↑

Properties

Label 8.2e12_5e8_23e4.12t177.1c1
Dimension 8
Group $(((C_3 \times (C_3^2 : C_2)) : C_2) : C_3) : C_2$
Conductor $ 2^{12} \cdot 5^{8} \cdot 23^{4}$
Root number 1
Frobenius-Schur indicator 1

Related objects

Learn more about

Basic invariants

Dimension:$8$
Group:$(((C_3 \times (C_3^2 : C_2)) : C_2) : C_3) : C_2$
Conductor:$447745600000000= 2^{12} \cdot 5^{8} \cdot 23^{4} $
Artin number field: Splitting field of $f= x^{9} - x^{8} + 3 x^{7} - 2 x^{6} - 6 x^{5} - 25 x^{4} - 27 x^{3} - 25 x^{2} - 10 x - 5 $ over $\Q$
Size of Galois orbit: 1
Smallest containing permutation representation: 12T177
Parity: Even
Determinant: 1.1.1t1.1c1

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 59 }$ to precision 63.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 59 }$: $ x^{3} + 5 x + 57 $
Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ $ 30 a^{2} + 17 a + 3 + \left(15 a^{2} + 5 a + 53\right)\cdot 59 + \left(2 a^{2} + 39 a + 29\right)\cdot 59^{2} + \left(47 a^{2} + 43 a + 32\right)\cdot 59^{3} + \left(49 a^{2} + 54\right)\cdot 59^{4} + \left(58 a^{2} + 41 a + 22\right)\cdot 59^{5} + \left(38 a^{2} + 38 a + 42\right)\cdot 59^{6} + \left(58 a^{2} + 53 a + 32\right)\cdot 59^{7} + \left(45 a^{2} + 42 a + 48\right)\cdot 59^{8} + \left(41 a^{2} + a + 18\right)\cdot 59^{9} + \left(7 a^{2} + 50 a + 16\right)\cdot 59^{10} + \left(7 a^{2} + 51 a + 28\right)\cdot 59^{11} + \left(58 a^{2} + 9 a + 34\right)\cdot 59^{12} + \left(53 a^{2} + a + 25\right)\cdot 59^{13} + \left(12 a^{2} + 24 a + 9\right)\cdot 59^{14} + \left(6 a^{2} + 26 a + 34\right)\cdot 59^{15} + \left(45 a^{2} + 47 a + 41\right)\cdot 59^{16} + \left(29 a^{2} + 56 a + 5\right)\cdot 59^{17} + \left(18 a^{2} + 46 a + 58\right)\cdot 59^{18} + \left(a^{2} + 24 a + 51\right)\cdot 59^{19} + \left(19 a^{2} + 6 a + 37\right)\cdot 59^{20} + \left(15 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 59^{21} + \left(17 a^{2} + 54 a + 30\right)\cdot 59^{22} + \left(50 a^{2} + 24 a + 28\right)\cdot 59^{23} + \left(14 a^{2} + 7 a + 53\right)\cdot 59^{24} + \left(25 a^{2} + 42 a + 5\right)\cdot 59^{25} + \left(37 a^{2} + 28 a + 2\right)\cdot 59^{26} + \left(23 a^{2} + 11 a + 23\right)\cdot 59^{27} + \left(38 a^{2} + 4 a + 49\right)\cdot 59^{28} + \left(52 a^{2} + 54 a + 42\right)\cdot 59^{29} + \left(56 a^{2} + 18 a + 12\right)\cdot 59^{30} + \left(48 a^{2} + 32 a + 24\right)\cdot 59^{31} + \left(24 a^{2} + 5 a + 30\right)\cdot 59^{32} + \left(36 a^{2} + 24 a + 56\right)\cdot 59^{33} + \left(6 a^{2} + 41 a + 22\right)\cdot 59^{34} + \left(8 a^{2} + 18 a + 2\right)\cdot 59^{35} + \left(38 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 59^{36} + \left(56 a^{2} + 30 a + 40\right)\cdot 59^{37} + \left(45 a^{2} + 4 a + 55\right)\cdot 59^{38} + \left(38 a^{2} + 18 a + 50\right)\cdot 59^{39} + \left(49 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 59^{40} + \left(58 a^{2} + a + 17\right)\cdot 59^{41} + \left(25 a^{2} + 20 a + 27\right)\cdot 59^{42} + \left(9 a^{2} + 17\right)\cdot 59^{43} + \left(15 a^{2} + 50 a + 54\right)\cdot 59^{44} + \left(58 a^{2} + 20 a + 45\right)\cdot 59^{45} + \left(36 a^{2} + 38 a + 3\right)\cdot 59^{46} + \left(29 a^{2} + 34 a + 58\right)\cdot 59^{47} + \left(38 a^{2} + 53 a + 12\right)\cdot 59^{48} + \left(14 a^{2} + 3 a + 20\right)\cdot 59^{49} + \left(27 a^{2} + 19 a + 24\right)\cdot 59^{50} + \left(20 a^{2} + 42 a + 22\right)\cdot 59^{51} + \left(5 a^{2} + 56 a + 42\right)\cdot 59^{52} + \left(45 a^{2} + 51 a + 10\right)\cdot 59^{53} + \left(55 a^{2} + 19 a + 12\right)\cdot 59^{54} + \left(5 a^{2} + 33 a + 3\right)\cdot 59^{55} + \left(7 a^{2} + 50 a + 34\right)\cdot 59^{56} + \left(5 a^{2} + 44 a + 18\right)\cdot 59^{57} + \left(51 a^{2} + 56 a + 53\right)\cdot 59^{58} + \left(16 a^{2} + 43 a + 46\right)\cdot 59^{59} + \left(45 a^{2} + 39 a + 17\right)\cdot 59^{60} + \left(23 a^{2} + 37 a + 17\right)\cdot 59^{61} + \left(56 a^{2} + 8 a + 33\right)\cdot 59^{62} +O\left(59^{ 63 }\right)$
$r_{ 2 }$ $=$ $ 10 + 36\cdot 59 + 12\cdot 59^{2} + 27\cdot 59^{3} + 22\cdot 59^{4} + 15\cdot 59^{5} + 5\cdot 59^{7} + 7\cdot 59^{8} + 52\cdot 59^{9} + 43\cdot 59^{10} + 13\cdot 59^{11} + 43\cdot 59^{12} + 50\cdot 59^{13} + 42\cdot 59^{14} + 47\cdot 59^{15} + 26\cdot 59^{16} + 28\cdot 59^{17} + 23\cdot 59^{18} + 47\cdot 59^{19} + 53\cdot 59^{20} + 29\cdot 59^{21} + 38\cdot 59^{22} + 5\cdot 59^{23} + 38\cdot 59^{24} + 2\cdot 59^{25} + 50\cdot 59^{26} + 55\cdot 59^{27} + 22\cdot 59^{28} + 4\cdot 59^{29} + 15\cdot 59^{30} + 37\cdot 59^{31} + 53\cdot 59^{32} + 37\cdot 59^{33} + 6\cdot 59^{34} + 30\cdot 59^{35} + 17\cdot 59^{36} + 16\cdot 59^{37} + 36\cdot 59^{38} + 4\cdot 59^{39} + 5\cdot 59^{40} + 23\cdot 59^{41} + 3\cdot 59^{42} + 20\cdot 59^{43} + 46\cdot 59^{44} + 9\cdot 59^{45} + 5\cdot 59^{46} + 32\cdot 59^{47} + 48\cdot 59^{48} + 29\cdot 59^{49} + 25\cdot 59^{50} + 32\cdot 59^{51} + 40\cdot 59^{52} + 4\cdot 59^{53} + 10\cdot 59^{54} + 29\cdot 59^{55} + 57\cdot 59^{56} + 25\cdot 59^{57} + 51\cdot 59^{58} + 16\cdot 59^{59} + 32\cdot 59^{60} + 32\cdot 59^{61} + 55\cdot 59^{62} +O\left(59^{ 63 }\right)$
$r_{ 3 }$ $=$ $ 21 + 6\cdot 59 + 28\cdot 59^{2} + 54\cdot 59^{3} + 42\cdot 59^{4} + 33\cdot 59^{5} + 30\cdot 59^{6} + 19\cdot 59^{7} + 40\cdot 59^{8} + 48\cdot 59^{9} + 27\cdot 59^{10} + 5\cdot 59^{11} + 50\cdot 59^{12} + 11\cdot 59^{13} + 43\cdot 59^{14} + 29\cdot 59^{15} + 57\cdot 59^{16} + 34\cdot 59^{17} + 17\cdot 59^{18} + 18\cdot 59^{19} + 25\cdot 59^{20} + 55\cdot 59^{21} + 34\cdot 59^{22} + 52\cdot 59^{23} + 22\cdot 59^{24} + 44\cdot 59^{25} + 54\cdot 59^{26} + 18\cdot 59^{27} + 35\cdot 59^{28} + 22\cdot 59^{29} + 25\cdot 59^{30} + 18\cdot 59^{31} + 58\cdot 59^{32} + 48\cdot 59^{33} + 23\cdot 59^{34} + 3\cdot 59^{35} + 22\cdot 59^{36} + 11\cdot 59^{37} + 5\cdot 59^{38} + 21\cdot 59^{39} + 55\cdot 59^{40} + 10\cdot 59^{41} + 52\cdot 59^{42} + 57\cdot 59^{43} + 20\cdot 59^{44} + 46\cdot 59^{45} + 14\cdot 59^{46} + 58\cdot 59^{47} + 30\cdot 59^{48} + 54\cdot 59^{49} + 54\cdot 59^{50} + 55\cdot 59^{51} + 28\cdot 59^{52} + 46\cdot 59^{53} + 3\cdot 59^{54} + 59^{55} + 48\cdot 59^{56} + 30\cdot 59^{57} + 18\cdot 59^{58} + 19\cdot 59^{59} + 54\cdot 59^{60} + 9\cdot 59^{61} + 11\cdot 59^{62} +O\left(59^{ 63 }\right)$
$r_{ 4 }$ $=$ $ 5 a^{2} + 56 a + 6 + \left(21 a^{2} + 30 a + 56\right)\cdot 59 + \left(40 a^{2} + 23 a + 2\right)\cdot 59^{2} + \left(5 a^{2} + 33 a + 56\right)\cdot 59^{3} + \left(33 a^{2} + 28 a + 6\right)\cdot 59^{4} + \left(2 a^{2} + 41 a + 58\right)\cdot 59^{5} + \left(2 a^{2} + 54 a + 3\right)\cdot 59^{6} + \left(40 a^{2} + 6\right)\cdot 59^{7} + \left(7 a^{2} + 42 a + 20\right)\cdot 59^{8} + \left(56 a^{2} + 19 a + 8\right)\cdot 59^{9} + \left(40 a^{2} + 23 a + 34\right)\cdot 59^{10} + \left(35 a^{2} + 16 a + 53\right)\cdot 59^{11} + \left(43 a^{2} + 42 a\right)\cdot 59^{12} + \left(21 a^{2} + 26 a + 9\right)\cdot 59^{13} + \left(19 a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 59^{14} + \left(32 a + 37\right)\cdot 59^{15} + \left(53 a^{2} + 23 a + 50\right)\cdot 59^{16} + \left(43 a^{2} + 31 a + 26\right)\cdot 59^{17} + \left(23 a^{2} + 14 a + 53\right)\cdot 59^{18} + \left(40 a^{2} + 19 a + 58\right)\cdot 59^{19} + \left(35 a^{2} + 11 a + 39\right)\cdot 59^{20} + \left(6 a^{2} + 51 a + 12\right)\cdot 59^{21} + \left(a^{2} + 15 a + 50\right)\cdot 59^{22} + \left(20 a^{2} + 26 a + 47\right)\cdot 59^{23} + \left(5 a^{2} + 52 a + 29\right)\cdot 59^{24} + \left(10 a^{2} + 57 a + 47\right)\cdot 59^{25} + \left(10 a^{2} + 37 a + 35\right)\cdot 59^{26} + \left(12 a^{2} + 40 a + 28\right)\cdot 59^{27} + \left(10 a^{2} + 7 a + 25\right)\cdot 59^{28} + \left(8 a^{2} + 30 a + 13\right)\cdot 59^{29} + \left(8 a^{2} + 35 a + 12\right)\cdot 59^{30} + \left(48 a^{2} + 36 a + 39\right)\cdot 59^{31} + \left(7 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 59^{32} + \left(35 a^{2} + 12 a + 22\right)\cdot 59^{33} + \left(28 a^{2} + 9 a + 31\right)\cdot 59^{34} + \left(16 a^{2} + 36 a + 7\right)\cdot 59^{35} + \left(18 a^{2} + 46 a + 58\right)\cdot 59^{36} + \left(37 a^{2} + 13 a + 42\right)\cdot 59^{37} + \left(11 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 59^{38} + \left(53 a^{2} + 57 a + 1\right)\cdot 59^{39} + \left(5 a^{2} + 16 a + 53\right)\cdot 59^{40} + \left(16 a^{2} + a + 46\right)\cdot 59^{41} + \left(20 a^{2} + 2 a + 49\right)\cdot 59^{42} + \left(21 a^{2} + 12 a + 37\right)\cdot 59^{43} + \left(25 a^{2} + 28 a + 34\right)\cdot 59^{44} + \left(40 a^{2} + 41 a + 50\right)\cdot 59^{45} + \left(40 a^{2} + 33 a + 10\right)\cdot 59^{46} + \left(29 a^{2} + 54 a + 10\right)\cdot 59^{47} + \left(46 a^{2} + 16\right)\cdot 59^{48} + \left(8 a^{2} + 34 a + 9\right)\cdot 59^{49} + \left(47 a^{2} + a + 13\right)\cdot 59^{50} + \left(37 a^{2} + 7 a + 52\right)\cdot 59^{51} + \left(47 a^{2} + 44 a + 38\right)\cdot 59^{52} + \left(13 a^{2} + a + 21\right)\cdot 59^{53} + \left(20 a^{2} + 37 a + 22\right)\cdot 59^{54} + \left(5 a^{2} + 32 a + 53\right)\cdot 59^{55} + \left(50 a^{2} + 19 a + 54\right)\cdot 59^{56} + \left(58 a^{2} + 28 a + 1\right)\cdot 59^{57} + \left(35 a^{2} + 58 a + 15\right)\cdot 59^{58} + \left(21 a^{2} + 15 a + 52\right)\cdot 59^{59} + \left(2 a^{2} + 51 a + 15\right)\cdot 59^{60} + \left(18 a^{2} + 29 a + 16\right)\cdot 59^{61} + \left(31 a^{2} + 40 a + 10\right)\cdot 59^{62} +O\left(59^{ 63 }\right)$
$r_{ 5 }$ $=$ $ 36 a^{2} + 33 a + 11 + \left(51 a^{2} + 48 a + 20\right)\cdot 59 + \left(55 a^{2} + 44 a + 15\right)\cdot 59^{2} + \left(48 a^{2} + 4 a + 23\right)\cdot 59^{3} + \left(34 a^{2} + 18 a + 32\right)\cdot 59^{4} + \left(32 a^{2} + 6 a + 20\right)\cdot 59^{5} + \left(53 a^{2} + 39 a + 18\right)\cdot 59^{6} + \left(51 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 59^{7} + \left(33 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 59^{8} + \left(16 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 59^{9} + \left(23 a^{2} + 20 a + 34\right)\cdot 59^{10} + \left(25 a^{2} + 58 a + 58\right)\cdot 59^{11} + \left(35 a^{2} + 55 a + 12\right)\cdot 59^{12} + \left(40 a^{2} + 3 a + 52\right)\cdot 59^{13} + \left(53 a^{2} + 4 a + 45\right)\cdot 59^{14} + \left(45 a^{2} + 58 a + 31\right)\cdot 59^{15} + \left(30 a^{2} + 9 a + 35\right)\cdot 59^{16} + \left(5 a^{2} + 35 a + 36\right)\cdot 59^{17} + \left(11 a^{2} + 21 a + 50\right)\cdot 59^{18} + \left(24 a^{2} + 20 a + 4\right)\cdot 59^{19} + \left(13 a^{2} + 51 a + 5\right)\cdot 59^{20} + \left(56 a + 11\right)\cdot 59^{21} + \left(52 a^{2} + 19 a + 23\right)\cdot 59^{22} + \left(23 a^{2} + a + 21\right)\cdot 59^{23} + \left(36 a^{2} + 33 a + 15\right)\cdot 59^{24} + \left(18 a^{2} + 12 a + 56\right)\cdot 59^{25} + \left(42 a^{2} + 31 a + 24\right)\cdot 59^{26} + \left(21 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 59^{27} + \left(24 a^{2} + 53 a + 53\right)\cdot 59^{28} + \left(30 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 59^{29} + \left(39 a^{2} + 9 a + 38\right)\cdot 59^{30} + \left(5 a^{2} + 55 a + 15\right)\cdot 59^{31} + \left(23 a^{2} + 27 a + 30\right)\cdot 59^{32} + \left(30 a^{2} + 43 a + 6\right)\cdot 59^{33} + \left(41 a^{2} + 12 a + 35\right)\cdot 59^{34} + \left(a^{2} + 39 a + 56\right)\cdot 59^{35} + \left(45 a^{2} + 7 a + 48\right)\cdot 59^{36} + \left(34 a^{2} + 36 a + 14\right)\cdot 59^{37} + \left(a^{2} + 50 a + 35\right)\cdot 59^{38} + \left(32 a^{2} + 48\right)\cdot 59^{39} + \left(8 a^{2} + 42 a + 2\right)\cdot 59^{40} + \left(51 a^{2} + 16 a + 26\right)\cdot 59^{41} + \left(24 a^{2} + 21 a + 45\right)\cdot 59^{42} + \left(35 a + 46\right)\cdot 59^{43} + \left(a^{2} + 22 a + 51\right)\cdot 59^{44} + \left(40 a^{2} + 47 a + 9\right)\cdot 59^{45} + \left(11 a + 15\right)\cdot 59^{46} + \left(34 a^{2} + 53 a + 44\right)\cdot 59^{47} + \left(35 a^{2} + 45 a + 38\right)\cdot 59^{48} + \left(39 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 59^{49} + \left(40 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 59^{50} + \left(35 a + 7\right)\cdot 59^{51} + \left(41 a^{2} + 36 a + 56\right)\cdot 59^{52} + \left(55 a^{2} + 51 a + 3\right)\cdot 59^{53} + \left(13 a^{2} + 4 a + 21\right)\cdot 59^{54} + \left(51 a^{2} + 11 a + 29\right)\cdot 59^{55} + \left(51 a^{2} + 13 a + 21\right)\cdot 59^{56} + \left(9 a^{2} + 46 a + 35\right)\cdot 59^{57} + \left(14 a^{2} + 8 a + 40\right)\cdot 59^{58} + \left(33 a^{2} + 44 a + 51\right)\cdot 59^{59} + \left(7 a^{2} + 30 a + 52\right)\cdot 59^{60} + \left(17 a^{2} + 7 a + 32\right)\cdot 59^{61} + \left(37 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 59^{62} +O\left(59^{ 63 }\right)$
$r_{ 6 }$ $=$ $ 57 + 54\cdot 59 + 50\cdot 59^{2} + 2\cdot 59^{3} + 48\cdot 59^{4} + 26\cdot 59^{5} + 4\cdot 59^{6} + 20\cdot 59^{7} + 47\cdot 59^{8} + 29\cdot 59^{9} + 27\cdot 59^{10} + 45\cdot 59^{11} + 50\cdot 59^{12} + 59^{14} + 10\cdot 59^{15} + 30\cdot 59^{16} + 44\cdot 59^{17} + 46\cdot 59^{18} + 18\cdot 59^{19} + 57\cdot 59^{20} + 31\cdot 59^{21} + 46\cdot 59^{22} + 2\cdot 59^{23} + 9\cdot 59^{24} + 28\cdot 59^{25} + 21\cdot 59^{26} + 10\cdot 59^{27} + 26\cdot 59^{28} + 58\cdot 59^{29} + 3\cdot 59^{30} + 17\cdot 59^{31} + 8\cdot 59^{32} + 38\cdot 59^{33} + 40\cdot 59^{34} + 5\cdot 59^{35} + 22\cdot 59^{36} + 13\cdot 59^{37} + 43\cdot 59^{38} + 29\cdot 59^{39} + 2\cdot 59^{40} + 51\cdot 59^{41} + 57\cdot 59^{42} + 4\cdot 59^{43} + 12\cdot 59^{44} + 51\cdot 59^{45} + 4\cdot 59^{46} + 3\cdot 59^{47} + 34\cdot 59^{48} + 2\cdot 59^{49} + 20\cdot 59^{50} + 34\cdot 59^{51} + 39\cdot 59^{52} + 27\cdot 59^{53} + 52\cdot 59^{54} + 30\cdot 59^{55} + 22\cdot 59^{56} + 49\cdot 59^{57} + 5\cdot 59^{58} + 51\cdot 59^{59} + 52\cdot 59^{60} + 38\cdot 59^{61} + 30\cdot 59^{62} +O\left(59^{ 63 }\right)$
$r_{ 7 }$ $=$ $ 13 a^{2} + 11 a + 25 + \left(25 a^{2} + 29 a + 26\right)\cdot 59 + \left(35 a^{2} + 43 a + 22\right)\cdot 59^{2} + \left(29 a^{2} + 40 a + 33\right)\cdot 59^{3} + \left(46 a^{2} + 51 a + 43\right)\cdot 59^{4} + \left(57 a^{2} + 28 a + 58\right)\cdot 59^{5} + \left(33 a^{2} + 34 a + 5\right)\cdot 59^{6} + \left(56 a^{2} + 17 a + 6\right)\cdot 59^{7} + \left(28 a^{2} + 52 a + 31\right)\cdot 59^{8} + \left(46 a^{2} + 11 a + 34\right)\cdot 59^{9} + \left(41 a^{2} + 12 a + 31\right)\cdot 59^{10} + \left(35 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 59^{11} + \left(32 a^{2} + 20 a + 28\right)\cdot 59^{12} + \left(53 a^{2} + 43 a + 4\right)\cdot 59^{13} + \left(40 a^{2} + 57 a + 24\right)\cdot 59^{14} + \left(14 a^{2} + 3\right)\cdot 59^{15} + \left(58 a^{2} + 41 a + 46\right)\cdot 59^{16} + \left(15 a^{2} + 30 a + 18\right)\cdot 59^{17} + \left(51 a^{2} + 27 a + 49\right)\cdot 59^{18} + \left(25 a^{2} + 41 a + 15\right)\cdot 59^{19} + \left(48 a^{2} + 32 a + 57\right)\cdot 59^{20} + \left(16 a^{2} + 21 a + 45\right)\cdot 59^{21} + \left(56 a^{2} + 49 a + 2\right)\cdot 59^{22} + \left(2 a^{2} + 22 a + 28\right)\cdot 59^{23} + \left(27 a^{2} + 25 a + 15\right)\cdot 59^{24} + \left(18 a^{2} + 21 a + 42\right)\cdot 59^{25} + \left(33 a^{2} + 24 a + 27\right)\cdot 59^{26} + \left(38 a^{2} + 18 a + 33\right)\cdot 59^{27} + \left(15 a^{2} + 47 a + 32\right)\cdot 59^{28} + \left(15 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 59^{29} + \left(20 a^{2} + 31 a + 28\right)\cdot 59^{30} + \left(20 a^{2} + 20 a + 7\right)\cdot 59^{31} + \left(9 a^{2} + 41 a + 18\right)\cdot 59^{32} + \left(21 a^{2} + 16 a + 25\right)\cdot 59^{33} + \left(52 a^{2} + 40 a + 57\right)\cdot 59^{34} + \left(7 a^{2} + 56 a + 40\right)\cdot 59^{35} + \left(30 a^{2} + 52 a + 23\right)\cdot 59^{36} + \left(56 a + 10\right)\cdot 59^{37} + \left(33 a^{2} + 45 a + 32\right)\cdot 59^{38} + \left(20 a^{2} + 47 a + 29\right)\cdot 59^{39} + \left(38 a^{2} + 41 a + 14\right)\cdot 59^{40} + \left(42 a^{2} + 38 a + 22\right)\cdot 59^{41} + \left(7 a^{2} + 43 a + 25\right)\cdot 59^{42} + \left(28 a^{2} + 35 a + 40\right)\cdot 59^{43} + \left(50 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 59^{44} + \left(30 a^{2} + 43 a + 33\right)\cdot 59^{45} + \left(53 a^{2} + 48 a + 19\right)\cdot 59^{46} + \left(6 a^{2} + 33 a + 41\right)\cdot 59^{47} + \left(a^{2} + 2 a + 45\right)\cdot 59^{48} + \left(18 a^{2} + 38 a + 11\right)\cdot 59^{49} + \left(51 a^{2} + 40 a + 6\right)\cdot 59^{50} + \left(4 a^{2} + a + 49\right)\cdot 59^{51} + \left(56 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 59^{52} + \left(12 a^{2} + 28 a + 41\right)\cdot 59^{53} + \left(7 a^{2} + 42 a + 7\right)\cdot 59^{54} + \left(13 a^{2} + 9 a + 27\right)\cdot 59^{55} + \left(12 a^{2} + 14 a + 31\right)\cdot 59^{56} + \left(15 a^{2} + 7 a + 32\right)\cdot 59^{57} + \left(15 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 59^{58} + \left(31 a^{2} + 39 a + 16\right)\cdot 59^{59} + \left(10 a^{2} + 51 a\right)\cdot 59^{60} + \left(23 a^{2} + 30 a + 35\right)\cdot 59^{61} + \left(43 a^{2} + 26 a + 9\right)\cdot 59^{62} +O\left(59^{ 63 }\right)$
$r_{ 8 }$ $=$ $ 16 a^{2} + 31 a + 35 + \left(18 a^{2} + 24 a + 42\right)\cdot 59 + \left(21 a^{2} + 35 a + 14\right)\cdot 59^{2} + \left(41 a^{2} + 33 a + 33\right)\cdot 59^{3} + \left(21 a^{2} + 6 a + 39\right)\cdot 59^{4} + \left(a^{2} + 48 a + 47\right)\cdot 59^{5} + \left(45 a^{2} + 44 a + 42\right)\cdot 59^{6} + \left(2 a^{2} + 46 a + 3\right)\cdot 59^{7} + \left(43 a^{2} + 22 a + 19\right)\cdot 59^{8} + \left(29 a^{2} + 45 a + 57\right)\cdot 59^{9} + \left(9 a^{2} + 55 a + 41\right)\cdot 59^{10} + \left(16 a^{2} + 3 a + 38\right)\cdot 59^{11} + \left(27 a^{2} + 29 a + 49\right)\cdot 59^{12} + \left(10 a^{2} + 14 a + 37\right)\cdot 59^{13} + \left(5 a^{2} + 36 a + 42\right)\cdot 59^{14} + \left(38 a^{2} + 31 a + 2\right)\cdot 59^{15} + \left(14 a^{2} + 29 a + 58\right)\cdot 59^{16} + \left(13 a^{2} + 30 a + 48\right)\cdot 59^{17} + \left(48 a^{2} + 43 a + 58\right)\cdot 59^{18} + \left(31 a^{2} + 51 a + 15\right)\cdot 59^{19} + \left(50 a^{2} + 19 a + 5\right)\cdot 59^{20} + \left(26 a^{2} + 23 a + 40\right)\cdot 59^{21} + \left(44 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 59^{22} + \left(5 a^{2} + 11 a + 57\right)\cdot 59^{23} + \left(17 a^{2} + 26 a + 1\right)\cdot 59^{24} + \left(15 a^{2} + 54 a + 12\right)\cdot 59^{25} + \left(47 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 59^{26} + \left(55 a^{2} + 29 a + 12\right)\cdot 59^{27} + \left(4 a^{2} + 7 a + 36\right)\cdot 59^{28} + \left(50 a^{2} + 48 a + 14\right)\cdot 59^{29} + \left(40 a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 59^{30} + \left(48 a^{2} + 6 a + 23\right)\cdot 59^{31} + \left(24 a^{2} + 12 a + 30\right)\cdot 59^{32} + \left(a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 59^{33} + \left(36 a + 40\right)\cdot 59^{34} + \left(43 a^{2} + 42 a\right)\cdot 59^{35} + \left(49 a^{2} + 50 a + 30\right)\cdot 59^{36} + \left(a^{2} + 30 a + 34\right)\cdot 59^{37} + \left(39 a^{2} + 8 a + 32\right)\cdot 59^{38} + \left(58 a^{2} + 52 a + 38\right)\cdot 59^{39} + \left(29 a^{2} + 4 a + 45\right)\cdot 59^{40} + \left(16 a^{2} + 19 a + 13\right)\cdot 59^{41} + \left(25 a^{2} + 54 a + 5\right)\cdot 59^{42} + \left(21 a^{2} + 22 a + 18\right)\cdot 59^{43} + \left(52 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 59^{44} + \left(28 a^{2} + 54 a + 7\right)\cdot 59^{45} + \left(27 a^{2} + 30 a + 31\right)\cdot 59^{46} + \left(22 a^{2} + 49 a + 14\right)\cdot 59^{47} + \left(19 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 59^{48} + \left(26 a^{2} + 17 a\right)\cdot 59^{49} + \left(39 a^{2} + 58 a + 6\right)\cdot 59^{50} + \left(33 a^{2} + 14 a + 27\right)\cdot 59^{51} + \left(56 a^{2} + 53 a + 16\right)\cdot 59^{52} + \left(37 a + 1\right)\cdot 59^{53} + \left(55 a^{2} + 55 a + 49\right)\cdot 59^{54} + \left(39 a^{2} + 15 a + 37\right)\cdot 59^{55} + \left(39 a^{2} + 53 a + 24\right)\cdot 59^{56} + \left(38 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 59^{57} + \left(51 a^{2} + 44 a + 55\right)\cdot 59^{58} + \left(10 a^{2} + 34 a + 26\right)\cdot 59^{59} + \left(3 a^{2} + 26 a + 54\right)\cdot 59^{60} + \left(12 a^{2} + 49 a + 56\right)\cdot 59^{61} + \left(18 a^{2} + 23 a + 23\right)\cdot 59^{62} +O\left(59^{ 63 }\right)$
$r_{ 9 }$ $=$ $ 18 a^{2} + 29 a + 10 + \left(45 a^{2} + 38 a + 58\right)\cdot 59 + \left(21 a^{2} + 49 a + 58\right)\cdot 59^{2} + \left(4 a^{2} + 20 a + 31\right)\cdot 59^{3} + \left(50 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 59^{4} + \left(23 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 59^{5} + \left(3 a^{2} + 24 a + 28\right)\cdot 59^{6} + \left(26 a^{2} + 53 a + 18\right)\cdot 59^{7} + \left(17 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 59^{8} + \left(45 a^{2} + 35 a + 31\right)\cdot 59^{9} + \left(53 a^{2} + 15 a + 37\right)\cdot 59^{10} + \left(56 a^{2} + 43 a + 45\right)\cdot 59^{11} + \left(38 a^{2} + 19 a + 24\right)\cdot 59^{12} + \left(55 a^{2} + 28 a + 43\right)\cdot 59^{13} + \left(44 a^{2} + 37 a + 16\right)\cdot 59^{14} + \left(12 a^{2} + 27 a + 39\right)\cdot 59^{15} + \left(34 a^{2} + 25 a + 7\right)\cdot 59^{16} + \left(9 a^{2} + 51 a + 50\right)\cdot 59^{17} + \left(24 a^{2} + 22 a + 54\right)\cdot 59^{18} + \left(53 a^{2} + 19 a + 3\right)\cdot 59^{19} + \left(9 a^{2} + 55 a + 13\right)\cdot 59^{20} + \left(52 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 59^{21} + \left(5 a^{2} + 23 a + 7\right)\cdot 59^{22} + \left(15 a^{2} + 31 a + 51\right)\cdot 59^{23} + \left(17 a^{2} + 32 a + 49\right)\cdot 59^{24} + \left(30 a^{2} + 47 a + 55\right)\cdot 59^{25} + \left(6 a^{2} + 48 a + 3\right)\cdot 59^{26} + \left(25 a^{2} + 3 a + 52\right)\cdot 59^{27} + \left(24 a^{2} + 57 a + 13\right)\cdot 59^{28} + \left(20 a^{2} + 16 a + 54\right)\cdot 59^{29} + \left(11 a^{2} + 14 a + 22\right)\cdot 59^{30} + \left(5 a^{2} + 26 a + 53\right)\cdot 59^{31} + \left(28 a^{2} + 26 a + 46\right)\cdot 59^{32} + \left(52 a^{2} + 3 a + 40\right)\cdot 59^{33} + \left(47 a^{2} + 37 a + 36\right)\cdot 59^{34} + \left(40 a^{2} + 42 a + 29\right)\cdot 59^{35} + \left(54 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 59^{36} + \left(45 a^{2} + 9 a + 52\right)\cdot 59^{37} + \left(45 a^{2} + 4 a + 44\right)\cdot 59^{38} + \left(32 a^{2} + a + 11\right)\cdot 59^{39} + \left(44 a^{2} + 44\right)\cdot 59^{40} + \left(50 a^{2} + 41 a + 24\right)\cdot 59^{41} + \left(13 a^{2} + 35 a + 28\right)\cdot 59^{42} + \left(37 a^{2} + 11 a + 51\right)\cdot 59^{43} + \left(32 a^{2} + 8 a + 58\right)\cdot 59^{44} + \left(37 a^{2} + 29 a + 40\right)\cdot 59^{45} + \left(17 a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 59^{46} + \left(54 a^{2} + 10 a + 33\right)\cdot 59^{47} + \left(35 a^{2} + 12 a\right)\cdot 59^{48} + \left(10 a^{2} + 12 a + 35\right)\cdot 59^{49} + \left(30 a^{2} + 43 a + 15\right)\cdot 59^{50} + \left(20 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 59^{51} + \left(29 a^{2} + 37 a + 17\right)\cdot 59^{52} + \left(48 a^{2} + 5 a + 19\right)\cdot 59^{53} + \left(24 a^{2} + 17 a + 57\right)\cdot 59^{54} + \left(2 a^{2} + 15 a + 23\right)\cdot 59^{55} + \left(16 a^{2} + 26 a\right)\cdot 59^{56} + \left(49 a^{2} + 43 a + 29\right)\cdot 59^{57} + \left(8 a^{2} + 50 a + 42\right)\cdot 59^{58} + \left(4 a^{2} + 57 a + 13\right)\cdot 59^{59} + \left(49 a^{2} + 35 a + 14\right)\cdot 59^{60} + \left(23 a^{2} + 21 a + 55\right)\cdot 59^{61} + \left(49 a^{2} + 14 a + 50\right)\cdot 59^{62} +O\left(59^{ 63 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 9 }$

Cycle notation
$(1,2,4)(3,5,7)(6,9,8)$
$(1,4,7,5)(8,9)$
$(1,7,8)$
$(4,5,9)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 9 }$ Character value
$1$$1$$()$$8$
$27$$2$$(1,7)(2,3)$$0$
$54$$2$$(1,4)(2,3)(5,7)(8,9)$$0$
$6$$3$$(2,6,3)$$-4$
$8$$3$$(1,7,8)(2,3,6)(4,5,9)$$-1$
$12$$3$$(1,8,7)(2,6,3)$$2$
$72$$3$$(1,2,4)(3,5,7)(6,9,8)$$-1$
$54$$4$$(1,2,7,3)(6,8)$$0$
$54$$6$$(1,7)(2,3,6)(4,5)$$0$
$108$$6$$(1,2,8,6,7,3)(4,5)$$0$
$72$$9$$(1,2,5,7,3,9,8,6,4)$$-1$
$72$$9$$(1,2,9,8,6,5,7,3,4)$$2$
$54$$12$$(1,4,7,5)(2,6,3)(8,9)$$0$
$54$$12$$(1,4,7,5)(2,3,6)(8,9)$$0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.