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Properties

Label 8.2e16_23e6.24t332.2
Dimension 8
Group $Q_8:S_4$
Conductor $ 2^{16} \cdot 23^{6}$
Frobenius-Schur indicator 1

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Basic invariants

Dimension:$8$
Group:$Q_8:S_4$
Conductor:$9701680021504= 2^{16} \cdot 23^{6} $
Artin number field: Splitting field of $f= x^{8} + 4 x^{6} - 7 x^{4} + 2 x^{2} - 4 $ over $\Q$
Size of Galois orbit: 1
Smallest containing permutation representation: 24T332
Parity: Even

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 67 }$ to precision 64.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 67 }$: $ x^{2} + 63 x + 2 $
Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ $ 53 a + 29 + \left(61 a + 26\right)\cdot 67 + \left(57 a + 43\right)\cdot 67^{2} + \left(7 a + 44\right)\cdot 67^{3} + \left(14 a + 48\right)\cdot 67^{4} + 38 a\cdot 67^{5} + \left(57 a + 38\right)\cdot 67^{6} + \left(16 a + 21\right)\cdot 67^{7} + \left(18 a + 25\right)\cdot 67^{8} + \left(10 a + 35\right)\cdot 67^{9} + \left(63 a + 64\right)\cdot 67^{10} + \left(6 a + 57\right)\cdot 67^{11} + \left(5 a + 17\right)\cdot 67^{12} + \left(45 a + 50\right)\cdot 67^{13} + \left(66 a + 3\right)\cdot 67^{14} + \left(22 a + 2\right)\cdot 67^{15} + \left(23 a + 62\right)\cdot 67^{16} + \left(40 a + 5\right)\cdot 67^{17} + \left(23 a + 40\right)\cdot 67^{18} + \left(48 a + 8\right)\cdot 67^{19} + \left(26 a + 5\right)\cdot 67^{20} + \left(52 a + 6\right)\cdot 67^{21} + \left(66 a + 65\right)\cdot 67^{22} + \left(45 a + 29\right)\cdot 67^{23} + \left(38 a + 6\right)\cdot 67^{24} + \left(47 a + 3\right)\cdot 67^{25} + \left(58 a + 9\right)\cdot 67^{26} + \left(35 a + 25\right)\cdot 67^{27} + \left(5 a + 36\right)\cdot 67^{28} + \left(47 a + 50\right)\cdot 67^{29} + \left(42 a + 10\right)\cdot 67^{30} + \left(17 a + 25\right)\cdot 67^{31} + \left(61 a + 15\right)\cdot 67^{32} + \left(30 a + 3\right)\cdot 67^{33} + \left(65 a + 17\right)\cdot 67^{34} + \left(65 a + 29\right)\cdot 67^{35} + \left(4 a + 41\right)\cdot 67^{36} + \left(32 a + 41\right)\cdot 67^{37} + \left(6 a + 62\right)\cdot 67^{38} + \left(6 a + 27\right)\cdot 67^{39} + \left(52 a + 21\right)\cdot 67^{40} + \left(64 a + 60\right)\cdot 67^{41} + \left(42 a + 9\right)\cdot 67^{42} + \left(60 a + 33\right)\cdot 67^{43} + \left(12 a + 27\right)\cdot 67^{44} + \left(43 a + 18\right)\cdot 67^{45} + \left(12 a + 46\right)\cdot 67^{46} + \left(59 a + 6\right)\cdot 67^{47} + \left(34 a + 65\right)\cdot 67^{48} + \left(4 a + 66\right)\cdot 67^{49} + \left(37 a + 7\right)\cdot 67^{50} + \left(48 a + 29\right)\cdot 67^{51} + \left(44 a + 5\right)\cdot 67^{52} + \left(46 a + 15\right)\cdot 67^{53} + \left(40 a + 28\right)\cdot 67^{54} + \left(30 a + 38\right)\cdot 67^{55} + \left(15 a + 62\right)\cdot 67^{56} + \left(42 a + 2\right)\cdot 67^{57} + \left(49 a + 2\right)\cdot 67^{58} + \left(17 a + 12\right)\cdot 67^{59} + \left(59 a + 24\right)\cdot 67^{60} + \left(32 a + 4\right)\cdot 67^{61} + \left(20 a + 33\right)\cdot 67^{62} + \left(a + 16\right)\cdot 67^{63} +O\left(67^{ 64 }\right)$
$r_{ 2 }$ $=$ $ 53 a + 27 + \left(61 a + 47\right)\cdot 67 + \left(57 a + 54\right)\cdot 67^{2} + \left(7 a + 48\right)\cdot 67^{3} + \left(14 a + 36\right)\cdot 67^{4} + \left(38 a + 61\right)\cdot 67^{5} + \left(57 a + 37\right)\cdot 67^{6} + \left(16 a + 35\right)\cdot 67^{7} + \left(18 a + 52\right)\cdot 67^{8} + \left(10 a + 8\right)\cdot 67^{9} + \left(63 a + 28\right)\cdot 67^{10} + \left(6 a + 44\right)\cdot 67^{11} + \left(5 a + 35\right)\cdot 67^{12} + \left(45 a + 42\right)\cdot 67^{13} + \left(66 a + 42\right)\cdot 67^{14} + \left(22 a + 39\right)\cdot 67^{15} + \left(23 a + 1\right)\cdot 67^{16} + \left(40 a + 57\right)\cdot 67^{17} + \left(23 a + 39\right)\cdot 67^{18} + \left(48 a + 22\right)\cdot 67^{19} + \left(26 a + 3\right)\cdot 67^{20} + \left(52 a + 12\right)\cdot 67^{21} + \left(66 a + 55\right)\cdot 67^{22} + \left(45 a + 53\right)\cdot 67^{23} + \left(38 a + 18\right)\cdot 67^{24} + \left(47 a + 46\right)\cdot 67^{25} + \left(58 a + 4\right)\cdot 67^{26} + \left(35 a + 24\right)\cdot 67^{27} + \left(5 a + 44\right)\cdot 67^{28} + \left(47 a + 34\right)\cdot 67^{29} + \left(42 a + 66\right)\cdot 67^{30} + \left(17 a + 13\right)\cdot 67^{31} + \left(61 a + 25\right)\cdot 67^{32} + \left(30 a + 1\right)\cdot 67^{33} + \left(65 a + 20\right)\cdot 67^{34} + \left(65 a + 40\right)\cdot 67^{35} + \left(4 a + 4\right)\cdot 67^{36} + \left(32 a + 36\right)\cdot 67^{37} + \left(6 a + 10\right)\cdot 67^{38} + \left(6 a + 21\right)\cdot 67^{39} + \left(52 a + 44\right)\cdot 67^{40} + 64 a\cdot 67^{41} + \left(42 a + 17\right)\cdot 67^{42} + \left(60 a + 35\right)\cdot 67^{43} + \left(12 a + 48\right)\cdot 67^{44} + \left(43 a + 22\right)\cdot 67^{45} + \left(12 a + 13\right)\cdot 67^{46} + \left(59 a + 37\right)\cdot 67^{47} + \left(34 a + 55\right)\cdot 67^{48} + \left(4 a + 16\right)\cdot 67^{49} + \left(37 a + 49\right)\cdot 67^{50} + \left(48 a + 14\right)\cdot 67^{51} + \left(44 a + 65\right)\cdot 67^{52} + \left(46 a + 43\right)\cdot 67^{53} + \left(40 a + 56\right)\cdot 67^{54} + \left(30 a + 13\right)\cdot 67^{55} + \left(15 a + 40\right)\cdot 67^{56} + \left(42 a + 44\right)\cdot 67^{57} + \left(49 a + 42\right)\cdot 67^{58} + \left(17 a + 33\right)\cdot 67^{59} + \left(59 a + 24\right)\cdot 67^{60} + \left(32 a + 57\right)\cdot 67^{61} + \left(20 a + 51\right)\cdot 67^{62} + \left(a + 65\right)\cdot 67^{63} +O\left(67^{ 64 }\right)$
$r_{ 3 }$ $=$ $ 28 + 65\cdot 67 + 25\cdot 67^{2} + 51\cdot 67^{3} + 43\cdot 67^{4} + 14\cdot 67^{5} + 31\cdot 67^{6} + 14\cdot 67^{7} + 48\cdot 67^{8} + 50\cdot 67^{9} + 23\cdot 67^{10} + 58\cdot 67^{11} + 16\cdot 67^{12} + 44\cdot 67^{13} + 46\cdot 67^{14} + 66\cdot 67^{15} + 36\cdot 67^{16} + 36\cdot 67^{17} + 30\cdot 67^{18} + 60\cdot 67^{19} + 35\cdot 67^{20} + 32\cdot 67^{21} + 67^{22} + 31\cdot 67^{23} + 19\cdot 67^{24} + 41\cdot 67^{25} + 27\cdot 67^{26} + 43\cdot 67^{28} + 60\cdot 67^{29} + 14\cdot 67^{30} + 58\cdot 67^{31} + 64\cdot 67^{32} + 31\cdot 67^{33} + 32\cdot 67^{34} + 52\cdot 67^{35} + 15\cdot 67^{36} + 28\cdot 67^{37} + 52\cdot 67^{38} + 61\cdot 67^{39} + 64\cdot 67^{40} + 61\cdot 67^{41} + 42\cdot 67^{42} + 34\cdot 67^{43} + 41\cdot 67^{44} + 13\cdot 67^{45} + 53\cdot 67^{46} + 13\cdot 67^{47} + 22\cdot 67^{48} + 6\cdot 67^{49} + 37\cdot 67^{50} + 67^{51} + 2\cdot 67^{52} + 2\cdot 67^{53} + 5\cdot 67^{54} + 50\cdot 67^{55} + 30\cdot 67^{56} + 61\cdot 67^{58} + 22\cdot 67^{59} + 11\cdot 67^{60} + 14\cdot 67^{61} + 39\cdot 67^{62} + 32\cdot 67^{63} +O\left(67^{ 64 }\right)$
$r_{ 4 }$ $=$ $ 33 a + 1 + \left(23 a + 3\right)\cdot 67 + \left(27 a + 24\right)\cdot 67^{2} + \left(45 a + 23\right)\cdot 67^{3} + \left(31 a + 26\right)\cdot 67^{4} + \left(59 a + 64\right)\cdot 67^{5} + \left(6 a + 15\right)\cdot 67^{6} + \left(50 a + 37\right)\cdot 67^{7} + \left(14 a + 62\right)\cdot 67^{8} + \left(51 a + 38\right)\cdot 67^{9} + \left(60 a + 4\right)\cdot 67^{10} + \left(7 a + 48\right)\cdot 67^{11} + \left(51 a + 35\right)\cdot 67^{12} + \left(25 a + 7\right)\cdot 67^{13} + \left(44 a + 58\right)\cdot 67^{14} + \left(43 a + 1\right)\cdot 67^{15} + \left(2 a + 50\right)\cdot 67^{16} + \left(50 a + 1\right)\cdot 67^{17} + \left(3 a + 51\right)\cdot 67^{18} + \left(59 a + 17\right)\cdot 67^{19} + \left(33 a + 62\right)\cdot 67^{20} + \left(30 a + 22\right)\cdot 67^{21} + \left(59 a + 30\right)\cdot 67^{22} + \left(38 a + 52\right)\cdot 67^{23} + \left(51 a + 16\right)\cdot 67^{24} + \left(56 a + 46\right)\cdot 67^{25} + \left(15 a + 63\right)\cdot 67^{26} + \left(10 a + 20\right)\cdot 67^{27} + \left(3 a + 32\right)\cdot 67^{28} + \left(23 a + 22\right)\cdot 67^{29} + \left(38 a + 35\right)\cdot 67^{30} + \left(44 a + 30\right)\cdot 67^{31} + \left(10 a + 34\right)\cdot 67^{32} + \left(12 a + 14\right)\cdot 67^{33} + \left(42 a + 22\right)\cdot 67^{34} + \left(59 a + 2\right)\cdot 67^{35} + \left(54 a + 54\right)\cdot 67^{36} + \left(52 a + 55\right)\cdot 67^{37} + \left(49 a + 60\right)\cdot 67^{38} + \left(16 a + 24\right)\cdot 67^{39} + \left(2 a + 37\right)\cdot 67^{40} + \left(64 a + 40\right)\cdot 67^{41} + \left(7 a + 49\right)\cdot 67^{42} + \left(52 a + 33\right)\cdot 67^{43} + \left(4 a + 16\right)\cdot 67^{44} + \left(12 a + 45\right)\cdot 67^{45} + \left(34 a + 4\right)\cdot 67^{46} + \left(13 a + 57\right)\cdot 67^{47} + \left(66 a + 41\right)\cdot 67^{48} + \left(18 a + 28\right)\cdot 67^{49} + \left(51 a + 7\right)\cdot 67^{50} + \left(20 a + 51\right)\cdot 67^{51} + \left(29 a + 18\right)\cdot 67^{52} + \left(36 a + 42\right)\cdot 67^{53} + \left(53 a + 11\right)\cdot 67^{54} + \left(18 a + 56\right)\cdot 67^{55} + \left(45 a + 52\right)\cdot 67^{56} + \left(33 a + 55\right)\cdot 67^{57} + \left(13 a + 56\right)\cdot 67^{58} + \left(28 a + 50\right)\cdot 67^{59} + \left(56 a + 1\right)\cdot 67^{60} + \left(34 a + 59\right)\cdot 67^{61} + \left(57 a + 2\right)\cdot 67^{62} + \left(35 a + 24\right)\cdot 67^{63} +O\left(67^{ 64 }\right)$
$r_{ 5 }$ $=$ $ 14 a + 38 + \left(5 a + 40\right)\cdot 67 + \left(9 a + 23\right)\cdot 67^{2} + \left(59 a + 22\right)\cdot 67^{3} + \left(52 a + 18\right)\cdot 67^{4} + \left(28 a + 66\right)\cdot 67^{5} + \left(9 a + 28\right)\cdot 67^{6} + \left(50 a + 45\right)\cdot 67^{7} + \left(48 a + 41\right)\cdot 67^{8} + \left(56 a + 31\right)\cdot 67^{9} + \left(3 a + 2\right)\cdot 67^{10} + \left(60 a + 9\right)\cdot 67^{11} + \left(61 a + 49\right)\cdot 67^{12} + \left(21 a + 16\right)\cdot 67^{13} + 63\cdot 67^{14} + \left(44 a + 64\right)\cdot 67^{15} + \left(43 a + 4\right)\cdot 67^{16} + \left(26 a + 61\right)\cdot 67^{17} + \left(43 a + 26\right)\cdot 67^{18} + \left(18 a + 58\right)\cdot 67^{19} + \left(40 a + 61\right)\cdot 67^{20} + \left(14 a + 60\right)\cdot 67^{21} + 67^{22} + \left(21 a + 37\right)\cdot 67^{23} + \left(28 a + 60\right)\cdot 67^{24} + \left(19 a + 63\right)\cdot 67^{25} + \left(8 a + 57\right)\cdot 67^{26} + \left(31 a + 41\right)\cdot 67^{27} + \left(61 a + 30\right)\cdot 67^{28} + \left(19 a + 16\right)\cdot 67^{29} + \left(24 a + 56\right)\cdot 67^{30} + \left(49 a + 41\right)\cdot 67^{31} + \left(5 a + 51\right)\cdot 67^{32} + \left(36 a + 63\right)\cdot 67^{33} + \left(a + 49\right)\cdot 67^{34} + \left(a + 37\right)\cdot 67^{35} + \left(62 a + 25\right)\cdot 67^{36} + \left(34 a + 25\right)\cdot 67^{37} + \left(60 a + 4\right)\cdot 67^{38} + \left(60 a + 39\right)\cdot 67^{39} + \left(14 a + 45\right)\cdot 67^{40} + \left(2 a + 6\right)\cdot 67^{41} + \left(24 a + 57\right)\cdot 67^{42} + \left(6 a + 33\right)\cdot 67^{43} + \left(54 a + 39\right)\cdot 67^{44} + \left(23 a + 48\right)\cdot 67^{45} + \left(54 a + 20\right)\cdot 67^{46} + \left(7 a + 60\right)\cdot 67^{47} + \left(32 a + 1\right)\cdot 67^{48} + 62 a\cdot 67^{49} + \left(29 a + 59\right)\cdot 67^{50} + \left(18 a + 37\right)\cdot 67^{51} + \left(22 a + 61\right)\cdot 67^{52} + \left(20 a + 51\right)\cdot 67^{53} + \left(26 a + 38\right)\cdot 67^{54} + \left(36 a + 28\right)\cdot 67^{55} + \left(51 a + 4\right)\cdot 67^{56} + \left(24 a + 64\right)\cdot 67^{57} + \left(17 a + 64\right)\cdot 67^{58} + \left(49 a + 54\right)\cdot 67^{59} + \left(7 a + 42\right)\cdot 67^{60} + \left(34 a + 62\right)\cdot 67^{61} + \left(46 a + 33\right)\cdot 67^{62} + \left(65 a + 50\right)\cdot 67^{63} +O\left(67^{ 64 }\right)$
$r_{ 6 }$ $=$ $ 14 a + 40 + \left(5 a + 19\right)\cdot 67 + \left(9 a + 12\right)\cdot 67^{2} + \left(59 a + 18\right)\cdot 67^{3} + \left(52 a + 30\right)\cdot 67^{4} + \left(28 a + 5\right)\cdot 67^{5} + \left(9 a + 29\right)\cdot 67^{6} + \left(50 a + 31\right)\cdot 67^{7} + \left(48 a + 14\right)\cdot 67^{8} + \left(56 a + 58\right)\cdot 67^{9} + \left(3 a + 38\right)\cdot 67^{10} + \left(60 a + 22\right)\cdot 67^{11} + \left(61 a + 31\right)\cdot 67^{12} + \left(21 a + 24\right)\cdot 67^{13} + 24\cdot 67^{14} + \left(44 a + 27\right)\cdot 67^{15} + \left(43 a + 65\right)\cdot 67^{16} + \left(26 a + 9\right)\cdot 67^{17} + \left(43 a + 27\right)\cdot 67^{18} + \left(18 a + 44\right)\cdot 67^{19} + \left(40 a + 63\right)\cdot 67^{20} + \left(14 a + 54\right)\cdot 67^{21} + 11\cdot 67^{22} + \left(21 a + 13\right)\cdot 67^{23} + \left(28 a + 48\right)\cdot 67^{24} + \left(19 a + 20\right)\cdot 67^{25} + \left(8 a + 62\right)\cdot 67^{26} + \left(31 a + 42\right)\cdot 67^{27} + \left(61 a + 22\right)\cdot 67^{28} + \left(19 a + 32\right)\cdot 67^{29} + 24 a\cdot 67^{30} + \left(49 a + 53\right)\cdot 67^{31} + \left(5 a + 41\right)\cdot 67^{32} + \left(36 a + 65\right)\cdot 67^{33} + \left(a + 46\right)\cdot 67^{34} + \left(a + 26\right)\cdot 67^{35} + \left(62 a + 62\right)\cdot 67^{36} + \left(34 a + 30\right)\cdot 67^{37} + \left(60 a + 56\right)\cdot 67^{38} + \left(60 a + 45\right)\cdot 67^{39} + \left(14 a + 22\right)\cdot 67^{40} + \left(2 a + 66\right)\cdot 67^{41} + \left(24 a + 49\right)\cdot 67^{42} + \left(6 a + 31\right)\cdot 67^{43} + \left(54 a + 18\right)\cdot 67^{44} + \left(23 a + 44\right)\cdot 67^{45} + \left(54 a + 53\right)\cdot 67^{46} + \left(7 a + 29\right)\cdot 67^{47} + \left(32 a + 11\right)\cdot 67^{48} + \left(62 a + 50\right)\cdot 67^{49} + \left(29 a + 17\right)\cdot 67^{50} + \left(18 a + 52\right)\cdot 67^{51} + \left(22 a + 1\right)\cdot 67^{52} + \left(20 a + 23\right)\cdot 67^{53} + \left(26 a + 10\right)\cdot 67^{54} + \left(36 a + 53\right)\cdot 67^{55} + \left(51 a + 26\right)\cdot 67^{56} + \left(24 a + 22\right)\cdot 67^{57} + \left(17 a + 24\right)\cdot 67^{58} + \left(49 a + 33\right)\cdot 67^{59} + \left(7 a + 42\right)\cdot 67^{60} + \left(34 a + 9\right)\cdot 67^{61} + \left(46 a + 15\right)\cdot 67^{62} + \left(65 a + 1\right)\cdot 67^{63} +O\left(67^{ 64 }\right)$
$r_{ 7 }$ $=$ $ 39 + 67 + 41\cdot 67^{2} + 15\cdot 67^{3} + 23\cdot 67^{4} + 52\cdot 67^{5} + 35\cdot 67^{6} + 52\cdot 67^{7} + 18\cdot 67^{8} + 16\cdot 67^{9} + 43\cdot 67^{10} + 8\cdot 67^{11} + 50\cdot 67^{12} + 22\cdot 67^{13} + 20\cdot 67^{14} + 30\cdot 67^{16} + 30\cdot 67^{17} + 36\cdot 67^{18} + 6\cdot 67^{19} + 31\cdot 67^{20} + 34\cdot 67^{21} + 65\cdot 67^{22} + 35\cdot 67^{23} + 47\cdot 67^{24} + 25\cdot 67^{25} + 39\cdot 67^{26} + 66\cdot 67^{27} + 23\cdot 67^{28} + 6\cdot 67^{29} + 52\cdot 67^{30} + 8\cdot 67^{31} + 2\cdot 67^{32} + 35\cdot 67^{33} + 34\cdot 67^{34} + 14\cdot 67^{35} + 51\cdot 67^{36} + 38\cdot 67^{37} + 14\cdot 67^{38} + 5\cdot 67^{39} + 2\cdot 67^{40} + 5\cdot 67^{41} + 24\cdot 67^{42} + 32\cdot 67^{43} + 25\cdot 67^{44} + 53\cdot 67^{45} + 13\cdot 67^{46} + 53\cdot 67^{47} + 44\cdot 67^{48} + 60\cdot 67^{49} + 29\cdot 67^{50} + 65\cdot 67^{51} + 64\cdot 67^{52} + 64\cdot 67^{53} + 61\cdot 67^{54} + 16\cdot 67^{55} + 36\cdot 67^{56} + 66\cdot 67^{57} + 5\cdot 67^{58} + 44\cdot 67^{59} + 55\cdot 67^{60} + 52\cdot 67^{61} + 27\cdot 67^{62} + 34\cdot 67^{63} +O\left(67^{ 64 }\right)$
$r_{ 8 }$ $=$ $ 34 a + 66 + \left(43 a + 63\right)\cdot 67 + \left(39 a + 42\right)\cdot 67^{2} + \left(21 a + 43\right)\cdot 67^{3} + \left(35 a + 40\right)\cdot 67^{4} + \left(7 a + 2\right)\cdot 67^{5} + \left(60 a + 51\right)\cdot 67^{6} + \left(16 a + 29\right)\cdot 67^{7} + \left(52 a + 4\right)\cdot 67^{8} + \left(15 a + 28\right)\cdot 67^{9} + \left(6 a + 62\right)\cdot 67^{10} + \left(59 a + 18\right)\cdot 67^{11} + \left(15 a + 31\right)\cdot 67^{12} + \left(41 a + 59\right)\cdot 67^{13} + \left(22 a + 8\right)\cdot 67^{14} + \left(23 a + 65\right)\cdot 67^{15} + \left(64 a + 16\right)\cdot 67^{16} + \left(16 a + 65\right)\cdot 67^{17} + \left(63 a + 15\right)\cdot 67^{18} + \left(7 a + 49\right)\cdot 67^{19} + \left(33 a + 4\right)\cdot 67^{20} + \left(36 a + 44\right)\cdot 67^{21} + \left(7 a + 36\right)\cdot 67^{22} + \left(28 a + 14\right)\cdot 67^{23} + \left(15 a + 50\right)\cdot 67^{24} + \left(10 a + 20\right)\cdot 67^{25} + \left(51 a + 3\right)\cdot 67^{26} + \left(56 a + 46\right)\cdot 67^{27} + \left(63 a + 34\right)\cdot 67^{28} + \left(43 a + 44\right)\cdot 67^{29} + \left(28 a + 31\right)\cdot 67^{30} + \left(22 a + 36\right)\cdot 67^{31} + \left(56 a + 32\right)\cdot 67^{32} + \left(54 a + 52\right)\cdot 67^{33} + \left(24 a + 44\right)\cdot 67^{34} + \left(7 a + 64\right)\cdot 67^{35} + \left(12 a + 12\right)\cdot 67^{36} + \left(14 a + 11\right)\cdot 67^{37} + \left(17 a + 6\right)\cdot 67^{38} + \left(50 a + 42\right)\cdot 67^{39} + \left(64 a + 29\right)\cdot 67^{40} + \left(2 a + 26\right)\cdot 67^{41} + \left(59 a + 17\right)\cdot 67^{42} + \left(14 a + 33\right)\cdot 67^{43} + \left(62 a + 50\right)\cdot 67^{44} + \left(54 a + 21\right)\cdot 67^{45} + \left(32 a + 62\right)\cdot 67^{46} + \left(53 a + 9\right)\cdot 67^{47} + 25\cdot 67^{48} + \left(48 a + 38\right)\cdot 67^{49} + \left(15 a + 59\right)\cdot 67^{50} + \left(46 a + 15\right)\cdot 67^{51} + \left(37 a + 48\right)\cdot 67^{52} + \left(30 a + 24\right)\cdot 67^{53} + \left(13 a + 55\right)\cdot 67^{54} + \left(48 a + 10\right)\cdot 67^{55} + \left(21 a + 14\right)\cdot 67^{56} + \left(33 a + 11\right)\cdot 67^{57} + \left(53 a + 10\right)\cdot 67^{58} + \left(38 a + 16\right)\cdot 67^{59} + \left(10 a + 65\right)\cdot 67^{60} + \left(32 a + 7\right)\cdot 67^{61} + \left(9 a + 64\right)\cdot 67^{62} + \left(31 a + 42\right)\cdot 67^{63} +O\left(67^{ 64 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

Cycle notation
$(1,4,7,5,8,3)(2,6)$
$(2,4,7)(3,6,8)$
$(3,7)(4,8)$
$(1,6,8)(2,4,5)$
$(1,4,7,2,5,8,3,6)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$ Character values
$c1$
$1$ $1$ $()$ $8$
$1$ $2$ $(1,5)(2,6)(3,7)(4,8)$ $-8$
$6$ $2$ $(3,7)(4,8)$ $0$
$12$ $2$ $(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$ $0$
$24$ $2$ $(1,5)(2,4)(6,8)$ $0$
$32$ $3$ $(2,4,7)(3,6,8)$ $-1$
$6$ $4$ $(1,4,5,8)(2,7,6,3)$ $0$
$6$ $4$ $(1,4,5,8)(2,3,6,7)$ $0$
$12$ $4$ $(1,2,5,6)$ $0$
$12$ $4$ $(1,2,5,6)(3,7)(4,8)$ $0$
$32$ $6$ $(1,4,7,5,8,3)(2,6)$ $1$
$24$ $8$ $(1,4,7,2,5,8,3,6)$ $0$
$24$ $8$ $(1,6,4,7,5,2,8,3)$ $0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.