Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 67 }$ to precision 40.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 67 }$: $ x^{2} + 63 x + 2 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 43 + 37\cdot 67 + 42\cdot 67^{2} + 13\cdot 67^{3} + 10\cdot 67^{4} + 23\cdot 67^{5} + 44\cdot 67^{6} + 33\cdot 67^{7} + 33\cdot 67^{8} + 49\cdot 67^{9} + 48\cdot 67^{10} + 64\cdot 67^{11} + 55\cdot 67^{12} + 47\cdot 67^{13} + 35\cdot 67^{14} + 3\cdot 67^{15} + 57\cdot 67^{16} + 65\cdot 67^{17} + 6\cdot 67^{18} + 34\cdot 67^{19} + 44\cdot 67^{20} + 34\cdot 67^{21} + 66\cdot 67^{22} + 60\cdot 67^{23} + 46\cdot 67^{24} + 21\cdot 67^{25} + 57\cdot 67^{26} + 14\cdot 67^{27} + 27\cdot 67^{28} + 56\cdot 67^{29} + 53\cdot 67^{30} + 54\cdot 67^{31} + 12\cdot 67^{32} + 19\cdot 67^{33} + 19\cdot 67^{34} + 52\cdot 67^{35} + 15\cdot 67^{36} + 66\cdot 67^{37} + 16\cdot 67^{38} + 61\cdot 67^{39} +O\left(67^{ 40 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ a + 13 + \left(50 a + 63\right)\cdot 67 + \left(13 a + 34\right)\cdot 67^{2} + \left(64 a + 43\right)\cdot 67^{3} + \left(29 a + 63\right)\cdot 67^{4} + \left(50 a + 10\right)\cdot 67^{5} + \left(7 a + 41\right)\cdot 67^{6} + \left(3 a + 9\right)\cdot 67^{7} + \left(63 a + 64\right)\cdot 67^{8} + \left(37 a + 38\right)\cdot 67^{9} + \left(a + 23\right)\cdot 67^{10} + \left(26 a + 10\right)\cdot 67^{11} + \left(14 a + 35\right)\cdot 67^{12} + \left(19 a + 3\right)\cdot 67^{13} + \left(8 a + 23\right)\cdot 67^{14} + \left(49 a + 55\right)\cdot 67^{15} + \left(12 a + 5\right)\cdot 67^{16} + \left(21 a + 64\right)\cdot 67^{17} + \left(51 a + 21\right)\cdot 67^{18} + \left(64 a + 18\right)\cdot 67^{19} + \left(10 a + 20\right)\cdot 67^{20} + \left(4 a + 5\right)\cdot 67^{21} + \left(2 a + 22\right)\cdot 67^{22} + \left(49 a + 18\right)\cdot 67^{23} + \left(32 a + 9\right)\cdot 67^{24} + \left(a + 42\right)\cdot 67^{25} + \left(51 a + 35\right)\cdot 67^{26} + \left(36 a + 37\right)\cdot 67^{27} + \left(32 a + 62\right)\cdot 67^{28} + \left(6 a + 21\right)\cdot 67^{29} + \left(59 a + 65\right)\cdot 67^{30} + \left(41 a + 15\right)\cdot 67^{31} + \left(59 a + 50\right)\cdot 67^{32} + \left(22 a + 34\right)\cdot 67^{33} + \left(35 a + 56\right)\cdot 67^{34} + \left(23 a + 45\right)\cdot 67^{35} + \left(7 a + 33\right)\cdot 67^{36} + \left(52 a + 65\right)\cdot 67^{37} + \left(43 a + 50\right)\cdot 67^{38} + 15\cdot 67^{39} +O\left(67^{ 40 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 18 a + 31 + \left(28 a + 19\right)\cdot 67 + \left(19 a + 42\right)\cdot 67^{2} + \left(32 a + 45\right)\cdot 67^{3} + \left(35 a + 45\right)\cdot 67^{4} + \left(24 a + 35\right)\cdot 67^{5} + \left(65 a + 15\right)\cdot 67^{6} + \left(47 a + 37\right)\cdot 67^{7} + \left(21 a + 47\right)\cdot 67^{8} + \left(49 a + 12\right)\cdot 67^{9} + \left(58 a + 41\right)\cdot 67^{10} + \left(3 a + 21\right)\cdot 67^{11} + \left(13 a + 9\right)\cdot 67^{12} + \left(47 a + 46\right)\cdot 67^{13} + \left(26 a + 3\right)\cdot 67^{14} + \left(36 a + 41\right)\cdot 67^{15} + \left(17 a + 16\right)\cdot 67^{16} + \left(9 a + 57\right)\cdot 67^{17} + \left(24 a + 56\right)\cdot 67^{18} + 44\cdot 67^{19} + \left(56 a + 55\right)\cdot 67^{20} + 63 a\cdot 67^{21} + \left(42 a + 13\right)\cdot 67^{22} + \left(21 a + 45\right)\cdot 67^{23} + \left(20 a + 3\right)\cdot 67^{24} + \left(16 a + 11\right)\cdot 67^{25} + \left(8 a + 25\right)\cdot 67^{26} + \left(64 a + 43\right)\cdot 67^{27} + \left(5 a + 53\right)\cdot 67^{28} + \left(65 a + 6\right)\cdot 67^{29} + \left(39 a + 53\right)\cdot 67^{30} + \left(24 a + 37\right)\cdot 67^{31} + \left(37 a + 4\right)\cdot 67^{32} + \left(60 a + 65\right)\cdot 67^{33} + \left(58 a + 12\right)\cdot 67^{34} + \left(32 a + 64\right)\cdot 67^{35} + \left(51 a + 13\right)\cdot 67^{36} + \left(31 a + 29\right)\cdot 67^{37} + \left(30 a + 55\right)\cdot 67^{38} + \left(58 a + 65\right)\cdot 67^{39} +O\left(67^{ 40 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ a + 50 + \left(50 a + 5\right)\cdot 67 + \left(13 a + 27\right)\cdot 67^{2} + \left(64 a + 48\right)\cdot 67^{3} + \left(29 a + 14\right)\cdot 67^{4} + \left(50 a + 18\right)\cdot 67^{5} + \left(7 a + 45\right)\cdot 67^{6} + \left(3 a + 52\right)\cdot 67^{7} + \left(63 a + 21\right)\cdot 67^{8} + \left(37 a + 6\right)\cdot 67^{9} + \left(a + 8\right)\cdot 67^{10} + \left(26 a + 21\right)\cdot 67^{11} + 14 a\cdot 67^{12} + \left(19 a + 1\right)\cdot 67^{13} + \left(8 a + 30\right)\cdot 67^{14} + \left(49 a + 24\right)\cdot 67^{15} + \left(12 a + 59\right)\cdot 67^{16} + \left(21 a + 64\right)\cdot 67^{17} + \left(51 a + 61\right)\cdot 67^{18} + \left(64 a + 41\right)\cdot 67^{19} + 10 a\cdot 67^{20} + \left(4 a + 56\right)\cdot 67^{21} + \left(2 a + 40\right)\cdot 67^{22} + \left(49 a + 55\right)\cdot 67^{23} + \left(32 a + 42\right)\cdot 67^{24} + \left(a + 51\right)\cdot 67^{25} + \left(51 a + 29\right)\cdot 67^{26} + 36 a\cdot 67^{27} + \left(32 a + 45\right)\cdot 67^{28} + \left(6 a + 51\right)\cdot 67^{29} + \left(59 a + 39\right)\cdot 67^{30} + \left(41 a + 9\right)\cdot 67^{31} + \left(59 a + 21\right)\cdot 67^{32} + 22 a\cdot 67^{33} + \left(35 a + 26\right)\cdot 67^{34} + \left(23 a + 29\right)\cdot 67^{35} + \left(7 a + 27\right)\cdot 67^{36} + \left(52 a + 1\right)\cdot 67^{37} + \left(43 a + 27\right)\cdot 67^{38} + 25\cdot 67^{39} +O\left(67^{ 40 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 24 + 29\cdot 67 + 24\cdot 67^{2} + 53\cdot 67^{3} + 56\cdot 67^{4} + 43\cdot 67^{5} + 22\cdot 67^{6} + 33\cdot 67^{7} + 33\cdot 67^{8} + 17\cdot 67^{9} + 18\cdot 67^{10} + 2\cdot 67^{11} + 11\cdot 67^{12} + 19\cdot 67^{13} + 31\cdot 67^{14} + 63\cdot 67^{15} + 9\cdot 67^{16} + 67^{17} + 60\cdot 67^{18} + 32\cdot 67^{19} + 22\cdot 67^{20} + 32\cdot 67^{21} + 6\cdot 67^{23} + 20\cdot 67^{24} + 45\cdot 67^{25} + 9\cdot 67^{26} + 52\cdot 67^{27} + 39\cdot 67^{28} + 10\cdot 67^{29} + 13\cdot 67^{30} + 12\cdot 67^{31} + 54\cdot 67^{32} + 47\cdot 67^{33} + 47\cdot 67^{34} + 14\cdot 67^{35} + 51\cdot 67^{36} + 50\cdot 67^{38} + 5\cdot 67^{39} +O\left(67^{ 40 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 66 a + 54 + \left(16 a + 3\right)\cdot 67 + \left(53 a + 32\right)\cdot 67^{2} + \left(2 a + 23\right)\cdot 67^{3} + \left(37 a + 3\right)\cdot 67^{4} + \left(16 a + 56\right)\cdot 67^{5} + \left(59 a + 25\right)\cdot 67^{6} + \left(63 a + 57\right)\cdot 67^{7} + \left(3 a + 2\right)\cdot 67^{8} + \left(29 a + 28\right)\cdot 67^{9} + \left(65 a + 43\right)\cdot 67^{10} + \left(40 a + 56\right)\cdot 67^{11} + \left(52 a + 31\right)\cdot 67^{12} + \left(47 a + 63\right)\cdot 67^{13} + \left(58 a + 43\right)\cdot 67^{14} + \left(17 a + 11\right)\cdot 67^{15} + \left(54 a + 61\right)\cdot 67^{16} + \left(45 a + 2\right)\cdot 67^{17} + \left(15 a + 45\right)\cdot 67^{18} + \left(2 a + 48\right)\cdot 67^{19} + \left(56 a + 46\right)\cdot 67^{20} + \left(62 a + 61\right)\cdot 67^{21} + \left(64 a + 44\right)\cdot 67^{22} + \left(17 a + 48\right)\cdot 67^{23} + \left(34 a + 57\right)\cdot 67^{24} + \left(65 a + 24\right)\cdot 67^{25} + \left(15 a + 31\right)\cdot 67^{26} + \left(30 a + 29\right)\cdot 67^{27} + \left(34 a + 4\right)\cdot 67^{28} + \left(60 a + 45\right)\cdot 67^{29} + \left(7 a + 1\right)\cdot 67^{30} + \left(25 a + 51\right)\cdot 67^{31} + \left(7 a + 16\right)\cdot 67^{32} + \left(44 a + 32\right)\cdot 67^{33} + \left(31 a + 10\right)\cdot 67^{34} + \left(43 a + 21\right)\cdot 67^{35} + \left(59 a + 33\right)\cdot 67^{36} + \left(14 a + 1\right)\cdot 67^{37} + \left(23 a + 16\right)\cdot 67^{38} + \left(66 a + 51\right)\cdot 67^{39} +O\left(67^{ 40 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 49 a + 36 + \left(38 a + 47\right)\cdot 67 + \left(47 a + 24\right)\cdot 67^{2} + \left(34 a + 21\right)\cdot 67^{3} + \left(31 a + 21\right)\cdot 67^{4} + \left(42 a + 31\right)\cdot 67^{5} + \left(a + 51\right)\cdot 67^{6} + \left(19 a + 29\right)\cdot 67^{7} + \left(45 a + 19\right)\cdot 67^{8} + \left(17 a + 54\right)\cdot 67^{9} + \left(8 a + 25\right)\cdot 67^{10} + \left(63 a + 45\right)\cdot 67^{11} + \left(53 a + 57\right)\cdot 67^{12} + \left(19 a + 20\right)\cdot 67^{13} + \left(40 a + 63\right)\cdot 67^{14} + \left(30 a + 25\right)\cdot 67^{15} + \left(49 a + 50\right)\cdot 67^{16} + \left(57 a + 9\right)\cdot 67^{17} + \left(42 a + 10\right)\cdot 67^{18} + \left(66 a + 22\right)\cdot 67^{19} + \left(10 a + 11\right)\cdot 67^{20} + \left(3 a + 66\right)\cdot 67^{21} + \left(24 a + 53\right)\cdot 67^{22} + \left(45 a + 21\right)\cdot 67^{23} + \left(46 a + 63\right)\cdot 67^{24} + \left(50 a + 55\right)\cdot 67^{25} + \left(58 a + 41\right)\cdot 67^{26} + \left(2 a + 23\right)\cdot 67^{27} + \left(61 a + 13\right)\cdot 67^{28} + \left(a + 60\right)\cdot 67^{29} + \left(27 a + 13\right)\cdot 67^{30} + \left(42 a + 29\right)\cdot 67^{31} + \left(29 a + 62\right)\cdot 67^{32} + \left(6 a + 1\right)\cdot 67^{33} + \left(8 a + 54\right)\cdot 67^{34} + \left(34 a + 2\right)\cdot 67^{35} + \left(15 a + 53\right)\cdot 67^{36} + \left(35 a + 37\right)\cdot 67^{37} + \left(36 a + 11\right)\cdot 67^{38} + \left(8 a + 1\right)\cdot 67^{39} +O\left(67^{ 40 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 66 a + 17 + \left(16 a + 61\right)\cdot 67 + \left(53 a + 39\right)\cdot 67^{2} + \left(2 a + 18\right)\cdot 67^{3} + \left(37 a + 52\right)\cdot 67^{4} + \left(16 a + 48\right)\cdot 67^{5} + \left(59 a + 21\right)\cdot 67^{6} + \left(63 a + 14\right)\cdot 67^{7} + \left(3 a + 45\right)\cdot 67^{8} + \left(29 a + 60\right)\cdot 67^{9} + \left(65 a + 58\right)\cdot 67^{10} + \left(40 a + 45\right)\cdot 67^{11} + \left(52 a + 66\right)\cdot 67^{12} + \left(47 a + 65\right)\cdot 67^{13} + \left(58 a + 36\right)\cdot 67^{14} + \left(17 a + 42\right)\cdot 67^{15} + \left(54 a + 7\right)\cdot 67^{16} + \left(45 a + 2\right)\cdot 67^{17} + \left(15 a + 5\right)\cdot 67^{18} + \left(2 a + 25\right)\cdot 67^{19} + \left(56 a + 66\right)\cdot 67^{20} + \left(62 a + 10\right)\cdot 67^{21} + \left(64 a + 26\right)\cdot 67^{22} + \left(17 a + 11\right)\cdot 67^{23} + \left(34 a + 24\right)\cdot 67^{24} + \left(65 a + 15\right)\cdot 67^{25} + \left(15 a + 37\right)\cdot 67^{26} + \left(30 a + 66\right)\cdot 67^{27} + \left(34 a + 21\right)\cdot 67^{28} + \left(60 a + 15\right)\cdot 67^{29} + \left(7 a + 27\right)\cdot 67^{30} + \left(25 a + 57\right)\cdot 67^{31} + \left(7 a + 45\right)\cdot 67^{32} + \left(44 a + 66\right)\cdot 67^{33} + \left(31 a + 40\right)\cdot 67^{34} + \left(43 a + 37\right)\cdot 67^{35} + \left(59 a + 39\right)\cdot 67^{36} + \left(14 a + 65\right)\cdot 67^{37} + \left(23 a + 39\right)\cdot 67^{38} + \left(66 a + 41\right)\cdot 67^{39} +O\left(67^{ 40 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(1,7,8)(3,4,5)$ |
| $(1,8,2,3,5,4,6,7)$ |
| $(3,7)(4,8)$ |
| $(1,5)(2,4,3,6,8,7)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $8$ |
| $1$ | $2$ | $(1,5)(2,6)(3,7)(4,8)$ | $-8$ |
| $6$ | $2$ | $(1,5)(4,8)$ | $0$ |
| $12$ | $2$ | $(1,7)(2,4)(3,5)(6,8)$ | $0$ |
| $24$ | $2$ | $(1,4)(2,6)(5,8)$ | $0$ |
| $32$ | $3$ | $(2,3,8)(4,6,7)$ | $-1$ |
| $6$ | $4$ | $(1,2,5,6)(3,4,7,8)$ | $0$ |
| $6$ | $4$ | $(1,4,5,8)(2,7,6,3)$ | $0$ |
| $12$ | $4$ | $(1,4,5,8)(2,6)(3,7)$ | $0$ |
| $12$ | $4$ | $(1,8,5,4)$ | $0$ |
| $32$ | $6$ | $(1,5)(2,4,3,6,8,7)$ | $1$ |
| $24$ | $8$ | $(1,8,2,3,5,4,6,7)$ | $0$ |
| $24$ | $8$ | $(1,6,4,3,5,2,8,7)$ | $0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
