Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 67 }$ to precision 24.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 67 }$: $ x^{2} + 63 x + 2 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 41 a + 6 + \left(56 a + 54\right)\cdot 67 + \left(6 a + 53\right)\cdot 67^{2} + \left(25 a + 65\right)\cdot 67^{3} + \left(14 a + 47\right)\cdot 67^{4} + \left(48 a + 23\right)\cdot 67^{5} + \left(23 a + 40\right)\cdot 67^{6} + \left(29 a + 54\right)\cdot 67^{7} + \left(43 a + 43\right)\cdot 67^{8} + \left(19 a + 14\right)\cdot 67^{9} + \left(22 a + 6\right)\cdot 67^{10} + \left(38 a + 50\right)\cdot 67^{11} + \left(24 a + 43\right)\cdot 67^{12} + \left(3 a + 51\right)\cdot 67^{13} + \left(41 a + 51\right)\cdot 67^{14} + \left(62 a + 40\right)\cdot 67^{15} + \left(40 a + 27\right)\cdot 67^{16} + \left(46 a + 51\right)\cdot 67^{17} + \left(60 a + 61\right)\cdot 67^{18} + \left(29 a + 23\right)\cdot 67^{19} + \left(53 a + 21\right)\cdot 67^{20} + \left(59 a + 2\right)\cdot 67^{21} + \left(13 a + 55\right)\cdot 67^{22} + \left(20 a + 58\right)\cdot 67^{23} +O\left(67^{ 24 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 10 a + 43 + \left(61 a + 29\right)\cdot 67 + \left(26 a + 56\right)\cdot 67^{2} + \left(53 a + 22\right)\cdot 67^{3} + \left(24 a + 25\right)\cdot 67^{4} + 29\cdot 67^{5} + \left(36 a + 50\right)\cdot 67^{6} + \left(34 a + 25\right)\cdot 67^{7} + \left(14 a + 44\right)\cdot 67^{8} + \left(4 a + 56\right)\cdot 67^{9} + \left(a + 58\right)\cdot 67^{10} + \left(42 a + 37\right)\cdot 67^{11} + \left(60 a + 2\right)\cdot 67^{12} + \left(33 a + 13\right)\cdot 67^{13} + \left(44 a + 39\right)\cdot 67^{14} + \left(17 a + 44\right)\cdot 67^{15} + \left(65 a + 59\right)\cdot 67^{16} + \left(a + 45\right)\cdot 67^{17} + \left(45 a + 17\right)\cdot 67^{18} + \left(46 a + 6\right)\cdot 67^{19} + \left(38 a + 3\right)\cdot 67^{20} + \left(21 a + 8\right)\cdot 67^{21} + \left(64 a + 19\right)\cdot 67^{22} + \left(36 a + 53\right)\cdot 67^{23} +O\left(67^{ 24 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 63 + 61\cdot 67 + 39\cdot 67^{2} + 2\cdot 67^{3} + 23\cdot 67^{4} + 4\cdot 67^{5} + 55\cdot 67^{6} + 66\cdot 67^{7} + 33\cdot 67^{8} + 41\cdot 67^{9} + 5\cdot 67^{10} + 59\cdot 67^{11} + 49\cdot 67^{12} + 11\cdot 67^{13} + 32\cdot 67^{14} + 45\cdot 67^{15} + 2\cdot 67^{16} + 34\cdot 67^{17} + 39\cdot 67^{18} + 9\cdot 67^{19} + 22\cdot 67^{20} + 13\cdot 67^{21} + 35\cdot 67^{22} + 6\cdot 67^{23} +O\left(67^{ 24 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 57 a + 16 + \left(5 a + 63\right)\cdot 67 + \left(40 a + 35\right)\cdot 67^{2} + \left(13 a + 8\right)\cdot 67^{3} + \left(42 a + 4\right)\cdot 67^{4} + \left(66 a + 6\right)\cdot 67^{5} + \left(30 a + 60\right)\cdot 67^{6} + \left(32 a + 60\right)\cdot 67^{7} + 52 a\cdot 67^{8} + \left(62 a + 59\right)\cdot 67^{9} + \left(65 a + 58\right)\cdot 67^{10} + \left(24 a + 3\right)\cdot 67^{11} + \left(6 a + 2\right)\cdot 67^{12} + \left(33 a + 21\right)\cdot 67^{13} + \left(22 a + 49\right)\cdot 67^{14} + \left(49 a + 3\right)\cdot 67^{15} + \left(a + 35\right)\cdot 67^{16} + \left(65 a + 55\right)\cdot 67^{17} + \left(21 a + 61\right)\cdot 67^{18} + \left(20 a + 13\right)\cdot 67^{19} + \left(28 a + 44\right)\cdot 67^{20} + \left(45 a + 55\right)\cdot 67^{21} + \left(2 a + 53\right)\cdot 67^{22} + \left(30 a + 2\right)\cdot 67^{23} +O\left(67^{ 24 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 53 a + 23 + \left(9 a + 19\right)\cdot 67 + \left(58 a + 7\right)\cdot 67^{2} + \left(19 a + 59\right)\cdot 67^{3} + \left(53 a + 41\right)\cdot 67^{4} + \left(25 a + 43\right)\cdot 67^{5} + \left(58 a + 41\right)\cdot 67^{6} + \left(29 a + 49\right)\cdot 67^{7} + \left(14 a + 8\right)\cdot 67^{8} + \left(58 a + 54\right)\cdot 67^{9} + \left(66 a + 11\right)\cdot 67^{10} + \left(56 a + 23\right)\cdot 67^{11} + \left(11 a + 17\right)\cdot 67^{12} + \left(62 a + 46\right)\cdot 67^{13} + \left(15 a + 65\right)\cdot 67^{14} + \left(64 a + 60\right)\cdot 67^{15} + \left(27 a + 30\right)\cdot 67^{16} + \left(45 a + 34\right)\cdot 67^{17} + \left(43 a + 16\right)\cdot 67^{18} + \left(18 a + 53\right)\cdot 67^{19} + \left(25 a + 7\right)\cdot 67^{20} + \left(49 a + 29\right)\cdot 67^{21} + \left(19 a + 37\right)\cdot 67^{22} + \left(38 a + 11\right)\cdot 67^{23} +O\left(67^{ 24 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 48 + 62\cdot 67 + 20\cdot 67^{2} + 3\cdot 67^{3} + 11\cdot 67^{4} + 66\cdot 67^{5} + 18\cdot 67^{6} + 19\cdot 67^{7} + 45\cdot 67^{8} + 54\cdot 67^{9} + 30\cdot 67^{10} + 63\cdot 67^{11} + 40\cdot 67^{12} + 67^{13} + 18\cdot 67^{14} + 56\cdot 67^{15} + 38\cdot 67^{16} + 63\cdot 67^{17} + 67^{18} + 61\cdot 67^{19} + 7\cdot 67^{20} + 38\cdot 67^{21} + 16\cdot 67^{22} + 65\cdot 67^{23} +O\left(67^{ 24 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 26 a + 36 + \left(10 a + 38\right)\cdot 67 + \left(60 a + 24\right)\cdot 67^{2} + \left(41 a + 25\right)\cdot 67^{3} + \left(52 a + 13\right)\cdot 67^{4} + \left(18 a + 1\right)\cdot 67^{5} + \left(43 a + 20\right)\cdot 67^{6} + \left(37 a + 14\right)\cdot 67^{7} + \left(23 a + 54\right)\cdot 67^{8} + \left(47 a + 49\right)\cdot 67^{9} + \left(44 a + 8\right)\cdot 67^{10} + \left(28 a + 47\right)\cdot 67^{11} + \left(42 a + 36\right)\cdot 67^{12} + \left(63 a + 40\right)\cdot 67^{13} + \left(25 a + 11\right)\cdot 67^{14} + \left(4 a + 49\right)\cdot 67^{15} + \left(26 a + 61\right)\cdot 67^{16} + \left(20 a + 62\right)\cdot 67^{17} + \left(6 a + 56\right)\cdot 67^{18} + \left(37 a + 15\right)\cdot 67^{19} + \left(13 a + 4\right)\cdot 67^{20} + \left(7 a + 54\right)\cdot 67^{21} + \left(53 a + 50\right)\cdot 67^{22} + \left(46 a + 58\right)\cdot 67^{23} +O\left(67^{ 24 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 14 a + 34 + \left(57 a + 5\right)\cdot 67 + \left(8 a + 29\right)\cdot 67^{2} + \left(47 a + 13\right)\cdot 67^{3} + \left(13 a + 34\right)\cdot 67^{4} + \left(41 a + 26\right)\cdot 67^{5} + \left(8 a + 48\right)\cdot 67^{6} + \left(37 a + 43\right)\cdot 67^{7} + \left(52 a + 36\right)\cdot 67^{8} + \left(8 a + 4\right)\cdot 67^{9} + 20\cdot 67^{10} + \left(10 a + 50\right)\cdot 67^{11} + \left(55 a + 7\right)\cdot 67^{12} + \left(4 a + 15\right)\cdot 67^{13} + 51 a\cdot 67^{14} + \left(2 a + 34\right)\cdot 67^{15} + \left(39 a + 11\right)\cdot 67^{16} + \left(21 a + 54\right)\cdot 67^{17} + \left(23 a + 11\right)\cdot 67^{18} + \left(48 a + 17\right)\cdot 67^{19} + \left(41 a + 23\right)\cdot 67^{20} + 17 a\cdot 67^{21} + 47 a\cdot 67^{22} + \left(28 a + 11\right)\cdot 67^{23} +O\left(67^{ 24 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(3,6)(7,8)$ |
| $(1,2,7)(4,8,5)$ |
| $(2,7,6)(3,4,8)$ |
| $(2,4)(3,6)$ |
| $(1,7,2,3,5,8,4,6)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $8$ |
| $1$ | $2$ | $(1,5)(2,4)(3,6)(7,8)$ | $-8$ |
| $6$ | $2$ | $(1,5)(3,6)$ | $0$ |
| $12$ | $2$ | $(1,2)(3,8)(4,5)(6,7)$ | $0$ |
| $24$ | $2$ | $(1,7)(3,6)(5,8)$ | $0$ |
| $32$ | $3$ | $(1,2,7)(4,8,5)$ | $-1$ |
| $6$ | $4$ | $(1,2,5,4)(3,8,6,7)$ | $0$ |
| $6$ | $4$ | $(1,4,5,2)(3,8,6,7)$ | $0$ |
| $12$ | $4$ | $(1,3,5,6)$ | $0$ |
| $12$ | $4$ | $(1,3,5,6)(2,4)(7,8)$ | $0$ |
| $32$ | $6$ | $(1,4,8,5,2,7)(3,6)$ | $1$ |
| $24$ | $8$ | $(1,7,2,3,5,8,4,6)$ | $0$ |
| $24$ | $8$ | $(1,3,4,8,5,6,2,7)$ | $0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
