Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 11 }$ to precision 26.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 11 }$: $ x^{4} + 8 x^{2} + 10 x + 2 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 5 a^{2} + 6 a + 10 + \left(5 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 11 + \left(9 a^{3} + 8 a^{2} + 2\right)\cdot 11^{2} + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 11^{3} + \left(a^{3} + 8 a^{2} + 1\right)\cdot 11^{4} + \left(9 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 11^{5} + \left(5 a^{3} + 4 a^{2} + a + 10\right)\cdot 11^{6} + \left(7 a^{3} + 10 a + 5\right)\cdot 11^{7} + \left(8 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 11^{8} + \left(3 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 11^{9} + \left(4 a^{3} + 4 a^{2} + a + 9\right)\cdot 11^{10} + \left(4 a^{2} + a + 6\right)\cdot 11^{11} + \left(6 a^{3} + a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{12} + \left(5 a^{3} + a^{2} + 4\right)\cdot 11^{13} + \left(6 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 11^{14} + \left(2 a^{3} + a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 11^{15} + \left(6 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{16} + \left(10 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 11^{17} + \left(9 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a\right)\cdot 11^{18} + \left(3 a^{3} + 6 a^{2} + 7\right)\cdot 11^{19} + \left(7 a^{3} + 10\right)\cdot 11^{20} + \left(9 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 11^{21} + \left(8 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 11^{22} + \left(8 a^{3} + 8 a^{2} + 3\right)\cdot 11^{23} + \left(7 a^{3} + a^{2} + 9\right)\cdot 11^{24} + \left(2 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 11^{25} +O\left(11^{ 26 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 6 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 7 + \left(3 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 11 + \left(9 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 11^{2} + \left(10 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 11^{3} + \left(6 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 11^{4} + \left(4 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 11^{5} + \left(9 a^{3} + a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 11^{6} + \left(a^{3} + 4 a^{2} + a + 5\right)\cdot 11^{7} + \left(3 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 11^{8} + \left(8 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 11^{9} + \left(6 a^{3} + a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 11^{10} + \left(8 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 11^{11} + \left(9 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 11^{12} + \left(a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 11^{13} + \left(7 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 11^{14} + \left(7 a^{3} + a + 10\right)\cdot 11^{15} + \left(5 a^{3} + a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 11^{16} + \left(8 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 11^{17} + \left(2 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{18} + \left(8 a^{3} + 5 a^{2} + 5\right)\cdot 11^{19} + \left(8 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 11^{20} + \left(4 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 11^{21} + \left(3 a^{3} + 8\right)\cdot 11^{22} + \left(2 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 11^{23} + \left(10 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a\right)\cdot 11^{24} + \left(3 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 11^{25} +O\left(11^{ 26 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 8 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + \left(9 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 11 + \left(5 a^{3} + a^{2} + 2\right)\cdot 11^{2} + \left(2 a^{3} + a^{2}\right)\cdot 11^{3} + \left(9 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 11^{4} + \left(3 a^{3} + 7 a^{2} + 4\right)\cdot 11^{5} + \left(a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 11^{6} + \left(8 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 11^{7} + \left(7 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 11^{8} + \left(5 a^{3} + 9 a + 10\right)\cdot 11^{9} + \left(8 a^{3} + 3 a^{2} + a\right)\cdot 11^{10} + \left(2 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 11^{11} + \left(10 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 11^{12} + \left(3 a^{3} + a + 6\right)\cdot 11^{13} + \left(3 a^{3} + 5 a^{2} + a + 8\right)\cdot 11^{14} + \left(7 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 11^{15} + \left(7 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 11^{16} + \left(6 a^{3} + a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 11^{17} + \left(3 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a\right)\cdot 11^{18} + \left(a^{3} + 2 a + 1\right)\cdot 11^{19} + \left(8 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 11^{20} + \left(9 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 11^{21} + \left(6 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 11^{22} + \left(10 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 11^{23} + \left(9 a^{3} + a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 11^{24} + \left(10 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 11^{25} +O\left(11^{ 26 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 2 a^{3} + 7 a^{2} + 2 + \left(4 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 11 + \left(7 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a\right)\cdot 11^{2} + \left(a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 11^{3} + \left(7 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 11^{4} + \left(5 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 11^{5} + \left(7 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 11^{6} + \left(4 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 11^{7} + \left(4 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 11^{8} + \left(2 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 11^{9} + \left(a^{3} + 2 a\right)\cdot 11^{10} + \left(2 a^{3} + 10 a^{2} + 5\right)\cdot 11^{11} + \left(a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 11^{12} + \left(4 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{13} + \left(10 a^{2} + a + 9\right)\cdot 11^{14} + \left(a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 11^{15} + \left(9 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 11^{16} + \left(9 a^{3} + 9\right)\cdot 11^{17} + \left(8 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 11^{18} + \left(5 a^{3} + a^{2}\right)\cdot 11^{19} + \left(2 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 11^{20} + \left(a^{3} + 9 a^{2} + 2\right)\cdot 11^{21} + \left(2 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 11^{22} + \left(3 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 11^{23} + \left(6 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 11^{24} + \left(10 a^{3} + a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 11^{25} +O\left(11^{ 26 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 3 a^{3} + 6 a^{2} + a + \left(8 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 11 + \left(3 a^{3} + 8 a^{2} + 3\right)\cdot 11^{2} + \left(5 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 11^{3} + \left(a^{3} + 2 a + 10\right)\cdot 11^{4} + \left(6 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 11^{5} + \left(2 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 11^{6} + \left(4 a^{3} + 10 a + 7\right)\cdot 11^{7} + \left(3 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 11^{8} + \left(3 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 11^{9} + \left(8 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 11^{10} + \left(a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 11^{11} + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + 4\right)\cdot 11^{12} + \left(a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 11^{13} + \left(8 a^{2} + a\right)\cdot 11^{14} + \left(7 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a\right)\cdot 11^{15} + \left(2 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 11^{16} + \left(6 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a\right)\cdot 11^{17} + \left(4 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a\right)\cdot 11^{18} + \left(2 a^{3} + a + 10\right)\cdot 11^{19} + \left(7 a^{3} + 2 a + 7\right)\cdot 11^{20} + \left(6 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 11^{21} + \left(8 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 11^{22} + \left(9 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 11^{23} + \left(8 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 11^{24} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 11^{25} +O\left(11^{ 26 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 8 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 9 + \left(3 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 11 + \left(8 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 11^{2} + \left(7 a + 10\right)\cdot 11^{3} + \left(4 a^{3} + a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 11^{4} + \left(4 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 11^{5} + \left(5 a^{3} + 7 a^{2} + a + 6\right)\cdot 11^{6} + \left(4 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 11^{7} + \left(9 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a\right)\cdot 11^{8} + \left(4 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 11^{9} + \left(2 a^{3} + a^{2} + 10\right)\cdot 11^{10} + \left(7 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{11} + \left(6 a^{3} + 3 a^{2} + 7\right)\cdot 11^{12} + \left(6 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 11^{13} + \left(5 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 11^{14} + \left(4 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 11^{15} + \left(2 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 11^{16} + \left(4 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a\right)\cdot 11^{17} + \left(6 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 11^{18} + \left(8 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 11^{19} + \left(8 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 11^{20} + \left(6 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 11^{21} + \left(3 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 11^{22} + \left(9 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 11^{23} + \left(5 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 11^{24} + \left(4 a^{3} + 3 a^{2} + a + 10\right)\cdot 11^{25} +O\left(11^{ 26 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 7 a^{3} + a^{2} + 10 a + 10 + \left(6 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 11 + \left(4 a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{2} + \left(4 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 11^{3} + \left(3 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 11^{4} + \left(7 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 11^{5} + \left(5 a^{3} + 4\right)\cdot 11^{6} + \left(8 a^{3} + 9 a^{2} + a + 2\right)\cdot 11^{7} + \left(9 a^{3} + a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 11^{8} + \left(8 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 11^{9} + \left(3 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 11^{10} + \left(a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 11^{11} + \left(2 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 11^{12} + \left(10 a^{3} + a^{2} + a + 5\right)\cdot 11^{13} + \left(2 a^{3} + 2 a^{2} + a + 6\right)\cdot 11^{14} + \left(5 a^{3} + a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 11^{15} + \left(9 a^{3} + a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 11^{16} + \left(3 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 11^{17} + \left(2 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 11^{18} + \left(6 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 11^{19} + \left(9 a^{3} + a^{2} + 8\right)\cdot 11^{20} + \left(7 a^{3} + 4 a + 2\right)\cdot 11^{21} + \left(6 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 11^{22} + \left(5 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{23} + \left(3 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 11^{24} + \left(6 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a\right)\cdot 11^{25} +O\left(11^{ 26 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 7 + 8\cdot 11 + 8\cdot 11^{2} + 6\cdot 11^{3} + 5\cdot 11^{4} + 2\cdot 11^{5} + 3\cdot 11^{6} + 4\cdot 11^{7} + 11^{8} + 7\cdot 11^{9} + 11^{10} + 6\cdot 11^{11} + 6\cdot 11^{12} + 6\cdot 11^{13} + 10\cdot 11^{14} + 9\cdot 11^{15} + 3\cdot 11^{16} + 10\cdot 11^{17} + 9\cdot 11^{18} + 7\cdot 11^{19} + 10\cdot 11^{20} + 6\cdot 11^{21} + 7\cdot 11^{22} + 3\cdot 11^{23} + 2\cdot 11^{24} + 2\cdot 11^{25} +O\left(11^{ 26 }\right)$ |
| $r_{ 9 }$ |
$=$ |
$ 10 a^{3} + 8 a^{2} + \left(2 a^{3} + a^{2} + a + 5\right)\cdot 11 + \left(10 a^{3} + a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 11^{2} + \left(10 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 11^{3} + \left(5 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{4} + \left(10 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 11^{5} + \left(6 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 11^{6} + \left(8 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a\right)\cdot 11^{7} + \left(7 a^{3} + 2 a + 2\right)\cdot 11^{8} + \left(7 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 11^{9} + \left(8 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 11^{10} + \left(5 a^{3} + a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 11^{11} + \left(4 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 11^{12} + \left(6 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a\right)\cdot 11^{13} + \left(7 a^{3} + 6 a + 8\right)\cdot 11^{14} + \left(8 a^{3} + a + 1\right)\cdot 11^{15} + \left(6 a + 8\right)\cdot 11^{16} + \left(2 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 11^{17} + \left(6 a^{3} + 8 a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{18} + \left(7 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 11^{19} + \left(2 a^{3} + 3 a + 8\right)\cdot 11^{20} + \left(a^{3} + 6 a^{2} + a + 9\right)\cdot 11^{21} + \left(5 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 11^{22} + \left(3 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 11^{23} + \left(3 a^{3} + 8 a + 3\right)\cdot 11^{24} + \left(6 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 11^{25} +O\left(11^{ 26 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 9 }$
| Cycle notation |
| $(1,7,6)(2,3,4)(5,8,9)$ |
| $(1,5,6,2)(3,4,9,8)$ |
| $(1,6)(2,5)(3,9)(4,8)$ |
| $(1,3,6,9)(2,4,5,8)$ |
| $(1,9,4)(2,7,5)(3,6,8)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 9 }$
| Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $8$ |
| $9$ | $2$ | $(2,8)(3,5)(4,9)(6,7)$ | $0$ |
| $8$ | $3$ | $(1,9,4)(2,7,5)(3,6,8)$ | $-1$ |
| $18$ | $4$ | $(2,7,8,6)(3,9,5,4)$ | $0$ |
| $18$ | $4$ | $(1,5,6,2)(3,4,9,8)$ | $0$ |
| $18$ | $4$ | $(1,4,5,2)(6,7,8,9)$ | $0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
