Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 13 }$ to precision 99.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 13 }$: $ x^{4} + 3 x^{2} + 12 x + 2 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 1 + 8\cdot 13 + 4\cdot 13^{3} + 3\cdot 13^{4} + 6\cdot 13^{5} + 11\cdot 13^{6} + 9\cdot 13^{7} + 5\cdot 13^{8} + 12\cdot 13^{9} + 5\cdot 13^{10} + 5\cdot 13^{12} + 13^{13} + 12\cdot 13^{14} + 6\cdot 13^{15} + 5\cdot 13^{16} + 10\cdot 13^{17} + 6\cdot 13^{18} + 2\cdot 13^{19} + 12\cdot 13^{20} + 12\cdot 13^{21} + 6\cdot 13^{22} + 7\cdot 13^{23} + 11\cdot 13^{24} + 8\cdot 13^{25} + 12\cdot 13^{26} + 4\cdot 13^{27} + 13^{28} + 3\cdot 13^{29} + 8\cdot 13^{30} + 10\cdot 13^{31} + 3\cdot 13^{32} + 6\cdot 13^{33} + 6\cdot 13^{34} + 4\cdot 13^{36} + 6\cdot 13^{37} + 10\cdot 13^{38} + 3\cdot 13^{39} + 6\cdot 13^{40} + 6\cdot 13^{41} + 13^{42} + 9\cdot 13^{43} + 2\cdot 13^{44} + 5\cdot 13^{45} + 5\cdot 13^{46} + 5\cdot 13^{47} + 12\cdot 13^{49} + 4\cdot 13^{50} + 10\cdot 13^{51} + 2\cdot 13^{52} + 11\cdot 13^{54} + 6\cdot 13^{55} + 3\cdot 13^{56} + 13^{57} + 5\cdot 13^{58} + 12\cdot 13^{59} + 9\cdot 13^{60} + 10\cdot 13^{61} + 4\cdot 13^{62} + 12\cdot 13^{63} + 12\cdot 13^{65} + 11\cdot 13^{67} + 5\cdot 13^{68} + 11\cdot 13^{69} + 6\cdot 13^{70} + 4\cdot 13^{71} + 13^{72} + 8\cdot 13^{73} + 2\cdot 13^{74} + 5\cdot 13^{75} + 11\cdot 13^{76} + 12\cdot 13^{77} + 13^{79} + 6\cdot 13^{80} + 7\cdot 13^{81} + 12\cdot 13^{83} + 5\cdot 13^{84} + 3\cdot 13^{85} + 5\cdot 13^{86} + 8\cdot 13^{87} + 12\cdot 13^{88} + 4\cdot 13^{89} + 9\cdot 13^{90} + 9\cdot 13^{91} + 4\cdot 13^{92} + 11\cdot 13^{93} + 11\cdot 13^{95} + 13^{96} + 5\cdot 13^{97} + 7\cdot 13^{98} +O\left(13^{ 99 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 10 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 4 + \left(11 a^{3} + 6 a^{2} + a + 10\right)\cdot 13 + \left(10 a^{3} + 3 a^{2} + 5\right)\cdot 13^{2} + \left(2 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 13^{3} + \left(6 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{4} + \left(9 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{5} + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 6\right)\cdot 13^{6} + \left(a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{7} + \left(11 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 13^{8} + \left(10 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{9} + \left(4 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 13^{10} + \left(10 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{11} + \left(10 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{12} + \left(10 a^{3} + 10 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{13} + \left(7 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a\right)\cdot 13^{14} + \left(9 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{15} + \left(7 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{16} + \left(8 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 13^{17} + \left(11 a^{3} + a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{18} + \left(2 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{19} + \left(9 a^{3} + 5 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{20} + \left(8 a^{3} + 12 a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{21} + \left(10 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{22} + \left(4 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{23} + \left(a^{3} + 7 a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{24} + \left(5 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{25} + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + a\right)\cdot 13^{26} + \left(2 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 13^{27} + \left(9 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 13^{28} + \left(11 a^{3} + a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 13^{29} + \left(5 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a\right)\cdot 13^{30} + \left(6 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 13^{31} + \left(5 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 13^{32} + \left(10 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{33} + \left(11 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13^{34} + \left(12 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{35} + \left(8 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{36} + \left(10 a^{3} + 4\right)\cdot 13^{37} + \left(3 a^{3} + 4 a^{2} + 5\right)\cdot 13^{38} + \left(8 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 13^{39} + \left(6 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 13^{40} + \left(12 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{41} + \left(8 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 13^{42} + \left(2 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{43} + \left(7 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 13^{44} + \left(8 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{45} + \left(5 a^{3} + 10\right)\cdot 13^{46} + \left(8 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{47} + \left(12 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{48} + \left(11 a^{3} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{49} + \left(9 a^{3} + 3 a^{2} + 5\right)\cdot 13^{50} + \left(11 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{51} + \left(5 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13^{52} + \left(4 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{53} + \left(2 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a\right)\cdot 13^{54} + \left(7 a^{3} + 12 a^{2} + a + 2\right)\cdot 13^{55} + \left(9 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{56} + \left(4 a^{3} + 7 a + 8\right)\cdot 13^{57} + \left(2 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 13^{58} + \left(2 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{59} + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{60} + \left(8 a^{3} + 4 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{61} + \left(4 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 13^{62} + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{63} + \left(7 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{64} + \left(9 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{65} + \left(6 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 13^{66} + \left(7 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{67} + \left(9 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 13^{68} + \left(5 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{69} + \left(3 a^{3} + 8 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{70} + \left(12 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{71} + \left(10 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{72} + \left(10 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{73} + \left(12 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{74} + \left(3 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{75} + \left(11 a^{3} + a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{76} + \left(6 a^{3} + a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{77} + \left(2 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{78} + \left(5 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a\right)\cdot 13^{79} + \left(3 a^{3} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{80} + \left(a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{81} + \left(6 a^{3} + 6 a^{2} + 1\right)\cdot 13^{82} + \left(a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 13^{83} + \left(10 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 13^{84} + \left(a^{3} + 4 a^{2} + a + 10\right)\cdot 13^{85} + \left(11 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{86} + \left(9 a^{3} + a + 8\right)\cdot 13^{87} + \left(6 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{88} + \left(7 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 13^{89} + \left(2 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{90} + \left(6 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{91} + \left(6 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 13^{92} + \left(6 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{93} + \left(5 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{94} + \left(7 a^{3} + 4 a^{2} + 1\right)\cdot 13^{95} + \left(4 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{96} + \left(a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{97} + \left(10 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 13^{98} +O\left(13^{ 99 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 8 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 1 + \left(11 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13 + \left(2 a^{3} + 12 a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{2} + \left(2 a^{3} + a^{2} + 8 a\right)\cdot 13^{3} + \left(7 a^{3} + 9 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{4} + \left(9 a^{3} + 8 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{5} + \left(8 a^{3} + a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{6} + \left(8 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{7} + \left(11 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 13^{8} + \left(2 a^{3} + a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{9} + \left(3 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a\right)\cdot 13^{10} + \left(2 a^{3} + 9 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{11} + \left(9 a^{3} + 10 a + 4\right)\cdot 13^{12} + \left(7 a^{3} + a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{13} + \left(2 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{14} + \left(12 a^{3} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{15} + \left(4 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 13^{16} + \left(12 a^{3} + 5 a^{2} + 5\right)\cdot 13^{17} + \left(4 a^{3} + a^{2}\right)\cdot 13^{18} + \left(10 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 13^{19} + \left(7 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{20} + \left(6 a^{3} + 5 a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{21} + \left(3 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{22} + \left(2 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{23} + \left(7 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 13^{24} + \left(4 a^{3} + 3 a\right)\cdot 13^{25} + \left(5 a^{3} + 11\right)\cdot 13^{26} + \left(9 a^{3} + 9 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{27} + \left(7 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{28} + \left(7 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{29} + \left(3 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 13^{30} + \left(4 a^{3} + a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 13^{31} + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{32} + \left(4 a^{3} + 9 a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{33} + \left(a^{3} + 10 a^{2} + a\right)\cdot 13^{34} + \left(10 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a\right)\cdot 13^{35} + \left(8 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 13^{36} + \left(9 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{37} + \left(12 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{38} + \left(10 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{39} + \left(6 a^{3} + a + 8\right)\cdot 13^{40} + \left(2 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 13^{41} + \left(6 a^{3} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{42} + \left(7 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{43} + \left(4 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{44} + \left(4 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{45} + \left(2 a^{3} + 11 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{46} + \left(8 a^{3} + a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 13^{47} + \left(6 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{48} + \left(2 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{49} + \left(12 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{50} + \left(3 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{51} + \left(9 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{52} + \left(8 a^{3} + a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{53} + \left(4 a^{3} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{54} + \left(7 a^{3} + 8 a^{2} + 3\right)\cdot 13^{55} + \left(8 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{56} + \left(4 a^{3} + 5 a\right)\cdot 13^{57} + \left(2 a^{3} + 9 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{58} + \left(11 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 13^{59} + \left(6 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{60} + \left(9 a^{3} + 6 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{61} + \left(6 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{62} + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 2\right)\cdot 13^{63} + \left(7 a + 12\right)\cdot 13^{64} + \left(2 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 13^{65} + \left(a^{3} + 7 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{66} + \left(11 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{67} + \left(3 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 13^{68} + \left(12 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{69} + \left(7 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 13^{70} + \left(12 a^{3} + 6\right)\cdot 13^{71} + \left(6 a^{3} + 12 a^{2} + 5\right)\cdot 13^{72} + \left(12 a^{3} + a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{73} + \left(3 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{74} + \left(a + 12\right)\cdot 13^{75} + \left(2 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{76} + \left(6 a^{3} + a^{2} + 3\right)\cdot 13^{77} + \left(5 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{78} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + 11\right)\cdot 13^{79} + \left(3 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 13^{80} + \left(12 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{81} + \left(7 a^{3} + 4 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{82} + \left(2 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{83} + \left(5 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{84} + \left(6 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{85} + \left(5 a^{3} + 6\right)\cdot 13^{86} + \left(9 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{87} + \left(9 a^{3} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{88} + \left(5 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{89} + \left(12 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 13^{90} + \left(7 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 13^{91} + \left(4 a^{3} + a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 13^{92} + \left(a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 13^{93} + \left(9 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{94} + \left(5 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{95} + \left(a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 13^{96} + \left(5 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{97} + \left(2 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 13^{98} +O\left(13^{ 99 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 4 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 4 + \left(4 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 13 + \left(6 a^{3} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{2} + \left(7 a^{3} + 2 a^{2} + 6\right)\cdot 13^{3} + \left(a^{3} + 10 a + 2\right)\cdot 13^{4} + \left(7 a^{3} + 11 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{5} + \left(3 a^{3} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{6} + \left(4 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{7} + \left(8 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{8} + \left(a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{9} + \left(4 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{10} + \left(10 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{11} + \left(3 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{12} + \left(2 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{13} + \left(10 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 13^{14} + \left(10 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a\right)\cdot 13^{15} + \left(11 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{16} + \left(8 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{17} + \left(2 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{18} + \left(12 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{19} + \left(3 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{20} + \left(3 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 13^{21} + \left(11 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{22} + \left(12 a^{3} + a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{23} + \left(a^{3} + 2 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{24} + \left(10 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{25} + \left(12 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{26} + \left(10 a^{3} + 8 a^{2} + a\right)\cdot 13^{27} + \left(a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 13^{28} + \left(6 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{29} + \left(10 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{30} + \left(4 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{31} + \left(2 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{32} + \left(8 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 13^{33} + \left(a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{34} + \left(11 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{35} + \left(4 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{36} + \left(5 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 13^{37} + \left(12 a^{2} + 2 a\right)\cdot 13^{38} + \left(4 a^{3} + 3 a^{2}\right)\cdot 13^{39} + \left(10 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{40} + \left(3 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{41} + \left(9 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{42} + \left(7 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{43} + \left(12 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{44} + \left(3 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{45} + \left(12 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{46} + \left(11 a^{3} + 10 a^{2} + 2\right)\cdot 13^{47} + \left(8 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{48} + \left(5 a^{3} + 8 a^{2}\right)\cdot 13^{49} + \left(3 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{50} + \left(6 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{51} + \left(5 a^{3} + 7 a^{2} + 1\right)\cdot 13^{52} + \left(2 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13^{53} + \left(11 a^{3} + 12 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{54} + \left(12 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{55} + \left(7 a^{3} + 4 a\right)\cdot 13^{56} + \left(7 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{57} + \left(10 a^{3} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{58} + \left(11 a^{3} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{59} + \left(11 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{60} + \left(12 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{61} + \left(a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{62} + \left(6 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 13^{63} + \left(a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{64} + \left(6 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{65} + \left(4 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{66} + \left(a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{67} + \left(9 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{68} + \left(10 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{69} + \left(12 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 13^{70} + \left(5 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 13^{71} + \left(a^{3} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{72} + \left(11 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{73} + \left(8 a^{3} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{74} + \left(7 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 13^{75} + \left(12 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{76} + \left(3 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{77} + \left(8 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 13^{78} + \left(10 a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{79} + \left(2 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{80} + \left(9 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{81} + \left(a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{82} + \left(10 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{83} + \left(8 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{84} + \left(12 a^{3} + a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{85} + \left(2 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{86} + \left(10 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 13^{87} + \left(4 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{88} + \left(6 a^{3} + 11 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 13^{89} + \left(9 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{90} + \left(a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{91} + \left(2 a^{3} + 4\right)\cdot 13^{92} + \left(3 a^{3} + 8 a^{2} + 9\right)\cdot 13^{93} + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{94} + \left(11 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{95} + \left(6 a^{3} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{96} + \left(8 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{97} + \left(2 a + 2\right)\cdot 13^{98} +O\left(13^{ 99 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 9 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 2 + \left(a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13 + \left(4 a^{3} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{2} + \left(10 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 13^{3} + \left(a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{4} + \left(4 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{5} + \left(8 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 13^{6} + \left(a^{3} + 4\right)\cdot 13^{7} + \left(5 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{8} + \left(11 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 13^{9} + \left(5 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{10} + \left(9 a^{3} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{11} + \left(3 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{12} + \left(12 a^{3} + 6 a^{2} + 3\right)\cdot 13^{13} + \left(8 a^{3} + 5 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{14} + \left(11 a^{2} + 9\right)\cdot 13^{15} + \left(3 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{16} + \left(4 a^{3} + a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 13^{17} + \left(9 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{18} + \left(5 a^{3} + 6 a^{2} + 11\right)\cdot 13^{19} + \left(3 a^{3} + 10 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{20} + \left(2 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{21} + \left(12 a^{2} + 7\right)\cdot 13^{22} + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{23} + \left(2 a^{3} + 7 a^{2} + 9\right)\cdot 13^{24} + \left(5 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 13^{25} + \left(3 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{26} + \left(12 a^{3} + a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{27} + \left(7 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{28} + \left(2 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a\right)\cdot 13^{29} + \left(5 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{30} + \left(3 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{31} + \left(4 a^{3} + 11 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{32} + \left(9 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{33} + \left(8 a^{3} + a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{34} + \left(5 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{35} + \left(8 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{36} + \left(9 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{37} + \left(8 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a\right)\cdot 13^{38} + \left(3 a^{3} + a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{39} + \left(3 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{40} + \left(11 a^{3} + 3 a^{2} + 5\right)\cdot 13^{41} + \left(2 a^{3} + 6 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{42} + \left(7 a^{3} + a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{43} + \left(8 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{44} + \left(7 a^{3} + 2 a\right)\cdot 13^{45} + \left(5 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 13^{46} + \left(4 a^{3} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{47} + \left(11 a^{3} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{48} + \left(11 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{49} + \left(8 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{50} + \left(10 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{51} + \left(2 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 13^{52} + \left(5 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{53} + \left(a^{3} + 3 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{54} + \left(a^{3} + a^{2}\right)\cdot 13^{55} + \left(5 a^{3} + 12 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{56} + \left(4 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{57} + \left(9 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{58} + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 13^{59} + \left(6 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{60} + \left(9 a^{3} + 9 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{61} + \left(11 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a\right)\cdot 13^{62} + \left(6 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 13^{63} + \left(12 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{64} + \left(5 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{65} + \left(11 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{66} + \left(12 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 13^{67} + \left(11 a^{3} + 9 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{68} + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a\right)\cdot 13^{69} + \left(3 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{70} + \left(4 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{71} + \left(4 a^{3} + 3 a^{2} + a + 2\right)\cdot 13^{72} + \left(3 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 13^{73} + \left(11 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{74} + \left(6 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 13^{75} + \left(8 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{76} + \left(4 a^{3} + 5 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{77} + \left(5 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{78} + \left(7 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 13^{79} + \left(12 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{80} + \left(3 a^{3} + 8 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{81} + \left(3 a^{3} + 11 a + 1\right)\cdot 13^{82} + \left(3 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a\right)\cdot 13^{83} + \left(7 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{84} + \left(5 a^{3} + a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{85} + \left(7 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{86} + \left(3 a^{3} + a + 11\right)\cdot 13^{87} + \left(8 a^{3} + a + 10\right)\cdot 13^{88} + \left(9 a^{3} + 5 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{89} + \left(11 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{90} + \left(11 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 13^{91} + \left(6 a^{3} + 1\right)\cdot 13^{92} + \left(9 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{93} + \left(8 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 13^{94} + \left(a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{95} + \left(2 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 13^{96} + \left(3 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{97} + \left(2 a^{3} + 11 a^{2}\right)\cdot 13^{98} +O\left(13^{ 99 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 10 a^{3} + a + 3 + \left(a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13 + \left(6 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{2} + \left(6 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{3} + \left(4 a^{3} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{4} + \left(8 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{5} + \left(3 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{6} + \left(6 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{7} + \left(3 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{8} + \left(11 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 13^{9} + \left(7 a^{3} + 12 a^{2} + a + 9\right)\cdot 13^{10} + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{11} + \left(5 a^{3} + a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{12} + \left(2 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{13} + \left(10 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{14} + \left(4 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{15} + \left(10 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 13^{16} + \left(a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{17} + \left(9 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 13^{18} + \left(8 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 13^{19} + \left(3 a^{3} + 7 a^{2} + 5\right)\cdot 13^{20} + \left(11 a^{3} + 5 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{21} + \left(a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 13^{22} + \left(8 a^{3} + 8 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{23} + \left(a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{24} + \left(5 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{25} + \left(3 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{26} + \left(10 a^{3} + 10 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{27} + \left(a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 13^{28} + \left(6 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{29} + \left(6 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{30} + \left(5 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{31} + \left(3 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{32} + \left(9 a^{3} + a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 13^{33} + \left(a^{3} + 9 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{34} + \left(12 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a\right)\cdot 13^{35} + \left(5 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 13^{36} + \left(6 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 13^{37} + \left(3 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{38} + \left(12 a^{3} + 11 a^{2} + a\right)\cdot 13^{39} + \left(11 a^{3} + a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{40} + \left(a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 13^{41} + \left(6 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{42} + \left(8 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{43} + \left(4 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 13^{44} + \left(2 a^{3} + 5 a^{2} + 3\right)\cdot 13^{45} + \left(6 a^{3} + a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{46} + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{47} + \left(4 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 13^{48} + \left(9 a^{3} + 11 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 13^{49} + \left(3 a^{3} + 4 a^{2} + 4\right)\cdot 13^{50} + \left(a^{3} + 11 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{51} + \left(2 a^{3} + 12 a^{2} + 2\right)\cdot 13^{52} + \left(8 a^{3} + 11 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 13^{53} + \left(5 a^{3} + a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{54} + \left(7 a^{2} + 11\right)\cdot 13^{55} + \left(4 a^{3} + 8 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{56} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{57} + \left(6 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{58} + \left(8 a^{3} + 5 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{59} + \left(3 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{60} + \left(8 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{61} + \left(7 a^{3} + a + 6\right)\cdot 13^{62} + \left(2 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{63} + \left(11 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13^{64} + \left(2 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 13^{65} + \left(a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{66} + \left(7 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{67} + \left(7 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{68} + \left(2 a^{3} + 5 a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{69} + \left(10 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{70} + \left(2 a^{3} + a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 13^{71} + \left(a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 13^{72} + \left(3 a^{3} + 10 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{73} + \left(a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{74} + \left(8 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{75} + \left(7 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{76} + \left(11 a^{3} + a^{2} + 8 a\right)\cdot 13^{77} + \left(7 a^{3} + a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{78} + \left(11 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 13^{79} + \left(7 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 13^{80} + \left(5 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 13^{81} + \left(8 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{82} + \left(4 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{83} + \left(10 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{84} + \left(8 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{85} + \left(a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{86} + \left(7 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 13^{87} + \left(2 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 13^{88} + \left(9 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{89} + \left(4 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{90} + \left(3 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{91} + \left(2 a^{3} + 6 a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{92} + \left(a^{3} + 4 a^{2} + 4 a\right)\cdot 13^{93} + \left(2 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 13^{94} + \left(12 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{95} + \left(12 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{96} + \left(a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{97} + \left(4 a^{3} + 11 a + 1\right)\cdot 13^{98} +O\left(13^{ 99 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 12 a^{3} + a^{2} + 10 a + 2 + \left(6 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 13 + \left(11 a^{3} + 4 a + 6\right)\cdot 13^{2} + \left(4 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{3} + \left(10 a^{3} + a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{4} + \left(8 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 13^{5} + \left(10 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 13^{6} + \left(12 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{7} + \left(11 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{8} + \left(9 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{9} + \left(12 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 13^{10} + \left(7 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 13^{11} + \left(8 a^{3} + 9 a^{2}\right)\cdot 13^{12} + \left(5 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{13} + \left(3 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{14} + \left(9 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{15} + \left(2 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 13^{16} + \left(4 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{17} + \left(12 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{18} + \left(a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{19} + \left(11 a^{3} + 7 a^{2} + 4\right)\cdot 13^{20} + \left(8 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{21} + \left(3 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{22} + \left(5 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{23} + \left(11 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{24} + \left(12 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{25} + \left(6 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{26} + \left(6 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{27} + \left(8 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{28} + \left(9 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{29} + \left(7 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{30} + \left(a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{31} + \left(9 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{32} + \left(6 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{33} + \left(2 a^{3} + a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{34} + \left(10 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{35} + \left(4 a^{3} + 2 a^{2} + 5\right)\cdot 13^{36} + \left(12 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 13^{37} + \left(8 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{38} + \left(6 a^{3} + 8 a^{2} + 11\right)\cdot 13^{39} + \left(12 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{40} + \left(10 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{41} + \left(4 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{42} + \left(9 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{43} + \left(2 a^{3} + 12 a^{2} + 11\right)\cdot 13^{44} + \left(7 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{45} + \left(8 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a\right)\cdot 13^{46} + \left(11 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{47} + \left(a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 13^{48} + \left(7 a^{3} + 10 a^{2} + 2\right)\cdot 13^{49} + \left(9 a^{3} + a + 8\right)\cdot 13^{50} + \left(5 a^{3} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{51} + \left(8 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 13^{52} + \left(4 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a\right)\cdot 13^{53} + \left(8 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 13^{54} + \left(12 a^{2} + 6\right)\cdot 13^{55} + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + a\right)\cdot 13^{56} + \left(2 a^{3} + a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{57} + \left(2 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{58} + \left(3 a^{3} + 3 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{59} + \left(5 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 13^{60} + \left(7 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{61} + \left(12 a^{3} + a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{62} + \left(4 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{63} + \left(8 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{64} + \left(a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 13^{65} + \left(8 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{66} + \left(12 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{67} + \left(8 a^{3} + 5 a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{68} + \left(8 a^{3} + 12 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{69} + \left(8 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 13^{70} + \left(11 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{71} + \left(2 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{72} + \left(a^{3} + 12 a^{2} + 4\right)\cdot 13^{73} + \left(11 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{74} + \left(7 a^{3} + 5 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 13^{75} + \left(12 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 13^{76} + \left(9 a^{3} + 10 a^{2} + a\right)\cdot 13^{77} + \left(12 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{78} + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a\right)\cdot 13^{79} + \left(6 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{80} + \left(8 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 13^{81} + \left(11 a^{3} + a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 13^{82} + \left(12 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{83} + \left(6 a^{3} + a^{2} + 4\right)\cdot 13^{84} + \left(4 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 13^{85} + \left(10 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{86} + \left(5 a^{3} + 3 a^{2} + a + 2\right)\cdot 13^{87} + \left(4 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 13^{88} + \left(6 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{89} + \left(12 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{90} + \left(6 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{91} + \left(4 a^{3} + 6 a^{2} + a + 9\right)\cdot 13^{92} + \left(5 a^{3} + 8 a^{2} + 3\right)\cdot 13^{93} + \left(11 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{94} + \left(12 a^{3} + 8 a^{2} + a\right)\cdot 13^{95} + \left(7 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{96} + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{97} + \left(6 a^{3} + 5 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{98} +O\left(13^{ 99 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 4 + \left(4 a + 1\right)\cdot 13 + \left(4 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{2} + \left(3 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a\right)\cdot 13^{3} + \left(12 a^{3} + 11 a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{4} + \left(5 a^{3} + 11 a^{2} + 11\right)\cdot 13^{5} + \left(3 a^{3} + 7 a^{2} + a + 2\right)\cdot 13^{6} + \left(7 a^{3} + 7 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{7} + \left(4 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 13^{8} + \left(3 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{9} + \left(3 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{10} + \left(8 a^{3} + 9 a^{2} + 2\right)\cdot 13^{11} + \left(5 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{12} + \left(6 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 13^{13} + \left(3 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{14} + \left(5 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 13^{15} + \left(8 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 13^{16} + \left(3 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 13^{17} + \left(2 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{18} + \left(6 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 13^{19} + \left(7 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 13^{20} + \left(6 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{21} + \left(11 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 13^{22} + \left(2 a^{3} + a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 13^{23} + \left(10 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{24} + \left(2 a^{3} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{25} + \left(3 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 13^{26} + \left(9 a^{3} + 4 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{27} + \left(7 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{28} + \left(7 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{29} + \left(12 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 13^{30} + \left(3 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{31} + \left(10 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{32} + \left(a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 13^{33} + \left(a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{34} + \left(4 a^{3} + 7 a^{2} + a + 2\right)\cdot 13^{35} + \left(8 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 13^{36} + \left(11 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 13^{37} + \left(7 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 13^{38} + \left(11 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{39} + \left(12 a^{3} + 2 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{40} + \left(12 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 13^{41} + \left(8 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{42} + \left(a^{3} + 9 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{43} + \left(2 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{44} + \left(7 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{45} + \left(12 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{46} + \left(10 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 13^{47} + \left(11 a^{3} + 5 a^{2} + a + 2\right)\cdot 13^{48} + \left(a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{49} + \left(4 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 13^{50} + \left(3 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{51} + \left(9 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a\right)\cdot 13^{52} + \left(5 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{53} + \left(5 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{54} + \left(11 a^{3} + 12 a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{55} + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{56} + \left(11 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 13^{57} + \left(3 a^{3} + 2 a + 3\right)\cdot 13^{58} + \left(3 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{59} + \left(2 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{60} + \left(9 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{61} + \left(12 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 13^{62} + \left(7 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{63} + \left(3 a^{3} + a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{64} + \left(12 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13^{65} + \left(a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{66} + \left(12 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{67} + \left(8 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{68} + \left(2 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 13^{69} + \left(a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{70} + \left(4 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{71} + \left(4 a^{3} + 10 a^{2}\right)\cdot 13^{72} + \left(10 a^{3} + 10 a^{2} + 6\right)\cdot 13^{73} + \left(7 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 13^{74} + \left(9 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{75} + \left(4 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 13^{76} + \left(8 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 13^{77} + \left(4 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{78} + \left(12 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13^{79} + \left(4 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{80} + \left(4 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{81} + \left(9 a^{3} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{82} + \left(12 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 13^{83} + \left(2 a^{3} + 5 a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{84} + \left(3 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 13^{85} + \left(5 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 13^{86} + \left(6 a^{3} + 9 a^{2} + 11\right)\cdot 13^{87} + \left(12 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{88} + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{89} + \left(5 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{90} + \left(5 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 13^{91} + \left(12 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{92} + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{93} + \left(11 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a\right)\cdot 13^{94} + \left(12 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 13^{95} + \left(8 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 13^{96} + \left(6 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{97} + \left(3 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a\right)\cdot 13^{98} +O\left(13^{ 99 }\right)$ |
| $r_{ 9 }$ |
$=$ |
$ 11 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 8 + \left(a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 13 + \left(6 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 13^{2} + \left(a^{3} + a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{3} + \left(8 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{4} + \left(11 a^{3} + 10\right)\cdot 13^{5} + \left(7 a^{3} + a^{2} + 5\right)\cdot 13^{6} + \left(9 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13^{7} + \left(12 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 13^{8} + \left(11 a^{2} + 1\right)\cdot 13^{9} + \left(a^{3} + 12 a^{2} + 7 a\right)\cdot 13^{10} + \left(8 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{11} + \left(2 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{12} + \left(5 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{13} + \left(5 a^{3} + 2 a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{14} + \left(12 a^{3} + a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{15} + \left(2 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{16} + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{17} + \left(9 a^{3} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{18} + \left(4 a^{3} + a\right)\cdot 13^{19} + \left(5 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{20} + \left(12 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{21} + \left(12 a^{3} + 7 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{22} + \left(10 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 13^{23} + \left(2 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{24} + \left(11 a^{3} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{25} + \left(11 a^{3} + 2 a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{26} + \left(3 a^{3} + 7 a^{2}\right)\cdot 13^{27} + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{28} + \left(9 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{29} + \left(10 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{30} + \left(9 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{31} + \left(12 a^{2} + 5\right)\cdot 13^{32} + \left(2 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{33} + \left(11 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{34} + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{35} + \left(2 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{36} + \left(12 a^{3} + a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{37} + \left(5 a^{3} + 3 a^{2} + a + 9\right)\cdot 13^{38} + \left(7 a^{3} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{39} + \left(8 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{40} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{41} + \left(4 a^{3} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{42} + \left(9 a^{3} + 7 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{43} + \left(9 a^{3} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{44} + \left(10 a^{3} + a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{45} + \left(11 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 13^{46} + \left(3 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{47} + \left(2 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{48} + \left(2 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 13^{49} + \left(12 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 13^{50} + \left(9 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{51} + \left(4 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{52} + \left(5 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{53} + \left(2 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 13^{54} + \left(11 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{55} + \left(3 a^{3} + a^{2} + a + 2\right)\cdot 13^{56} + \left(7 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{57} + \left(a^{3} + 6 a^{2} + 5\right)\cdot 13^{58} + \left(4 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{59} + \left(2 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a\right)\cdot 13^{60} + \left(8 a^{3} + 6 a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{61} + \left(7 a^{3} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{62} + \left(a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{63} + \left(7 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{64} + \left(11 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{65} + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{66} + \left(9 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{67} + \left(5 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{68} + \left(5 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{69} + \left(4 a^{3} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{70} + \left(11 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{71} + \left(6 a^{3} + 11 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{72} + \left(12 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{73} + \left(6 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 13^{74} + \left(a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{75} + \left(5 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{76} + \left(a^{3} + 8 a^{2} + 9\right)\cdot 13^{77} + \left(10 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{78} + \left(10 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{79} + \left(11 a^{3} + 9 a^{2} + a\right)\cdot 13^{80} + \left(11 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{81} + \left(3 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{82} + \left(4 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 13^{83} + \left(10 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a\right)\cdot 13^{84} + \left(9 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{85} + \left(5 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{86} + \left(7 a^{3} + 12 a^{2} + 4\right)\cdot 13^{87} + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{88} + \left(3 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{89} + \left(6 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{90} + \left(8 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 13^{91} + \left(12 a^{3} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{92} + \left(3 a^{3} + 5 a^{2} + a\right)\cdot 13^{93} + \left(9 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{94} + \left(8 a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{95} + \left(7 a^{3} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{96} + \left(4 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{97} + \left(9 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{98} +O\left(13^{ 99 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 9 }$
| Cycle notation |
| $(1,3)(2,8)(4,7)(5,6)$ |
| $(1,6,3,5)(2,7,8,4)$ |
| $(2,5,7)(4,8,6)$ |
| $(1,4,5)(2,9,8)(3,6,7)$ |
| $(1,7,3,4)(2,5,8,6)$ |
| $(1,2,6)(3,5,8)(4,9,7)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 9 }$
| Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $8$ |
| $9$ | $2$ | $(1,3)(2,8)(4,7)(5,6)$ | $0$ |
| $8$ | $3$ | $(1,4,5)(2,9,8)(3,6,7)$ | $-1$ |
| $12$ | $3$ | $(1,4,5)(2,8,9)$ | $2 \zeta_{3}$ |
| $12$ | $3$ | $(1,5,4)(2,9,8)$ | $-2 \zeta_{3} - 2$ |
| $24$ | $3$ | $(1,4,9)(2,6,8)(3,5,7)$ | $\zeta_{3} + 1$ |
| $24$ | $3$ | $(1,9,4)(2,8,6)(3,7,5)$ | $-\zeta_{3}$ |
| $54$ | $4$ | $(1,7,3,4)(2,5,8,6)$ | $0$ |
| $36$ | $6$ | $(1,8,4,9,5,2)(6,7)$ | $0$ |
| $36$ | $6$ | $(1,2,5,9,4,8)(6,7)$ | $0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
