Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 23 }$ to precision 69.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 23 }$: $ x^{4} + 3 x^{2} + 19 x + 5 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 16 a^{3} + 19 a^{2} + a + 16 + \left(18 a^{3} + 21 a^{2} + 18 a + 19\right)\cdot 23 + \left(17 a^{3} + 14 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 23^{2} + \left(16 a^{3} + 17 a^{2} + 18 a + 9\right)\cdot 23^{3} + \left(11 a^{3} + 13 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 23^{4} + \left(15 a^{3} + 6 a^{2} + a\right)\cdot 23^{5} + \left(3 a^{3} + 10 a + 5\right)\cdot 23^{6} + \left(10 a^{3} + 17 a^{2} + 19 a + 4\right)\cdot 23^{7} + \left(9 a^{3} + 19 a^{2} + 3\right)\cdot 23^{8} + \left(12 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 23^{9} + \left(13 a^{3} + 14 a^{2} + 15 a + 19\right)\cdot 23^{10} + \left(14 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 23^{11} + \left(7 a^{3} + 13 a + 14\right)\cdot 23^{12} + \left(10 a^{3} + 9 a^{2} + a + 21\right)\cdot 23^{13} + \left(4 a^{3} + 5 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 23^{14} + \left(6 a^{3} + 18 a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 23^{15} + \left(10 a^{3} + 19 a^{2} + 2 a + 19\right)\cdot 23^{16} + \left(17 a^{3} + 13 a + 21\right)\cdot 23^{17} + \left(8 a^{3} + 16 a^{2} + a + 8\right)\cdot 23^{18} + \left(12 a^{3} + 16 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 23^{19} + \left(21 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 17\right)\cdot 23^{20} + \left(6 a^{3} + a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 23^{21} + \left(21 a^{3} + 21 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 23^{22} + \left(15 a^{3} + 19 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 23^{23} + \left(17 a^{3} + 22 a^{2} + 19 a + 13\right)\cdot 23^{24} + \left(21 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 23^{25} + \left(22 a^{3} + 14 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 23^{26} + \left(17 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 23^{27} + \left(16 a^{3} + 17 a^{2} + 22 a + 12\right)\cdot 23^{28} + \left(8 a^{3} + 20 a + 16\right)\cdot 23^{29} + \left(5 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 22\right)\cdot 23^{30} + \left(16 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 21\right)\cdot 23^{31} + \left(7 a^{3} + 15 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 23^{32} + \left(20 a^{3} + 6 a^{2} + 18 a + 19\right)\cdot 23^{33} + \left(10 a^{3} + 2 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 23^{34} + \left(10 a^{3} + 11 a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 23^{35} + \left(10 a^{3} + 14 a + 6\right)\cdot 23^{36} + \left(14 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 23^{37} + \left(15 a^{3} + 14 a^{2} + 19 a + 21\right)\cdot 23^{38} + \left(21 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 23^{39} + \left(6 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 23^{40} + \left(9 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 23^{41} + \left(18 a^{3} + 8 a^{2} + 13 a + 22\right)\cdot 23^{42} + \left(12 a^{3} + a^{2} + 21 a + 15\right)\cdot 23^{43} + \left(a^{3} + 12 a^{2} + 20\right)\cdot 23^{44} + \left(14 a^{3} + 16 a^{2} + 3 a + 19\right)\cdot 23^{45} + \left(12 a^{3} + 21 a^{2} + 22 a + 4\right)\cdot 23^{46} + \left(8 a^{3} + a^{2} + 20 a + 4\right)\cdot 23^{47} + \left(4 a^{3} + 21 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 23^{48} + \left(20 a^{3} + a^{2} + a + 1\right)\cdot 23^{49} + \left(19 a^{3} + 13 a^{2} + 17 a\right)\cdot 23^{50} + \left(20 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 22\right)\cdot 23^{51} + \left(17 a^{3} + 22 a^{2} + 6 a + 20\right)\cdot 23^{52} + \left(2 a^{3} + a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 23^{53} + \left(16 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 23^{54} + \left(14 a^{3} + 19 a^{2} + 20 a + 11\right)\cdot 23^{55} + \left(5 a^{3} + 13 a^{2} + a + 19\right)\cdot 23^{56} + \left(17 a^{3} + 11 a^{2} + 21 a + 12\right)\cdot 23^{57} + \left(11 a^{3} + 15 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 23^{58} + \left(11 a^{3} + a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 23^{59} + \left(16 a^{3} + 22 a^{2} + 18 a\right)\cdot 23^{60} + \left(3 a^{3} + 3 a^{2} + 21 a + 14\right)\cdot 23^{61} + \left(15 a^{3} + 20 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 23^{62} + \left(16 a^{3} + 20 a^{2} + 11\right)\cdot 23^{63} + \left(13 a^{3} + 11 a^{2} + 17 a + 6\right)\cdot 23^{64} + \left(3 a^{3} + 6 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 23^{65} + \left(10 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 23^{66} + \left(10 a^{3} + 7 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 23^{67} + \left(10 a^{3} + 10 a + 10\right)\cdot 23^{68} +O\left(23^{ 69 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 10 a^{3} + a^{2} + 22 a + 7 + \left(9 a^{3} + 3 a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 23 + \left(13 a^{3} + 18 a^{2} + 4 a\right)\cdot 23^{2} + \left(16 a^{3} + 10 a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 23^{3} + \left(12 a^{3} + 17 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 23^{4} + \left(5 a^{3} + 21 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 23^{5} + \left(11 a^{3} + 10 a^{2} + 20 a + 2\right)\cdot 23^{6} + \left(10 a^{3} + 7 a^{2} + 19 a + 6\right)\cdot 23^{7} + \left(17 a^{3} + 18 a^{2} + 5 a\right)\cdot 23^{8} + \left(4 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 23^{9} + \left(17 a^{3} + a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 23^{10} + \left(20 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 18\right)\cdot 23^{11} + \left(3 a^{3} + 19 a^{2} + 9 a + 20\right)\cdot 23^{12} + \left(20 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 23^{13} + \left(22 a^{3} + 8 a^{2} + 20 a + 10\right)\cdot 23^{14} + \left(3 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 23^{15} + \left(16 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 23^{16} + \left(11 a^{3} + a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 23^{17} + \left(6 a^{3} + 16 a^{2} + 17\right)\cdot 23^{18} + \left(6 a^{3} + 11 a^{2} + 22 a + 18\right)\cdot 23^{19} + \left(6 a^{3} + 14 a^{2} + 2 a + 22\right)\cdot 23^{20} + \left(14 a^{3} + 20 a^{2} + 6 a\right)\cdot 23^{21} + \left(11 a^{3} + 9 a + 7\right)\cdot 23^{22} + \left(a^{3} + 15 a^{2} + 15 a + 21\right)\cdot 23^{23} + \left(17 a^{3} + 19 a^{2} + 20 a + 22\right)\cdot 23^{24} + \left(9 a^{3} + 17 a^{2} + 13 a\right)\cdot 23^{25} + \left(14 a^{3} + 21 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 23^{26} + \left(22 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 23^{27} + \left(7 a^{3} + 22 a^{2} + 13 a + 20\right)\cdot 23^{28} + \left(16 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a\right)\cdot 23^{29} + \left(2 a^{3} + 8 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 23^{30} + \left(8 a^{3} + 20 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 23^{31} + \left(20 a^{3} + 17 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 23^{32} + \left(21 a^{3} + 16 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 23^{33} + \left(19 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 23^{34} + \left(19 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 19\right)\cdot 23^{35} + \left(17 a^{3} + a^{2} + 6 a + 20\right)\cdot 23^{36} + \left(6 a^{3} + 7 a^{2} + 19 a + 8\right)\cdot 23^{37} + \left(8 a^{3} + 16 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 23^{38} + \left(16 a^{3} + 7 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 23^{39} + \left(11 a^{3} + 12 a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 23^{40} + \left(13 a^{2} + 19 a + 11\right)\cdot 23^{41} + \left(14 a^{3} + 12 a^{2} + 22 a\right)\cdot 23^{42} + \left(8 a^{3} + 18 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 23^{43} + \left(2 a^{3} + 12 a^{2} + 21 a + 16\right)\cdot 23^{44} + \left(18 a^{3} + 22 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 23^{45} + \left(4 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 23^{46} + \left(16 a^{3} + 6 a^{2} + 17 a + 22\right)\cdot 23^{47} + \left(4 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 23^{48} + \left(11 a^{3} + 16 a^{2} + 14 a + 21\right)\cdot 23^{49} + \left(20 a^{3} + 10 a^{2} + 18 a + 10\right)\cdot 23^{50} + \left(17 a^{3} + 19 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 23^{51} + \left(17 a^{3} + 17 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 23^{52} + \left(2 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 20\right)\cdot 23^{53} + \left(4 a^{3} + 7 a^{2} + 22 a + 3\right)\cdot 23^{54} + \left(13 a^{3} + 17 a^{2} + 7 a + 15\right)\cdot 23^{55} + \left(8 a^{3} + 3 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 23^{56} + \left(8 a^{3} + 20 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 23^{57} + \left(19 a^{3} + 10 a^{2} + 18 a + 8\right)\cdot 23^{58} + \left(4 a^{3} + 18 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 23^{59} + \left(5 a^{3} + 7 a + 20\right)\cdot 23^{60} + \left(5 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 16\right)\cdot 23^{61} + \left(9 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 23^{62} + \left(10 a^{3} + 9 a^{2} + 20 a + 13\right)\cdot 23^{63} + \left(16 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 23^{64} + \left(4 a^{3} + 19 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 23^{65} + \left(19 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 17\right)\cdot 23^{66} + \left(11 a^{3} + 11 a^{2} + 19 a + 5\right)\cdot 23^{67} + \left(19 a^{3} + 22 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 23^{68} +O\left(23^{ 69 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 22 a^{3} + 17 a^{2} + 19 a + 18 + \left(17 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 23 + \left(17 a^{3} + a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 23^{2} + \left(4 a^{3} + 13 a^{2} + 5 a + 21\right)\cdot 23^{3} + \left(14 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 21\right)\cdot 23^{4} + \left(6 a^{3} + 13 a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 23^{5} + \left(11 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 23^{6} + \left(19 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 19\right)\cdot 23^{7} + \left(18 a^{3} + 22 a^{2} + 20 a + 8\right)\cdot 23^{8} + \left(17 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 23^{9} + \left(20 a^{3} + 18 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 23^{10} + \left(18 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 23^{11} + \left(4 a^{3} + 19 a^{2} + 14 a + 22\right)\cdot 23^{12} + \left(18 a^{3} + a^{2} + 22 a + 19\right)\cdot 23^{13} + \left(19 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 23^{14} + \left(7 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 20\right)\cdot 23^{15} + \left(4 a^{3} + 8 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 23^{16} + \left(16 a^{3} + 20 a^{2} + 17 a + 4\right)\cdot 23^{17} + \left(18 a^{3} + 4 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 23^{18} + \left(5 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 23^{19} + \left(10 a^{3} + 5 a^{2} + 20 a + 2\right)\cdot 23^{20} + \left(17 a^{3} + 17 a^{2} + 21 a + 18\right)\cdot 23^{21} + \left(4 a^{3} + 13 a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 23^{22} + \left(17 a^{3} + 21 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 23^{23} + \left(11 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 23^{24} + \left(10 a^{3} + 14 a^{2} + 6\right)\cdot 23^{25} + \left(20 a^{3} + 15 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 23^{26} + \left(19 a^{3} + a^{2} + 21 a + 5\right)\cdot 23^{27} + \left(20 a^{3} + 7 a^{2} + 21 a + 9\right)\cdot 23^{28} + \left(8 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 23^{29} + \left(22 a^{3} + 20 a^{2} + 8\right)\cdot 23^{30} + \left(18 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 23^{31} + \left(20 a^{3} + 9 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 23^{32} + \left(16 a^{3} + 10 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 23^{33} + \left(a^{3} + 6 a^{2} + 21 a + 12\right)\cdot 23^{34} + \left(9 a^{3} + 16 a^{2} + 17 a + 14\right)\cdot 23^{35} + \left(20 a^{3} + 17 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 23^{36} + \left(10 a^{3} + 15 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 23^{37} + \left(8 a^{3} + 16 a^{2} + a + 9\right)\cdot 23^{38} + \left(16 a^{3} + 11 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 23^{39} + \left(9 a^{3} + 20 a^{2} + 4 a + 21\right)\cdot 23^{40} + \left(a^{3} + 20 a^{2} + 12 a + 17\right)\cdot 23^{41} + \left(19 a^{3} + 5 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 23^{42} + \left(17 a^{3} + 15 a^{2} + 19 a + 22\right)\cdot 23^{43} + \left(3 a^{3} + 5 a^{2} + 21 a + 13\right)\cdot 23^{44} + \left(12 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 23^{45} + \left(11 a^{3} + 13 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 23^{46} + \left(15 a^{3} + 13 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 23^{47} + \left(6 a^{2} + 18 a + 8\right)\cdot 23^{48} + \left(5 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 23^{49} + \left(16 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 14\right)\cdot 23^{50} + \left(22 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 23^{51} + \left(2 a^{3} + 7 a^{2} + 19 a + 4\right)\cdot 23^{52} + \left(21 a^{3} + 4 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 23^{53} + \left(22 a^{3} + 11 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 23^{54} + \left(13 a^{3} + 17 a^{2} + 14 a + 9\right)\cdot 23^{55} + \left(10 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 19\right)\cdot 23^{56} + \left(17 a^{3} + 14 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 23^{57} + \left(19 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 23^{58} + \left(18 a^{3} + 17 a\right)\cdot 23^{59} + \left(15 a^{3} + 9 a^{2} + 17 a\right)\cdot 23^{60} + \left(2 a^{3} + 11 a^{2} + 20 a + 22\right)\cdot 23^{61} + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 23^{62} + \left(7 a^{3} + 14 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 23^{63} + \left(19 a^{3} + 6 a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 23^{64} + \left(12 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 23^{65} + \left(4 a^{3} + 10 a + 7\right)\cdot 23^{66} + \left(20 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 23^{67} + \left(16 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 20\right)\cdot 23^{68} +O\left(23^{ 69 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 9 + 6\cdot 23 + 8\cdot 23^{2} + 19\cdot 23^{3} + 2\cdot 23^{4} + 5\cdot 23^{5} + 18\cdot 23^{6} + 17\cdot 23^{7} + 23^{8} + 6\cdot 23^{9} + 20\cdot 23^{10} + 17\cdot 23^{11} + 8\cdot 23^{12} + 2\cdot 23^{13} + 20\cdot 23^{14} + 4\cdot 23^{15} + 21\cdot 23^{16} + 3\cdot 23^{17} + 12\cdot 23^{18} + 9\cdot 23^{19} + 6\cdot 23^{20} + 6\cdot 23^{21} + 22\cdot 23^{22} + 23^{23} + 9\cdot 23^{24} + 10\cdot 23^{25} + 11\cdot 23^{26} + 2\cdot 23^{27} + 10\cdot 23^{28} + 14\cdot 23^{30} + 20\cdot 23^{31} + 18\cdot 23^{32} + 5\cdot 23^{33} + 6\cdot 23^{34} + 21\cdot 23^{35} + 17\cdot 23^{36} + 5\cdot 23^{37} + 3\cdot 23^{38} + 2\cdot 23^{39} + 14\cdot 23^{40} + 11\cdot 23^{41} + 22\cdot 23^{42} + 8\cdot 23^{45} + 9\cdot 23^{46} + 13\cdot 23^{47} + 6\cdot 23^{48} + 20\cdot 23^{49} + 2\cdot 23^{50} + 22\cdot 23^{52} + 15\cdot 23^{53} + 9\cdot 23^{54} + 4\cdot 23^{55} + 20\cdot 23^{56} + 6\cdot 23^{57} + 21\cdot 23^{58} + 11\cdot 23^{59} + 14\cdot 23^{60} + 14\cdot 23^{61} + 16\cdot 23^{62} + 16\cdot 23^{63} + 12\cdot 23^{64} + 15\cdot 23^{65} + 21\cdot 23^{66} + 16\cdot 23^{67} + 11\cdot 23^{68} +O\left(23^{ 69 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 9 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 16 + \left(8 a^{3} + 5 a + 18\right)\cdot 23 + \left(19 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 23^{2} + \left(8 a^{3} + 11 a^{2} + 19 a + 20\right)\cdot 23^{3} + \left(20 a^{3} + 13 a^{2} + 21 a + 22\right)\cdot 23^{4} + \left(7 a^{3} + 14 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 23^{5} + \left(9 a^{3} + a^{2} + 2 a\right)\cdot 23^{6} + \left(5 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 23^{7} + \left(11 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 23^{8} + \left(19 a^{3} + 22 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 23^{9} + \left(a^{3} + 19 a^{2} + 11 a + 22\right)\cdot 23^{10} + \left(13 a^{3} + 2 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 23^{11} + \left(14 a^{3} + 17 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 23^{12} + \left(5 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 15\right)\cdot 23^{13} + \left(13 a^{3} + 19 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 23^{14} + \left(20 a^{3} + 9 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 23^{15} + \left(a^{3} + 17 a^{2} + a + 20\right)\cdot 23^{16} + \left(3 a^{3} + 16 a^{2} + 20 a + 2\right)\cdot 23^{17} + \left(22 a^{3} + 15 a + 22\right)\cdot 23^{18} + \left(21 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 23^{19} + \left(18 a^{3} + 2 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 23^{20} + \left(22 a^{3} + 10 a^{2} + 21 a + 8\right)\cdot 23^{21} + \left(18 a^{3} + 20 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 23^{22} + \left(20 a^{3} + 16 a^{2} + 21 a + 5\right)\cdot 23^{23} + \left(a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 20\right)\cdot 23^{24} + \left(5 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 23^{25} + \left(2 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 19\right)\cdot 23^{26} + \left(20 a^{3} + 14 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 23^{27} + \left(12 a^{3} + 4 a^{2} + 18 a + 9\right)\cdot 23^{28} + \left(11 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 23^{29} + \left(4 a^{3} + 6 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 23^{30} + \left(13 a^{3} + 13 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 23^{31} + \left(18 a^{3} + 7 a + 16\right)\cdot 23^{32} + \left(4 a^{3} + 13 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 23^{33} + \left(17 a^{3} + 19 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 23^{34} + \left(22 a^{3} + 20 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 23^{35} + \left(21 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 23^{36} + \left(5 a^{3} + 16 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 23^{37} + \left(17 a^{3} + 13 a^{2} + 11 a + 22\right)\cdot 23^{38} + \left(9 a^{3} + 11 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 23^{39} + \left(19 a^{3} + 17 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 23^{40} + \left(13 a^{3} + 14 a^{2} + 22 a + 20\right)\cdot 23^{41} + \left(10 a^{3} + 18 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 23^{42} + \left(10 a^{3} + 13 a^{2} + 19 a + 21\right)\cdot 23^{43} + \left(9 a^{3} + 6 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 23^{44} + \left(10 a^{3} + 21 a^{2} + 8 a + 21\right)\cdot 23^{45} + \left(16 a^{3} + 18 a + 3\right)\cdot 23^{46} + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 23^{47} + \left(13 a^{3} + 20 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 23^{48} + \left(10 a^{3} + 11 a^{2} + 13 a + 21\right)\cdot 23^{49} + \left(7 a^{3} + 2 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 23^{50} + \left(9 a^{3} + 20 a^{2} + 15 a + 20\right)\cdot 23^{51} + \left(17 a^{3} + 5 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 23^{52} + \left(18 a^{3} + 9 a^{2} + 21 a + 9\right)\cdot 23^{53} + \left(2 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 23^{54} + \left(17 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 13\right)\cdot 23^{55} + \left(21 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 23^{56} + \left(a^{3} + 22 a^{2} + 20 a + 16\right)\cdot 23^{57} + \left(17 a^{3} + 22 a^{2} + 5 a + 21\right)\cdot 23^{58} + \left(15 a^{3} + 8 a^{2} + 21 a + 2\right)\cdot 23^{59} + \left(8 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 23^{60} + \left(18 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 23^{61} + \left(2 a^{3} + 19 a^{2} + 19 a + 4\right)\cdot 23^{62} + \left(a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 23^{63} + \left(7 a^{3} + 17 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 23^{64} + \left(7 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 23^{65} + \left(3 a^{3} + 17 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 23^{66} + \left(11 a^{3} + 15 a^{2} + 14 a + 18\right)\cdot 23^{67} + \left(17 a^{3} + 20 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 23^{68} +O\left(23^{ 69 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 3 a^{3} + 20 a + 6 + \left(17 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 23 + \left(19 a^{3} + 18 a^{2} + 19 a + 7\right)\cdot 23^{2} + \left(22 a^{3} + 9 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 23^{3} + \left(14 a^{3} + 13 a^{2} + 17 a + 20\right)\cdot 23^{4} + \left(6 a^{3} + 9 a^{2} + 22 a + 10\right)\cdot 23^{5} + \left(14 a^{3} + 15 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 23^{6} + \left(7 a^{3} + 5 a^{2} + 14\right)\cdot 23^{7} + \left(5 a^{3} + 22 a^{2} + a + 22\right)\cdot 23^{8} + \left(2 a^{3} + 13 a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 23^{9} + \left(14 a^{3} + 13 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 23^{10} + \left(10 a^{3} + 13 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 23^{11} + \left(2 a^{3} + 2 a^{2} + 8\right)\cdot 23^{12} + \left(3 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 23^{13} + \left(a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 23^{14} + \left(19 a^{3} + 3 a^{2} + a\right)\cdot 23^{15} + \left(8 a^{3} + 13 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 23^{16} + \left(6 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 23^{17} + \left(4 a^{3} + 18 a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 23^{18} + \left(12 a^{3} + 8 a^{2} + 21 a + 19\right)\cdot 23^{19} + \left(15 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 23^{20} + \left(4 a^{3} + 21 a^{2} + 22 a + 2\right)\cdot 23^{21} + \left(15 a^{3} + 20 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 23^{22} + \left(21 a^{3} + 22 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 23^{23} + \left(11 a^{3} + 8 a^{2} + 11\right)\cdot 23^{24} + \left(8 a^{3} + 16 a^{2} + 7 a + 20\right)\cdot 23^{25} + \left(21 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 23^{26} + \left(22 a^{3} + 5 a^{2} + 18 a + 22\right)\cdot 23^{27} + \left(9 a^{3} + 16 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 23^{28} + \left(3 a^{2} + 9 a + 17\right)\cdot 23^{29} + \left(6 a^{3} + 2 a + 4\right)\cdot 23^{30} + \left(13 a^{3} + 22 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 23^{31} + \left(10 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 23^{32} + \left(17 a^{3} + 14 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 23^{33} + \left(16 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 19\right)\cdot 23^{34} + \left(21 a^{3} + 13 a^{2} + 6 a + 20\right)\cdot 23^{35} + \left(16 a^{3} + a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 23^{36} + \left(18 a^{3} + 19 a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 23^{37} + \left(16 a^{3} + 17 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 23^{38} + \left(11 a^{2} + 17 a + 1\right)\cdot 23^{39} + \left(9 a + 13\right)\cdot 23^{40} + \left(4 a^{3} + 3 a^{2} + 20 a + 17\right)\cdot 23^{41} + \left(2 a^{3} + 21 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 23^{42} + \left(2 a^{3} + a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 23^{43} + \left(18 a^{3} + 9 a^{2} + 19 a + 9\right)\cdot 23^{44} + \left(18 a^{3} + 2 a^{2} + 19 a + 20\right)\cdot 23^{45} + \left(21 a^{3} + 17 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 23^{46} + \left(2 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 23^{47} + \left(21 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 23^{48} + \left(8 a^{3} + 4 a^{2} + 21 a + 20\right)\cdot 23^{49} + \left(17 a^{3} + a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 23^{50} + \left(7 a^{3} + 22 a^{2} + 2 a\right)\cdot 23^{51} + \left(2 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 20\right)\cdot 23^{52} + \left(3 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 23^{53} + \left(8 a^{3} + a^{2} + 13 a + 20\right)\cdot 23^{54} + \left(19 a^{3} + 13 a^{2} + 13 a + 9\right)\cdot 23^{55} + \left(3 a^{3} + 18 a^{2} + 21 a + 15\right)\cdot 23^{56} + \left(2 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 23^{57} + \left(2 a^{3} + 5 a^{2} + 17 a\right)\cdot 23^{58} + \left(16 a^{3} + 4 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 23^{59} + \left(4 a^{3} + 10 a + 20\right)\cdot 23^{60} + \left(2 a^{3} + 13 a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 23^{61} + \left(7 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 23^{62} + \left(17 a^{3} + 10 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 23^{63} + \left(13 a^{3} + 5 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 23^{64} + \left(15 a^{3} + 19 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 23^{65} + \left(16 a^{3} + 13 a^{2} + 22 a\right)\cdot 23^{66} + \left(10 a^{3} + 6 a^{2} + 16 a + 22\right)\cdot 23^{67} + \left(9 a^{3} + 14 a^{2} + 7 a + 15\right)\cdot 23^{68} +O\left(23^{ 69 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 6 a^{2} + 9 a + 1 + \left(12 a^{3} + 20 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 23 + \left(2 a^{3} + 17 a^{2} + 10 a + 20\right)\cdot 23^{2} + \left(8 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 19\right)\cdot 23^{3} + \left(15 a^{3} + 17 a^{2} + 9 a + 19\right)\cdot 23^{4} + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 23^{5} + \left(a^{3} + 5 a^{2} + 15 a + 21\right)\cdot 23^{6} + \left(7 a^{3} + 4 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 23^{7} + \left(9 a^{3} + 20 a^{2} + 18 a + 7\right)\cdot 23^{8} + \left(14 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 23^{9} + \left(a^{3} + 15 a^{2} + 3 a\right)\cdot 23^{10} + \left(3 a^{3} + a^{2} + 21 a + 19\right)\cdot 23^{11} + \left(14 a^{3} + 19 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 23^{12} + \left(a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 23^{13} + \left(15 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 23^{14} + \left(7 a^{3} + 16 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 23^{15} + \left(19 a^{3} + 7 a^{2} + 21 a + 6\right)\cdot 23^{16} + \left(2 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 23^{17} + \left(17 a^{3} + 21 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 23^{18} + \left(11 a^{2} + 21 a + 22\right)\cdot 23^{19} + \left(18 a^{3} + 13 a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 23^{20} + \left(16 a^{3} + 14 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 23^{21} + \left(13 a^{3} + 18 a^{2} + 3 a + 21\right)\cdot 23^{22} + \left(12 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 23^{23} + \left(19 a^{3} + 19 a^{2} + 16 a + 20\right)\cdot 23^{24} + \left(21 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 20\right)\cdot 23^{25} + \left(a^{3} + 13 a^{2} + 3 a\right)\cdot 23^{26} + \left(22 a^{3} + 7 a^{2} + a + 8\right)\cdot 23^{27} + \left(22 a^{3} + 15 a + 14\right)\cdot 23^{28} + \left(3 a^{3} + 3 a^{2} + 20 a + 3\right)\cdot 23^{29} + \left(2 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 23^{30} + \left(19 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 23^{31} + \left(6 a^{3} + 5 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 23^{32} + \left(4 a^{3} + a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 23^{33} + \left(20 a^{3} + a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 23^{34} + \left(22 a^{3} + 11 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 23^{35} + \left(10 a^{3} + 13 a^{2} + 6 a + 22\right)\cdot 23^{36} + \left(8 a^{2} + a + 12\right)\cdot 23^{37} + \left(7 a^{3} + 13 a^{2} + 2\right)\cdot 23^{38} + \left(19 a^{3} + 13 a^{2} + 19 a + 10\right)\cdot 23^{39} + \left(21 a^{3} + 14 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 23^{40} + \left(14 a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 18\right)\cdot 23^{41} + \left(8 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 23^{42} + \left(17 a^{3} + 19 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 23^{43} + \left(14 a^{3} + 21 a^{2} + 21 a + 9\right)\cdot 23^{44} + \left(6 a^{3} + a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 23^{45} + \left(16 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 23^{46} + \left(12 a^{3} + 8 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 23^{47} + \left(15 a^{3} + 11 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 23^{48} + \left(14 a^{3} + 5 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 23^{49} + \left(9 a^{3} + 3 a + 20\right)\cdot 23^{50} + \left(6 a^{3} + 2 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 23^{51} + \left(3 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 22\right)\cdot 23^{52} + \left(14 a^{3} + 22 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 23^{53} + \left(10 a^{3} + 20 a^{2} + a + 10\right)\cdot 23^{54} + \left(20 a^{3} + 10 a^{2} + 13 a + 22\right)\cdot 23^{55} + \left(21 a^{2} + 9 a + 17\right)\cdot 23^{56} + \left(21 a^{3} + 20 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 23^{57} + \left(8 a^{3} + 21 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 23^{58} + \left(18 a^{3} + 18 a^{2} + 17 a + 15\right)\cdot 23^{59} + \left(18 a^{3} + 12 a^{2} + 18 a + 10\right)\cdot 23^{60} + \left(12 a^{3} + 20 a^{2} + 18 a + 7\right)\cdot 23^{61} + \left(a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 21\right)\cdot 23^{62} + \left(19 a^{3} + 18 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 23^{63} + \left(6 a^{3} + 6 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 23^{64} + \left(2 a^{2} + 19 a + 11\right)\cdot 23^{65} + \left(19 a^{3} + 2 a + 7\right)\cdot 23^{66} + \left(15 a^{3} + a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 23^{67} + \left(2 a^{3} + 21 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 23^{68} +O\left(23^{ 69 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 11 a^{3} + 6 a^{2} + 14 a + 14 + \left(8 a^{3} + 16 a^{2} + a + 20\right)\cdot 23 + \left(4 a^{3} + 20 a^{2} + 7 a + 21\right)\cdot 23^{2} + \left(6 a^{3} + 21 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 23^{3} + \left(18 a^{3} + a^{2} + 20 a + 4\right)\cdot 23^{4} + \left(4 a^{3} + 19 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 23^{5} + \left(21 a^{3} + 20 a + 7\right)\cdot 23^{6} + \left(2 a^{3} + 7 a^{2} + 20 a + 18\right)\cdot 23^{7} + \left(20 a^{3} + 10\right)\cdot 23^{8} + \left(9 a^{3} + a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 23^{9} + \left(5 a^{3} + 20 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 23^{10} + \left(19 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 23^{11} + \left(14 a^{3} + 7 a^{2} + 17 a + 7\right)\cdot 23^{12} + \left(12 a^{3} + 22 a^{2} + 20 a + 18\right)\cdot 23^{13} + \left(16 a^{3} + 21 a^{2} + 21 a + 16\right)\cdot 23^{14} + \left(21 a^{3} + 16 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 23^{15} + \left(15 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 23^{16} + \left(10 a^{3} + 14 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 23^{17} + \left(2 a^{3} + 5 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 23^{18} + \left(11 a^{3} + 20 a^{2} + 18 a + 21\right)\cdot 23^{19} + \left(16 a^{3} + 2 a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 23^{20} + \left(a^{3} + 18 a + 9\right)\cdot 23^{21} + \left(21 a^{3} + 9 a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 23^{22} + \left(13 a^{3} + 20 a^{2} + 9 a + 21\right)\cdot 23^{23} + \left(12 a^{3} + 10 a^{2} + 20 a + 17\right)\cdot 23^{24} + \left(15 a^{3} + 15 a^{2} + a + 15\right)\cdot 23^{25} + \left(20 a^{3} + 9 a + 18\right)\cdot 23^{26} + \left(3 a^{3} + 19 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 23^{27} + \left(a^{2} + a + 8\right)\cdot 23^{28} + \left(7 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 23^{29} + \left(10 a^{3} + 9 a^{2} + 16 a + 10\right)\cdot 23^{30} + \left(2 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 23^{31} + \left(10 a^{3} + 11 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 23^{32} + \left(19 a^{3} + 17 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 23^{33} + \left(14 a^{3} + 16 a^{2} + 2 a + 21\right)\cdot 23^{34} + \left(a^{3} + 18 a + 8\right)\cdot 23^{35} + \left(19 a^{3} + 5 a^{2} + 4\right)\cdot 23^{36} + \left(20 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a\right)\cdot 23^{37} + \left(4 a^{3} + a^{2} + 2 a\right)\cdot 23^{38} + \left(16 a^{3} + 9 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 23^{39} + \left(4 a^{3} + 13 a^{2} + 3 a + 18\right)\cdot 23^{40} + \left(13 a^{3} + 13 a^{2} + 11 a + 20\right)\cdot 23^{41} + \left(a^{3} + 21 a^{2} + 17 a + 2\right)\cdot 23^{42} + \left(16 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 23^{43} + \left(3 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 23^{44} + \left(10 a^{3} + 20 a^{2} + 22 a + 22\right)\cdot 23^{45} + \left(14 a^{3} + a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 23^{46} + \left(3 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 23^{47} + \left(19 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 23^{48} + \left(11 a^{3} + a^{2} + 20 a + 12\right)\cdot 23^{49} + \left(11 a^{3} + 19 a^{2} + 17\right)\cdot 23^{50} + \left(22 a^{3} + a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 23^{51} + \left(22 a^{3} + a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 23^{52} + \left(9 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 23^{53} + \left(a^{3} + 19 a^{2} + 21\right)\cdot 23^{54} + \left(12 a^{3} + 15 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 23^{55} + \left(19 a^{3} + 18 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 23^{56} + \left(20 a^{3} + 15 a^{2} + 8 a\right)\cdot 23^{57} + \left(17 a^{3} + 18 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 23^{58} + \left(18 a^{3} + 13 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 23^{59} + \left(13 a^{3} + 11 a + 7\right)\cdot 23^{60} + \left(12 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 18\right)\cdot 23^{61} + \left(11 a^{3} + 14 a^{2} + 11 a\right)\cdot 23^{62} + \left(8 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 23^{63} + \left(18 a^{3} + 16 a^{2} + a + 13\right)\cdot 23^{64} + \left(22 a^{3} + 15 a^{2} + 19 a + 18\right)\cdot 23^{65} + \left(6 a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 23^{66} + \left(8 a^{3} + 22 a^{2} + 3 a\right)\cdot 23^{67} + \left(16 a^{3} + 12 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 23^{68} +O\left(23^{ 69 }\right)$ |
| $r_{ 9 }$ |
$=$ |
$ 21 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 9 + \left(22 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 22\right)\cdot 23 + \left(19 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 23^{2} + \left(7 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 23^{3} + \left(7 a^{3} + 12 a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 23^{4} + \left(18 a^{3} + 4 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 23^{5} + \left(19 a^{3} + a^{2} + 6 a\right)\cdot 23^{6} + \left(5 a^{3} + 14 a^{2} + 19\right)\cdot 23^{7} + \left(8 a^{2} + 19 a + 10\right)\cdot 23^{8} + \left(11 a^{3} + 6 a^{2} + 22 a + 20\right)\cdot 23^{9} + \left(17 a^{3} + 12 a^{2} + 19 a + 14\right)\cdot 23^{10} + \left(5 a^{3} + 20 a^{2} + 18 a + 20\right)\cdot 23^{11} + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 23^{12} + \left(20 a^{3} + 6 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 23^{13} + \left(21 a^{3} + 3 a^{2} + a + 11\right)\cdot 23^{14} + \left(4 a^{3} + 17 a^{2} + a + 8\right)\cdot 23^{15} + \left(15 a^{3} + 6 a^{2} + 18 a + 7\right)\cdot 23^{16} + 19 a\cdot 23^{17} + \left(12 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 22\right)\cdot 23^{18} + \left(21 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 23^{19} + \left(7 a^{3} + 14 a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 23^{20} + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 23^{21} + \left(8 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 23^{22} + \left(11 a^{3} + 12 a^{2} + 19 a + 2\right)\cdot 23^{23} + \left(22 a^{3} + 19 a^{2} + 18 a + 8\right)\cdot 23^{24} + \left(3 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 23^{25} + \left(11 a^{3} + 17 a^{2} + a + 22\right)\cdot 23^{26} + \left(8 a^{3} + 13 a^{2} + 2 a + 21\right)\cdot 23^{27} + \left(22 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 23^{28} + \left(20 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 21\right)\cdot 23^{29} + \left(15 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 23^{30} + \left(2 a^{3} + 15 a^{2} + 15 a + 19\right)\cdot 23^{31} + \left(20 a^{3} + 3 a^{2} + 21 a + 18\right)\cdot 23^{32} + \left(9 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 23^{33} + \left(13 a^{3} + 5 a^{2} + 20 a + 5\right)\cdot 23^{34} + \left(6 a^{3} + 13 a^{2} + 21 a + 3\right)\cdot 23^{35} + \left(20 a^{3} + 3 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 23^{36} + \left(13 a^{3} + 15 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 23^{37} + \left(13 a^{3} + 21 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 23^{38} + \left(14 a^{3} + 14 a^{2} + 8 a + 20\right)\cdot 23^{39} + \left(17 a^{3} + 3 a^{2} + 15 a + 22\right)\cdot 23^{40} + \left(11 a^{3} + 22 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 23^{41} + \left(17 a^{3} + 18 a^{2} + 16 a + 19\right)\cdot 23^{42} + \left(6 a^{3} + 10 a^{2} + 13 a + 18\right)\cdot 23^{43} + \left(15 a^{3} + 15 a^{2} + a + 8\right)\cdot 23^{44} + \left(a^{3} + a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 23^{45} + \left(17 a^{3} + 3 a + 18\right)\cdot 23^{46} + \left(5 a^{3} + a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 23^{47} + \left(13 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 20\right)\cdot 23^{48} + \left(9 a^{3} + 18 a^{2} + 12\right)\cdot 23^{49} + \left(12 a^{3} + 14 a^{2} + a + 5\right)\cdot 23^{50} + \left(7 a^{3} + a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 23^{51} + \left(7 a^{3} + 21 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 23^{52} + \left(19 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 21\right)\cdot 23^{53} + \left(2 a^{3} + 17 a^{2} + 5\right)\cdot 23^{54} + \left(4 a^{3} + 14 a^{2} + 3 a + 20\right)\cdot 23^{55} + \left(21 a^{3} + 19 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 23^{56} + \left(2 a^{3} + 22 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 23^{57} + \left(18 a^{3} + 14 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 23^{58} + \left(10 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 23^{59} + \left(8 a^{3} + 14 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 23^{60} + \left(11 a^{3} + 4 a^{2} + 20\right)\cdot 23^{61} + \left(14 a^{3} + 13 a^{2} + 21\right)\cdot 23^{62} + \left(11 a^{3} + a^{2} + 20 a + 13\right)\cdot 23^{63} + \left(19 a^{3} + 21 a^{2} + a + 10\right)\cdot 23^{64} + \left(a^{3} + 14 a^{2} + 19 a + 12\right)\cdot 23^{65} + \left(22 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 23^{66} + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 23^{67} + \left(22 a^{3} + 16 a^{2} + 21 a\right)\cdot 23^{68} +O\left(23^{ 69 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 9 }$
| Cycle notation |
| $(1,8,5,6)(3,7,4,9)$ |
| $(1,9,4)(2,8,6)(3,7,5)$ |
| $(1,5,2)(3,8,9)(4,7,6)$ |
| $(1,6,3)(4,5,8)$ |
| $(1,5)(3,4)(6,8)(7,9)$ |
| $(1,9,5,7)(3,8,4,6)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 9 }$
| Character values |
| | |
$c1$ |
| $1$ |
$1$ |
$()$ |
$8$ |
| $9$ |
$2$ |
$(1,5)(3,4)(6,8)(7,9)$ |
$0$ |
| $8$ |
$3$ |
$(1,5,2)(3,8,9)(4,7,6)$ |
$-1$ |
| $12$ |
$3$ |
$(2,4,3)(5,9,6)$ |
$2$ |
| $12$ |
$3$ |
$(2,3,4)(5,6,9)$ |
$2$ |
| $24$ |
$3$ |
$(1,6,2)(3,8,5)(4,7,9)$ |
$-1$ |
| $24$ |
$3$ |
$(1,2,6)(3,5,8)(4,9,7)$ |
$-1$ |
| $54$ |
$4$ |
$(1,9,5,7)(3,8,4,6)$ |
$0$ |
| $36$ |
$6$ |
$(1,8)(2,5,4,9,3,6)$ |
$0$ |
| $36$ |
$6$ |
$(1,8)(2,6,3,9,4,5)$ |
$0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
