + 37\right)\cdot 67^{47} + \left(34 a^{2} + 6 a + 63\right)\cdot 67^{48} + \left(47 a^{2} + 38 a + 51\right)\cdot 67^{49} + \left(60 a^{2} + 48 a + 10\right)\cdot 67^{50} + \left(55 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 67^{51} + \left(22 a^{2} + 43 a + 63\right)\cdot 67^{52} + \left(23 a^{2} + 4 a + 24\right)\cdot 67^{53} + \left(41 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 67^{54} + \left(40 a^{2} + 8 a + 38\right)\cdot 67^{55} + \left(29 a^{2} + 34 a + 19\right)\cdot 67^{56} + \left(10 a^{2} + 26 a + 55\right)\cdot 67^{57} + \left(43 a^{2} + 30 a + 66\right)\cdot 67^{58} + \left(43 a^{2} + 50 a + 57\right)\cdot 67^{59} + \left(21 a^{2} + 48 a + 38\right)\cdot 67^{60} + \left(42 a^{2} + 9 a + 37\right)\cdot 67^{61} + \left(42 a^{2} + 8 a + 62\right)\cdot 67^{62} + \left(56 a^{2} + 41 a + 21\right)\cdot 67^{63} + \left(27 a^{2} + 22 a + 21\right)\cdot 67^{64} + \left(29 a^{2} + 66 a + 10\right)\cdot 67^{65} + \left(8 a^{2} + 39 a + 63\right)\cdot 67^{66} + \left(25 a^{2} + 30 a + 9\right)\cdot 67^{67} + \left(40 a^{2} + 27 a + 2\right)\cdot 67^{68} + \left(42 a^{2} + 44 a + 21\right)\cdot 67^{69} + \left(27 a^{2} + 15 a + 65\right)\cdot 67^{70} + \left(36 a^{2} + 63 a + 1\right)\cdot 67^{71} + \left(30 a^{2} + 57 a + 31\right)\cdot 67^{72} + \left(53 a^{2} + 50 a + 62\right)\cdot 67^{73} + \left(8 a^{2} + 21 a + 41\right)\cdot 67^{74} + \left(6 a^{2} + 16 a + 36\right)\cdot 67^{75} + \left(24 a^{2} + 66 a + 32\right)\cdot 67^{76} + \left(3 a^{2} + 9 a + 42\right)\cdot 67^{77} + \left(40 a^{2} + a + 11\right)\cdot 67^{78} + \left(16 a^{2} + 25 a + 13\right)\cdot 67^{79} + \left(35 a^{2} + 36 a + 38\right)\cdot 67^{80} + \left(14 a^{2} + 37 a + 56\right)\cdot 67^{81} + \left(10 a^{2} + 42 a + 45\right)\cdot 67^{82} + \left(62 a^{2} + 38 a + 49\right)\cdot 67^{83} + \left(52 a^{2} + 23 a + 8\right)\cdot 67^{84} + \left(10 a^{2} + 36 a + 34\right)\cdot 67^{85} + \left(35 a^{2} + 39 a + 39\right)\cdot 67^{86} + \left(57 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 67^{87} + \left(6 a^{2} + 20 a + 9\right)\cdot 67^{88} + \left(40 a^{2} + 20 a + 28\right)\cdot 67^{89} + \left(5 a^{2} + 31 a + 34\right)\cdot 67^{90} + \left(58 a^{2} + 19 a + 6\right)\cdot 67^{91} + \left(53 a^{2} + 54 a + 18\right)\cdot 67^{92} + \left(36 a^{2} + 4 a + 23\right)\cdot 67^{93} + \left(34 a^{2} + 9 a + 18\right)\cdot 67^{94} + \left(49 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 67^{95} + \left(21 a^{2} + 2 a + 47\right)\cdot 67^{96} + \left(66 a^{2} + 43 a + 48\right)\cdot 67^{97} + \left(61 a^{2} + a + 23\right)\cdot 67^{98} + \left(28 a^{2} + 27 a + 5\right)\cdot 67^{99} + \left(8 a^{2} + 39 a + 2\right)\cdot 67^{100} + \left(4 a^{2} + 9 a + 36\right)\cdot 67^{101} + \left(5 a^{2} + 30 a + 13\right)\cdot 67^{102} + \left(17 a^{2} + 41 a + 3\right)\cdot 67^{103} + \left(59 a^{2} + 3 a + 65\right)\cdot 67^{104} + \left(37 a^{2} + 44 a + 39\right)\cdot 67^{105} + \left(52 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 67^{106} + \left(16 a^{2} + 15 a + 55\right)\cdot 67^{107} + \left(50 a^{2} + 33 a + 56\right)\cdot 67^{108} + \left(50 a^{2} + 12 a + 55\right)\cdot 67^{109} + \left(8 a^{2} + 15 a + 43\right)\cdot 67^{110} +O\left(67^{ 111 }\right)$
$r_{ 9 }$ $=$ $ 62 a^{2} + 60 a + 56 + \left(63 a^{2} + 48 a + 35\right)\cdot 67 + \left(30 a^{2} + 57 a + 40\right)\cdot 67^{2} + \left(2 a^{2} + 13 a + 17\right)\cdot 67^{3} + \left(42 a^{2} + 21 a + 46\right)\cdot 67^{4} + \left(7 a^{2} + 17 a + 48\right)\cdot 67^{5} + \left(55 a^{2} + 64 a + 2\right)\cdot 67^{6} + \left(24 a^{2} + 58 a + 65\right)\cdot 67^{7} + \left(14 a^{2} + 44 a + 58\right)\cdot 67^{8} + \left(60 a^{2} + 37 a + 32\right)\cdot 67^{9} + \left(64 a^{2} + 63 a + 47\right)\cdot 67^{10} + \left(43 a^{2} + 63 a + 61\right)\cdot 67^{11} + \left(30 a^{2} + 62 a + 16\right)\cdot 67^{12} + \left(57 a + 8\right)\cdot 67^{13} + \left(11 a^{2} + 47 a + 30\right)\cdot 67^{14} + \left(56 a^{2} + 4 a + 51\right)\cdot 67^{15} + \left(2 a^{2} + 62 a + 62\right)\cdot 67^{16} + \left(60 a^{2} + 31 a + 38\right)\cdot 67^{17} + \left(61 a^{2} + 29 a + 4\right)\cdot 67^{18} + \left(27 a^{2} + 64 a + 42\right)\cdot 67^{19} + \left(12 a^{2} + 23 a + 26\right)\cdot 67^{20} + \left(25 a^{2} + 3 a + 39\right)\cdot 67^{21} + \left(11 a^{2} + 13 a + 57\right)\cdot 67^{22} + \left(64 a^{2} + 26 a + 2\right)\cdot 67^{23} + \left(47 a^{2} + 34 a + 41\right)\cdot 67^{24} + \left(21 a^{2} + 34 a + 66\right)\cdot 67^{25} + \left(22 a^{2} + 44 a + 50\right)\cdot 67^{26} + \left(13 a^{2} + 18 a + 15\right)\cdot 67^{27} + \left(63 a^{2} + 38 a + 37\right)\cdot 67^{28} + \left(34 a^{2} + 40\right)\cdot 67^{29} + \left(41 a^{2} + 50 a + 16\right)\cdot 67^{30} + \left(22 a^{2} + 56 a + 48\right)\cdot 67^{31} + \left(a^{2} + 20 a + 46\right)\cdot 67^{32} + \left(33 a^{2} + 53 a + 50\right)\cdot 67^{33} + \left(38 a^{2} + 65 a + 59\right)\cdot 67^{34} + \left(10 a^{2} + 18 a + 47\right)\cdot 67^{35} + \left(27 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 67^{36} + \left(19 a^{2} + 9 a + 34\right)\cdot 67^{37} + \left(59 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 67^{38} + \left(50 a^{2} + 26 a + 6\right)\cdot 67^{39} + \left(53 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 67^{40} + \left(40 a^{2} + 59 a + 43\right)\cdot 67^{41} + \left(8 a^{2} + 63 a + 13\right)\cdot 67^{42} + \left(2 a^{2} + 10 a + 34\right)\cdot 67^{43} + \left(18 a^{2} + 9 a + 65\right)\cdot 67^{44} + \left(17 a^{2} + a + 62\right)\cdot 67^{45} + \left(2 a^{2} + 11 a + 60\right)\cdot 67^{46} + \left(60 a^{2} + 51 a\right)\cdot 67^{47} + \left(35 a^{2} + 25 a + 2\right)\cdot 67^{48} + \left(37 a^{2} + 34 a + 12\right)\cdot 67^{49} + \left(57 a^{2} + 27 a + 65\right)\cdot 67^{50} + \left(43 a^{2} + 38 a + 30\right)\cdot 67^{51} + \left(52 a^{2} + 21 a + 48\right)\cdot 67^{52} + \left(a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 67^{53} + \left(2 a^{2} + 64 a + 45\right)\cdot 67^{54} + \left(5 a^{2} + 17 a + 29\right)\cdot 67^{55} + \left(24 a^{2} + 44 a + 64\right)\cdot 67^{56} + \left(22 a^{2} + 28 a + 35\right)\cdot 67^{57} + \left(13 a^{2} + 45 a + 14\right)\cdot 67^{58} + \left(45 a^{2} + 3 a + 64\right)\cdot 67^{59} + \left(14 a^{2} + 65 a + 10\right)\cdot 67^{60} + \left(2 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 67^{61} + \left(24 a^{2} + 21 a + 55\right)\cdot 67^{62} + \left(57 a^{2} + 61 a + 24\right)\cdot 67^{63} + \left(48 a^{2} + 3 a + 38\right)\cdot 67^{64} + \left(10 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 67^{65} + \left(18 a^{2} + 47 a + 35\right)\cdot 67^{66} + \left(34 a^{2} + 5 a + 46\right)\cdot 67^{67} + \left(15 a^{2} + 11 a + 36\right)\cdot 67^{68} + \left(35 a^{2} + 26 a + 58\right)\cdot 67^{69} + \left(8 a^{2} + 30 a + 55\right)\cdot 67^{70} + \left(51 a^{2} + 17 a + 60\right)\cdot 67^{71} + \left(12 a^{2} + 53 a + 26\right)\cdot 67^{72} + \left(31 a^{2} + 30 a + 40\right)\cdot 67^{73} + \left(14 a^{2} + 32 a + 64\right)\cdot 67^{74} + \left(57 a^{2} + 42 a + 39\right)\cdot 67^{75} + \left(65 a^{2} + 3 a + 65\right)\cdot 67^{76} + \left(51 a^{2} + 55 a + 35\right)\cdot 67^{77} + \left(19 a^{2} + 57 a + 64\right)\cdot 67^{78} + \left(29 a^{2} + 42 a + 63\right)\cdot 67^{79} + \left(12 a^{2} + 30 a + 13\right)\cdot 67^{80} + \left(32 a^{2} + 25 a + 60\right)\cdot 67^{81} + \left(24 a^{2} + 25 a + 35\right)\cdot 67^{82} + \left(64 a^{2} + 17 a + 58\right)\cdot 67^{83} + \left(2 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 67^{84} + \left(9 a^{2} + 11 a + 27\right)\cdot 67^{85} + \left(46 a^{2} + 45 a + 16\right)\cdot 67^{86} + \left(21 a^{2} + 48 a + 63\right)\cdot 67^{87} + \left(59 a^{2} + 66 a + 17\right)\cdot 67^{88} + \left(16 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 67^{89} + \left(9 a^{2} + 6 a + 49\right)\cdot 67^{90} + \left(24 a^{2} + 66 a + 4\right)\cdot 67^{91} + \left(21 a^{2} + 41 a + 22\right)\cdot 67^{92} + \left(39 a^{2} + 40 a + 33\right)\cdot 67^{93} + \left(54 a^{2} + 65 a + 31\right)\cdot 67^{94} + \left(41 a^{2} + 5 a + 44\right)\cdot 67^{95} + \left(3 a^{2} + 55 a + 41\right)\cdot 67^{96} + \left(16 a^{2} + 21 a + 48\right)\cdot 67^{97} + \left(26 a^{2} + 41 a + 14\right)\cdot 67^{98} + \left(58 a^{2} + 64 a + 56\right)\cdot 67^{99} + \left(65 a^{2} + 47 a + 30\right)\cdot 67^{100} + \left(57 a^{2} + 32 a + 50\right)\cdot 67^{101} + \left(39 a^{2} + 59 a + 18\right)\cdot 67^{102} + \left(29 a^{2} + 53\right)\cdot 67^{103} + \left(8 a^{2} + 40 a + 62\right)\cdot 67^{104} + \left(59 a^{2} + 34 a + 57\right)\cdot 67^{105} + \left(32 a^{2} + 39 a + 58\right)\cdot 67^{106} + \left(53 a^{2} + 24 a\right)\cdot 67^{107} + \left(54 a^{2} + 28 a + 8\right)\cdot 67^{108} + \left(19 a^{2} + 51 a + 66\right)\cdot 67^{109} + \left(42 a^{2} + 5 a + 43\right)\cdot 67^{110} +O\left(67^{ 111 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 9 }$

Cycle notation
$(4,7)$
$(1,2,6)$
$(1,4)(2,7)(6,8)$
$(4,7,8)$
$(1,3,4)(2,5,7)(6,9,8)$
$(3,5,9)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 9 }$ Character values
$c1$
$1$ $1$ $()$ $8$
$9$ $2$ $(4,7)$ $0$
$18$ $2$ $(1,4)(2,7)(6,8)$ $4$
$27$ $2$ $(1,2)(3,5)(4,7)$ $0$
$27$ $2$ $(3,5)(4,7)$ $0$
$54$ $2$ $(1,3)(2,5)(4,7)(6,9)$ $0$
$6$ $3$ $(3,5,9)$ $-4$
$8$ $3$ $(1,6,2)(3,9,5)(4,8,7)$ $-1$
$12$ $3$ $(1,2,6)(3,5,9)$ $2$
$72$ $3$ $(1,3,4)(2,5,7)(6,9,8)$ $2$
$54$ $4$ $(3,7,5,4)(8,9)$ $0$
$162$ $4$ $(2,6)(3,7,5,4)(8,9)$ $0$
$36$ $6$ $(1,4)(2,7)(3,5,9)(6,8)$ $-2$
$36$ $6$ $(3,8,9,7,5,4)$ $-2$
$36$ $6$ $(3,5,9)(4,7)$ $0$
$36$ $6$ $(1,2,6)(3,5,9)(4,7)$ $0$
$54$ $6$ $(1,6,2)(3,5)(4,7)$ $0$
$72$ $6$ $(1,7,2,8,6,4)(3,5,9)$ $1$
$108$ $6$ $(1,3,2,5,6,9)(4,7)$ $0$
$216$ $6$ $(1,3,7,2,5,4)(6,9,8)$ $0$
$144$ $9$ $(1,3,8,6,9,7,2,5,4)$ $-1$
$108$ $12$ $(1,2,6)(3,7,5,4)(8,9)$ $0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.