Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 17 }$ to precision 20.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 17 }$: $ x^{4} + 7 x^{2} + 10 x + 3 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 9 + 6\cdot 17 + 13\cdot 17^{2} + 5\cdot 17^{3} + 13\cdot 17^{4} + 4\cdot 17^{5} + 11\cdot 17^{6} + 14\cdot 17^{7} + 6\cdot 17^{8} + 16\cdot 17^{9} + 8\cdot 17^{10} + 7\cdot 17^{11} + 11\cdot 17^{12} + 7\cdot 17^{13} + 17^{14} + 13\cdot 17^{15} + 6\cdot 17^{16} + 15\cdot 17^{17} + 17^{18} + 2\cdot 17^{19} +O\left(17^{ 20 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 8 a^{3} + 15 a^{2} + 15 a + 16 + \left(a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 17 + \left(11 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 17^{2} + \left(a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 17^{3} + \left(9 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 17^{4} + \left(15 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 17^{5} + \left(a^{3} + 6 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 17^{6} + \left(12 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 17^{7} + \left(12 a^{3} + a^{2} + 9 a\right)\cdot 17^{8} + \left(12 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 17^{9} + \left(8 a^{3} + 16 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 17^{10} + \left(7 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 17^{11} + \left(4 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 17^{12} + \left(9 a^{3} + 15 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 17^{13} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 17^{14} + \left(4 a^{3} + 16 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 17^{15} + \left(12 a^{3} + 15 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 17^{16} + \left(a^{3} + 8 a + 4\right)\cdot 17^{17} + \left(12 a^{3} + 9 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 17^{18} + \left(5 a^{3} + 13 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 17^{19} +O\left(17^{ 20 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 6 a^{3} + 5 a + 8 + \left(10 a^{3} + 11 a + 11\right)\cdot 17 + \left(12 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 17^{2} + \left(7 a^{3} + 13 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 17^{3} + \left(10 a^{3} + 13 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 17^{4} + \left(8 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 17^{5} + \left(12 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 17^{6} + \left(9 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 17^{7} + \left(13 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 17^{8} + \left(11 a^{3} + 13 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 17^{9} + \left(2 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a\right)\cdot 17^{10} + \left(11 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a\right)\cdot 17^{11} + \left(9 a^{3} + a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 17^{12} + \left(a^{3} + 9 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 17^{13} + \left(14 a^{3} + 15 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 17^{14} + \left(7 a^{3} + 16 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 17^{15} + \left(12 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 17^{16} + \left(2 a^{3} + 16 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 17^{17} + \left(12 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 17^{18} + \left(2 a^{3} + 7\right)\cdot 17^{19} +O\left(17^{ 20 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 7 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 6 + \left(2 a^{3} + 2 a + 4\right)\cdot 17 + \left(13 a^{3} + 6 a^{2} + a + 7\right)\cdot 17^{2} + \left(14 a^{3} + 2 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 17^{3} + \left(5 a^{3} + a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 17^{4} + \left(12 a^{3} + 6 a^{2} + a + 6\right)\cdot 17^{5} + \left(12 a^{3} + 3 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 17^{6} + \left(11 a^{3} + a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 17^{7} + \left(8 a^{3} + 16 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 17^{8} + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 17^{9} + \left(13 a^{3} + 15 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 17^{10} + \left(15 a^{3} + 6 a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 17^{11} + \left(11 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 17^{12} + \left(8 a^{3} + 7 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 17^{13} + \left(6 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 17^{14} + \left(12 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 17^{15} + \left(11 a^{3} + 2 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 17^{16} + \left(8 a^{3} + 7 a^{2} + 13 a\right)\cdot 17^{17} + \left(6 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 17^{18} + \left(2 a^{3} + 8 a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 17^{19} +O\left(17^{ 20 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 4 a^{3} + 9 a^{2} + a + 16 + \left(16 a^{2} + 9 a\right)\cdot 17 + \left(2 a^{3} + 6 a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 17^{2} + \left(14 a^{3} + 14 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 17^{3} + \left(4 a^{3} + 6 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 17^{4} + \left(6 a^{3} + a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 17^{5} + \left(10 a^{3} + 7 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 17^{6} + \left(10 a^{3} + 12 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 17^{7} + \left(13 a^{3} + 13 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 17^{8} + \left(11 a^{3} + 3 a^{2} + a + 4\right)\cdot 17^{9} + \left(13 a^{3} + 2 a^{2} + a + 1\right)\cdot 17^{10} + \left(3 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 17^{11} + \left(5 a^{3} + 10 a^{2} + a + 5\right)\cdot 17^{12} + \left(2 a^{3} + 16 a^{2} + 12 a\right)\cdot 17^{13} + \left(2 a^{3} + 15 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 17^{14} + \left(3 a^{3} + 15 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 17^{15} + \left(5 a^{3} + 4 a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 17^{16} + \left(3 a^{3} + a^{2} + a + 8\right)\cdot 17^{17} + \left(9 a^{3} + 4 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 17^{18} + \left(6 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 17^{19} +O\left(17^{ 20 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ a^{3} + a^{2} + 6 a + 8 + \left(10 a^{3} + 13 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 17 + \left(7 a^{3} + 10 a + 15\right)\cdot 17^{2} + \left(14 a^{3} + 7 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 17^{3} + \left(11 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 17^{4} + \left(13 a^{3} + 14 a^{2} + 6 a + 13\right)\cdot 17^{5} + \left(7 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 17^{6} + \left(5 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 17^{7} + \left(a^{3} + 7 a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 17^{8} + \left(14 a^{2} + a + 13\right)\cdot 17^{9} + \left(4 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 17^{10} + \left(2 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 17^{11} + \left(3 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 17^{12} + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 14\right)\cdot 17^{13} + \left(5 a^{3} + 15 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 17^{14} + \left(16 a^{3} + a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 17^{15} + \left(7 a^{3} + a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 17^{16} + \left(4 a^{3} + 5 a + 4\right)\cdot 17^{17} + \left(13 a^{3} + a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 17^{18} + \left(13 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 17^{19} +O\left(17^{ 20 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 4 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 16 + \left(5 a^{3} + 6 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 17 + \left(13 a^{3} + 4 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 17^{2} + \left(3 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 17^{3} + \left(8 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 17^{4} + \left(16 a^{3} + 14 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 17^{5} + \left(13 a^{3} + 2 a + 8\right)\cdot 17^{6} + \left(5 a^{3} + 14 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 17^{7} + \left(6 a^{3} + 11 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 17^{8} + \left(9 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 17^{9} + \left(7 a^{3} + 4 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 17^{10} + \left(3 a^{3} + 13 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 17^{11} + \left(7 a^{3} + 12 a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 17^{12} + \left(13 a^{2} + 10\right)\cdot 17^{13} + \left(16 a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 17^{14} + \left(10 a^{3} + 16 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 17^{15} + \left(8 a^{3} + 11 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 17^{16} + \left(7 a^{3} + 14 a^{2} + a + 2\right)\cdot 17^{17} + \left(16 a^{3} + 2 a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 17^{18} + \left(3 a^{3} + 14 a + 10\right)\cdot 17^{19} +O\left(17^{ 20 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ a^{3} + 14 a^{2} + 15 a + 11 + \left(4 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 17 + \left(4 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 17^{2} + \left(5 a^{3} + 13 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 17^{3} + \left(11 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 17^{4} + \left(9 a^{3} + 3 a^{2} + 16 a + 10\right)\cdot 17^{5} + \left(2 a^{3} + 3 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 17^{6} + \left(8 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 15\right)\cdot 17^{7} + \left(a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 17^{8} + \left(3 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 17^{9} + \left(8 a^{3} + 5 a + 12\right)\cdot 17^{10} + \left(10 a^{3} + 13 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 17^{11} + \left(8 a^{3} + 5 a^{2} + 10\right)\cdot 17^{12} + \left(6 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 17^{13} + \left(8 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 17^{14} + \left(10 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 17^{15} + \left(9 a^{3} + 4 a^{2} + a + 10\right)\cdot 17^{16} + \left(13 a^{3} + 3 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 17^{17} + \left(5 a^{3} + 11 a^{2} + a + 9\right)\cdot 17^{18} + \left(3 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 17^{19} +O\left(17^{ 20 }\right)$ |
| $r_{ 9 }$ |
$=$ |
$ 3 a^{3} + 13 a^{2} + 4 a + 14 + \left(5 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 17 + \left(4 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 17^{2} + \left(6 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 17^{3} + \left(6 a^{3} + 14 a^{2} + 16 a\right)\cdot 17^{4} + \left(3 a^{3} + a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 17^{5} + \left(6 a^{3} + a^{2} + a + 14\right)\cdot 17^{6} + \left(4 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 17^{7} + \left(10 a^{3} + 16 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 17^{8} + \left(15 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 17^{9} + \left(9 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 17^{10} + \left(13 a^{3} + 11 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 17^{11} + \left(14 a^{3} + 15 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 17^{12} + \left(13 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 17^{13} + \left(11 a^{3} + 5 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 17^{14} + \left(3 a^{3} + 15 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 17^{15} + \left(12 a^{3} + 13 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 17^{16} + \left(9 a^{3} + 6 a^{2} + a + 7\right)\cdot 17^{17} + \left(9 a^{3} + 13 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 17^{18} + \left(8 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 17^{19} +O\left(17^{ 20 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 9 }$
| Cycle notation |
| $(2,4,7,9)(3,5,8,6)$ |
| $(1,2,7)(3,6,9)(4,5,8)$ |
| $(2,7)(3,8)(4,9)(5,6)$ |
| $(1,9,4)(2,3,5)(6,8,7)$ |
| $(2,6,7,5)(3,4,8,9)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 9 }$
| Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $8$ |
| $9$ | $2$ | $(1,2)(3,4)(5,9)(6,8)$ | $0$ |
| $8$ | $3$ | $(1,9,4)(2,3,5)(6,8,7)$ | $-1$ |
| $18$ | $4$ | $(1,3,2,4)(5,6,9,8)$ | $0$ |
| $18$ | $4$ | $(2,4,7,9)(3,5,8,6)$ | $0$ |
| $18$ | $4$ | $(1,3,6,2)(4,7,8,9)$ | $0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
