Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 11 }$ to precision 82.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 11 }$: $ x^{4} + 8 x^{2} + 10 x + 2 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 8 + \left(2 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 11 + \left(6 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 11^{2} + \left(3 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 11^{3} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 11^{4} + \left(2 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 11^{5} + \left(9 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 11^{6} + \left(10 a^{3} + a^{2} + a + 4\right)\cdot 11^{7} + \left(8 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 11^{8} + \left(6 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 11^{9} + \left(9 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 11^{10} + \left(5 a^{3} + 3 a^{2} + 1\right)\cdot 11^{11} + \left(3 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 11^{12} + \left(8 a^{3} + a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 11^{13} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a\right)\cdot 11^{14} + \left(a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 11^{15} + \left(a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 11^{16} + \left(3 a^{3} + 9 a + 9\right)\cdot 11^{17} + \left(6 a^{3} + a^{2} + a + 5\right)\cdot 11^{18} + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 11^{19} + \left(8 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 11^{20} + \left(7 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{21} + \left(a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 11^{22} + \left(6 a^{3} + a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 11^{23} + \left(3 a^{3} + 3 a^{2} + 6\right)\cdot 11^{24} + \left(8 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 11^{25} + \left(10 a^{3} + 4\right)\cdot 11^{26} + \left(a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 11^{27} + \left(a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 11^{28} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + 6\right)\cdot 11^{29} + \left(9 a^{3} + 8 a + 6\right)\cdot 11^{30} + \left(9 a + 1\right)\cdot 11^{31} + \left(9 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 11^{32} + \left(10 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 11^{33} + \left(7 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a\right)\cdot 11^{34} + \left(4 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 11^{35} + \left(8 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 11^{36} + \left(2 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 11^{37} + \left(3 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 11^{38} + \left(8 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 11^{39} + \left(a^{3} + 6 a^{2} + a + 7\right)\cdot 11^{40} + \left(2 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 11^{41} + \left(a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 11^{42} + \left(9 a^{3} + 5 a^{2} + 4\right)\cdot 11^{43} + \left(6 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 11^{44} + \left(10 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{45} + \left(6 a^{3} + 8 a^{2} + 3\right)\cdot 11^{46} + \left(2 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 11^{47} + \left(4 a^{3} + 2 a^{2} + a + 4\right)\cdot 11^{48} + \left(2 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 11^{49} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 11^{50} + \left(7 a^{3} + 9 a^{2} + a\right)\cdot 11^{51} + \left(6 a^{3} + 9 a + 7\right)\cdot 11^{52} + \left(2 a^{3} + 3 a^{2} + 10\right)\cdot 11^{53} + \left(a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 11^{54} + \left(10 a^{3} + 2 a^{2} + 5\right)\cdot 11^{55} + \left(9 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 11^{56} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 11^{57} + \left(5 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 11^{58} + \left(5 a^{3} + 3 a^{2} + 3\right)\cdot 11^{59} + \left(6 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 11^{60} + \left(3 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a\right)\cdot 11^{61} + \left(4 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 11^{62} + \left(4 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 11^{63} + \left(a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 11^{64} + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 11^{65} + \left(5 a^{3} + 1\right)\cdot 11^{66} + \left(10 a^{3} + 4 a^{2} + 5\right)\cdot 11^{67} + \left(8 a^{3} + 7 a + 8\right)\cdot 11^{68} + \left(9 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 11^{69} + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 11^{70} + \left(6 a^{3} + 4 a^{2} + 2\right)\cdot 11^{71} + \left(3 a^{3} + 3\right)\cdot 11^{72} + \left(3 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 11^{73} + \left(3 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 11^{74} + \left(4 a^{3} + 6 a + 10\right)\cdot 11^{75} + \left(3 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 11^{76} + 10 a^{3}11^{77} + \left(3 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a\right)\cdot 11^{78} + \left(9 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 11^{79} + \left(9 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 11^{80} + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 11^{81} +O\left(11^{ 82 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 4 a^{3} + a^{2} + 4 a + 3 + \left(4 a^{3} + 5 a^{2} + 9\right)\cdot 11 + \left(10 a + 1\right)\cdot 11^{2} + \left(4 a^{3} + 2 a^{2} + a + 1\right)\cdot 11^{3} + \left(5 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 11^{4} + \left(2 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 11^{5} + \left(9 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 11^{6} + \left(2 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 11^{7} + \left(2 a^{3} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{8} + \left(4 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 11^{9} + \left(6 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 11^{10} + \left(3 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 11^{11} + \left(7 a^{3} + 3 a^{2} + 7\right)\cdot 11^{12} + \left(5 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 11^{13} + \left(10 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 11^{14} + \left(3 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 11^{15} + \left(8 a^{3} + 6 a^{2} + 4\right)\cdot 11^{16} + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 11^{17} + \left(8 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 11^{18} + \left(3 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 11^{19} + \left(9 a^{3} + a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 11^{20} + \left(8 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 11^{21} + \left(8 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 11^{22} + \left(5 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 11^{23} + \left(7 a^{3} + 5 a + 1\right)\cdot 11^{24} + \left(9 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 11^{25} + \left(5 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 11^{26} + \left(5 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 11^{27} + \left(9 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 11^{28} + \left(2 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 11^{29} + \left(9 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a\right)\cdot 11^{30} + \left(6 a^{3} + 3\right)\cdot 11^{31} + \left(7 a^{2} + a + 2\right)\cdot 11^{32} + \left(5 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 11^{33} + \left(4 a^{3} + 8 a^{2} + 4\right)\cdot 11^{34} + \left(7 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a\right)\cdot 11^{35} + \left(7 a^{3} + 4 a^{2} + a + 10\right)\cdot 11^{36} + \left(10 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 11^{37} + \left(4 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 11^{38} + \left(10 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 11^{39} + \left(4 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 11^{40} + \left(4 a^{3} + 8 a^{2} + a + 7\right)\cdot 11^{41} + \left(2 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 11^{42} + \left(7 a^{2} + 5\right)\cdot 11^{43} + \left(7 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 11^{44} + \left(10 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 11^{45} + \left(a^{3} + 3 a + 4\right)\cdot 11^{46} + \left(6 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 11^{47} + \left(2 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a\right)\cdot 11^{48} + \left(6 a^{3} + 2 a + 2\right)\cdot 11^{49} + \left(10 a^{3} + a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 11^{50} + \left(10 a^{3} + 8 a^{2} + 9\right)\cdot 11^{51} + \left(9 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 11^{52} + \left(4 a^{3} + 8 a\right)\cdot 11^{53} + \left(7 a^{3} + a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 11^{54} + \left(3 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 11^{55} + \left(3 a^{3} + a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 11^{56} + \left(3 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 11^{57} + \left(9 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 11^{58} + \left(6 a^{3} + 9 a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{59} + \left(8 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 11^{60} + \left(7 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 11^{61} + \left(6 a^{3} + a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 11^{62} + \left(9 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 11^{63} + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 11^{64} + \left(a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 11^{65} + \left(8 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{66} + \left(6 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 11^{67} + \left(10 a^{3} + a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 11^{68} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 11^{69} + \left(8 a^{2} + 5\right)\cdot 11^{70} + \left(5 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a\right)\cdot 11^{71} + \left(10 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 11^{72} + \left(6 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a\right)\cdot 11^{73} + \left(9 a^{3} + a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 11^{74} + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 6\right)\cdot 11^{75} + \left(7 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 11^{76} + \left(2 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 11^{77} + \left(10 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 11^{78} + \left(9 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 11^{79} + \left(3 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 11^{80} + \left(5 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 11^{81} +O\left(11^{ 82 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 6 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 2 + \left(a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 11 + \left(4 a^{3} + 8 a\right)\cdot 11^{2} + \left(10 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 11^{3} + \left(7 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 11^{4} + \left(6 a^{3} + 2 a\right)\cdot 11^{5} + \left(5 a^{3} + 3 a^{2} + 10\right)\cdot 11^{6} + \left(5 a^{3} + 6 a^{2} + a + 5\right)\cdot 11^{7} + \left(7 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{8} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2}\right)\cdot 11^{9} + \left(3 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 11^{10} + \left(7 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 11^{11} + \left(3 a^{3} + 9 a + 2\right)\cdot 11^{12} + \left(6 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 11^{13} + \left(8 a^{3} + 4 a^{2} + a + 6\right)\cdot 11^{14} + \left(a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 11^{15} + \left(6 a^{3} + a^{2} + 3\right)\cdot 11^{16} + \left(8 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 11^{17} + \left(6 a^{3} + a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 11^{18} + \left(3 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 11^{19} + \left(a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 11^{20} + \left(4 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 11^{21} + \left(a^{3} + a^{2} + 2 a\right)\cdot 11^{22} + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 11^{23} + \left(2 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 11^{24} + \left(a^{3} + 2 a^{2} + 2\right)\cdot 11^{25} + \left(8 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 11^{26} + \left(6 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 11^{27} + \left(4 a^{3} + 6 a + 1\right)\cdot 11^{28} + \left(5 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 11^{29} + \left(3 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a\right)\cdot 11^{30} + \left(4 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 11^{31} + \left(10 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 11^{32} + \left(a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 11^{33} + \left(7 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 11^{34} + \left(5 a^{3} + a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 11^{35} + \left(6 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 11^{36} + \left(9 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 11^{37} + \left(5 a^{3} + a^{2} + 5 a\right)\cdot 11^{38} + \left(10 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a\right)\cdot 11^{39} + \left(8 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 11^{40} + \left(8 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 11^{41} + \left(a^{2} + 3\right)\cdot 11^{42} + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a\right)\cdot 11^{43} + \left(10 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 11^{44} + \left(8 a^{3} + 10 a^{2} + a + 4\right)\cdot 11^{45} + \left(a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 11^{46} + \left(2 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 11^{47} + \left(7 a^{3} + 8 a^{2} + a + 1\right)\cdot 11^{48} + \left(3 a^{3} + 5 a^{2} + 3\right)\cdot 11^{49} + \left(8 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 11^{50} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + 4\right)\cdot 11^{51} + \left(9 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{52} + \left(10 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 11^{53} + \left(a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 11^{54} + \left(7 a^{3} + 7 a^{2} + a + 8\right)\cdot 11^{55} + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + a + 5\right)\cdot 11^{56} + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 11^{57} + \left(5 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 11^{58} + \left(7 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 11^{59} + \left(6 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 11^{60} + \left(2 a^{3} + 4 a + 8\right)\cdot 11^{61} + \left(6 a^{3} + 7 a^{2} + 5\right)\cdot 11^{62} + \left(a^{3} + 4 a + 5\right)\cdot 11^{63} + \left(6 a^{3} + a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 11^{64} + \left(2 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 11^{65} + \left(a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 11^{66} + \left(2 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{67} + \left(a^{3} + 4 a^{2} + 4\right)\cdot 11^{68} + \left(5 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 11^{69} + \left(2 a^{3} + 2 a^{2} + a + 10\right)\cdot 11^{70} + \left(9 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 11^{71} + \left(5 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a\right)\cdot 11^{72} + \left(7 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 11^{73} + \left(6 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 11^{74} + \left(2 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 11^{75} + \left(5 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 11^{76} + \left(8 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 11^{77} + \left(10 a^{3} + a^{2} + 6 a\right)\cdot 11^{78} + \left(10 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 11^{79} + \left(8 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 11^{80} + \left(a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 11^{81} +O\left(11^{ 82 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 7 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 6 + \left(5 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a\right)\cdot 11 + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 11^{2} + \left(a^{3} + 9 a^{2} + 7 a\right)\cdot 11^{3} + \left(5 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 11^{4} + \left(5 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 11^{5} + \left(a^{3} + a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 11^{6} + \left(5 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 11^{7} + \left(9 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a\right)\cdot 11^{8} + \left(9 a^{3} + 3 a^{2} + 10\right)\cdot 11^{9} + \left(10 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{10} + \left(9 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 11^{11} + \left(7 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 11^{12} + \left(9 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 11^{13} + \left(9 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 11^{14} + \left(6 a^{3} + 5 a^{2} + 10\right)\cdot 11^{15} + \left(4 a^{3} + a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 11^{16} + \left(a^{2} + a + 4\right)\cdot 11^{17} + \left(4 a^{3} + 4 a + 10\right)\cdot 11^{18} + \left(4 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 11^{19} + \left(2 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a\right)\cdot 11^{20} + \left(5 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 11^{21} + \left(9 a^{3} + 3 a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{22} + \left(9 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 11^{23} + \left(6 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 11^{24} + \left(10 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 11^{25} + \left(4 a^{3} + 9 a^{2} + a + 7\right)\cdot 11^{26} + \left(3 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 11^{27} + \left(8 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a\right)\cdot 11^{28} + \left(5 a^{3} + a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 11^{29} + \left(3 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 11^{30} + \left(2 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 11^{31} + \left(8 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 11^{32} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 11^{33} + \left(8 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 11^{34} + \left(3 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 11^{35} + \left(6 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a\right)\cdot 11^{36} + \left(7 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 11^{37} + \left(a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 11^{38} + \left(10 a^{3} + 5\right)\cdot 11^{39} + \left(3 a^{2} + 4\right)\cdot 11^{40} + \left(5 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 11^{41} + \left(4 a^{3} + a^{2} + 5\right)\cdot 11^{42} + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 11^{43} + \left(7 a^{3} + 8 a\right)\cdot 11^{44} + \left(10 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a\right)\cdot 11^{45} + \left(4 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 11^{46} + \left(a^{3} + 10 a^{2} + 1\right)\cdot 11^{47} + \left(5 a^{3} + a^{2} + a + 9\right)\cdot 11^{48} + \left(9 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 11^{49} + \left(2 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 11^{50} + \left(6 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 11^{51} + \left(7 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 11^{52} + \left(10 a^{3} + a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 11^{53} + \left(3 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 11^{54} + \left(10 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 11^{55} + \left(7 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 11^{56} + \left(7 a^{3} + 7 a^{2} + a + 6\right)\cdot 11^{57} + \left(5 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 11^{58} + \left(2 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 11^{59} + \left(5 a^{2} + 9\right)\cdot 11^{60} + \left(a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 11^{61} + \left(4 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 11^{62} + \left(5 a^{3} + 2 a^{2} + 4\right)\cdot 11^{63} + \left(2 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 11^{64} + \left(3 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 11^{65} + \left(2 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 11^{66} + \left(a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 11^{67} + \left(3 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 11^{68} + \left(8 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 11^{69} + \left(a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 11^{70} + \left(4 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 11^{71} + \left(6 a^{3} + 8 a^{2} + 6\right)\cdot 11^{72} + \left(7 a^{2} + 5 a\right)\cdot 11^{73} + \left(8 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 11^{74} + \left(6 a^{3} + a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 11^{75} + \left(10 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a\right)\cdot 11^{76} + \left(9 a^{3} + 5 a + 1\right)\cdot 11^{77} + \left(8 a^{3} + 5 a^{2} + a + 10\right)\cdot 11^{78} + \left(6 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 11^{79} + \left(7 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a\right)\cdot 11^{80} + \left(a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 11^{81} +O\left(11^{ 82 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 2 a^{2} + a + 10 + \left(9 a^{3} + a^{2} + 4 a\right)\cdot 11 + \left(9 a^{3} + 3 a^{2} + 6\right)\cdot 11^{2} + \left(10 a^{3} + a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 11^{3} + \left(2 a^{3} + 10 a^{2} + 7\right)\cdot 11^{4} + \left(8 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 11^{5} + \left(5 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 11^{6} + \left(8 a^{3} + 9 a^{2} + 8\right)\cdot 11^{7} + \left(10 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 11^{8} + \left(a^{3} + a^{2} + a + 8\right)\cdot 11^{9} + \left(9 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 11^{10} + \left(a^{3} + 8 a^{2} + 4\right)\cdot 11^{11} + \left(9 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{12} + \left(4 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 11^{13} + \left(6 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 11^{14} + \left(a^{3} + a^{2} + 7\right)\cdot 11^{15} + \left(10 a^{3} + 5 a^{2} + 10\right)\cdot 11^{16} + \left(a^{3} + 10 a^{2} + 3\right)\cdot 11^{17} + \left(6 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{18} + \left(2 a^{3} + a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 11^{19} + \left(6 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 11^{20} + \left(10 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 11^{21} + \left(6 a^{3} + 9 a + 9\right)\cdot 11^{22} + \left(8 a^{3} + a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 11^{23} + \left(3 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 11^{24} + \left(8 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 11^{25} + \left(7 a^{3} + 3 a^{2} + a + 10\right)\cdot 11^{26} + \left(3 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 11^{27} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 11^{28} + \left(a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 11^{29} + \left(8 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 11^{30} + \left(a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 11^{31} + \left(a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 11^{32} + \left(8 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 11^{33} + \left(10 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a\right)\cdot 11^{34} + \left(4 a^{3} + 6 a\right)\cdot 11^{35} + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 5\right)\cdot 11^{36} + \left(7 a^{3} + a^{2} + 5\right)\cdot 11^{37} + \left(a^{3} + 2 a + 8\right)\cdot 11^{38} + \left(4 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 11^{39} + \left(a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 11^{40} + \left(5 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 11^{41} + \left(4 a^{3} + 3 a^{2} + a + 8\right)\cdot 11^{42} + \left(4 a^{3} + a^{2} + a + 10\right)\cdot 11^{43} + \left(2 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 11^{44} + \left(8 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 11^{45} + \left(10 a^{3} + 6 a + 9\right)\cdot 11^{46} + \left(2 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 11^{47} + \left(3 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 11^{48} + \left(10 a^{3} + 6 a + 4\right)\cdot 11^{49} + \left(9 a^{3} + 7 a^{2} + a + 4\right)\cdot 11^{50} + \left(10 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 11^{51} + \left(6 a^{3} + a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{52} + \left(2 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 11^{53} + \left(2 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 11^{54} + \left(9 a^{3} + 10 a + 7\right)\cdot 11^{55} + \left(6 a^{3} + 7 a^{2} + a + 5\right)\cdot 11^{56} + \left(9 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 11^{57} + \left(9 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 11^{58} + \left(4 a^{3} + 3 a^{2} + 10\right)\cdot 11^{59} + \left(9 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{60} + \left(3 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 11^{61} + \left(4 a^{2} + 2\right)\cdot 11^{62} + \left(a^{3} + 9 a^{2} + a + 4\right)\cdot 11^{63} + \left(8 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 11^{64} + \left(10 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 11^{65} + \left(8 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 11^{66} + \left(9 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 11^{67} + \left(5 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a\right)\cdot 11^{68} + \left(4 a^{3} + 3 a^{2} + 3\right)\cdot 11^{69} + \left(4 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 11^{70} + \left(5 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 11^{71} + \left(2 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 11^{72} + \left(8 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 11^{73} + \left(10 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 11^{74} + \left(6 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 11^{75} + \left(2 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 11^{76} + \left(6 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 11^{77} + \left(5 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 11^{78} + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a\right)\cdot 11^{79} + \left(7 a^{2} + 7 a\right)\cdot 11^{80} + \left(5 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 11^{81} +O\left(11^{ 82 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 5 + 3\cdot 11 + 4\cdot 11^{2} + 10\cdot 11^{3} + 3\cdot 11^{4} + 2\cdot 11^{5} + 6\cdot 11^{6} + 2\cdot 11^{7} + 2\cdot 11^{8} + 10\cdot 11^{9} + 4\cdot 11^{10} + 2\cdot 11^{11} + 2\cdot 11^{12} + 6\cdot 11^{13} + 6\cdot 11^{14} + 6\cdot 11^{15} + 11^{16} + 9\cdot 11^{17} + 9\cdot 11^{18} + 5\cdot 11^{19} + 4\cdot 11^{20} + 3\cdot 11^{21} + 4\cdot 11^{22} + 9\cdot 11^{23} + 11^{24} + 11^{25} + 8\cdot 11^{26} + 4\cdot 11^{27} + 6\cdot 11^{28} + 6\cdot 11^{29} + 10\cdot 11^{30} + 8\cdot 11^{31} + 9\cdot 11^{32} + 3\cdot 11^{34} + 3\cdot 11^{35} + 2\cdot 11^{36} + 5\cdot 11^{37} + 11^{39} + 4\cdot 11^{40} + 10\cdot 11^{41} + 10\cdot 11^{42} + 2\cdot 11^{43} + 4\cdot 11^{44} + 3\cdot 11^{45} + 10\cdot 11^{46} + 8\cdot 11^{47} + 3\cdot 11^{48} + 7\cdot 11^{49} + 7\cdot 11^{50} + 9\cdot 11^{51} + 4\cdot 11^{52} + 9\cdot 11^{54} + 11^{55} + 6\cdot 11^{56} + 4\cdot 11^{57} + 5\cdot 11^{58} + 8\cdot 11^{59} + 7\cdot 11^{60} + 7\cdot 11^{61} + 8\cdot 11^{62} + 11^{63} + 8\cdot 11^{64} + 8\cdot 11^{65} + 3\cdot 11^{66} + 4\cdot 11^{67} + 3\cdot 11^{68} + 9\cdot 11^{69} + 5\cdot 11^{70} + 9\cdot 11^{71} + 3\cdot 11^{72} + 8\cdot 11^{73} + 6\cdot 11^{74} + 8\cdot 11^{75} + 8\cdot 11^{76} + 8\cdot 11^{77} + 11^{78} + 5\cdot 11^{79} + 10\cdot 11^{80} + 3\cdot 11^{81} +O\left(11^{ 82 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 5 a^{2} + 9 a + \left(3 a^{3} + a^{2} + 1\right)\cdot 11 + \left(6 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 11^{2} + \left(5 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 11^{3} + \left(8 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 11^{4} + \left(5 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 11^{5} + \left(5 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 11^{6} + \left(5 a^{3} + a^{2} + 7\right)\cdot 11^{7} + \left(10 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 11^{8} + \left(5 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 11^{9} + \left(a^{3} + 8 a^{2} + a + 5\right)\cdot 11^{10} + \left(7 a^{3} + 6 a + 3\right)\cdot 11^{11} + \left(8 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 11^{12} + \left(5 a^{3} + 8\right)\cdot 11^{13} + \left(6 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 11^{14} + \left(9 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 11^{15} + \left(9 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 11^{16} + \left(2 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 11^{17} + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 11^{18} + \left(5 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 11^{19} + \left(4 a^{3} + 9 a^{2} + 9\right)\cdot 11^{20} + \left(8 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a\right)\cdot 11^{21} + \left(7 a^{3} + 2 a^{2} + 2\right)\cdot 11^{22} + \left(8 a^{3} + 7 a + 2\right)\cdot 11^{23} + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 11^{24} + \left(a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 11^{25} + \left(4 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 11^{26} + \left(a^{3} + a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 11^{27} + \left(6 a^{3} + a^{2} + a + 8\right)\cdot 11^{28} + \left(9 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 11^{29} + \left(a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 11^{30} + \left(6 a^{2} + a + 2\right)\cdot 11^{31} + \left(a^{3} + 2 a^{2} + a + 9\right)\cdot 11^{32} + \left(10 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 11^{33} + \left(8 a^{3} + 10 a^{2} + 5\right)\cdot 11^{34} + \left(5 a^{3} + 9 a + 2\right)\cdot 11^{35} + \left(2 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 11^{36} + \left(7 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 11^{37} + \left(2 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 11^{38} + \left(8 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 11^{39} + \left(3 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 11^{40} + \left(7 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 11^{41} + \left(10 a^{3} + 7 a^{2} + a + 8\right)\cdot 11^{42} + \left(9 a^{3} + 6 a^{2} + a + 7\right)\cdot 11^{43} + \left(4 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 11^{44} + \left(2 a + 8\right)\cdot 11^{45} + \left(5 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 11^{46} + \left(10 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 11^{47} + \left(4 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 11^{48} + \left(7 a^{3} + 10 a + 6\right)\cdot 11^{49} + \left(9 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 11^{50} + \left(4 a^{3} + 10 a + 5\right)\cdot 11^{51} + \left(8 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 11^{52} + \left(3 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 11^{53} + \left(8 a^{3} + a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 11^{54} + \left(9 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 11^{55} + \left(3 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 11^{56} + \left(4 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 11^{57} + \left(8 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 11^{58} + \left(7 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 11^{59} + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 11^{60} + \left(9 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a\right)\cdot 11^{61} + \left(10 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 11^{62} + \left(5 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a\right)\cdot 11^{63} + \left(5 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 11^{64} + \left(6 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 11^{65} + \left(2 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 11^{66} + \left(4 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 11^{67} + \left(2 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 11^{68} + \left(10 a^{3} + a^{2} + a + 8\right)\cdot 11^{69} + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 11^{70} + \left(7 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 11^{71} + \left(2 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 11^{72} + \left(6 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 11^{73} + \left(4 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 11^{74} + \left(2 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 11^{75} + \left(a^{3} + a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{76} + \left(3 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 11^{77} + \left(8 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 11^{78} + \left(8 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 11^{79} + \left(9 a^{3} + a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 11^{80} + \left(3 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a\right)\cdot 11^{81} +O\left(11^{ 82 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 4 a^{3} + 10 a^{2} + 7 + \left(5 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a\right)\cdot 11 + \left(3 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 11^{2} + \left(4 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 11^{3} + \left(a^{3} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{4} + \left(10 a^{3} + a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 11^{5} + \left(8 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 11^{6} + \left(4 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 11^{7} + \left(9 a^{3} + a^{2} + a + 9\right)\cdot 11^{8} + \left(4 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 11^{9} + \left(4 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 11^{10} + \left(7 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 11^{11} + \left(2 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 11^{12} + \left(2 a^{3} + 3 a\right)\cdot 11^{13} + \left(6 a^{3} + 4 a + 4\right)\cdot 11^{14} + \left(8 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 11^{15} + \left(5 a^{3} + a^{2} + 3 a\right)\cdot 11^{16} + \left(10 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a\right)\cdot 11^{17} + \left(3 a^{3} + 7 a^{2} + 2\right)\cdot 11^{18} + \left(6 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 11^{19} + \left(2 a^{3} + a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 11^{20} + \left(2 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 11^{21} + \left(4 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 11^{22} + \left(a^{3} + a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 11^{23} + \left(6 a^{3} + a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 11^{24} + \left(2 a^{3} + 5 a^{2} + 6\right)\cdot 11^{25} + \left(a^{3} + 9 a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{26} + \left(2 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 11^{27} + \left(8 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 11^{28} + \left(2 a^{3} + 5 a^{2} + 10\right)\cdot 11^{29} + \left(8 a^{3} + 9 a^{2} + 9\right)\cdot 11^{30} + \left(a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 11^{31} + \left(6 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 11^{32} + \left(8 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 11^{33} + \left(3 a^{3} + 7 a^{2} + 5\right)\cdot 11^{34} + \left(6 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 11^{35} + \left(5 a^{3} + 9 a^{2} + 2\right)\cdot 11^{36} + \left(7 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 11^{37} + \left(8 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 11^{38} + \left(5 a^{3} + a + 10\right)\cdot 11^{39} + \left(2 a^{2} + 2 a\right)\cdot 11^{40} + \left(7 a^{3} + 10 a^{2} + a\right)\cdot 11^{41} + \left(9 a^{3} + 9 a^{2} + 4\right)\cdot 11^{42} + \left(10 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a\right)\cdot 11^{43} + \left(2 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 11^{44} + \left(10 a^{3} + 5 a + 1\right)\cdot 11^{45} + \left(4 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 11^{46} + \left(2 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 11^{47} + \left(10 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 11^{48} + \left(3 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 11^{49} + \left(8 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{50} + \left(2 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 11^{51} + \left(4 a^{3} + a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 11^{52} + \left(10 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 11^{53} + \left(4 a^{3} + 2 a\right)\cdot 11^{54} + \left(4 a^{3} + 2 a + 8\right)\cdot 11^{55} + \left(9 a^{3} + 4 a^{2} + a + 4\right)\cdot 11^{56} + \left(8 a^{3} + 3 a^{2} + a + 1\right)\cdot 11^{57} + \left(5 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 11^{58} + \left(a^{3} + 4 a\right)\cdot 11^{59} + \left(5 a^{2} + 3 a\right)\cdot 11^{60} + \left(10 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 11^{61} + \left(6 a^{3} + a^{2} + a + 5\right)\cdot 11^{62} + \left(5 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 11^{63} + \left(6 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 11^{64} + \left(4 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 11^{65} + \left(a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 11^{66} + \left(5 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 11^{67} + \left(9 a^{3} + 5 a^{2} + a + 4\right)\cdot 11^{68} + \left(6 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 11^{69} + \left(5 a^{3} + 6 a^{2} + 6\right)\cdot 11^{70} + \left(4 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 11^{71} + \left(7 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 11^{72} + \left(5 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 11^{73} + \left(10 a^{3} + 10 a^{2} + a + 7\right)\cdot 11^{74} + \left(6 a^{3} + 3 a + 1\right)\cdot 11^{75} + \left(10 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 11^{76} + \left(6 a^{3} + 2\right)\cdot 11^{77} + \left(2 a^{3} + 5 a^{2} + a + 9\right)\cdot 11^{78} + \left(a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 11^{79} + \left(7 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 11^{80} + \left(8 a^{3} + 4 a + 8\right)\cdot 11^{81} +O\left(11^{ 82 }\right)$ |
| $r_{ 9 }$ |
$=$ |
$ 9 a^{2} + 9 a + 6 + \left(2 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 11 + \left(8 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 11^{2} + \left(3 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 11^{3} + \left(3 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 11^{4} + \left(2 a^{3} + a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 11^{5} + \left(9 a^{3} + 3 a + 3\right)\cdot 11^{6} + \left(9 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 11^{7} + \left(4 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 11^{8} + \left(a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 11^{9} + \left(2 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 11^{10} + \left(2 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{11} + \left(4 a^{3} + 8 a^{2}\right)\cdot 11^{12} + \left(5 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 11^{13} + \left(8 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 11^{14} + \left(9 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 11^{15} + \left(8 a^{3} + a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 11^{16} + \left(10 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 11^{17} + \left(4 a^{3} + a^{2} + a + 2\right)\cdot 11^{18} + \left(4 a^{3} + a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 11^{19} + \left(9 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{20} + \left(7 a^{3} + 8 a + 5\right)\cdot 11^{21} + \left(3 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 11^{22} + \left(7 a^{3} + a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 11^{23} + \left(9 a^{3} + a^{2} + 8 a\right)\cdot 11^{24} + \left(9 a^{3} + a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 11^{25} + \left(a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 11^{26} + \left(7 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 11^{27} + \left(8 a^{3} + a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 11^{28} + \left(4 a^{3} + 7 a^{2} + a + 7\right)\cdot 11^{29} + \left(a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 11^{30} + \left(4 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 11^{31} + \left(5 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 11^{32} + \left(2 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 11^{33} + \left(3 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 11^{34} + \left(3 a^{2} + a + 1\right)\cdot 11^{35} + \left(2 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a\right)\cdot 11^{36} + \left(6 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 11^{37} + \left(5 a^{3} + 2 a + 5\right)\cdot 11^{38} + \left(8 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 11^{39} + \left(10 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 11^{40} + \left(3 a^{3} + 10 a + 5\right)\cdot 11^{41} + \left(10 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 11^{42} + \left(7 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 11^{43} + \left(a^{3} + 3 a^{2} + 4 a\right)\cdot 11^{44} + \left(3 a^{3} + 5 a^{2} + a + 10\right)\cdot 11^{45} + \left(8 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 11^{46} + \left(3 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 11^{47} + \left(10 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a\right)\cdot 11^{48} + \left(a^{3} + a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 11^{49} + \left(7 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a\right)\cdot 11^{50} + \left(3 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 11^{51} + \left(a^{3} + 10 a^{2} + 4 a\right)\cdot 11^{52} + \left(8 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 11^{53} + \left(3 a^{3} + a^{2} + a + 5\right)\cdot 11^{54} + \left(a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 11^{55} + \left(10 a^{3} + a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 11^{56} + \left(6 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 11^{57} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + 8\right)\cdot 11^{58} + \left(7 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 11^{59} + \left(8 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a\right)\cdot 11^{60} + \left(5 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 11^{61} + \left(4 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{62} + \left(10 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 11^{63} + \left(7 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 11^{64} + \left(7 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 11^{65} + \left(2 a^{3} + 7 a^{2} + 8\right)\cdot 11^{66} + \left(4 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 11^{67} + \left(2 a^{3} + 2 a + 5\right)\cdot 11^{68} + \left(9 a^{2} + a + 7\right)\cdot 11^{69} + \left(8 a^{3} + 7 a^{2} + a + 8\right)\cdot 11^{70} + \left(a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 11^{71} + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 11^{72} + \left(5 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 11^{73} + \left(4 a^{3} + 5 a + 7\right)\cdot 11^{74} + \left(8 a^{3} + 7 a + 3\right)\cdot 11^{75} + \left(2 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 11^{76} + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 11^{77} + \left(4 a^{3} + a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 11^{78} + \left(9 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 11^{79} + \left(7 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 11^{80} + \left(5 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 11^{81} +O\left(11^{ 82 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 9 }$
| Cycle notation |
| $(1,3,5)(2,7,6)(4,8,9)$ |
| $(1,9,6)(2,3,4)(5,8,7)$ |
| $(1,9,3,2)(4,8,6,7)$ |
| $(1,8,3,7)(2,6,9,4)$ |
| $(1,3)(2,9)(4,6)(7,8)$ |
| $(1,7,4)(3,8,6)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 9 }$
| Character values |
| | |
$c1$ |
$c2$ |
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$1$ |
$()$ |
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$(1,4)(2,6)(3,9)(5,8)$ |
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| $8$ |
$3$ |
$(1,3,5)(2,7,6)(4,8,9)$ |
$-1$ |
$-1$ |
| $12$ |
$3$ |
$(1,3,5)(4,9,8)$ |
$-2 \zeta_{3} - 2$ |
$2 \zeta_{3}$ |
| $12$ |
$3$ |
$(1,5,3)(4,8,9)$ |
$2 \zeta_{3}$ |
$-2 \zeta_{3} - 2$ |
| $24$ |
$3$ |
$(1,6,2)(3,5,4)(7,8,9)$ |
$-\zeta_{3}$ |
$\zeta_{3} + 1$ |
| $24$ |
$3$ |
$(1,2,6)(3,4,5)(7,9,8)$ |
$\zeta_{3} + 1$ |
$-\zeta_{3}$ |
| $54$ |
$4$ |
$(1,2,4,6)(3,5,9,8)$ |
$0$ |
$0$ |
| $36$ |
$6$ |
$(1,9,3,8,5,4)(6,7)$ |
$0$ |
$0$ |
| $36$ |
$6$ |
$(1,4,5,8,3,9)(6,7)$ |
$0$ |
$0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
