Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 23 }$ to precision 31.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 23 }$: $ x^{2} + 21 x + 5 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 12 a + 13 + \left(13 a + 19\right)\cdot 23 + \left(4 a + 13\right)\cdot 23^{2} + \left(19 a + 18\right)\cdot 23^{3} + \left(19 a + 5\right)\cdot 23^{4} + \left(12 a + 4\right)\cdot 23^{5} + \left(22 a + 17\right)\cdot 23^{6} + \left(6 a + 15\right)\cdot 23^{7} + \left(3 a + 19\right)\cdot 23^{8} + \left(6 a + 14\right)\cdot 23^{9} + \left(21 a + 17\right)\cdot 23^{10} + \left(12 a + 18\right)\cdot 23^{11} + \left(2 a + 8\right)\cdot 23^{12} + \left(14 a + 5\right)\cdot 23^{13} + \left(11 a + 16\right)\cdot 23^{14} + \left(22 a + 22\right)\cdot 23^{15} + \left(14 a + 3\right)\cdot 23^{16} + 12 a\cdot 23^{17} + \left(8 a + 13\right)\cdot 23^{18} + \left(18 a + 4\right)\cdot 23^{19} + 5\cdot 23^{20} + \left(21 a + 4\right)\cdot 23^{21} + \left(13 a + 12\right)\cdot 23^{22} + \left(3 a + 14\right)\cdot 23^{23} + \left(14 a + 4\right)\cdot 23^{24} + \left(4 a + 10\right)\cdot 23^{25} + \left(19 a + 10\right)\cdot 23^{26} + \left(11 a + 2\right)\cdot 23^{27} + \left(18 a + 17\right)\cdot 23^{28} + \left(12 a + 9\right)\cdot 23^{29} + \left(8 a + 20\right)\cdot 23^{30} +O\left(23^{ 31 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 6 a + 15 + \left(11 a + 14\right)\cdot 23 + \left(18 a + 9\right)\cdot 23^{2} + \left(9 a + 1\right)\cdot 23^{3} + 20\cdot 23^{4} + \left(8 a + 12\right)\cdot 23^{5} + \left(3 a + 16\right)\cdot 23^{6} + \left(17 a + 3\right)\cdot 23^{7} + \left(7 a + 21\right)\cdot 23^{8} + \left(12 a + 21\right)\cdot 23^{9} + \left(21 a + 20\right)\cdot 23^{10} + \left(15 a + 4\right)\cdot 23^{11} + \left(8 a + 7\right)\cdot 23^{12} + 17\cdot 23^{13} + \left(14 a + 21\right)\cdot 23^{14} + \left(15 a + 22\right)\cdot 23^{15} + \left(10 a + 18\right)\cdot 23^{16} + \left(14 a + 11\right)\cdot 23^{17} + \left(20 a + 8\right)\cdot 23^{18} + \left(6 a + 17\right)\cdot 23^{19} + \left(16 a + 7\right)\cdot 23^{20} + \left(12 a + 13\right)\cdot 23^{21} + \left(19 a + 8\right)\cdot 23^{22} + \left(16 a + 13\right)\cdot 23^{23} + \left(6 a + 6\right)\cdot 23^{24} + \left(a + 9\right)\cdot 23^{25} + 16 a\cdot 23^{26} + \left(20 a + 8\right)\cdot 23^{27} + \left(6 a + 5\right)\cdot 23^{28} + \left(18 a + 1\right)\cdot 23^{29} + \left(11 a + 7\right)\cdot 23^{30} +O\left(23^{ 31 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 9 + 3\cdot 23 + 5\cdot 23^{2} + 15\cdot 23^{3} + 3\cdot 23^{4} + 17\cdot 23^{5} + 6\cdot 23^{6} + 15\cdot 23^{7} + 6\cdot 23^{8} + 19\cdot 23^{9} + 12\cdot 23^{10} + 4\cdot 23^{11} + 23^{12} + 22\cdot 23^{13} + 7\cdot 23^{14} + 17\cdot 23^{15} + 20\cdot 23^{16} + 2\cdot 23^{17} + 12\cdot 23^{18} + 15\cdot 23^{19} + 15\cdot 23^{20} + 21\cdot 23^{21} + 20\cdot 23^{22} + 2\cdot 23^{23} + 14\cdot 23^{24} + 12\cdot 23^{25} + 18\cdot 23^{26} + 14\cdot 23^{27} + 7\cdot 23^{28} + 3\cdot 23^{29} + 7\cdot 23^{30} +O\left(23^{ 31 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ a + 20 + \left(10 a + 1\right)\cdot 23 + \left(6 a + 14\right)\cdot 23^{2} + \left(22 a + 7\right)\cdot 23^{3} + \left(21 a + 9\right)\cdot 23^{4} + 11 a\cdot 23^{5} + \left(17 a + 8\right)\cdot 23^{6} + \left(17 a + 22\right)\cdot 23^{7} + \left(8 a + 5\right)\cdot 23^{8} + \left(20 a + 19\right)\cdot 23^{9} + \left(a + 15\right)\cdot 23^{10} + \left(a + 10\right)\cdot 23^{11} + \left(12 a + 6\right)\cdot 23^{12} + \left(9 a + 16\right)\cdot 23^{13} + \left(5 a + 12\right)\cdot 23^{14} + \left(14 a + 1\right)\cdot 23^{15} + \left(16 a + 5\right)\cdot 23^{16} + \left(7 a + 3\right)\cdot 23^{17} + \left(20 a + 1\right)\cdot 23^{18} + \left(a + 8\right)\cdot 23^{19} + 8 a\cdot 23^{20} + \left(12 a + 17\right)\cdot 23^{21} + \left(20 a + 9\right)\cdot 23^{22} + \left(9 a + 18\right)\cdot 23^{23} + \left(20 a + 17\right)\cdot 23^{24} + \left(11 a + 3\right)\cdot 23^{25} + \left(5 a + 12\right)\cdot 23^{26} + \left(18 a + 9\right)\cdot 23^{27} + \left(12 a + 13\right)\cdot 23^{28} + \left(10 a + 9\right)\cdot 23^{29} + \left(10 a + 7\right)\cdot 23^{30} +O\left(23^{ 31 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 21 + 11\cdot 23 + 10\cdot 23^{2} + 17\cdot 23^{3} + 7\cdot 23^{4} + 16\cdot 23^{5} + 16\cdot 23^{6} + 21\cdot 23^{7} + 16\cdot 23^{8} + 17\cdot 23^{9} + 11\cdot 23^{10} + 3\cdot 23^{11} + 6\cdot 23^{12} + 13\cdot 23^{13} + 13\cdot 23^{14} + 21\cdot 23^{15} + 5\cdot 23^{16} + 8\cdot 23^{17} + 16\cdot 23^{18} + 11\cdot 23^{19} + 3\cdot 23^{20} + 3\cdot 23^{21} + 17\cdot 23^{22} + 12\cdot 23^{23} + 13\cdot 23^{24} + 15\cdot 23^{25} + 9\cdot 23^{26} + 22\cdot 23^{27} + 9\cdot 23^{28} + 2\cdot 23^{29} + 18\cdot 23^{30} +O\left(23^{ 31 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 11 a + 14 + \left(9 a + 11\right)\cdot 23 + \left(18 a + 9\right)\cdot 23^{2} + \left(3 a + 6\right)\cdot 23^{3} + \left(3 a + 3\right)\cdot 23^{4} + \left(10 a + 10\right)\cdot 23^{5} + 3\cdot 23^{6} + \left(16 a + 7\right)\cdot 23^{7} + \left(19 a + 19\right)\cdot 23^{8} + 16 a\cdot 23^{9} + \left(a + 8\right)\cdot 23^{10} + 10 a\cdot 23^{11} + \left(20 a + 1\right)\cdot 23^{12} + \left(8 a + 8\right)\cdot 23^{13} + \left(11 a + 2\right)\cdot 23^{14} + 10\cdot 23^{15} + \left(8 a + 11\right)\cdot 23^{16} + \left(10 a + 10\right)\cdot 23^{17} + \left(14 a + 17\right)\cdot 23^{18} + \left(4 a + 9\right)\cdot 23^{19} + \left(22 a + 11\right)\cdot 23^{20} + \left(a + 22\right)\cdot 23^{21} + \left(9 a + 18\right)\cdot 23^{22} + \left(19 a + 7\right)\cdot 23^{23} + \left(8 a + 6\right)\cdot 23^{24} + \left(18 a + 5\right)\cdot 23^{25} + \left(3 a + 21\right)\cdot 23^{26} + \left(11 a + 6\right)\cdot 23^{27} + \left(4 a + 19\right)\cdot 23^{28} + \left(10 a + 16\right)\cdot 23^{29} + \left(14 a + 1\right)\cdot 23^{30} +O\left(23^{ 31 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 17 a + 4 + \left(11 a + 8\right)\cdot 23 + \left(4 a + 12\right)\cdot 23^{2} + \left(13 a + 2\right)\cdot 23^{3} + \left(22 a + 11\right)\cdot 23^{4} + \left(14 a + 5\right)\cdot 23^{5} + \left(19 a + 15\right)\cdot 23^{6} + \left(5 a + 11\right)\cdot 23^{7} + \left(15 a + 19\right)\cdot 23^{8} + \left(10 a + 15\right)\cdot 23^{9} + \left(a + 5\right)\cdot 23^{10} + \left(7 a + 15\right)\cdot 23^{11} + \left(14 a + 8\right)\cdot 23^{12} + \left(22 a + 9\right)\cdot 23^{13} + \left(8 a + 3\right)\cdot 23^{14} + \left(7 a + 17\right)\cdot 23^{15} + \left(12 a + 1\right)\cdot 23^{16} + \left(8 a + 7\right)\cdot 23^{17} + \left(2 a + 12\right)\cdot 23^{18} + \left(16 a + 10\right)\cdot 23^{19} + \left(6 a + 10\right)\cdot 23^{20} + \left(10 a + 22\right)\cdot 23^{21} + \left(3 a + 11\right)\cdot 23^{22} + \left(6 a + 4\right)\cdot 23^{23} + \left(16 a + 3\right)\cdot 23^{24} + \left(21 a + 5\right)\cdot 23^{25} + \left(6 a + 8\right)\cdot 23^{26} + \left(2 a + 10\right)\cdot 23^{27} + \left(16 a + 21\right)\cdot 23^{28} + \left(4 a + 7\right)\cdot 23^{29} + \left(11 a + 12\right)\cdot 23^{30} +O\left(23^{ 31 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 22 a + 22 + \left(12 a + 20\right)\cdot 23 + \left(16 a + 16\right)\cdot 23^{2} + 22\cdot 23^{3} + \left(a + 7\right)\cdot 23^{4} + \left(11 a + 2\right)\cdot 23^{5} + \left(5 a + 8\right)\cdot 23^{6} + \left(5 a + 17\right)\cdot 23^{7} + \left(14 a + 5\right)\cdot 23^{8} + \left(2 a + 5\right)\cdot 23^{9} + \left(21 a + 22\right)\cdot 23^{10} + \left(21 a + 10\right)\cdot 23^{11} + \left(10 a + 6\right)\cdot 23^{12} + 13 a\cdot 23^{13} + \left(17 a + 14\right)\cdot 23^{14} + \left(8 a + 1\right)\cdot 23^{15} + \left(6 a + 1\right)\cdot 23^{16} + \left(15 a + 2\right)\cdot 23^{17} + \left(2 a + 11\right)\cdot 23^{18} + \left(21 a + 14\right)\cdot 23^{19} + \left(14 a + 14\right)\cdot 23^{20} + \left(10 a + 10\right)\cdot 23^{21} + \left(2 a + 15\right)\cdot 23^{22} + \left(13 a + 17\right)\cdot 23^{23} + \left(2 a + 2\right)\cdot 23^{24} + \left(11 a + 7\right)\cdot 23^{25} + \left(17 a + 11\right)\cdot 23^{26} + \left(4 a + 17\right)\cdot 23^{27} + \left(10 a + 20\right)\cdot 23^{28} + \left(12 a + 17\right)\cdot 23^{29} + \left(12 a + 17\right)\cdot 23^{30} +O\left(23^{ 31 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(1,6,2,4,8,7)(3,5)$ |
| $(1,4)(2,3,7,5)(6,8)$ |
| $(3,5)(6,8)$ |
| $(2,5,8)(3,6,7)$ |
| $(1,7)(2,4)(3,8)(5,6)$ |
| $(2,3,6)(5,8,7)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $8$ |
| $1$ | $2$ | $(1,4)(2,7)(3,5)(6,8)$ | $-8$ |
| $6$ | $2$ | $(2,7)(3,5)$ | $0$ |
| $12$ | $2$ | $(1,7)(2,4)(3,8)(5,6)$ | $0$ |
| $24$ | $2$ | $(1,4)(3,8)(5,6)$ | $0$ |
| $32$ | $3$ | $(1,2,8)(4,7,6)$ | $-1$ |
| $6$ | $4$ | $(1,6,4,8)(2,5,7,3)$ | $0$ |
| $6$ | $4$ | $(1,3,4,5)(2,8,7,6)$ | $0$ |
| $12$ | $4$ | $(1,4)(2,3,7,5)(6,8)$ | $0$ |
| $12$ | $4$ | $(2,3,7,5)$ | $0$ |
| $32$ | $6$ | $(1,6,2,4,8,7)(3,5)$ | $1$ |
| $24$ | $8$ | $(1,7,6,5,4,2,8,3)$ | $0$ |
| $24$ | $8$ | $(1,2,3,6,4,7,5,8)$ | $0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
