Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 31 }$ to precision 26.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 31 }$: $ x^{4} + 3 x^{2} + 16 x + 3 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ a^{3} + 16 a^{2} + 26 a + 23 + \left(15 a^{3} + 23 a^{2} + 24 a + 16\right)\cdot 31 + \left(2 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 31^{2} + \left(28 a^{3} + 20 a^{2} + 25 a + 14\right)\cdot 31^{3} + \left(8 a^{3} + 15 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 31^{4} + \left(30 a^{3} + 26 a^{2} + 23 a + 11\right)\cdot 31^{5} + \left(23 a^{3} + 18 a^{2} + 27 a + 21\right)\cdot 31^{6} + \left(17 a^{3} + 6 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 31^{7} + \left(11 a^{3} + 10 a^{2} + 23 a + 29\right)\cdot 31^{8} + \left(2 a^{3} + 14 a^{2} + 30 a + 2\right)\cdot 31^{9} + \left(30 a^{3} + 19 a^{2} + 30 a + 1\right)\cdot 31^{10} + \left(a^{3} + 5 a^{2} + 22 a + 5\right)\cdot 31^{11} + \left(13 a^{3} + 25 a^{2} + 23 a + 25\right)\cdot 31^{12} + \left(3 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 26\right)\cdot 31^{13} + \left(29 a^{3} + 22 a^{2} + 5 a + 25\right)\cdot 31^{14} + \left(27 a^{3} + 12 a^{2} + 29 a + 27\right)\cdot 31^{15} + \left(28 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 31^{16} + \left(28 a^{3} + 19 a^{2} + 5\right)\cdot 31^{17} + \left(25 a^{3} + 4 a^{2} + 27 a + 30\right)\cdot 31^{18} + \left(5 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 31^{19} + \left(13 a^{3} + 16 a^{2} + 11\right)\cdot 31^{20} + \left(4 a^{3} + 7 a^{2} + 18 a + 23\right)\cdot 31^{21} + \left(27 a^{3} + 22 a^{2} + 11 a + 28\right)\cdot 31^{22} + \left(17 a^{3} + 6 a^{2} + 19\right)\cdot 31^{23} + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 31^{24} + \left(25 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 31^{25} +O\left(31^{ 26 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 12 a^{3} + 13 a^{2} + 15 a + 19 + \left(9 a^{3} + 6 a^{2} + 29 a + 28\right)\cdot 31 + \left(20 a^{3} + a^{2} + 18 a + 20\right)\cdot 31^{2} + \left(9 a^{3} + 3 a^{2} + 24 a + 26\right)\cdot 31^{3} + \left(11 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 31^{4} + \left(30 a^{3} + 19 a^{2} + 11 a + 18\right)\cdot 31^{5} + \left(26 a^{3} + 15 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 31^{6} + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 29\right)\cdot 31^{7} + \left(17 a^{3} + 3 a^{2} + 23 a + 8\right)\cdot 31^{8} + \left(10 a^{3} + 29 a^{2} + 21 a + 18\right)\cdot 31^{9} + \left(16 a^{3} + 12 a^{2} + 26 a + 17\right)\cdot 31^{10} + \left(25 a^{3} + 18 a^{2} + 20 a + 24\right)\cdot 31^{11} + \left(28 a^{3} + 27 a^{2} + 22 a + 27\right)\cdot 31^{12} + \left(10 a^{3} + 26 a^{2} + 2 a + 21\right)\cdot 31^{13} + \left(4 a^{3} + a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 31^{14} + \left(12 a^{3} + 17 a^{2} + 16 a + 10\right)\cdot 31^{15} + \left(17 a^{3} + 29 a^{2} + 25 a + 1\right)\cdot 31^{16} + \left(23 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 31^{17} + \left(18 a^{3} + 2 a^{2} + 19 a\right)\cdot 31^{18} + \left(19 a^{3} + 9 a^{2} + 23\right)\cdot 31^{19} + \left(12 a^{3} + 27 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 31^{20} + \left(12 a^{3} + 6 a^{2} + 26 a + 30\right)\cdot 31^{21} + \left(27 a^{3} + 15 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 31^{22} + \left(16 a^{3} + 14 a^{2} + 27 a\right)\cdot 31^{23} + \left(27 a^{3} + 2 a^{2} + 2\right)\cdot 31^{24} + \left(a^{3} + 13 a^{2} + 9 a + 27\right)\cdot 31^{25} +O\left(31^{ 26 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 2 a^{3} + 30 a^{2} + 13 a + 2 + \left(12 a^{3} + 30 a^{2} + 28 a + 20\right)\cdot 31 + \left(29 a^{3} + 21 a^{2} + 17 a + 21\right)\cdot 31^{2} + \left(5 a^{3} + 27 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 31^{3} + \left(21 a^{3} + 13 a^{2} + 4\right)\cdot 31^{4} + \left(25 a^{3} + a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 31^{5} + \left(a^{3} + 21 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 31^{6} + \left(18 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 31^{7} + \left(11 a^{3} + 13 a\right)\cdot 31^{8} + \left(13 a^{3} + 10 a^{2} + 19 a + 8\right)\cdot 31^{9} + \left(10 a^{3} + 25 a^{2} + 10 a + 27\right)\cdot 31^{10} + \left(5 a^{3} + 27 a^{2} + 28 a + 28\right)\cdot 31^{11} + \left(20 a^{3} + 29 a^{2} + 23 a + 4\right)\cdot 31^{12} + \left(4 a^{3} + 29 a^{2} + 30 a + 13\right)\cdot 31^{13} + \left(19 a^{2} + 6 a + 19\right)\cdot 31^{14} + \left(3 a^{3} + 9 a^{2} + 20 a + 13\right)\cdot 31^{15} + \left(7 a^{3} + 12 a^{2} + 13 a + 22\right)\cdot 31^{16} + \left(2 a^{3} + 21 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 31^{17} + \left(29 a^{3} + 22 a^{2} + 27 a + 23\right)\cdot 31^{18} + \left(23 a^{3} + 4 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 31^{19} + \left(7 a^{3} + 29 a^{2} + 25 a + 16\right)\cdot 31^{20} + \left(9 a^{3} + 8 a^{2} + 20 a + 26\right)\cdot 31^{21} + \left(25 a^{3} + 12 a^{2} + 18 a + 23\right)\cdot 31^{22} + \left(15 a^{3} + 27 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 31^{23} + \left(22 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 30\right)\cdot 31^{24} + \left(11 a^{3} + 19 a^{2} + 23 a + 14\right)\cdot 31^{25} +O\left(31^{ 26 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 20 a^{3} + 19 a^{2} + 25 a + 23 + \left(20 a^{3} + 17 a^{2} + a + 28\right)\cdot 31 + \left(13 a^{3} + 22 a^{2} + 25 a + 27\right)\cdot 31^{2} + \left(12 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 31^{3} + \left(28 a^{3} + 28 a^{2} + 21 a + 5\right)\cdot 31^{4} + \left(22 a^{3} + 22 a^{2} + 6 a + 26\right)\cdot 31^{5} + \left(9 a^{3} + 23 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 31^{6} + \left(11 a^{3} + 24 a^{2} + 6 a + 19\right)\cdot 31^{7} + \left(11 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 31^{8} + \left(28 a^{3} + a^{2} + 28 a + 16\right)\cdot 31^{9} + \left(21 a^{3} + 17 a^{2} + 9 a + 23\right)\cdot 31^{10} + \left(14 a^{3} + 17 a^{2} + 21 a + 20\right)\cdot 31^{11} + \left(30 a^{3} + 23 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 31^{12} + \left(21 a^{3} + 25 a^{2} + 25 a + 14\right)\cdot 31^{13} + \left(6 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 31^{14} + \left(15 a^{3} + 29 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 31^{15} + \left(14 a^{3} + 20 a^{2} + 10 a + 22\right)\cdot 31^{16} + \left(12 a^{3} + 4 a^{2} + 13 a + 18\right)\cdot 31^{17} + \left(22 a^{3} + 21 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 31^{18} + \left(20 a^{3} + 22 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 31^{19} + \left(5 a^{3} + 29 a^{2} + 26 a + 19\right)\cdot 31^{20} + \left(7 a^{3} + 13 a^{2} + 19\right)\cdot 31^{21} + \left(22 a^{3} + 16 a + 14\right)\cdot 31^{22} + \left(7 a^{3} + 23 a^{2} + 25 a + 15\right)\cdot 31^{23} + \left(18 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 31^{24} + \left(5 a^{3} + 28 a^{2} + 21 a + 10\right)\cdot 31^{25} +O\left(31^{ 26 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 6 a^{3} + 24 a^{2} + 23 a + 10 + \left(2 a^{3} + 21 a + 11\right)\cdot 31 + \left(30 a^{3} + 7 a + 12\right)\cdot 31^{2} + \left(22 a^{3} + 10 a^{2} + 13 a + 26\right)\cdot 31^{3} + \left(19 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 24\right)\cdot 31^{4} + \left(29 a^{3} + 12 a^{2} + 26 a + 14\right)\cdot 31^{5} + \left(24 a^{3} + 16 a + 26\right)\cdot 31^{6} + \left(7 a^{3} + 30 a^{2} + 23 a + 24\right)\cdot 31^{7} + \left(10 a^{3} + 8 a^{2} + 18 a + 12\right)\cdot 31^{8} + \left(22 a^{3} + 25 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 31^{9} + \left(21 a^{3} + 28 a^{2} + 21 a + 28\right)\cdot 31^{10} + \left(8 a^{3} + 10 a^{2} + a + 12\right)\cdot 31^{11} + \left(22 a^{3} + 14 a^{2} + 4 a + 22\right)\cdot 31^{12} + \left(26 a^{3} + 13 a^{2} + 28 a + 20\right)\cdot 31^{13} + \left(24 a^{3} + 11 a^{2} + 21 a + 8\right)\cdot 31^{14} + \left(23 a^{3} + a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 31^{15} + \left(4 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 31^{16} + \left(19 a^{3} + 4 a^{2} + 30 a + 29\right)\cdot 31^{17} + \left(27 a^{3} + 23 a^{2} + 23 a + 21\right)\cdot 31^{18} + \left(26 a^{3} + 15 a^{2} + 8 a + 27\right)\cdot 31^{19} + \left(14 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 29\right)\cdot 31^{20} + \left(8 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 31^{21} + \left(15 a^{3} + 24 a^{2} + 19 a + 30\right)\cdot 31^{22} + \left(26 a^{3} + 3 a^{2} + 21 a + 21\right)\cdot 31^{23} + \left(8 a^{3} + 27 a + 6\right)\cdot 31^{24} + \left(22 a^{3} + 23 a^{2} + 21 a + 23\right)\cdot 31^{25} +O\left(31^{ 26 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 11 a^{3} + 26 a^{2} + 11 a + 11 + \left(7 a^{3} + 23 a^{2} + 13 a + 30\right)\cdot 31 + \left(13 a^{3} + 7 a^{2} + 17 a + 7\right)\cdot 31^{2} + \left(23 a^{3} + 21 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 31^{3} + \left(9 a^{3} + a^{2} + 22 a + 19\right)\cdot 31^{4} + \left(7 a^{3} + 29 a^{2} + 20 a + 4\right)\cdot 31^{5} + \left(8 a^{3} + 24 a^{2} + 25 a + 2\right)\cdot 31^{6} + \left(a^{3} + 20 a^{2} + 25 a + 10\right)\cdot 31^{7} + \left(23 a^{3} + 18 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 31^{8} + \left(15 a^{3} + 28 a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 31^{9} + \left(13 a^{3} + 25 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 31^{10} + \left(22 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 29\right)\cdot 31^{11} + \left(21 a^{3} + 21 a^{2} + 11 a + 25\right)\cdot 31^{12} + \left(19 a^{3} + 22 a^{2} + 27\right)\cdot 31^{13} + \left(a^{3} + 28 a^{2} + 20 a + 3\right)\cdot 31^{14} + \left(23 a^{3} + 2 a^{2} + 16 a + 27\right)\cdot 31^{15} + \left(a^{3} + 12 a^{2} + 14 a + 19\right)\cdot 31^{16} + \left(9 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 28\right)\cdot 31^{17} + \left(18 a^{3} + 13 a^{2} + 22 a + 3\right)\cdot 31^{18} + \left(22 a^{3} + a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 31^{19} + \left(26 a^{3} + 24 a^{2} + 21 a + 19\right)\cdot 31^{20} + \left(2 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 31^{21} + \left(25 a^{3} + 10 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 31^{22} + \left(2 a^{3} + 16 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 31^{23} + \left(3 a^{3} + 18 a^{2} + 27\right)\cdot 31^{24} + \left(26 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 28\right)\cdot 31^{25} +O\left(31^{ 26 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 13 + 23\cdot 31 + 27\cdot 31^{2} + 19\cdot 31^{3} + 20\cdot 31^{4} + 27\cdot 31^{5} + 9\cdot 31^{6} + 15\cdot 31^{7} + 2\cdot 31^{8} + 21\cdot 31^{9} + 22\cdot 31^{10} + 12\cdot 31^{11} + 7\cdot 31^{12} + 14\cdot 31^{13} + 19\cdot 31^{14} + 27\cdot 31^{15} + 2\cdot 31^{16} + 16\cdot 31^{17} + 17\cdot 31^{18} + 20\cdot 31^{20} + 28\cdot 31^{21} + 2\cdot 31^{22} + 10\cdot 31^{23} + 11\cdot 31^{24} + 22\cdot 31^{25} +O\left(31^{ 26 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 21 a^{3} + 25 a^{2} + 26 a + 13 + \left(a^{3} + a^{2} + 4 a + 25\right)\cdot 31 + \left(18 a^{3} + 29 a^{2} + 21 a + 12\right)\cdot 31^{2} + \left(15 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 31^{3} + \left(14 a^{3} + 21 a^{2} + 25 a + 9\right)\cdot 31^{4} + \left(19 a^{3} + 20 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 31^{5} + \left(23 a^{3} + 6 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 31^{6} + \left(16 a^{3} + 28 a + 1\right)\cdot 31^{7} + \left(24 a^{3} + 17 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 31^{8} + \left(13 a^{3} + 23 a + 26\right)\cdot 31^{9} + \left(26 a^{3} + a^{2} + 24 a + 22\right)\cdot 31^{10} + \left(25 a^{3} + a^{2} + 28 a + 5\right)\cdot 31^{11} + \left(a^{3} + 3 a^{2} + 20 a + 12\right)\cdot 31^{12} + \left(3 a^{3} + 28 a^{2} + 27 a + 23\right)\cdot 31^{13} + \left(9 a^{3} + 21 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 31^{14} + \left(9 a^{3} + 4 a^{2} + 21 a + 24\right)\cdot 31^{15} + \left(7 a^{2} + 25 a + 1\right)\cdot 31^{16} + \left(29 a^{3} + 30 a^{2} + 27 a + 23\right)\cdot 31^{17} + \left(19 a^{3} + 9 a^{2} + 23 a + 12\right)\cdot 31^{18} + \left(20 a^{3} + 3 a^{2} + 23 a + 5\right)\cdot 31^{19} + \left(19 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 31^{20} + \left(10 a^{3} + 4 a^{2} + 30 a + 15\right)\cdot 31^{21} + \left(15 a^{2} + 29 a + 6\right)\cdot 31^{22} + \left(10 a^{3} + 12 a^{2} + 20 a + 27\right)\cdot 31^{23} + \left(5 a + 23\right)\cdot 31^{24} + \left(27 a^{3} + 29 a^{2} + 8 a + 20\right)\cdot 31^{25} +O\left(31^{ 26 }\right)$ |
| $r_{ 9 }$ |
$=$ |
$ 20 a^{3} + 2 a^{2} + 16 a + 13 + \left(24 a^{3} + 19 a^{2} + 30 a + 1\right)\cdot 31 + \left(27 a^{3} + a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 31^{2} + \left(20 a^{3} + 22 a^{2} + 23 a + 8\right)\cdot 31^{3} + \left(10 a^{3} + 27 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 31^{4} + \left(20 a^{3} + 22 a^{2} + 28 a + 26\right)\cdot 31^{5} + \left(4 a^{3} + 12 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 31^{6} + \left(16 a^{3} + 30 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 31^{7} + \left(14 a^{3} + 26 a^{2} + 18 a + 12\right)\cdot 31^{8} + \left(17 a^{3} + 14 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 31^{9} + \left(14 a^{3} + 24 a^{2} + 27 a + 8\right)\cdot 31^{10} + \left(19 a^{3} + 6 a^{2} + 19 a + 15\right)\cdot 31^{11} + \left(16 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 31^{12} + \left(2 a^{3} + a^{2} + 30 a + 23\right)\cdot 31^{13} + \left(17 a^{3} + 14 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 31^{14} + \left(9 a^{3} + 15 a^{2} + 8 a + 28\right)\cdot 31^{15} + \left(18 a^{3} + 30 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 31^{16} + \left(22 a^{3} + 7 a^{2} + 20 a + 21\right)\cdot 31^{17} + \left(24 a^{3} + 26 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 31^{18} + \left(14 a^{3} + 19 a + 9\right)\cdot 31^{19} + \left(23 a^{3} + 14 a^{2} + 29 a + 23\right)\cdot 31^{20} + \left(8 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 25\right)\cdot 31^{21} + \left(12 a^{3} + 24 a^{2} + 4 a + 23\right)\cdot 31^{22} + \left(26 a^{3} + 19 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 31^{23} + \left(8 a^{3} + 24 a^{2} + 17 a + 7\right)\cdot 31^{24} + \left(4 a^{3} + 2 a^{2} + 30 a + 3\right)\cdot 31^{25} +O\left(31^{ 26 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 9 }$
| Cycle notation |
| $(1,3,6)(2,9,5)(4,8,7)$ |
| $(1,7,9)(2,6,8)(3,4,5)$ |
| $(2,4)(3,6)(5,8)(7,9)$ |
| $(2,5,4,8)(3,7,6,9)$ |
| $(2,3,4,6)(5,9,8,7)$ |
| $(3,6)(5,9)(7,8)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 9 }$
| Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $8$ |
| $9$ | $2$ | $(1,7)(2,5)(3,8)(4,6)$ | $0$ |
| $12$ | $2$ | $(1,3)(2,9)(4,8)$ | $-2$ |
| $8$ | $3$ | $(1,3,6)(2,9,5)(4,8,7)$ | $-1$ |
| $18$ | $4$ | $(1,4,7,6)(2,8,5,3)$ | $0$ |
| $36$ | $4$ | $(2,5,4,8)(3,7,6,9)$ | $0$ |
| $24$ | $6$ | $(1,8,2,3,4,9)(5,6,7)$ | $1$ |
| $18$ | $8$ | $(1,8,3,5,9,4,2,6)$ | $0$ |
| $18$ | $8$ | $(1,4,3,6,9,8,2,5)$ | $0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
