Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 13 }$ to precision 24.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 13 }$: $ x^{4} + 3 x^{2} + 12 x + 2 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 7 a^{3} + 12 a^{2} + 2 + \left(10 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13 + \left(4 a^{3} + 3 a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{2} + \left(6 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{3} + \left(5 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{4} + \left(2 a^{3} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{5} + \left(11 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a\right)\cdot 13^{6} + \left(11 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{7} + \left(10 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{8} + \left(a^{3} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{9} + \left(8 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{10} + \left(6 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 13^{11} + \left(9 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 13^{12} + \left(7 a^{3} + 9 a + 7\right)\cdot 13^{13} + \left(8 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{14} + \left(2 a^{3} + 6 a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{15} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{16} + \left(8 a^{3} + a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{17} + \left(12 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 13^{18} + \left(3 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{19} + \left(a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 13^{20} + \left(10 a^{3} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{21} + \left(5 a^{3} + a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{22} + \left(4 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{23} +O\left(13^{ 24 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 2 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 5 + \left(2 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13 + \left(5 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 13^{2} + \left(8 a^{3} + 10 a^{2} + 7\right)\cdot 13^{3} + \left(5 a^{3} + a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 13^{4} + \left(11 a^{3} + 12 a^{2} + 5\right)\cdot 13^{5} + \left(7 a^{3} + 4 a^{2} + 3\right)\cdot 13^{6} + \left(3 a^{3} + 3 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{7} + \left(a^{2} + 12 a\right)\cdot 13^{8} + \left(9 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 13^{9} + \left(11 a^{3} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{10} + \left(12 a^{3} + 9 a^{2} + 3\right)\cdot 13^{11} + \left(11 a^{3} + a + 3\right)\cdot 13^{12} + \left(8 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{13} + \left(11 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{14} + \left(5 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{15} + \left(3 a^{3} + 9 a + 12\right)\cdot 13^{16} + \left(a^{3} + a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{17} + \left(9 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{18} + \left(8 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{19} + \left(2 a^{3} + a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{20} + \left(12 a^{3} + 6 a^{2} + 6\right)\cdot 13^{21} + \left(7 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{22} + \left(4 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{23} +O\left(13^{ 24 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 6 + \left(4 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13 + \left(5 a^{3} + a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 13^{2} + \left(a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 13^{3} + \left(11 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{4} + \left(3 a^{3} + a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{5} + \left(8 a^{3} + 7 a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{6} + \left(4 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{7} + \left(8 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{8} + \left(11 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 13^{9} + \left(2 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 13^{10} + \left(10 a^{3} + 7 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{11} + \left(9 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 13^{12} + \left(6 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{13} + \left(2 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{14} + \left(4 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 13^{15} + \left(8 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{16} + \left(6 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{17} + \left(7 a^{3} + a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{18} + \left(5 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 13^{19} + \left(11 a^{3} + 8\right)\cdot 13^{20} + \left(12 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{21} + \left(12 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 13^{22} + \left(9 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{23} +O\left(13^{ 24 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ a^{3} + 5 a^{2} + 6 + \left(10 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 13 + \left(8 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{2} + \left(10 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{3} + \left(8 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{4} + \left(7 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{5} + \left(4 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 13^{6} + \left(4 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 13^{7} + \left(12 a^{3} + 6 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{8} + \left(6 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{9} + \left(11 a^{3} + 5 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{10} + \left(9 a^{3} + 7 a^{2} + 6\right)\cdot 13^{11} + \left(11 a^{3} + a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{12} + \left(2 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 13^{13} + \left(10 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{14} + \left(3 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{15} + \left(3 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{16} + \left(12 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 13^{17} + \left(5 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{18} + \left(2 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{19} + \left(5 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{20} + \left(9 a^{3} + 8 a^{2} + 11\right)\cdot 13^{21} + \left(9 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{22} + \left(2 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{23} +O\left(13^{ 24 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 10 a^{3} + a^{2} + a + 6 + \left(8 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 13 + \left(11 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{2} + \left(10 a^{3} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{3} + \left(4 a^{3} + 9 a + 2\right)\cdot 13^{4} + \left(4 a^{3} + 2 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{5} + \left(12 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 13^{6} + \left(2 a^{3} + 2 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{7} + \left(3 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{8} + \left(7 a^{3} + 7 a + 11\right)\cdot 13^{9} + \left(7 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{10} + \left(8 a^{3} + 3 a^{2} + a + 2\right)\cdot 13^{11} + \left(a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{12} + \left(12 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{13} + \left(9 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{14} + \left(9 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 13^{15} + \left(2 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{16} + \left(5 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{17} + \left(6 a^{3} + 6 a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{18} + \left(5 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 13^{19} + \left(5 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{20} + \left(5 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 13^{21} + \left(12 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 13^{22} + \left(4 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a\right)\cdot 13^{23} +O\left(13^{ 24 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 8 + \left(7 a^{3} + 5 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 13 + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{2} + \left(6 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 13^{3} + \left(6 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{4} + \left(7 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{5} + \left(6 a^{3} + a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{6} + \left(5 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{7} + \left(8 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{8} + \left(11 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{9} + \left(11 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{10} + \left(2 a^{3} + a + 11\right)\cdot 13^{11} + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 13^{12} + \left(7 a^{3} + a^{2} + 6 a\right)\cdot 13^{13} + \left(2 a^{3} + 7 a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{14} + \left(9 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 13^{15} + \left(11 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 13^{16} + \left(7 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{17} + \left(3 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{18} + \left(4 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a\right)\cdot 13^{19} + \left(12 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{20} + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 1\right)\cdot 13^{21} + \left(2 a^{3} + 9 a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{22} + \left(4 a^{3} + 4 a + 2\right)\cdot 13^{23} +O\left(13^{ 24 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 9 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 4 + \left(3 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 13 + \left(3 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{2} + \left(8 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{3} + \left(5 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{4} + \left(12 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{5} + \left(6 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{6} + \left(12 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{7} + \left(4 a^{3} + 8 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{8} + \left(11 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13^{9} + \left(3 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 13^{10} + \left(8 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{11} + \left(12 a^{3} + 8 a^{2} + 2\right)\cdot 13^{12} + \left(6 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 13^{13} + \left(a^{3} + a^{2} + 6 a\right)\cdot 13^{14} + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{15} + \left(7 a^{3} + 12 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{16} + \left(11 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{17} + \left(7 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{18} + \left(12 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{19} + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{20} + \left(11 a^{3} + 5 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{21} + \left(5 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{22} + \left(a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{23} +O\left(13^{ 24 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 10 + 12\cdot 13 + 8\cdot 13^{2} + 13^{3} + 9\cdot 13^{4} + 8\cdot 13^{5} + 11\cdot 13^{6} + 7\cdot 13^{7} + 10\cdot 13^{9} + 9\cdot 13^{10} + 11\cdot 13^{11} + 10\cdot 13^{12} + 6\cdot 13^{13} + 13^{14} + 5\cdot 13^{15} + 10\cdot 13^{16} + 10\cdot 13^{17} + 10\cdot 13^{19} + 6\cdot 13^{20} + 6\cdot 13^{21} + 4\cdot 13^{22} +O\left(13^{ 24 }\right)$ |
| $r_{ 9 }$ |
$=$ |
$ 8 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 8 + \left(2 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13 + \left(4 a^{3} + a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{2} + \left(7 a^{3} + 3 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{3} + \left(4 a^{3} + a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{4} + \left(2 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{5} + \left(7 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{6} + \left(6 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{7} + \left(3 a^{3} + 11 a + 6\right)\cdot 13^{8} + \left(3 a^{3} + a^{2} + a + 9\right)\cdot 13^{9} + \left(2 a^{3} + a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{10} + \left(a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{11} + \left(a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{12} + \left(9 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 13^{13} + \left(5 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{14} + \left(9 a^{3} + 10 a + 11\right)\cdot 13^{15} + \left(5 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{16} + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{17} + \left(12 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 13^{18} + \left(10 a^{3} + 9 a + 6\right)\cdot 13^{19} + \left(12 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{20} + \left(10 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{21} + \left(6 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{22} + \left(7 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{23} +O\left(13^{ 24 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 9 }$
| Cycle notation |
| $(1,9,6)(2,8,7)(3,4,5)$ |
| $(1,4,2)(3,7,6)(5,8,9)$ |
| $(1,8,5,2)(3,9,6,4)$ |
| $(1,9,5,4)(2,6,8,3)$ |
| $(1,5)(2,8)(3,6)(4,9)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 9 }$
| Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $8$ |
| $9$ | $2$ | $(1,8)(2,9)(4,5)(6,7)$ | $0$ |
| $8$ | $3$ | $(1,9,6)(2,8,7)(3,4,5)$ | $-1$ |
| $18$ | $4$ | $(1,6,8,7)(2,5,9,4)$ | $0$ |
| $18$ | $4$ | $(1,9,5,4)(2,6,8,3)$ | $0$ |
| $18$ | $4$ | $(1,4,6,7)(2,8,3,5)$ | $0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
