Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 17 }$ to precision 30.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 17 }$: $ x^{2} + 16 x + 3 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 9 + 9\cdot 17 + 9\cdot 17^{2} + 7\cdot 17^{3} + 4\cdot 17^{4} + 5\cdot 17^{5} + 11\cdot 17^{6} + 2\cdot 17^{7} + 15\cdot 17^{8} + 11\cdot 17^{10} + 8\cdot 17^{11} + 12\cdot 17^{12} + 4\cdot 17^{13} + 16\cdot 17^{14} + 9\cdot 17^{15} + 2\cdot 17^{16} + 3\cdot 17^{18} + 14\cdot 17^{19} + 8\cdot 17^{20} + 9\cdot 17^{21} + 11\cdot 17^{22} + 6\cdot 17^{23} + 9\cdot 17^{24} + 5\cdot 17^{25} + 15\cdot 17^{26} + 5\cdot 17^{27} + 3\cdot 17^{28} + 15\cdot 17^{29} +O\left(17^{ 30 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 15 a + \left(2 a + 16\right)\cdot 17 + \left(10 a + 12\right)\cdot 17^{2} + \left(14 a + 14\right)\cdot 17^{3} + \left(5 a + 11\right)\cdot 17^{4} + \left(2 a + 10\right)\cdot 17^{5} + \left(4 a + 16\right)\cdot 17^{6} + \left(15 a + 1\right)\cdot 17^{7} + 8\cdot 17^{8} + \left(5 a + 8\right)\cdot 17^{9} + \left(10 a + 4\right)\cdot 17^{10} + 15 a\cdot 17^{11} + \left(8 a + 2\right)\cdot 17^{12} + \left(7 a + 5\right)\cdot 17^{13} + \left(a + 8\right)\cdot 17^{14} + \left(9 a + 3\right)\cdot 17^{15} + 10\cdot 17^{16} + \left(a + 8\right)\cdot 17^{17} + \left(10 a + 6\right)\cdot 17^{18} + \left(5 a + 9\right)\cdot 17^{19} + \left(5 a + 4\right)\cdot 17^{20} + \left(13 a + 13\right)\cdot 17^{21} + \left(a + 5\right)\cdot 17^{22} + \left(3 a + 14\right)\cdot 17^{23} + 13 a\cdot 17^{24} + \left(11 a + 10\right)\cdot 17^{25} + \left(12 a + 8\right)\cdot 17^{27} + \left(3 a + 4\right)\cdot 17^{28} + 12\cdot 17^{29} +O\left(17^{ 30 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 2 a + 15 + \left(14 a + 3\right)\cdot 17 + \left(6 a + 3\right)\cdot 17^{2} + \left(2 a + 2\right)\cdot 17^{3} + \left(11 a + 3\right)\cdot 17^{4} + \left(14 a + 7\right)\cdot 17^{5} + \left(12 a + 1\right)\cdot 17^{6} + \left(a + 13\right)\cdot 17^{7} + \left(16 a + 10\right)\cdot 17^{8} + \left(11 a + 12\right)\cdot 17^{9} + \left(6 a + 9\right)\cdot 17^{10} + \left(a + 5\right)\cdot 17^{11} + \left(8 a + 12\right)\cdot 17^{12} + \left(9 a + 3\right)\cdot 17^{13} + \left(15 a + 2\right)\cdot 17^{14} + \left(7 a + 11\right)\cdot 17^{15} + \left(16 a + 1\right)\cdot 17^{16} + \left(15 a + 9\right)\cdot 17^{17} + \left(6 a + 15\right)\cdot 17^{18} + \left(11 a + 4\right)\cdot 17^{19} + \left(11 a + 4\right)\cdot 17^{20} + \left(3 a + 4\right)\cdot 17^{21} + \left(15 a + 11\right)\cdot 17^{22} + \left(13 a + 15\right)\cdot 17^{23} + \left(3 a + 10\right)\cdot 17^{24} + \left(5 a + 8\right)\cdot 17^{25} + \left(16 a + 6\right)\cdot 17^{26} + \left(4 a + 2\right)\cdot 17^{27} + \left(13 a + 13\right)\cdot 17^{28} + \left(16 a + 8\right)\cdot 17^{29} +O\left(17^{ 30 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 11 a + 1 + \left(12 a + 4\right)\cdot 17 + \left(3 a + 3\right)\cdot 17^{2} + \left(13 a + 16\right)\cdot 17^{3} + \left(15 a + 10\right)\cdot 17^{4} + \left(12 a + 2\right)\cdot 17^{5} + \left(14 a + 15\right)\cdot 17^{6} + \left(15 a + 7\right)\cdot 17^{7} + 13 a\cdot 17^{8} + \left(12 a + 9\right)\cdot 17^{9} + \left(14 a + 1\right)\cdot 17^{10} + \left(11 a + 15\right)\cdot 17^{11} + \left(7 a + 5\right)\cdot 17^{12} + \left(2 a + 3\right)\cdot 17^{13} + \left(6 a + 14\right)\cdot 17^{14} + \left(15 a + 11\right)\cdot 17^{15} + \left(2 a + 13\right)\cdot 17^{16} + \left(10 a + 8\right)\cdot 17^{17} + \left(7 a + 15\right)\cdot 17^{18} + \left(11 a + 1\right)\cdot 17^{19} + \left(5 a + 9\right)\cdot 17^{20} + \left(11 a + 6\right)\cdot 17^{21} + \left(a + 7\right)\cdot 17^{22} + 5 a\cdot 17^{23} + \left(15 a + 8\right)\cdot 17^{24} + \left(7 a + 12\right)\cdot 17^{25} + \left(14 a + 5\right)\cdot 17^{26} + \left(14 a + 1\right)\cdot 17^{27} + \left(a + 4\right)\cdot 17^{28} + \left(5 a + 11\right)\cdot 17^{29} +O\left(17^{ 30 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 6 a + 12 + \left(4 a + 5\right)\cdot 17 + \left(13 a + 11\right)\cdot 17^{2} + \left(3 a + 8\right)\cdot 17^{3} + \left(a + 13\right)\cdot 17^{4} + \left(4 a + 16\right)\cdot 17^{5} + \left(2 a + 16\right)\cdot 17^{6} + \left(a + 8\right)\cdot 17^{7} + \left(3 a + 15\right)\cdot 17^{8} + \left(4 a + 7\right)\cdot 17^{9} + \left(2 a + 3\right)\cdot 17^{10} + \left(5 a + 12\right)\cdot 17^{11} + \left(9 a + 1\right)\cdot 17^{12} + \left(14 a + 15\right)\cdot 17^{13} + 10 a\cdot 17^{14} + \left(a + 4\right)\cdot 17^{15} + \left(14 a + 1\right)\cdot 17^{16} + \left(6 a + 16\right)\cdot 17^{17} + \left(9 a + 12\right)\cdot 17^{18} + \left(5 a + 5\right)\cdot 17^{19} + \left(11 a + 3\right)\cdot 17^{20} + \left(5 a + 12\right)\cdot 17^{21} + \left(15 a + 14\right)\cdot 17^{22} + \left(11 a + 3\right)\cdot 17^{23} + \left(a + 1\right)\cdot 17^{24} + \left(9 a + 5\right)\cdot 17^{25} + \left(2 a + 12\right)\cdot 17^{26} + \left(2 a + 1\right)\cdot 17^{27} + \left(15 a + 8\right)\cdot 17^{28} + \left(11 a + 14\right)\cdot 17^{29} +O\left(17^{ 30 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 14 a + \left(15 a + 7\right)\cdot 17 + \left(14 a + 12\right)\cdot 17^{2} + \left(2 a + 4\right)\cdot 17^{3} + \left(8 a + 13\right)\cdot 17^{4} + \left(5 a + 7\right)\cdot 17^{5} + \left(16 a + 9\right)\cdot 17^{6} + \left(a + 11\right)\cdot 17^{7} + \left(10 a + 9\right)\cdot 17^{8} + \left(8 a + 7\right)\cdot 17^{9} + \left(7 a + 11\right)\cdot 17^{10} + \left(11 a + 1\right)\cdot 17^{11} + 13\cdot 17^{12} + \left(7 a + 6\right)\cdot 17^{13} + \left(a + 6\right)\cdot 17^{14} + \left(13 a + 8\right)\cdot 17^{15} + \left(a + 12\right)\cdot 17^{16} + \left(16 a + 16\right)\cdot 17^{17} + \left(10 a + 2\right)\cdot 17^{18} + \left(9 a + 2\right)\cdot 17^{19} + \left(2 a + 8\right)\cdot 17^{20} + \left(11 a + 8\right)\cdot 17^{21} + 9 a\cdot 17^{22} + \left(7 a + 11\right)\cdot 17^{23} + \left(a + 12\right)\cdot 17^{24} + \left(14 a + 14\right)\cdot 17^{25} + \left(15 a + 7\right)\cdot 17^{26} + \left(a + 10\right)\cdot 17^{27} + \left(8 a + 7\right)\cdot 17^{28} + \left(13 a + 6\right)\cdot 17^{29} +O\left(17^{ 30 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 3 a + 14 + \left(a + 8\right)\cdot 17 + \left(2 a + 11\right)\cdot 17^{2} + \left(14 a + 9\right)\cdot 17^{3} + \left(8 a + 1\right)\cdot 17^{4} + \left(11 a + 5\right)\cdot 17^{5} + 3\cdot 17^{6} + \left(15 a + 14\right)\cdot 17^{7} + 6 a\cdot 17^{8} + \left(8 a + 6\right)\cdot 17^{9} + \left(9 a + 10\right)\cdot 17^{10} + \left(5 a + 5\right)\cdot 17^{11} + \left(16 a + 2\right)\cdot 17^{12} + \left(9 a + 13\right)\cdot 17^{13} + 15 a\cdot 17^{14} + \left(3 a + 3\right)\cdot 17^{15} + \left(15 a + 1\right)\cdot 17^{16} + 14\cdot 17^{17} + \left(6 a + 14\right)\cdot 17^{18} + 7 a\cdot 17^{19} + \left(14 a + 1\right)\cdot 17^{20} + 5 a\cdot 17^{21} + \left(7 a + 16\right)\cdot 17^{22} + \left(9 a + 8\right)\cdot 17^{23} + \left(15 a + 6\right)\cdot 17^{24} + \left(2 a + 10\right)\cdot 17^{25} + \left(a + 9\right)\cdot 17^{26} + \left(15 a + 13\right)\cdot 17^{27} + \left(8 a + 13\right)\cdot 17^{28} + \left(3 a + 11\right)\cdot 17^{29} +O\left(17^{ 30 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 2 + 13\cdot 17 + 3\cdot 17^{2} + 4\cdot 17^{3} + 9\cdot 17^{4} + 12\cdot 17^{5} + 10\cdot 17^{6} + 7\cdot 17^{7} + 7\cdot 17^{8} + 15\cdot 17^{9} + 15\cdot 17^{10} + 17^{11} + 17^{12} + 16\cdot 17^{13} + 17^{14} + 16\cdot 17^{15} + 7\cdot 17^{16} + 11\cdot 17^{17} + 13\cdot 17^{18} + 11\cdot 17^{19} + 11\cdot 17^{20} + 13\cdot 17^{21} + 7\cdot 17^{23} + 17^{24} + 17^{25} + 10\cdot 17^{26} + 7\cdot 17^{27} + 13\cdot 17^{28} + 4\cdot 17^{29} +O\left(17^{ 30 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(1,4,6)(3,8,5)$ |
| $(3,6)(4,5)$ |
| $(2,7)(4,5)$ |
| $(1,5,7,3,8,4,2,6)$ |
| $(2,5,3)(4,6,7)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $8$ |
| $1$ | $2$ | $(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$ | $-8$ |
| $6$ | $2$ | $(3,6)(4,5)$ | $0$ |
| $12$ | $2$ | $(1,4)(2,3)(5,8)(6,7)$ | $0$ |
| $24$ | $2$ | $(1,8)(2,4)(5,7)$ | $0$ |
| $32$ | $3$ | $(1,4,6)(3,8,5)$ | $-1$ |
| $6$ | $4$ | $(1,7,8,2)(3,4,6,5)$ | $0$ |
| $6$ | $4$ | $(1,6,8,3)(2,4,7,5)$ | $0$ |
| $12$ | $4$ | $(1,8)(2,4,7,5)(3,6)$ | $0$ |
| $12$ | $4$ | $(1,2,8,7)$ | $0$ |
| $32$ | $6$ | $(1,7,6,8,2,3)(4,5)$ | $1$ |
| $24$ | $8$ | $(1,5,7,3,8,4,2,6)$ | $0$ |
| $24$ | $8$ | $(1,2,6,4,8,7,3,5)$ | $0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
