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Properties

Label 8.3e6_5e6_7e9.21t20.1c1
Dimension 8
Group $\PGL(2,7)$
Conductor $ 3^{6} \cdot 5^{6} \cdot 7^{9}$
Root number 1
Frobenius-Schur indicator 1

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Basic invariants

Dimension:$8$
Group:$\PGL(2,7)$
Conductor:$459652804734375= 3^{6} \cdot 5^{6} \cdot 7^{9} $
Artin number field: Splitting field of $f= x^{8} - 4 x^{7} - 21 x^{4} - 21 x^{2} - 15 x - 3 $ over $\Q$
Size of Galois orbit: 1
Smallest containing permutation representation: 21T20
Parity: Odd
Determinant: 1.7.2t1.1c1

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 11 }$ to precision 56.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 11 }$: $ x^{3} + 2 x + 9 $
Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ $ 7 a^{2} + 7 a + 4 + \left(7 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 11 + \left(7 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 11^{2} + \left(6 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 11^{3} + \left(10 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 11^{4} + \left(6 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 11^{5} + \left(7 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 11^{6} + \left(3 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 11^{7} + \left(8 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 11^{8} + \left(6 a + 5\right)\cdot 11^{9} + \left(a^{2} + 6\right)\cdot 11^{10} + \left(8 a^{2} + 2\right)\cdot 11^{11} + \left(3 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 11^{12} + \left(6 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 11^{13} + \left(9 a^{2} + 9 a\right)\cdot 11^{14} + \left(3 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 11^{15} + \left(10 a^{2} + 10\right)\cdot 11^{16} + \left(9 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{17} + \left(a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 11^{18} + \left(6 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 11^{19} + \left(5 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 11^{20} + \left(3 a^{2} + 5\right)\cdot 11^{21} + \left(3 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 11^{22} + \left(6 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 11^{23} + \left(8 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 11^{24} + \left(10 a + 6\right)\cdot 11^{25} + \left(a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 11^{26} + \left(2 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 11^{27} + \left(3 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 11^{28} + \left(3 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 11^{29} + \left(7 a + 4\right)\cdot 11^{30} + \left(8 a + 10\right)\cdot 11^{31} + \left(9 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 11^{32} + \left(5 a^{2} + a + 6\right)\cdot 11^{33} + \left(3 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 11^{34} + \left(4 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 11^{35} + \left(6 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 11^{36} + \left(10 a^{2} + 1\right)\cdot 11^{37} + \left(10 a^{2} + a + 9\right)\cdot 11^{38} + \left(9 a^{2} + a + 7\right)\cdot 11^{39} + \left(3 a^{2} + a + 5\right)\cdot 11^{40} + \left(7 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 11^{41} + \left(10 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 11^{42} + \left(6 a^{2} + 5\right)\cdot 11^{43} + \left(3 a^{2} + 2\right)\cdot 11^{44} + \left(10 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 11^{45} + \left(6 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 11^{46} + \left(10 a^{2} + 8\right)\cdot 11^{47} + \left(2 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 11^{48} + \left(a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 11^{49} + \left(a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 11^{50} + 3\cdot 11^{51} + \left(a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 11^{52} + \left(4 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 11^{53} + \left(7 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 11^{54} + \left(4 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 11^{55} +O\left(11^{ 56 }\right)$
$r_{ 2 }$ $=$ $ 4 + 8\cdot 11 + 4\cdot 11^{2} + 11^{3} + 7\cdot 11^{4} + 10\cdot 11^{5} + 3\cdot 11^{6} + 8\cdot 11^{7} + 4\cdot 11^{8} + 2\cdot 11^{9} + 5\cdot 11^{10} + 10\cdot 11^{11} + 11^{12} + 11^{13} + 8\cdot 11^{14} + 6\cdot 11^{15} + 5\cdot 11^{16} + 10\cdot 11^{17} + 7\cdot 11^{19} + 9\cdot 11^{20} + 11^{21} + 7\cdot 11^{22} + 5\cdot 11^{23} + 4\cdot 11^{25} + 3\cdot 11^{26} + 10\cdot 11^{27} + 3\cdot 11^{28} + 5\cdot 11^{29} + 10\cdot 11^{30} + 9\cdot 11^{31} + 10\cdot 11^{32} + 4\cdot 11^{33} + 5\cdot 11^{34} + 8\cdot 11^{35} + 10\cdot 11^{36} + 2\cdot 11^{37} + 10\cdot 11^{38} + 3\cdot 11^{39} + 11^{40} + 11^{41} + 3\cdot 11^{42} + 4\cdot 11^{43} + 4\cdot 11^{44} + 2\cdot 11^{45} + 11^{46} + 9\cdot 11^{47} + 5\cdot 11^{48} + 5\cdot 11^{49} + 7\cdot 11^{51} + 7\cdot 11^{53} + 9\cdot 11^{54} + 6\cdot 11^{55} +O\left(11^{ 56 }\right)$
$r_{ 3 }$ $=$ $ 4 a^{2} + 8 a + \left(9 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 11 + \left(a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 11^{2} + \left(5 a^{2} + 3\right)\cdot 11^{3} + \left(7 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 11^{4} + \left(2 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 11^{5} + \left(2 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 11^{6} + \left(3 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 11^{7} + \left(5 a^{2} + a + 7\right)\cdot 11^{8} + \left(3 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 11^{9} + \left(3 a + 5\right)\cdot 11^{10} + \left(5 a^{2} + a + 9\right)\cdot 11^{11} + \left(2 a + 9\right)\cdot 11^{12} + \left(6 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 11^{13} + \left(4 a + 10\right)\cdot 11^{14} + \left(7 a^{2} + 4\right)\cdot 11^{15} + \left(4 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 11^{16} + \left(a^{2} + a + 2\right)\cdot 11^{17} + \left(6 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 11^{18} + \left(5 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 11^{19} + \left(10 a^{2} + 9 a\right)\cdot 11^{20} + \left(a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 11^{21} + \left(a^{2} + 1\right)\cdot 11^{22} + \left(8 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 11^{23} + \left(6 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 11^{24} + \left(2 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 11^{25} + \left(3 a^{2} + 8\right)\cdot 11^{26} + \left(10 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 11^{27} + \left(5 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 11^{28} + \left(7 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 11^{29} + \left(2 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 11^{30} + \left(2 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 11^{31} + \left(9 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 11^{32} + \left(5 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 11^{33} + \left(5 a^{2} + a + 5\right)\cdot 11^{34} + \left(9 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 11^{35} + \left(5 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{36} + \left(3 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 11^{37} + \left(10 a^{2} + 7 a\right)\cdot 11^{38} + \left(10 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 11^{39} + \left(3 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 11^{40} + \left(6 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 11^{41} + \left(a^{2} + a + 7\right)\cdot 11^{42} + \left(5 a + 3\right)\cdot 11^{43} + \left(3 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 11^{44} + \left(10 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 11^{45} + \left(8 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 11^{46} + \left(6 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 11^{47} + \left(5 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 11^{48} + \left(2 a + 8\right)\cdot 11^{49} + \left(9 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 11^{50} + \left(2 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 11^{51} + \left(7 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 11^{52} + \left(9 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 11^{53} + \left(6 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 11^{54} + \left(10 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{55} +O\left(11^{ 56 }\right)$
$r_{ 4 }$ $=$ $ a^{2} + 10 a + 2 + \left(4 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 11 + \left(8 a + 6\right)\cdot 11^{2} + \left(2 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 11^{3} + \left(7 a^{2} + 4\right)\cdot 11^{4} + \left(9 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 11^{5} + \left(9 a^{2} + 10 a\right)\cdot 11^{6} + \left(5 a + 8\right)\cdot 11^{7} + \left(3 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 11^{8} + \left(4 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 11^{9} + \left(3 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 11^{10} + \left(3 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 11^{11} + \left(3 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 11^{12} + \left(10 a^{2} + 5\right)\cdot 11^{13} + \left(6 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 11^{14} + \left(8 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 11^{15} + \left(a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{16} + \left(7 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 11^{17} + \left(7 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 11^{18} + \left(3 a^{2} + 7\right)\cdot 11^{19} + \left(7 a + 8\right)\cdot 11^{20} + \left(8 a^{2} + 8\right)\cdot 11^{21} + \left(10 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 11^{22} + \left(7 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 11^{23} + \left(7 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 11^{24} + \left(10 a + 7\right)\cdot 11^{25} + \left(a^{2} + 4\right)\cdot 11^{26} + \left(7 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 11^{27} + \left(3 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{28} + \left(8 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 11^{29} + \left(8 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 11^{30} + \left(5 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 11^{31} + \left(9 a^{2} + 2 a\right)\cdot 11^{32} + \left(7 a^{2} + a + 1\right)\cdot 11^{33} + \left(6 a^{2} + 8\right)\cdot 11^{34} + \left(7 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 11^{35} + \left(9 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 11^{36} + \left(8 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 11^{37} + \left(6 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 11^{38} + \left(5 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 11^{39} + \left(2 a^{2} + 5\right)\cdot 11^{40} + \left(7 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 11^{41} + \left(3 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 11^{42} + \left(4 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 11^{43} + \left(6 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 11^{44} + \left(9 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 11^{45} + \left(9 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 11^{46} + \left(10 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 11^{47} + \left(7 a^{2} + 8\right)\cdot 11^{48} + \left(8 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 11^{49} + \left(6 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 11^{50} + \left(5 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 11^{51} + \left(5 a^{2} + 1\right)\cdot 11^{52} + \left(7 a^{2} + 9\right)\cdot 11^{53} + \left(4 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 11^{54} + \left(7 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{55} +O\left(11^{ 56 }\right)$
$r_{ 5 }$ $=$ $ 8 a^{2} + 7 a + 4 + \left(9 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 11 + \left(a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 11^{2} + \left(10 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 11^{3} + \left(10 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 11^{4} + \left(2 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 11^{5} + \left(a^{2} + a\right)\cdot 11^{6} + \left(10 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 11^{7} + \left(10 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 11^{8} + \left(4 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 11^{9} + \left(10 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 11^{10} + \left(2 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 11^{11} + \left(5 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 11^{12} + \left(3 a^{2} + a\right)\cdot 11^{13} + \left(4 a^{2} + 1\right)\cdot 11^{14} + \left(a^{2} + a + 10\right)\cdot 11^{15} + \left(4 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 11^{16} + \left(2 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 11^{17} + \left(10 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 11^{18} + \left(8 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 11^{19} + \left(3 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 11^{20} + \left(2 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 11^{21} + \left(5 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 11^{22} + \left(2 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 11^{23} + \left(a + 7\right)\cdot 11^{24} + \left(9 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 11^{25} + \left(2 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 11^{26} + \left(2 a^{2} + 3 a\right)\cdot 11^{27} + \left(8 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 11^{28} + \left(4 a^{2} + 2\right)\cdot 11^{29} + \left(8 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 11^{30} + \left(a^{2} + 5 a\right)\cdot 11^{31} + \left(5 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 11^{32} + \left(3 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 11^{33} + \left(9 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 11^{34} + \left(2 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 11^{35} + \left(a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 11^{36} + \left(4 a + 5\right)\cdot 11^{37} + \left(7 a^{2} + a + 7\right)\cdot 11^{38} + \left(3 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 11^{39} + \left(7 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 11^{40} + \left(9 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 11^{41} + \left(3 a^{2} + 10 a\right)\cdot 11^{42} + \left(10 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 11^{43} + \left(3 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 11^{44} + \left(5 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 11^{45} + \left(8 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 11^{46} + \left(6 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 11^{47} + \left(3 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 11^{48} + \left(2 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 11^{49} + \left(10 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 11^{50} + \left(2 a + 10\right)\cdot 11^{51} + \left(6 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 11^{52} + \left(5 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 11^{53} + \left(7 a^{2} + 5 a\right)\cdot 11^{54} + \left(7 a^{2} + 10\right)\cdot 11^{55} +O\left(11^{ 56 }\right)$
$r_{ 6 }$ $=$ $ 3 + 10\cdot 11 + 9\cdot 11^{2} + 9\cdot 11^{3} + 8\cdot 11^{4} + 11^{5} + 9\cdot 11^{6} + 9\cdot 11^{7} + 10\cdot 11^{8} + 3\cdot 11^{9} + 11^{10} + 5\cdot 11^{12} + 5\cdot 11^{13} + 10\cdot 11^{14} + 3\cdot 11^{15} + 3\cdot 11^{16} + 4\cdot 11^{17} + 9\cdot 11^{18} + 3\cdot 11^{19} + 7\cdot 11^{20} + 11^{21} + 8\cdot 11^{22} + 2\cdot 11^{24} + 4\cdot 11^{25} + 6\cdot 11^{26} + 8\cdot 11^{27} + 11^{29} + 7\cdot 11^{30} + 7\cdot 11^{31} + 11^{32} + 5\cdot 11^{33} + 3\cdot 11^{34} + 3\cdot 11^{35} + 6\cdot 11^{37} + 2\cdot 11^{39} + 11^{40} + 10\cdot 11^{41} + 5\cdot 11^{42} + 9\cdot 11^{44} + 8\cdot 11^{45} + 2\cdot 11^{46} + 8\cdot 11^{47} + 4\cdot 11^{48} + 9\cdot 11^{49} + 2\cdot 11^{50} + 2\cdot 11^{52} + 6\cdot 11^{53} + 5\cdot 11^{54} + 7\cdot 11^{55} +O\left(11^{ 56 }\right)$
$r_{ 7 }$ $=$ $ 2 a^{2} + 5 a + 7 + \left(8 a^{2} + 7 a\right)\cdot 11 + \left(8 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 11^{2} + \left(9 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 11^{3} + \left(3 a^{2} + 4 a\right)\cdot 11^{4} + \left(9 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 11^{5} + \left(10 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 11^{6} + \left(10 a^{2} + 10\right)\cdot 11^{7} + 7 a^{2}11^{8} + \left(a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 11^{9} + \left(8 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 11^{10} + \left(4 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 11^{11} + \left(2 a^{2} + a + 9\right)\cdot 11^{12} + \left(8 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 11^{13} + \left(10 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 11^{14} + \left(2 a + 2\right)\cdot 11^{15} + \left(5 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 11^{16} + \left(a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 11^{17} + \left(4 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 11^{18} + \left(9 a^{2} + 4 a\right)\cdot 11^{19} + \left(6 a^{2} + 10\right)\cdot 11^{20} + 9\cdot 11^{21} + \left(6 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 11^{22} + \left(5 a + 8\right)\cdot 11^{23} + \left(3 a^{2} + a + 7\right)\cdot 11^{24} + \left(a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 11^{25} + \left(7 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 11^{26} + \left(a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 11^{27} + \left(10 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 11^{28} + \left(8 a^{2} + 6 a\right)\cdot 11^{29} + \left(4 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 11^{30} + \left(3 a^{2} + a + 6\right)\cdot 11^{31} + \left(7 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 11^{32} + \left(10 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 11^{33} + \left(5 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 11^{34} + \left(5 a + 7\right)\cdot 11^{35} + \left(7 a + 5\right)\cdot 11^{36} + \left(2 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 11^{37} + \left(8 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 11^{38} + \left(a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 11^{39} + \left(a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{40} + \left(5 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 11^{41} + \left(3 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 11^{42} + \left(7 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 11^{43} + \left(7 a + 2\right)\cdot 11^{44} + \left(7 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 11^{45} + \left(3 a^{2} + 4 a\right)\cdot 11^{46} + \left(4 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 11^{47} + \left(10 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 11^{48} + \left(10 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 11^{49} + \left(4 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 11^{50} + 4 a^{2}11^{51} + \left(10 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 11^{52} + \left(8 a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{53} + \left(9 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 11^{54} + \left(6 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 11^{55} +O\left(11^{ 56 }\right)$
$r_{ 8 }$ $=$ $ 7 a + 2 + \left(5 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 11 + \left(a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 11^{2} + \left(10 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 11^{3} + \left(3 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 11^{4} + \left(a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 11^{5} + \left(a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 11^{6} + \left(4 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 11^{7} + \left(8 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 11^{8} + \left(6 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 11^{9} + \left(9 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 11^{10} + \left(8 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 11^{11} + \left(6 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 11^{12} + \left(9 a^{2} + 7 a\right)\cdot 11^{13} + \left(7 a + 7\right)\cdot 11^{14} + \left(a + 6\right)\cdot 11^{15} + \left(7 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 11^{16} + \left(10 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 11^{17} + \left(2 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 11^{18} + \left(10 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 11^{19} + \left(5 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 11^{20} + \left(5 a^{2} + 10 a\right)\cdot 11^{21} + \left(6 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 11^{22} + \left(7 a^{2} + 4 a\right)\cdot 11^{23} + \left(6 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 11^{24} + 7 a^{2}11^{25} + \left(6 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{26} + \left(9 a^{2} + 8\right)\cdot 11^{27} + \left(a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 11^{28} + \left(4 a + 5\right)\cdot 11^{29} + 8 a^{2}11^{30} + \left(8 a^{2} + 5 a\right)\cdot 11^{31} + \left(3 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 11^{32} + \left(10 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 11^{33} + \left(a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 11^{34} + \left(8 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 11^{35} + \left(9 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 11^{36} + \left(7 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 11^{37} + \left(2 a + 6\right)\cdot 11^{38} + \left(a^{2} + a + 10\right)\cdot 11^{39} + \left(3 a^{2} + 5 a\right)\cdot 11^{40} + \left(8 a^{2} + 6 a\right)\cdot 11^{41} + \left(9 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 11^{42} + \left(3 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 11^{43} + \left(4 a^{2} + a + 7\right)\cdot 11^{44} + \left(a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 11^{45} + \left(6 a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{46} + \left(4 a^{2} + 7\right)\cdot 11^{47} + \left(2 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 11^{48} + \left(9 a^{2} + a + 9\right)\cdot 11^{49} + \left(6 a + 5\right)\cdot 11^{50} + \left(8 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{51} + \left(2 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 11^{52} + \left(8 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 11^{53} + \left(7 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 11^{54} + \left(6 a^{2} + 9 a\right)\cdot 11^{55} +O\left(11^{ 56 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

Cycle notation
$(1,5,3,7,8,4)$
$(1,2)(3,8)(4,7)(5,6)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$ Character value
$1$$1$$()$$8$
$21$$2$$(1,2)(3,8)(4,7)(5,6)$$0$
$28$$2$$(2,4)(3,6)(7,8)$$2$
$56$$3$$(2,8,3)(4,7,6)$$-1$
$42$$4$$(1,5,3,8)(2,6,4,7)$$0$
$56$$6$$(2,6,8,4,3,7)$$-1$
$48$$7$$(1,2,6,8,5,4,7)$$1$
$42$$8$$(1,2,5,6,3,4,8,7)$$0$
$42$$8$$(1,6,8,2,3,7,5,4)$$0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.