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Properties

Label 8.2e16_11e8.12t178.1c1
Dimension 8
Group $(((C_3 \times (C_3^2 : C_2)) : C_2) : C_3) : C_2$
Conductor $ 2^{16} \cdot 11^{8}$
Root number 1
Frobenius-Schur indicator 1

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Basic invariants

Dimension:$8$
Group:$(((C_3 \times (C_3^2 : C_2)) : C_2) : C_3) : C_2$
Conductor:$14048223625216= 2^{16} \cdot 11^{8} $
Artin number field: Splitting field of $f= x^{9} - x^{8} + x^{7} - 5 x^{6} + 6 x^{5} - 4 x^{4} + 12 x^{3} - 16 x^{2} + 10 x - 2 $ over $\Q$
Size of Galois orbit: 1
Smallest containing permutation representation: 12T178
Parity: Even
Determinant: 1.1.1t1.1c1

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 47 }$ to precision 52.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 47 }$: $ x^{3} + 3 x + 42 $
Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ $ 26 a^{2} + 38 a + 8 + \left(40 a^{2} + 27 a + 38\right)\cdot 47 + \left(11 a^{2} + 14 a + 35\right)\cdot 47^{2} + \left(9 a^{2} + 13\right)\cdot 47^{3} + \left(45 a^{2} + 6 a + 19\right)\cdot 47^{4} + \left(25 a^{2} + 7 a + 22\right)\cdot 47^{5} + \left(15 a^{2} + 35 a + 7\right)\cdot 47^{6} + \left(4 a^{2} + 34 a + 37\right)\cdot 47^{7} + \left(26 a^{2} + 29 a + 23\right)\cdot 47^{8} + \left(a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 47^{9} + \left(29 a^{2} + 21 a + 33\right)\cdot 47^{10} + \left(42 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 47^{11} + \left(12 a^{2} + 33 a + 23\right)\cdot 47^{12} + \left(3 a^{2} + 20 a + 1\right)\cdot 47^{13} + \left(46 a^{2} + 31 a + 12\right)\cdot 47^{14} + \left(23 a^{2} + 39 a + 8\right)\cdot 47^{15} + \left(a^{2} + 10 a + 36\right)\cdot 47^{16} + \left(27 a^{2} + 46 a + 9\right)\cdot 47^{17} + \left(5 a^{2} + 34 a + 33\right)\cdot 47^{18} + \left(10 a^{2} + 37 a + 34\right)\cdot 47^{19} + \left(6 a^{2} + 46 a + 4\right)\cdot 47^{20} + \left(38 a^{2} + 43 a + 19\right)\cdot 47^{21} + \left(15 a^{2} + 36 a + 21\right)\cdot 47^{22} + \left(10 a^{2} + 27 a + 33\right)\cdot 47^{23} + \left(45 a^{2} + 18 a + 12\right)\cdot 47^{24} + \left(21 a^{2} + 12 a + 45\right)\cdot 47^{25} + \left(44 a^{2} + 14 a + 36\right)\cdot 47^{26} + \left(3 a^{2} + 9 a + 39\right)\cdot 47^{27} + \left(18 a^{2} + 28 a + 33\right)\cdot 47^{28} + \left(26 a^{2} + 2 a + 36\right)\cdot 47^{29} + \left(28 a^{2} + 19 a + 3\right)\cdot 47^{30} + \left(40 a^{2} + 21 a + 6\right)\cdot 47^{31} + \left(40 a^{2} + a + 21\right)\cdot 47^{32} + \left(30 a^{2} + a + 14\right)\cdot 47^{33} + \left(45 a^{2} + a + 3\right)\cdot 47^{34} + \left(36 a^{2} + 5 a + 28\right)\cdot 47^{35} + \left(23 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 47^{36} + \left(18 a^{2} + 12 a + 28\right)\cdot 47^{37} + \left(44 a^{2} + 41 a + 28\right)\cdot 47^{38} + \left(3 a^{2} + 10 a + 36\right)\cdot 47^{39} + \left(46 a^{2} + 46 a + 24\right)\cdot 47^{40} + \left(39 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 47^{41} + \left(34 a^{2} + 38 a + 36\right)\cdot 47^{42} + \left(35 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 47^{43} + \left(46 a^{2} + 34 a + 10\right)\cdot 47^{44} + \left(17 a^{2} + 35 a + 26\right)\cdot 47^{45} + \left(40 a^{2} + 18 a + 46\right)\cdot 47^{46} + \left(11 a^{2} + 10 a + 27\right)\cdot 47^{47} + \left(27 a^{2} + 11 a + 39\right)\cdot 47^{48} + \left(24 a^{2} + 36 a + 5\right)\cdot 47^{49} + \left(25 a^{2} + 7 a + 23\right)\cdot 47^{50} + \left(12 a^{2} + 37 a + 30\right)\cdot 47^{51} +O\left(47^{ 52 }\right)$
$r_{ 2 }$ $=$ $ 16 a^{2} + 25 a + 10 + \left(42 a^{2} + 26 a + 34\right)\cdot 47 + \left(26 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 47^{2} + \left(2 a^{2} + 44 a\right)\cdot 47^{3} + \left(14 a^{2} + 23 a + 25\right)\cdot 47^{4} + \left(29 a^{2} + 22 a + 23\right)\cdot 47^{5} + \left(41 a^{2} + 28 a + 21\right)\cdot 47^{6} + \left(26 a^{2} + 16 a + 26\right)\cdot 47^{7} + \left(43 a^{2} + 13 a + 34\right)\cdot 47^{8} + \left(21 a^{2} + 41 a + 40\right)\cdot 47^{9} + \left(33 a^{2} + 10 a + 31\right)\cdot 47^{10} + \left(17 a + 26\right)\cdot 47^{11} + \left(40 a^{2} + 35 a + 18\right)\cdot 47^{12} + \left(27 a^{2} + 30 a + 10\right)\cdot 47^{13} + \left(46 a^{2} + 44 a + 15\right)\cdot 47^{14} + \left(15 a^{2} + 28 a + 18\right)\cdot 47^{15} + \left(13 a^{2} + 28 a + 23\right)\cdot 47^{16} + \left(23 a^{2} + a + 4\right)\cdot 47^{17} + \left(10 a^{2} + 23 a + 46\right)\cdot 47^{18} + \left(38 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 47^{19} + \left(8 a^{2} + 37 a + 30\right)\cdot 47^{20} + \left(6 a^{2} + 25 a + 42\right)\cdot 47^{21} + \left(18 a^{2} + 20 a + 35\right)\cdot 47^{22} + \left(5 a^{2} + 19 a + 1\right)\cdot 47^{23} + \left(40 a^{2} + 41 a\right)\cdot 47^{24} + \left(14 a^{2} + 42 a + 35\right)\cdot 47^{25} + \left(34 a^{2} + 6 a + 44\right)\cdot 47^{26} + \left(45 a^{2} + 45 a + 24\right)\cdot 47^{27} + \left(7 a^{2} + 19 a + 37\right)\cdot 47^{28} + \left(31 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 47^{29} + \left(4 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 47^{30} + \left(35 a^{2} + 26 a + 8\right)\cdot 47^{31} + \left(46 a^{2} + 16 a + 45\right)\cdot 47^{32} + \left(8 a^{2} + 11 a + 32\right)\cdot 47^{33} + \left(33 a^{2} + 39 a + 1\right)\cdot 47^{34} + \left(25 a^{2} + 43\right)\cdot 47^{35} + \left(7 a^{2} + 24 a + 24\right)\cdot 47^{36} + \left(30 a^{2} + 4 a + 38\right)\cdot 47^{37} + \left(28 a^{2} + 36 a + 31\right)\cdot 47^{38} + \left(25 a^{2} + 7 a + 20\right)\cdot 47^{39} + \left(4 a^{2} + 24 a + 37\right)\cdot 47^{40} + \left(41 a^{2} + 8 a + 41\right)\cdot 47^{41} + \left(43 a^{2} + 31 a + 18\right)\cdot 47^{42} + \left(30 a^{2} + 13 a + 46\right)\cdot 47^{43} + \left(30 a^{2} + 41 a + 9\right)\cdot 47^{44} + \left(46 a^{2} + 27 a + 38\right)\cdot 47^{45} + \left(14 a^{2} + 11 a + 32\right)\cdot 47^{46} + \left(12 a^{2} + 3 a + 39\right)\cdot 47^{47} + \left(14 a^{2} + 28 a + 21\right)\cdot 47^{48} + \left(2 a + 23\right)\cdot 47^{49} + \left(37 a^{2} + 20 a + 23\right)\cdot 47^{50} + \left(31 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 47^{51} +O\left(47^{ 52 }\right)$
$r_{ 3 }$ $=$ $ 32 a^{2} + 30 a + 20 + \left(26 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 47 + \left(21 a^{2} + 46 a + 8\right)\cdot 47^{2} + \left(26 a^{2} + 38 a + 1\right)\cdot 47^{3} + \left(5 a^{2} + 6 a + 34\right)\cdot 47^{4} + \left(22 a^{2} + 45 a + 14\right)\cdot 47^{5} + \left(3 a^{2} + 13 a + 30\right)\cdot 47^{6} + \left(46 a^{2} + 39 a + 26\right)\cdot 47^{7} + \left(27 a^{2} + 44 a + 27\right)\cdot 47^{8} + \left(40 a^{2} + 22 a + 32\right)\cdot 47^{9} + \left(24 a^{2} + 15 a + 24\right)\cdot 47^{10} + \left(22 a^{2} + 35 a + 20\right)\cdot 47^{11} + \left(8 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 47^{12} + \left(28 a^{2} + 40 a + 4\right)\cdot 47^{13} + \left(15 a^{2} + 46 a + 45\right)\cdot 47^{14} + \left(13 a^{2} + 33 a + 33\right)\cdot 47^{15} + \left(30 a^{2} + 5 a + 46\right)\cdot 47^{16} + \left(42 a^{2} + 33 a + 40\right)\cdot 47^{17} + \left(29 a^{2} + 4 a + 34\right)\cdot 47^{18} + \left(33 a^{2} + 29 a + 34\right)\cdot 47^{19} + \left(42 a^{2} + 26 a + 30\right)\cdot 47^{20} + \left(45 a^{2} + 8 a + 34\right)\cdot 47^{21} + \left(29 a^{2} + 19 a + 2\right)\cdot 47^{22} + \left(22 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 47^{23} + \left(24 a^{2} + 11 a + 18\right)\cdot 47^{24} + \left(31 a^{2} + 19 a + 17\right)\cdot 47^{25} + \left(3 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 47^{26} + \left(30 a^{2} + 30 a + 45\right)\cdot 47^{27} + \left(8 a^{2} + 25 a + 14\right)\cdot 47^{28} + \left(45 a^{2} + 15 a + 27\right)\cdot 47^{29} + \left(9 a^{2} + 26 a + 13\right)\cdot 47^{30} + \left(14 a^{2} + a\right)\cdot 47^{31} + \left(12 a^{2} + 44 a + 11\right)\cdot 47^{32} + \left(26 a^{2} + 45 a + 5\right)\cdot 47^{33} + \left(22 a^{2} + 27 a + 4\right)\cdot 47^{34} + \left(27 a^{2} + a + 9\right)\cdot 47^{35} + \left(35 a^{2} + 25 a + 40\right)\cdot 47^{36} + \left(20 a^{2} + 40 a + 32\right)\cdot 47^{37} + \left(21 a^{2} + 6 a + 29\right)\cdot 47^{38} + \left(42 a^{2} + a + 19\right)\cdot 47^{39} + \left(32 a^{2} + 45 a + 45\right)\cdot 47^{40} + \left(40 a^{2} + a + 10\right)\cdot 47^{41} + \left(39 a^{2} + 38 a + 46\right)\cdot 47^{42} + \left(7 a^{2} + 38 a + 39\right)\cdot 47^{43} + \left(8 a^{2} + 26\right)\cdot 47^{44} + \left(37 a^{2} + 35 a + 17\right)\cdot 47^{45} + \left(38 a^{2} + 10 a + 43\right)\cdot 47^{46} + \left(32 a^{2} + 38 a + 22\right)\cdot 47^{47} + \left(14 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 47^{48} + \left(23 a^{2} + 26 a + 3\right)\cdot 47^{49} + \left(15 a^{2} + 34 a + 3\right)\cdot 47^{50} + \left(9 a^{2} + 40 a + 24\right)\cdot 47^{51} +O\left(47^{ 52 }\right)$
$r_{ 4 }$ $=$ $ 17 a^{2} + 29 a + 12 + \left(36 a^{2} + 22 a + 22\right)\cdot 47 + \left(45 a^{2} + 40 a + 6\right)\cdot 47^{2} + \left(2 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 47^{3} + \left(14 a^{2} + 38 a + 25\right)\cdot 47^{4} + \left(29 a^{2} + 34 a + 23\right)\cdot 47^{5} + \left(32 a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 47^{6} + \left(18 a^{2} + 23 a + 10\right)\cdot 47^{7} + \left(23 a^{2} + 19 a + 41\right)\cdot 47^{8} + \left(17 a^{2} + 45 a + 31\right)\cdot 47^{9} + \left(10 a^{2} + 11 a + 32\right)\cdot 47^{10} + \left(12 a^{2} + 39 a + 2\right)\cdot 47^{11} + \left(24 a^{2} + 10 a + 34\right)\cdot 47^{12} + \left(15 a^{2} + 32\right)\cdot 47^{13} + \left(9 a^{2} + 20 a + 34\right)\cdot 47^{14} + \left(29 a^{2} + 33 a + 44\right)\cdot 47^{15} + \left(13 a^{2} + 11 a + 23\right)\cdot 47^{16} + \left(29 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 47^{17} + \left(29 a^{2} + 37\right)\cdot 47^{18} + \left(30 a^{2} + 40 a + 43\right)\cdot 47^{19} + \left(18 a^{2} + 20 a + 2\right)\cdot 47^{20} + \left(31 a^{2} + 5 a + 46\right)\cdot 47^{21} + 40 a\cdot 47^{22} + \left(40 a^{2} + 42 a + 24\right)\cdot 47^{23} + \left(9 a^{2} + 26 a + 33\right)\cdot 47^{24} + \left(40 a^{2} + 17 a + 38\right)\cdot 47^{25} + \left(43 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 47^{26} + \left(13 a^{2} + 26 a + 8\right)\cdot 47^{27} + \left(21 a^{2} + 21 a + 17\right)\cdot 47^{28} + \left(19 a^{2} + 34 a + 32\right)\cdot 47^{29} + \left(31 a^{2} + 19 a + 7\right)\cdot 47^{30} + \left(20 a^{2} + 43 a + 26\right)\cdot 47^{31} + \left(25 a^{2} + 19 a + 2\right)\cdot 47^{32} + \left(6 a^{2} + 31 a + 28\right)\cdot 47^{33} + \left(46 a^{2} + 21 a + 27\right)\cdot 47^{34} + \left(13 a^{2} + 28 a + 19\right)\cdot 47^{35} + \left(33 a^{2} + 22 a + 29\right)\cdot 47^{36} + \left(22 a^{2} + 36 a + 23\right)\cdot 47^{37} + \left(32 a^{2} + 16 a + 39\right)\cdot 47^{38} + \left(22 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 47^{39} + \left(32 a^{2} + 46 a + 46\right)\cdot 47^{40} + \left(36 a^{2} + 40 a + 32\right)\cdot 47^{41} + \left(35 a^{2} + 20 a + 2\right)\cdot 47^{42} + \left(27 a^{2} + 36 a + 40\right)\cdot 47^{43} + \left(11 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 47^{44} + \left(10 a^{2} + 26 a + 12\right)\cdot 47^{45} + \left(20 a^{2} + 43 a + 43\right)\cdot 47^{46} + \left(31 a^{2} + 8 a + 30\right)\cdot 47^{47} + \left(6 a^{2} + 26 a + 6\right)\cdot 47^{48} + \left(28 a^{2} + 36 a + 32\right)\cdot 47^{49} + \left(26 a^{2} + 43 a + 2\right)\cdot 47^{50} + \left(35 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 47^{51} +O\left(47^{ 52 }\right)$
$r_{ 5 }$ $=$ $ 14 a^{2} + 40 a + 6 + \left(15 a^{2} + 44 a + 27\right)\cdot 47 + \left(21 a^{2} + a + 4\right)\cdot 47^{2} + \left(41 a^{2} + 33 a + 31\right)\cdot 47^{3} + \left(18 a^{2} + 31 a + 34\right)\cdot 47^{4} + \left(35 a^{2} + 36 a + 35\right)\cdot 47^{5} + \left(19 a^{2} + 24\right)\cdot 47^{6} + \left(a^{2} + 7 a + 22\right)\cdot 47^{7} + \left(27 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 47^{8} + \left(7 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 47^{9} + \left(3 a^{2} + 24 a + 18\right)\cdot 47^{10} + \left(34 a^{2} + 37 a + 46\right)\cdot 47^{11} + \left(29 a^{2} + 44\right)\cdot 47^{12} + \left(3 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 47^{13} + \left(38 a^{2} + 29 a + 45\right)\cdot 47^{14} + \left(a^{2} + 31 a + 36\right)\cdot 47^{15} + \left(20 a^{2} + 6 a + 36\right)\cdot 47^{16} + \left(41 a^{2} + 41 a + 40\right)\cdot 47^{17} + \left(6 a^{2} + 23 a + 38\right)\cdot 47^{18} + \left(25 a^{2} + 3 a + 32\right)\cdot 47^{19} + \left(19 a^{2} + 36 a + 4\right)\cdot 47^{20} + \left(9 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 47^{21} + \left(28 a^{2} + 33 a + 9\right)\cdot 47^{22} + \left(a^{2} + 31 a + 41\right)\cdot 47^{23} + \left(44 a^{2} + 25 a + 7\right)\cdot 47^{24} + \left(38 a^{2} + 33 a + 36\right)\cdot 47^{25} + \left(15 a^{2} + 34 a + 7\right)\cdot 47^{26} + \left(34 a^{2} + 22 a + 2\right)\cdot 47^{27} + \left(17 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 47^{28} + \left(43 a^{2} + 4 a + 33\right)\cdot 47^{29} + \left(10 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 47^{30} + \left(38 a^{2} + 24 a + 14\right)\cdot 47^{31} + \left(21 a^{2} + 10 a + 42\right)\cdot 47^{32} + \left(31 a^{2} + 4 a + 30\right)\cdot 47^{33} + \left(14 a^{2} + 33 a + 11\right)\cdot 47^{34} + \left(7 a^{2} + 17 a + 6\right)\cdot 47^{35} + \left(6 a^{2} + 22\right)\cdot 47^{36} + \left(41 a^{2} + 6 a + 13\right)\cdot 47^{37} + \left(32 a^{2} + 41 a + 40\right)\cdot 47^{38} + \left(45 a^{2} + 28 a + 13\right)\cdot 47^{39} + \left(9 a^{2} + 23 a + 1\right)\cdot 47^{40} + \left(16 a^{2} + 44 a + 39\right)\cdot 47^{41} + \left(14 a^{2} + 41 a + 6\right)\cdot 47^{42} + \left(35 a^{2} + 43 a + 8\right)\cdot 47^{43} + \left(4 a^{2} + 45 a + 5\right)\cdot 47^{44} + \left(37 a^{2} + 39 a + 19\right)\cdot 47^{45} + \left(11 a^{2} + 38 a + 26\right)\cdot 47^{46} + \left(3 a^{2} + 34 a + 21\right)\cdot 47^{47} + \left(26 a^{2} + 39 a + 45\right)\cdot 47^{48} + \left(18 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 47^{49} + \left(30 a^{2} + 30 a + 10\right)\cdot 47^{50} + \left(26 a^{2} + 29 a + 43\right)\cdot 47^{51} +O\left(47^{ 52 }\right)$
$r_{ 6 }$ $=$ $ 35 a^{2} + 7 a + 11 + \left(45 a^{2} + 8 a + 28\right)\cdot 47 + \left(a^{2} + 41 a + 45\right)\cdot 47^{2} + \left(43 a^{2} + 18 a + 32\right)\cdot 47^{3} + \left(a^{2} + 8 a + 46\right)\cdot 47^{4} + \left(43 a^{2} + 28 a + 40\right)\cdot 47^{5} + \left(4 a^{2} + 35 a + 16\right)\cdot 47^{6} + \left(39 a^{2} + 44 a + 14\right)\cdot 47^{7} + \left(33 a^{2} + 43 a + 23\right)\cdot 47^{8} + \left(15 a^{2} + 13 a + 20\right)\cdot 47^{9} + \left(11 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 47^{10} + \left(33 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 47^{11} + \left(31 a^{2} + 20 a + 2\right)\cdot 47^{12} + \left(18 a^{2} + 38 a + 25\right)\cdot 47^{13} + \left(4 a^{2} + 5 a + 41\right)\cdot 47^{14} + \left(5 a^{2} + 25 a\right)\cdot 47^{15} + \left(12 a^{2} + 26 a + 10\right)\cdot 47^{16} + \left(29 a^{2} + 5 a + 35\right)\cdot 47^{17} + \left(19 a^{2} + 33 a + 7\right)\cdot 47^{18} + \left(28 a^{2} + 14 a + 44\right)\cdot 47^{19} + \left(24 a^{2} + 39 a + 12\right)\cdot 47^{20} + \left(3 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 47^{21} + \left(32 a^{2} + 26 a + 43\right)\cdot 47^{22} + \left(24 a^{2} + 20 a + 29\right)\cdot 47^{23} + \left(a^{2} + 24 a + 35\right)\cdot 47^{24} + \left(25 a^{2} + a + 27\right)\cdot 47^{25} + \left(2 a^{2} + 38 a + 2\right)\cdot 47^{26} + \left(32 a^{2} + 36\right)\cdot 47^{27} + \left(24 a^{2} + 18 a + 45\right)\cdot 47^{28} + \left(44 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 47^{29} + \left(27 a^{2} + 19 a + 39\right)\cdot 47^{30} + \left(16 a^{2} + 31 a + 13\right)\cdot 47^{31} + \left(32 a^{2} + 45 a + 1\right)\cdot 47^{32} + \left(5 a^{2} + 31 a + 28\right)\cdot 47^{33} + \left(39 a^{2} + a + 11\right)\cdot 47^{34} + \left(13 a^{2} + 26 a + 19\right)\cdot 47^{35} + \left(34 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 47^{36} + \left(10 a^{2} + 2 a + 36\right)\cdot 47^{37} + \left(28 a^{2} + 32 a + 16\right)\cdot 47^{38} + \left(19 a^{2} + 37 a + 25\right)\cdot 47^{39} + \left(10 a^{2} + 29 a + 28\right)\cdot 47^{40} + \left(11 a^{2} + 10 a + 23\right)\cdot 47^{41} + \left(18 a^{2} + 22 a + 13\right)\cdot 47^{42} + \left(11 a^{2} + 38 a + 45\right)\cdot 47^{43} + \left(32 a^{2} + 11 a + 26\right)\cdot 47^{44} + \left(21 a^{2} + 21 a + 45\right)\cdot 47^{45} + \left(8 a^{2} + 36 a + 16\right)\cdot 47^{46} + \left(10 a^{2} + 17 a + 32\right)\cdot 47^{47} + \left(42 a^{2} + 42 a + 27\right)\cdot 47^{48} + \left(13 a^{2} + 32 a + 32\right)\cdot 47^{49} + \left(41 a^{2} + 45 a + 35\right)\cdot 47^{50} + \left(27 a^{2} + 18 a + 44\right)\cdot 47^{51} +O\left(47^{ 52 }\right)$
$r_{ 7 }$ $=$ $ 7 a^{2} + 3 a + 2 + \left(3 a^{2} + 20 a + 37\right)\cdot 47 + \left(36 a^{2} + 28 a + 19\right)\cdot 47^{2} + \left(14 a^{2} + 39 a + 23\right)\cdot 47^{3} + \left(22 a^{2} + 29 a + 40\right)\cdot 47^{4} + \left(30 a^{2} + 40 a + 15\right)\cdot 47^{5} + \left(15 a^{2} + a + 38\right)\cdot 47^{6} + \left(45 a^{2} + 7 a + 26\right)\cdot 47^{7} + \left(35 a^{2} + 15 a + 27\right)\cdot 47^{8} + \left(18 a^{2} + 29 a + 26\right)\cdot 47^{9} + \left(20 a^{2} + 31 a + 22\right)\cdot 47^{10} + \left(44 a^{2} + 18 a + 25\right)\cdot 47^{11} + \left(42 a^{2} + 37 a + 24\right)\cdot 47^{12} + \left(22 a + 36\right)\cdot 47^{13} + \left(30 a^{2} + 36 a + 45\right)\cdot 47^{14} + \left(18 a^{2} + 23 a + 27\right)\cdot 47^{15} + \left(19 a^{2} + 7 a + 24\right)\cdot 47^{16} + \left(25 a^{2} + 24 a + 27\right)\cdot 47^{17} + \left(9 a^{2} + 2 a + 34\right)\cdot 47^{18} + \left(30 a^{2} + 15 a\right)\cdot 47^{19} + \left(24 a^{2} + 45 a + 13\right)\cdot 47^{20} + \left(25 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 47^{21} + \left(15 a^{2} + 25 a + 10\right)\cdot 47^{22} + \left(21 a^{2} + 13 a + 23\right)\cdot 47^{23} + \left(46 a^{2} + 2 a + 31\right)\cdot 47^{24} + \left(12 a^{2} + 41 a + 3\right)\cdot 47^{25} + \left(29 a^{2} + 29 a + 9\right)\cdot 47^{26} + \left(31 a^{2} + 35 a + 35\right)\cdot 47^{27} + \left(10 a + 44\right)\cdot 47^{28} + \left(18 a^{2} + 7 a + 42\right)\cdot 47^{29} + \left(13 a^{2} + 44 a + 9\right)\cdot 47^{30} + \left(15 a^{2} + 39 a + 11\right)\cdot 47^{31} + \left(21 a^{2} + 3 a + 26\right)\cdot 47^{32} + \left(33 a^{2} + 25 a + 36\right)\cdot 47^{33} + \left(40 a^{2} + 42 a + 14\right)\cdot 47^{34} + \left(4 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 47^{35} + \left(29 a^{2} + 33 a + 1\right)\cdot 47^{36} + \left(10 a^{2} + 31 a + 36\right)\cdot 47^{37} + \left(43 a^{2} + 46 a + 46\right)\cdot 47^{38} + \left(4 a^{2} + 3 a + 42\right)\cdot 47^{39} + \left(15 a^{2} + 4 a + 37\right)\cdot 47^{40} + \left(26 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 47^{41} + \left(25 a^{2} + 7 a + 28\right)\cdot 47^{42} + \left(34 a^{2} + 18 a + 44\right)\cdot 47^{43} + \left(39 a^{2} + 37 a + 41\right)\cdot 47^{44} + \left(34 a^{2} + 3 a + 24\right)\cdot 47^{45} + \left(16 a^{2} + 11 a + 33\right)\cdot 47^{46} + \left(27 a^{2} + 2 a + 19\right)\cdot 47^{47} + \left(43 a^{2} + 19 a + 30\right)\cdot 47^{48} + \left(23 a^{2} + 26 a + 5\right)\cdot 47^{49} + \left(42 a^{2} + 5 a + 38\right)\cdot 47^{50} + \left(11 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 47^{51} +O\left(47^{ 52 }\right)$
$r_{ 8 }$ $=$ $ 5 a^{2} + 37 a + 45 + \left(45 a^{2} + 18 a + 26\right)\cdot 47 + \left(8 a^{2} + 24 a + 12\right)\cdot 47^{2} + \left(36 a^{2} + 35 a + 19\right)\cdot 47^{3} + \left(22 a^{2} + 8 a + 41\right)\cdot 47^{4} + \left(20 a^{2} + 25 a + 42\right)\cdot 47^{5} + \left(26 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 47^{6} + \left(9 a^{2} + 42 a + 2\right)\cdot 47^{7} + \left(24 a^{2} + 34 a + 4\right)\cdot 47^{8} + \left(12 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 47^{9} + \left(15 a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 47^{10} + \left(16 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 47^{11} + \left(19 a^{2} + 36 a + 24\right)\cdot 47^{12} + \left(27 a^{2} + 32 a + 42\right)\cdot 47^{13} + \left(12 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 47^{14} + \left(23 a^{2} + 45 a + 37\right)\cdot 47^{15} + \left(15 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 47^{16} + \left(39 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 47^{17} + \left(17 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 47^{18} + \left(35 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 47^{19} + \left(44 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 47^{20} + \left(17 a^{2} + 39 a\right)\cdot 47^{21} + \left(46 a^{2} + 42 a + 25\right)\cdot 47^{22} + \left(12 a + 29\right)\cdot 47^{23} + \left(46 a^{2} + 20 a + 30\right)\cdot 47^{24} + \left(8 a^{2} + 4 a + 42\right)\cdot 47^{25} + \left(15 a^{2} + 26 a + 27\right)\cdot 47^{26} + \left(30 a^{2} + 10 a + 32\right)\cdot 47^{27} + \left(21 a^{2} + 18 a + 39\right)\cdot 47^{28} + \left(31 a^{2} + 35 a + 22\right)\cdot 47^{29} + \left(5 a^{2} + 30 a + 41\right)\cdot 47^{30} + \left(15 a^{2} + 22 a + 10\right)\cdot 47^{31} + \left(40 a^{2} + 44 a + 17\right)\cdot 47^{32} + \left(7 a^{2} + 36 a + 32\right)\cdot 47^{33} + \left(14 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 47^{34} + \left(28 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 47^{35} + \left(30 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 47^{36} + \left(25 a^{2} + 13 a + 19\right)\cdot 47^{37} + \left(22 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 47^{38} + \left(22 a^{2} + 5 a + 31\right)\cdot 47^{39} + \left(21 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 47^{40} + \left(9 a^{2} + 22 a + 20\right)\cdot 47^{41} + \left(3 a^{2} + 17 a + 30\right)\cdot 47^{42} + \left(a^{2} + 37 a + 24\right)\cdot 47^{43} + \left(22 a^{2} + 44 a + 6\right)\cdot 47^{44} + \left(37 a^{2} + 21 a + 30\right)\cdot 47^{45} + \left(21 a^{2} + 46 a + 43\right)\cdot 47^{46} + \left(9 a^{2} + 26 a + 30\right)\cdot 47^{47} + \left(8 a^{2} + 32 a + 6\right)\cdot 47^{48} + \left(9 a^{2} + 34 a + 23\right)\cdot 47^{49} + \left(10 a^{2} + 42 a + 20\right)\cdot 47^{50} + \left(7 a^{2} + 22 a + 3\right)\cdot 47^{51} +O\left(47^{ 52 }\right)$
$r_{ 9 }$ $=$ $ 36 a^{2} + 26 a + 28 + \left(26 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 47 + \left(13 a^{2} + 33 a + 39\right)\cdot 47^{2} + \left(11 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 47^{3} + \left(43 a^{2} + 34 a + 15\right)\cdot 47^{4} + \left(45 a^{2} + 41 a + 15\right)\cdot 47^{5} + \left(27 a^{2} + 44 a + 32\right)\cdot 47^{6} + \left(43 a^{2} + 19 a + 21\right)\cdot 47^{7} + \left(39 a^{2} + 19 a + 4\right)\cdot 47^{8} + \left(4 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 47^{9} + \left(40 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 47^{10} + \left(28 a^{2} + 41 a + 33\right)\cdot 47^{11} + \left(25 a^{2} + 41 a + 1\right)\cdot 47^{12} + \left(15 a^{2} + 32 a + 26\right)\cdot 47^{13} + \left(32 a^{2} + 15 a + 31\right)\cdot 47^{14} + \left(9 a^{2} + 20 a + 26\right)\cdot 47^{15} + \left(15 a^{2} + 30 a + 16\right)\cdot 47^{16} + \left(24 a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 47^{17} + \left(11 a^{2} + 7 a + 45\right)\cdot 47^{18} + \left(3 a^{2} + 27 a + 20\right)\cdot 47^{19} + \left(45 a^{2} + 20 a + 35\right)\cdot 47^{20} + \left(9 a^{2} + 41 a + 9\right)\cdot 47^{21} + \left(a^{2} + 37 a + 39\right)\cdot 47^{22} + \left(14 a^{2} + 8 a + 40\right)\cdot 47^{23} + \left(24 a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 47^{24} + \left(40 a^{2} + 15 a + 35\right)\cdot 47^{25} + \left(45 a^{2} + 23 a + 39\right)\cdot 47^{26} + \left(12 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 47^{27} + \left(20 a^{2} + 40 a + 38\right)\cdot 47^{28} + \left(22 a^{2} + 28 a + 28\right)\cdot 47^{29} + \left(8 a^{2} + a + 10\right)\cdot 47^{30} + \left(39 a^{2} + 24 a + 3\right)\cdot 47^{31} + \left(40 a^{2} + a + 21\right)\cdot 47^{32} + \left(36 a^{2} + 26\right)\cdot 47^{33} + \left(25 a^{2} + 18 a + 10\right)\cdot 47^{34} + \left(29 a^{2} + 40 a + 13\right)\cdot 47^{35} + \left(34 a^{2} + 17 a + 38\right)\cdot 47^{36} + \left(7 a^{2} + 41 a + 6\right)\cdot 47^{37} + \left(28 a^{2} + 45 a + 43\right)\cdot 47^{38} + \left(34 a + 29\right)\cdot 47^{39} + \left(15 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 47^{40} + \left(13 a^{2} + 40 a + 3\right)\cdot 47^{41} + \left(19 a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 47^{42} + \left(3 a^{2} + 46 a + 31\right)\cdot 47^{43} + \left(39 a^{2} + 11 a + 41\right)\cdot 47^{44} + \left(38 a^{2} + 23 a + 20\right)\cdot 47^{45} + \left(14 a^{2} + 17 a + 42\right)\cdot 47^{46} + \left(2 a^{2} + 45 a + 8\right)\cdot 47^{47} + \left(5 a^{2} + 23 a + 42\right)\cdot 47^{48} + \left(46 a^{2} + 31 a + 1\right)\cdot 47^{49} + \left(5 a^{2} + 4 a + 31\right)\cdot 47^{50} + \left(25 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 47^{51} +O\left(47^{ 52 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 9 }$

Cycle notation
$(1,2,3,4)(5,9)$
$(1,6,2)(3,7,4)(5,9,8)$
$(2,4,5)$
$(1,3,9)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 9 }$ Character value
$1$$1$$()$$8$
$27$$2$$(1,3)(6,7)$$0$
$54$$2$$(1,2)(3,4)(5,9)(6,7)$$0$
$6$$3$$(6,8,7)$$-4$
$8$$3$$(1,3,9)(2,4,5)(6,7,8)$$-1$
$12$$3$$(1,9,3)(6,8,7)$$2$
$72$$3$$(1,6,2)(3,7,4)(5,9,8)$$2$
$54$$4$$(1,6,3,7)(8,9)$$0$
$54$$6$$(1,3)(2,4)(6,7,8)$$0$
$108$$6$$(1,6,9,8,3,7)(2,4)$$0$
$72$$9$$(1,6,4,3,7,5,9,8,2)$$-1$
$72$$9$$(1,6,5,9,8,4,3,7,2)$$-1$
$54$$12$$(1,2,3,4)(5,9)(6,8,7)$$0$
$54$$12$$(1,2,3,4)(5,9)(6,7,8)$$0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.