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Properties

Label 8.3e4_31e4_43e4.12t178.1c1
Dimension 8
Group $(((C_3 \times (C_3^2 : C_2)) : C_2) : C_3) : C_2$
Conductor $ 3^{4} \cdot 31^{4} \cdot 43^{4}$
Root number 1
Frobenius-Schur indicator 1

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Basic invariants

Dimension:$8$
Group:$(((C_3 \times (C_3^2 : C_2)) : C_2) : C_3) : C_2$
Conductor:$255744095984001= 3^{4} \cdot 31^{4} \cdot 43^{4} $
Artin number field: Splitting field of $f= x^{9} - 3 x^{8} + 4 x^{7} - 8 x^{6} + 5 x^{5} - 2 x^{4} + 6 x^{3} + 6 x^{2} - 9 x - 9 $ over $\Q$
Size of Galois orbit: 1
Smallest containing permutation representation: 12T178
Parity: Even
Determinant: 1.1.1t1.1c1

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 19 }$ to precision 83.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 19 }$: $ x^{3} + 4 x + 17 $
Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ $ a^{2} + \left(15 a^{2} + 2 a + 18\right)\cdot 19 + \left(12 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 19^{2} + \left(10 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 19^{3} + \left(9 a^{2} + 18\right)\cdot 19^{4} + \left(18 a + 14\right)\cdot 19^{5} + \left(11 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 19^{6} + \left(9 a + 2\right)\cdot 19^{7} + \left(16 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 19^{8} + \left(2 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 19^{9} + \left(2 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 19^{10} + \left(3 a^{2} + 18\right)\cdot 19^{11} + \left(8 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 19^{12} + \left(4 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 19^{13} + \left(6 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 19^{14} + \left(12 a^{2} + a + 9\right)\cdot 19^{15} + \left(14 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 19^{16} + \left(5 a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 19^{17} + \left(11 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 19^{18} + \left(9 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 19^{19} + \left(13 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 19^{20} + \left(7 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 19^{21} + \left(16 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 19^{22} + \left(10 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 19^{23} + \left(9 a^{2} + 14 a + 18\right)\cdot 19^{24} + \left(a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 19^{25} + \left(3 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 19^{26} + \left(2 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 19^{27} + \left(13 a^{2} + 15\right)\cdot 19^{28} + \left(11 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 19^{29} + \left(17 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 19^{30} + \left(5 a^{2} + 3 a\right)\cdot 19^{31} + \left(7 a + 15\right)\cdot 19^{32} + \left(a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 19^{33} + \left(6 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 19^{34} + \left(17 a^{2} + a + 3\right)\cdot 19^{35} + \left(18 a^{2} + 17 a\right)\cdot 19^{36} + \left(8 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 19^{37} + \left(a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 19^{38} + \left(8 a^{2} + 15 a + 18\right)\cdot 19^{39} + \left(10 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 19^{40} + \left(3 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 19^{41} + \left(16 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 19^{42} + \left(3 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 19^{43} + \left(7 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 19^{44} + \left(18 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 19^{45} + \left(12 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 19^{46} + \left(7 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 19^{47} + \left(5 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 19^{48} + \left(3 a^{2} + 11\right)\cdot 19^{49} + \left(10 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 19^{50} + \left(12 a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 19^{51} + \left(12 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 19^{52} + \left(17 a^{2} + 7 a\right)\cdot 19^{53} + \left(15 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 19^{54} + \left(17 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 19^{55} + \left(16 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 19^{56} + \left(9 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 19^{57} + \left(13 a^{2} + a + 8\right)\cdot 19^{58} + \left(9 a^{2} + 12\right)\cdot 19^{59} + \left(6 a^{2} + 6 a\right)\cdot 19^{60} + \left(12 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 19^{61} + \left(2 a^{2} + a + 6\right)\cdot 19^{62} + \left(5 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 19^{63} + \left(15 a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 19^{64} + \left(7 a^{2} + 1\right)\cdot 19^{65} + \left(8 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 19^{66} + \left(11 a^{2} + 8 a + 17\right)\cdot 19^{67} + \left(13 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 19^{68} + \left(6 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 19^{69} + \left(3 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 19^{70} + \left(8 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 19^{71} + \left(4 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 19^{72} + \left(2 a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 19^{73} + \left(13 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 19^{74} + \left(17 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 19^{75} + \left(18 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 19^{76} + \left(14 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 19^{77} + \left(13 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 19^{78} + \left(10 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 19^{79} + \left(2 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 19^{80} + \left(11 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 19^{81} + \left(11 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 19^{82} +O\left(19^{ 83 }\right)$
$r_{ 2 }$ $=$ $ 2 a^{2} + 16 a + \left(11 a^{2} + 13 a + 18\right)\cdot 19 + \left(12 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 19^{2} + \left(8 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 19^{3} + \left(14 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 19^{4} + \left(17 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 19^{5} + \left(3 a^{2} + a + 7\right)\cdot 19^{6} + \left(5 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 19^{7} + \left(15 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 19^{8} + \left(8 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 19^{9} + \left(17 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 19^{10} + \left(17 a^{2} + 17\right)\cdot 19^{11} + \left(8 a^{2} + 7 a\right)\cdot 19^{12} + \left(14 a^{2} + 16 a + 17\right)\cdot 19^{13} + \left(4 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 19^{14} + \left(2 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 19^{15} + \left(15 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 19^{16} + \left(5 a + 6\right)\cdot 19^{17} + \left(16 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 19^{18} + \left(9 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 19^{19} + \left(15 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 19^{20} + \left(8 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 19^{21} + \left(3 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 19^{22} + \left(7 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 19^{23} + \left(10 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 19^{24} + \left(5 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 19^{25} + \left(9 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 19^{26} + \left(16 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 19^{27} + \left(5 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 19^{28} + \left(7 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 19^{29} + \left(14 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 19^{30} + \left(3 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 19^{31} + \left(7 a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 19^{32} + \left(5 a^{2} + 18 a + 9\right)\cdot 19^{33} + \left(10 a^{2} + a + 8\right)\cdot 19^{34} + \left(10 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 19^{35} + \left(a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 19^{36} + \left(3 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 19^{37} + \left(2 a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 19^{38} + \left(a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 19^{39} + \left(6 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 19^{40} + \left(3 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 19^{41} + \left(8 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 19^{42} + \left(8 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 19^{43} + \left(12 a^{2} + 18 a + 3\right)\cdot 19^{44} + \left(8 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 19^{45} + \left(2 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 19^{46} + \left(10 a^{2} + 9 a + 18\right)\cdot 19^{47} + \left(5 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 19^{48} + \left(5 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 19^{49} + \left(4 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 19^{50} + \left(8 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 19^{51} + \left(2 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 19^{52} + \left(5 a^{2} + 4\right)\cdot 19^{53} + \left(9 a^{2} + 12 a\right)\cdot 19^{54} + \left(16 a + 6\right)\cdot 19^{55} + \left(3 a^{2} + 17 a + 6\right)\cdot 19^{56} + \left(2 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 19^{57} + \left(3 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 19^{58} + \left(11 a^{2} + 5 a\right)\cdot 19^{59} + \left(13 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 19^{60} + \left(3 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 19^{61} + \left(7 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 19^{62} + \left(6 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 19^{63} + \left(16 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 19^{64} + \left(14 a^{2} + 16 a + 17\right)\cdot 19^{65} + \left(14 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 19^{66} + \left(17 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 19^{67} + \left(4 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 19^{68} + \left(18 a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 19^{69} + \left(15 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 19^{70} + \left(9 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 19^{71} + \left(9 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 19^{72} + \left(9 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 19^{73} + \left(18 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 19^{74} + \left(2 a^{2} + 10 a\right)\cdot 19^{75} + \left(13 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 19^{76} + \left(17 a^{2} + a + 4\right)\cdot 19^{77} + \left(10 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 19^{78} + \left(4 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 19^{79} + \left(7 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 19^{80} + \left(11 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 19^{81} + \left(6 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 19^{82} +O\left(19^{ 83 }\right)$
$r_{ 3 }$ $=$ $ 2 a^{2} + 4 a + 9 + \left(11 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 19 + \left(2 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 19^{2} + \left(8 a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 19^{3} + \left(8 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 19^{4} + \left(5 a^{2} + 17 a + 15\right)\cdot 19^{5} + \left(8 a^{2} + 18 a + 9\right)\cdot 19^{6} + \left(12 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 19^{7} + \left(18 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 19^{8} + \left(4 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 19^{9} + \left(13 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 19^{10} + \left(9 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 19^{11} + \left(15 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 19^{12} + \left(8 a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 19^{13} + \left(18 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 19^{14} + \left(a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 19^{15} + \left(16 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 19^{16} + \left(15 a^{2} + 2 a + 18\right)\cdot 19^{17} + \left(9 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 19^{18} + \left(2 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 19^{19} + \left(a + 2\right)\cdot 19^{20} + \left(12 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 19^{21} + \left(18 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 19^{22} + \left(3 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 19^{23} + \left(6 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 19^{24} + \left(7 a^{2} + 17 a\right)\cdot 19^{25} + \left(3 a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 19^{26} + \left(17 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 19^{27} + \left(6 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 19^{28} + \left(7 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 19^{29} + \left(11 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 19^{30} + \left(4 a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 19^{31} + \left(9 a^{2} + 16 a\right)\cdot 19^{32} + \left(6 a^{2} + a + 13\right)\cdot 19^{33} + \left(18 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 19^{34} + \left(18 a^{2} + 18 a + 7\right)\cdot 19^{35} + \left(3 a^{2} + 16 a + 17\right)\cdot 19^{36} + \left(10 a^{2} + 16 a\right)\cdot 19^{37} + \left(10 a + 7\right)\cdot 19^{38} + \left(a^{2} + 15 a + 18\right)\cdot 19^{39} + \left(12 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 19^{40} + \left(4 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 19^{41} + \left(13 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 19^{42} + \left(17 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 19^{43} + \left(a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 19^{44} + \left(8 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 19^{45} + \left(4 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 19^{46} + \left(13 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 19^{47} + \left(4 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 19^{48} + \left(16 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 19^{49} + \left(7 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 19^{50} + \left(14 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 19^{51} + \left(6 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 19^{52} + \left(2 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 19^{53} + \left(10 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 19^{54} + \left(12 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 19^{55} + \left(5 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 19^{56} + \left(10 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 19^{57} + \left(6 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 19^{58} + \left(13 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 19^{59} + \left(15 a^{2} + 2 a + 18\right)\cdot 19^{60} + \left(12 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 19^{61} + \left(4 a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 19^{62} + \left(15 a^{2} + a + 16\right)\cdot 19^{63} + \left(a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 19^{64} + \left(15 a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 19^{65} + \left(4 a^{2} + 16\right)\cdot 19^{66} + \left(14 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 19^{67} + \left(6 a^{2} + 3 a\right)\cdot 19^{68} + \left(4 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 19^{69} + \left(3 a^{2} + 3\right)\cdot 19^{70} + \left(3 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 19^{71} + \left(6 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 19^{72} + \left(12 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 19^{73} + \left(15 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 19^{74} + \left(6 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 19^{75} + \left(4 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 19^{76} + \left(9 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 19^{77} + \left(5 a^{2} + 7\right)\cdot 19^{78} + \left(18 a^{2} + 7 a\right)\cdot 19^{79} + \left(4 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 19^{80} + \left(17 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 19^{81} + \left(2 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 19^{82} +O\left(19^{ 83 }\right)$
$r_{ 4 }$ $=$ $ 14 a^{2} + 17 a + 13 + \left(14 a^{2} + 8\right)\cdot 19 + \left(a^{2} + 8 a\right)\cdot 19^{2} + \left(13 a^{2} + 4 a\right)\cdot 19^{3} + \left(5 a + 18\right)\cdot 19^{4} + \left(12 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 19^{5} + \left(a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 19^{6} + \left(3 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 19^{7} + \left(12 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 19^{8} + \left(9 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 19^{9} + \left(16 a^{2} + a + 7\right)\cdot 19^{10} + \left(2 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 19^{11} + \left(3 a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 19^{12} + \left(11 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 19^{13} + \left(7 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 19^{14} + \left(14 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 19^{15} + \left(8 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 19^{16} + \left(17 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 19^{17} + \left(6 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 19^{18} + \left(13 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 19^{19} + \left(14 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 19^{20} + 12 a^{2}19^{21} + \left(13 a^{2} + a + 17\right)\cdot 19^{22} + \left(14 a^{2} + a + 6\right)\cdot 19^{23} + \left(13 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 19^{24} + \left(16 a^{2} + 12 a\right)\cdot 19^{25} + \left(17 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 19^{26} + \left(4 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 19^{27} + \left(10 a^{2} + 7\right)\cdot 19^{28} + \left(10 a + 6\right)\cdot 19^{29} + \left(5 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 19^{30} + \left(6 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 19^{31} + \left(6 a^{2} + 15\right)\cdot 19^{32} + \left(9 a^{2} + 17 a + 7\right)\cdot 19^{33} + \left(16 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 19^{34} + \left(5 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 19^{35} + \left(3 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 19^{36} + \left(a^{2} + a + 15\right)\cdot 19^{37} + \left(13 a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 19^{38} + \left(5 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 19^{39} + \left(2 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 19^{40} + \left(18 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 19^{41} + \left(6 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 19^{42} + \left(17 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 19^{43} + \left(16 a + 4\right)\cdot 19^{44} + \left(15 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 19^{45} + \left(13 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 19^{46} + \left(9 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 19^{47} + \left(4 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 19^{48} + \left(6 a^{2} + 4 a\right)\cdot 19^{49} + \left(17 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 19^{50} + \left(13 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 19^{51} + \left(2 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 19^{52} + \left(11 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 19^{53} + \left(10 a^{2} + 16\right)\cdot 19^{54} + \left(10 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 19^{55} + \left(4 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 19^{56} + \left(11 a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 19^{57} + \left(2 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 19^{58} + \left(4 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 19^{59} + \left(6 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 19^{60} + \left(12 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 19^{61} + \left(6 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 19^{62} + \left(8 a^{2} + 18 a + 7\right)\cdot 19^{63} + \left(17 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 19^{64} + \left(10 a^{2} + 13 a\right)\cdot 19^{65} + \left(16 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 19^{66} + \left(15 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 19^{67} + \left(13 a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 19^{68} + \left(17 a^{2} + 8 a\right)\cdot 19^{69} + \left(11 a^{2} + 15\right)\cdot 19^{70} + \left(10 a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 19^{71} + \left(18 a^{2} + 6 a + 17\right)\cdot 19^{72} + \left(10 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 19^{73} + \left(9 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 19^{74} + \left(3 a^{2} + 2\right)\cdot 19^{75} + \left(16 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 19^{76} + \left(2 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 19^{77} + \left(16 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 19^{78} + \left(6 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 19^{79} + \left(10 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 19^{80} + \left(6 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 19^{81} + \left(11 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 19^{82} +O\left(19^{ 83 }\right)$
$r_{ 5 }$ $=$ $ 16 a^{2} + 15 a + 2 + \left(11 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 19 + \left(3 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 19^{2} + \left(17 a + 17\right)\cdot 19^{3} + \left(a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 19^{4} + \left(13 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 19^{5} + \left(18 a^{2} + 15 a + 18\right)\cdot 19^{6} + \left(5 a^{2} + a + 16\right)\cdot 19^{7} + \left(3 a^{2} + 17 a + 4\right)\cdot 19^{8} + \left(11 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 19^{9} + \left(3 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 19^{10} + \left(6 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 19^{11} + \left(14 a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 19^{12} + \left(5 a^{2} + 13\right)\cdot 19^{13} + \left(13 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 19^{14} + \left(4 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 19^{15} + \left(7 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 19^{16} + \left(16 a^{2} + 2 a\right)\cdot 19^{17} + \left(16 a^{2} + 9\right)\cdot 19^{18} + \left(6 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 19^{19} + \left(5 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 19^{20} + \left(18 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 19^{21} + \left(2 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 19^{22} + \left(4 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 19^{23} + \left(3 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 19^{24} + \left(10 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 19^{25} + \left(12 a^{2} + 13 a + 9\right)\cdot 19^{26} + \left(18 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 19^{27} + \left(17 a^{2} + 14 a + 9\right)\cdot 19^{28} + \left(18 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 19^{29} + \left(8 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 19^{30} + \left(8 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 19^{31} + \left(9 a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 19^{32} + \left(11 a^{2} + 17 a + 7\right)\cdot 19^{33} + \left(13 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 19^{34} + \left(a^{2} + 18 a + 12\right)\cdot 19^{35} + \left(15 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 19^{36} + \left(18 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 19^{37} + \left(16 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 19^{38} + \left(9 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 19^{39} + \left(15 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 19^{40} + \left(10 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 19^{41} + \left(8 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 19^{42} + \left(16 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 19^{43} + \left(9 a^{2} + 8\right)\cdot 19^{44} + \left(11 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 19^{45} + \left(a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 19^{46} + \left(17 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 19^{47} + \left(8 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 19^{48} + \left(18 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 19^{49} + \left(7 a + 15\right)\cdot 19^{50} + \left(11 a^{2} + 3 a\right)\cdot 19^{51} + \left(18 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 19^{52} + \left(17 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 19^{53} + \left(11 a^{2} + a + 1\right)\cdot 19^{54} + \left(7 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 19^{55} + \left(15 a^{2} + 15 a + 18\right)\cdot 19^{56} + \left(17 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 19^{57} + \left(17 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 19^{58} + \left(14 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 19^{59} + \left(15 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 19^{60} + \left(12 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 19^{61} + \left(11 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 19^{62} + \left(17 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 19^{63} + \left(a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 19^{64} + \left(15 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 19^{65} + \left(5 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 19^{66} + \left(12 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 19^{67} + \left(17 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 19^{68} + \left(7 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 19^{69} + \left(12 a^{2} + a + 2\right)\cdot 19^{70} + \left(7 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 19^{71} + \left(8 a^{2} + 6\right)\cdot 19^{72} + \left(4 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 19^{73} + \left(9 a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 19^{74} + \left(13 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 19^{75} + \left(14 a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 19^{76} + \left(13 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 19^{77} + \left(18 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 19^{78} + \left(8 a^{2} + a + 13\right)\cdot 19^{79} + \left(11 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 19^{80} + \left(9 a^{2} + 8 a + 17\right)\cdot 19^{81} + \left(4 a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 19^{82} +O\left(19^{ 83 }\right)$
$r_{ 6 }$ $=$ $ 15 a^{2} + 14 a + 11 + \left(10 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 19 + \left(a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 19^{2} + \left(11 a^{2} + 15\right)\cdot 19^{3} + \left(5 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 19^{4} + \left(10 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 19^{5} + \left(13 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 19^{6} + \left(7 a^{2} + 18 a + 8\right)\cdot 19^{7} + \left(11 a^{2} + 11\right)\cdot 19^{8} + \left(15 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 19^{9} + \left(12 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 19^{10} + \left(17 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 19^{11} + \left(3 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 19^{12} + \left(2 a^{2} + 18 a + 3\right)\cdot 19^{13} + \left(6 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 19^{14} + \left(4 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 19^{15} + \left(9 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 19^{16} + \left(12 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 19^{17} + \left(11 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 19^{18} + \left(13 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 19^{19} + \left(16 a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 19^{20} + \left(13 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 19^{21} + \left(8 a + 12\right)\cdot 19^{22} + \left(11 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 19^{23} + \left(14 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 19^{24} + \left(a^{2} + a + 17\right)\cdot 19^{25} + \left(5 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 19^{26} + \left(3 a + 11\right)\cdot 19^{27} + \left(3 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 19^{28} + \left(15 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 19^{29} + \left(a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 19^{30} + \left(4 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 19^{31} + \left(13 a^{2} + a + 3\right)\cdot 19^{32} + \left(13 a^{2} + 17 a + 7\right)\cdot 19^{33} + \left(a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 19^{34} + \left(18 a^{2} + a + 12\right)\cdot 19^{35} + \left(4 a^{2} + 4 a\right)\cdot 19^{36} + \left(14 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 19^{37} + \left(13 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 19^{38} + \left(17 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 19^{39} + \left(16 a^{2} + 8 a + 17\right)\cdot 19^{40} + \left(17 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 19^{41} + \left(17 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 19^{42} + \left(2 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 19^{43} + \left(6 a^{2} + 6 a + 13\right)\cdot 19^{44} + \left(5 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 19^{45} + \left(3 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 19^{46} + \left(12 a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 19^{47} + \left(4 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 19^{48} + \left(8 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 19^{49} + \left(11 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 19^{50} + \left(9 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 19^{51} + \left(11 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 19^{52} + \left(17 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 19^{53} + \left(3 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 19^{54} + \left(12 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 19^{55} + \left(9 a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 19^{56} + \left(3 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 19^{57} + \left(11 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 19^{58} + \left(5 a^{2} + a + 13\right)\cdot 19^{59} + \left(13 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 19^{60} + \left(3 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 19^{61} + \left(11 a^{2} + 14\right)\cdot 19^{62} + \left(9 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 19^{63} + \left(18 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 19^{64} + \left(17 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 19^{65} + \left(3 a^{2} + a + 1\right)\cdot 19^{66} + \left(3 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 19^{67} + \left(5 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 19^{68} + \left(10 a^{2} + 12 a + 17\right)\cdot 19^{69} + \left(5 a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 19^{70} + \left(12 a^{2} + 6\right)\cdot 19^{71} + \left(4 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 19^{72} + \left(18 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 19^{73} + \left(14 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 19^{74} + \left(7 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 19^{75} + \left(10 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 19^{76} + \left(5 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 19^{77} + \left(13 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 19^{78} + \left(14 a + 1\right)\cdot 19^{79} + \left(15 a^{2} + 14 a + 18\right)\cdot 19^{80} + \left(6 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 19^{81} + \left(6 a^{2} + 18 a + 7\right)\cdot 19^{82} +O\left(19^{ 83 }\right)$
$r_{ 7 }$ $=$ $ 3 a^{2} + 5 a + 9 + \left(12 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 19 + \left(4 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 19^{2} + \left(16 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 19^{3} + \left(3 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 19^{4} + \left(8 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 19^{5} + \left(13 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 19^{6} + \left(10 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 19^{7} + \left(10 a^{2} + 4 a\right)\cdot 19^{8} + \left(16 a + 15\right)\cdot 19^{9} + \left(4 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 19^{10} + \left(17 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 19^{11} + \left(6 a^{2} + 8\right)\cdot 19^{12} + \left(12 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 19^{13} + \left(6 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 19^{14} + \left(2 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 19^{15} + \left(14 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 19^{16} + \left(8 a + 12\right)\cdot 19^{17} + \left(15 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 19^{18} + \left(14 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 19^{19} + \left(7 a^{2} + 7 a\right)\cdot 19^{20} + \left(16 a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 19^{21} + \left(a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 19^{22} + \left(16 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 19^{23} + \left(13 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 19^{24} + \left(15 a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 19^{25} + \left(10 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 19^{26} + \left(16 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 19^{27} + \left(2 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 19^{28} + \left(11 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 19^{29} + \left(18 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 19^{30} + \left(8 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 19^{31} + \left(5 a^{2} + 10 a\right)\cdot 19^{32} + \left(4 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 19^{33} + \left(11 a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 19^{34} + \left(2 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 19^{35} + \left(14 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 19^{36} + \left(14 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 19^{37} + \left(3 a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 19^{38} + \left(12 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 19^{39} + \left(10 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 19^{40} + \left(16 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 19^{41} + \left(3 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 19^{42} + \left(12 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 19^{43} + \left(5 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 19^{44} + \left(14 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 19^{45} + \left(2 a^{2} + 7 a + 15\right)\cdot 19^{46} + \left(18 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 19^{47} + \left(8 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 19^{48} + \left(7 a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 19^{49} + \left(16 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 19^{50} + \left(15 a^{2} + a + 14\right)\cdot 19^{51} + \left(13 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 19^{52} + \left(2 a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 19^{53} + \left(18 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 19^{54} + \left(7 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 19^{55} + \left(11 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 19^{56} + \left(5 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 19^{57} + \left(13 a^{2} + 5 a\right)\cdot 19^{58} + \left(3 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 19^{59} + \left(18 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 19^{60} + \left(2 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 19^{61} + \left(5 a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 19^{62} + \left(4 a^{2} + 7 a + 15\right)\cdot 19^{63} + \left(4 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 19^{64} + \left(12 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 19^{65} + \left(6 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 19^{66} + \left(4 a^{2} + 18 a + 10\right)\cdot 19^{67} + \left(4 a + 6\right)\cdot 19^{68} + \left(2 a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 19^{69} + \left(10 a^{2} + 18 a + 3\right)\cdot 19^{70} + \left(17 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 19^{71} + \left(9 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 19^{72} + \left(17 a^{2} + 4 a\right)\cdot 19^{73} + \left(9 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 19^{74} + \left(12 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 19^{75} + \left(8 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 19^{76} + \left(17 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 19^{77} + \left(10 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 19^{78} + \left(7 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 19^{79} + \left(a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 19^{80} + \left(a^{2} + 18 a + 7\right)\cdot 19^{81} + \left(a^{2} + a + 2\right)\cdot 19^{82} +O\left(19^{ 83 }\right)$
$r_{ 8 }$ $=$ $ 8 a^{2} + 6 a + 5 + \left(11 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 19 + \left(13 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 19^{2} + \left(5 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 19^{3} + \left(17 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 19^{4} + \left(12 a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 19^{5} + \left(17 a^{2} + 13 a + 17\right)\cdot 19^{6} + \left(9 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 19^{7} + \left(3 a^{2} + 14 a + 9\right)\cdot 19^{8} + \left(17 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 19^{9} + \left(17 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 19^{10} + \left(9 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 19^{11} + \left(a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 19^{12} + \left(2 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 19^{13} + \left(17 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 19^{14} + \left(18 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 19^{15} + \left(2 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 19^{16} + \left(4 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 19^{17} + \left(14 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 19^{18} + \left(17 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 19^{19} + \left(17 a^{2} + 17 a + 2\right)\cdot 19^{20} + \left(6 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 19^{21} + \left(2 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 19^{22} + \left(15 a + 15\right)\cdot 19^{23} + \left(2 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 19^{24} + \left(11 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 19^{25} + \left(7 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 19^{26} + \left(14 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 19^{27} + \left(9 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 19^{28} + \left(18 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 19^{29} + \left(4 a^{2} + a\right)\cdot 19^{30} + \left(4 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 19^{31} + \left(3 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 19^{32} + \left(17 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 19^{33} + \left(7 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 19^{34} + \left(11 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 19^{35} + \left(3 a + 1\right)\cdot 19^{36} + \left(18 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 19^{37} + \left(7 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 19^{38} + \left(3 a^{2} + 16\right)\cdot 19^{39} + \left(a^{2} + 3 a\right)\cdot 19^{40} + \left(9 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 19^{41} + \left(3 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 19^{42} + \left(4 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 19^{43} + \left(8 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 19^{44} + \left(11 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 19^{45} + \left(3 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 19^{46} + \left(11 a^{2} + 16 a\right)\cdot 19^{47} + \left(5 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 19^{48} + \left(13 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 19^{49} + 8\cdot 19^{50} + \left(13 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 19^{51} + \left(16 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 19^{52} + \left(8 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 19^{53} + \left(15 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 19^{54} + \left(12 a + 4\right)\cdot 19^{55} + \left(18 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 19^{56} + \left(8 a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 19^{57} + \left(17 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 19^{58} + \left(18 a^{2} + 17\right)\cdot 19^{59} + \left(15 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 19^{60} + \left(12 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 19^{61} + \left(3 a + 11\right)\cdot 19^{62} + \left(12 a^{2} + 10 a\right)\cdot 19^{63} + \left(18 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 19^{64} + \left(11 a^{2} + 3 a + 16\right)\cdot 19^{65} + \left(15 a^{2} + 11 a\right)\cdot 19^{66} + \left(9 a^{2} + 15\right)\cdot 19^{67} + \left(6 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 19^{68} + \left(12 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 19^{69} + \left(13 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 19^{70} + \left(2 a + 14\right)\cdot 19^{71} + \left(11 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 19^{72} + \left(3 a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 19^{73} + \left(18 a + 6\right)\cdot 19^{74} + \left(2 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 19^{75} + \left(7 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 19^{76} + \left(2 a^{2} + 17 a + 1\right)\cdot 19^{77} + \left(3 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 19^{78} + \left(3 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 19^{79} + \left(16 a^{2} + 18 a + 2\right)\cdot 19^{80} + \left(2 a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 19^{81} + \left(3 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 19^{82} +O\left(19^{ 83 }\right)$
$r_{ 9 }$ $=$ $ 15 a^{2} + 18 a + 11 + \left(15 a^{2} + 18 a + 12\right)\cdot 19 + \left(3 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 19^{2} + \left(2 a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 19^{3} + \left(15 a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 19^{4} + \left(14 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 19^{5} + \left(6 a^{2} + 17 a + 1\right)\cdot 19^{6} + \left(a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 19^{7} + \left(4 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 19^{8} + \left(5 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 19^{9} + \left(7 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 19^{10} + \left(10 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 19^{11} + \left(13 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 19^{12} + \left(14 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 19^{13} + \left(14 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 19^{14} + \left(14 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 19^{15} + \left(6 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 19^{16} + \left(2 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 19^{17} + \left(12 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 19^{18} + \left(6 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 19^{19} + \left(3 a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 19^{20} + \left(17 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 19^{21} + \left(15 a^{2} + 7 a + 15\right)\cdot 19^{22} + \left(7 a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 19^{23} + \left(2 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 19^{24} + \left(6 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 19^{25} + \left(6 a^{2} + 18 a + 12\right)\cdot 19^{26} + \left(4 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 19^{27} + \left(6 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 19^{28} + \left(4 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 19^{29} + \left(12 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 19^{30} + \left(10 a^{2} + 1\right)\cdot 19^{31} + \left(2 a^{2} + 13 a\right)\cdot 19^{32} + \left(7 a^{2} + 17 a + 15\right)\cdot 19^{33} + \left(9 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 19^{34} + \left(8 a^{2} + 14 a + 18\right)\cdot 19^{35} + \left(13 a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 19^{36} + \left(5 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 19^{37} + \left(16 a^{2} + 12\right)\cdot 19^{38} + \left(16 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 19^{39} + \left(7 a + 12\right)\cdot 19^{40} + \left(11 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 19^{41} + \left(16 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 19^{42} + \left(11 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 19^{43} + \left(4 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 19^{44} + \left(2 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 19^{45} + \left(12 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 19^{46} + \left(14 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 19^{47} + \left(8 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 19^{48} + \left(16 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 19^{49} + \left(6 a^{2} + a + 18\right)\cdot 19^{50} + \left(15 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 19^{51} + \left(9 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 19^{52} + \left(11 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 19^{53} + \left(18 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 19^{54} + \left(5 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 19^{55} + \left(10 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 19^{56} + \left(6 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 19^{57} + \left(9 a^{2} + 17\right)\cdot 19^{58} + \left(13 a^{2} + 17 a + 2\right)\cdot 19^{59} + \left(8 a^{2} + a + 9\right)\cdot 19^{60} + \left(2 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 19^{61} + \left(7 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 19^{62} + \left(16 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 19^{63} + \left(5 a + 1\right)\cdot 19^{64} + \left(8 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 19^{65} + \left(18 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 19^{66} + \left(5 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 19^{67} + \left(7 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 19^{68} + \left(15 a^{2} + 11 a + 18\right)\cdot 19^{69} + \left(18 a^{2} + 18 a + 8\right)\cdot 19^{70} + \left(5 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 19^{71} + \left(3 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 19^{72} + \left(16 a^{2} + 18 a + 13\right)\cdot 19^{73} + \left(3 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 19^{74} + \left(9 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 19^{75} + \left(a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 19^{76} + \left(11 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 19^{77} + \left(2 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 19^{78} + \left(15 a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 19^{79} + \left(6 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 19^{80} + \left(9 a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 19^{81} + \left(9 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 19^{82} +O\left(19^{ 83 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 9 }$

Cycle notation
$(1,3,6,2)(7,9)$
$(1,2,4)(3,5,6)(7,9,8)$
$(1,6,7)$
$(2,3,9)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 9 }$ Character value
$1$$1$$()$$8$
$27$$2$$(2,3)(4,5)$$0$
$54$$2$$(1,2)(3,6)(4,5)(7,9)$$0$
$6$$3$$(4,8,5)$$-4$
$8$$3$$(1,6,7)(2,3,9)(4,5,8)$$-1$
$12$$3$$(2,9,3)(4,8,5)$$2$
$72$$3$$(1,2,4)(3,5,6)(7,9,8)$$2$
$54$$4$$(2,4,3,5)(8,9)$$0$
$54$$6$$(1,6)(2,3)(4,5,8)$$0$
$108$$6$$(1,6)(2,4,9,8,3,5)$$0$
$72$$9$$(1,2,4,6,3,5,7,9,8)$$-1$
$72$$9$$(1,2,4,7,9,8,6,3,5)$$-1$
$54$$12$$(1,3,6,2)(4,8,5)(7,9)$$0$
$54$$12$$(1,3,6,2)(4,5,8)(7,9)$$0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.