Artin representation 8.2e12_3e12_5e6.24t332.1c1

• Label: 8.2e12_3e12_5e6.24t332.1c1
• Dimension: 8
• Group: $Q_8:S_4$
• Conductor: $ 2^{12} \cdot 3^{12} \cdot 5^{6}$
• Root number: 1
• Frobenius-Schur indicator: 1

Basic invariants

Dimension:	$8$
Group:	$Q_8:S_4$
Conductor:	$34012224000000= 2^{12} \cdot 3^{12} \cdot 5^{6} $
Artin number field:	Splitting field of $f= x^{8} - 4 x^{7} + 10 x^{6} - 14 x^{5} + 14 x^{4} - 14 x^{3} + 14 x^{2} - 8 x + 2 $ over $\Q$
Size of Galois orbit:	1
Smallest containing permutation representation:	24T332
Parity:	Even
Determinant:	1.1.1t1.1c1

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 13 }$ to precision 41.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 13 }$: $ x^{2} + 12 x + 2 $

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	$ 12 a + 11 + \left(3 a + 4\right)\cdot 13 + 9 a\cdot 13^{2} + \left(7 a + 12\right)\cdot 13^{3} + \left(11 a + 6\right)\cdot 13^{4} + \left(9 a + 7\right)\cdot 13^{5} + \left(12 a + 7\right)\cdot 13^{6} + \left(9 a + 11\right)\cdot 13^{7} + \left(11 a + 11\right)\cdot 13^{8} + \left(4 a + 12\right)\cdot 13^{9} + \left(9 a + 10\right)\cdot 13^{10} + \left(12 a + 5\right)\cdot 13^{11} + \left(8 a + 10\right)\cdot 13^{12} + \left(5 a + 3\right)\cdot 13^{13} + \left(10 a + 2\right)\cdot 13^{14} + \left(2 a + 6\right)\cdot 13^{15} + \left(10 a + 12\right)\cdot 13^{16} + \left(4 a + 4\right)\cdot 13^{17} + \left(7 a + 11\right)\cdot 13^{18} + 13^{19} + \left(6 a + 5\right)\cdot 13^{20} + \left(11 a + 6\right)\cdot 13^{21} + \left(3 a + 7\right)\cdot 13^{22} + \left(a + 11\right)\cdot 13^{23} + \left(5 a + 5\right)\cdot 13^{24} + \left(11 a + 9\right)\cdot 13^{25} + \left(7 a + 5\right)\cdot 13^{26} + \left(3 a + 8\right)\cdot 13^{27} + \left(3 a + 10\right)\cdot 13^{28} + 9\cdot 13^{29} + \left(5 a + 7\right)\cdot 13^{30} + 6 a\cdot 13^{31} + \left(6 a + 11\right)\cdot 13^{32} + 10\cdot 13^{33} + \left(12 a + 5\right)\cdot 13^{34} + \left(4 a + 10\right)\cdot 13^{35} + \left(6 a + 10\right)\cdot 13^{36} + \left(8 a + 3\right)\cdot 13^{37} + \left(4 a + 7\right)\cdot 13^{38} + \left(3 a + 8\right)\cdot 13^{39} + 10 a\cdot 13^{40} +O\left(13^{ 41 }\right)$
$r_{ 2 }$	$=$	$ 4 a + 3 + \left(a + 10\right)\cdot 13 + \left(11 a + 11\right)\cdot 13^{2} + \left(a + 8\right)\cdot 13^{3} + \left(2 a + 4\right)\cdot 13^{4} + \left(5 a + 5\right)\cdot 13^{5} + \left(8 a + 10\right)\cdot 13^{6} + \left(9 a + 4\right)\cdot 13^{7} + 9\cdot 13^{8} + \left(a + 1\right)\cdot 13^{9} + \left(7 a + 8\right)\cdot 13^{10} + \left(7 a + 2\right)\cdot 13^{11} + \left(a + 5\right)\cdot 13^{12} + \left(11 a + 2\right)\cdot 13^{13} + \left(5 a + 5\right)\cdot 13^{14} + \left(11 a + 8\right)\cdot 13^{15} + \left(2 a + 2\right)\cdot 13^{16} + \left(5 a + 2\right)\cdot 13^{17} + \left(10 a + 8\right)\cdot 13^{18} + \left(9 a + 5\right)\cdot 13^{19} + \left(10 a + 5\right)\cdot 13^{20} + \left(5 a + 6\right)\cdot 13^{21} + \left(8 a + 5\right)\cdot 13^{22} + \left(3 a + 8\right)\cdot 13^{23} + \left(2 a + 8\right)\cdot 13^{24} + \left(7 a + 5\right)\cdot 13^{26} + \left(a + 5\right)\cdot 13^{27} + \left(12 a + 9\right)\cdot 13^{28} + \left(4 a + 4\right)\cdot 13^{29} + \left(7 a + 2\right)\cdot 13^{30} + \left(6 a + 12\right)\cdot 13^{31} + \left(11 a + 5\right)\cdot 13^{32} + \left(6 a + 4\right)\cdot 13^{33} + \left(7 a + 1\right)\cdot 13^{34} + \left(4 a + 6\right)\cdot 13^{35} + \left(7 a + 5\right)\cdot 13^{36} + 4\cdot 13^{37} + \left(4 a + 11\right)\cdot 13^{38} + \left(11 a + 5\right)\cdot 13^{39} + 9\cdot 13^{40} +O\left(13^{ 41 }\right)$
$r_{ 3 }$	$=$	$ a + 10 + \left(9 a + 9\right)\cdot 13 + \left(3 a + 5\right)\cdot 13^{2} + \left(5 a + 10\right)\cdot 13^{3} + \left(a + 10\right)\cdot 13^{4} + \left(3 a + 5\right)\cdot 13^{5} + 10\cdot 13^{6} + \left(3 a + 8\right)\cdot 13^{7} + a\cdot 13^{8} + \left(8 a + 6\right)\cdot 13^{9} + \left(3 a + 2\right)\cdot 13^{10} + 9\cdot 13^{11} + \left(4 a + 6\right)\cdot 13^{12} + 7 a\cdot 13^{13} + \left(2 a + 7\right)\cdot 13^{14} + \left(10 a + 11\right)\cdot 13^{15} + \left(2 a + 6\right)\cdot 13^{16} + \left(8 a + 12\right)\cdot 13^{17} + 5 a\cdot 13^{18} + \left(12 a + 8\right)\cdot 13^{19} + \left(6 a + 10\right)\cdot 13^{20} + \left(a + 11\right)\cdot 13^{21} + \left(9 a + 12\right)\cdot 13^{22} + \left(11 a + 8\right)\cdot 13^{23} + \left(7 a + 9\right)\cdot 13^{24} + \left(a + 2\right)\cdot 13^{25} + \left(5 a + 2\right)\cdot 13^{26} + \left(9 a + 4\right)\cdot 13^{27} + \left(9 a + 10\right)\cdot 13^{28} + \left(12 a + 6\right)\cdot 13^{29} + \left(7 a + 12\right)\cdot 13^{30} + \left(6 a + 1\right)\cdot 13^{31} + \left(6 a + 11\right)\cdot 13^{32} + \left(12 a + 4\right)\cdot 13^{33} + 4\cdot 13^{34} + \left(8 a + 3\right)\cdot 13^{35} + \left(6 a + 12\right)\cdot 13^{36} + \left(4 a + 5\right)\cdot 13^{37} + \left(8 a + 3\right)\cdot 13^{38} + \left(9 a + 7\right)\cdot 13^{39} + \left(2 a + 7\right)\cdot 13^{40} +O\left(13^{ 41 }\right)$
$r_{ 4 }$	$=$	$ 8 + 3\cdot 13 + 3\cdot 13^{2} + 13^{3} + 11\cdot 13^{4} + 12\cdot 13^{5} + 7\cdot 13^{6} + 10\cdot 13^{7} + 7\cdot 13^{8} + 7\cdot 13^{9} + 4\cdot 13^{10} + 3\cdot 13^{12} + 11\cdot 13^{13} + 9\cdot 13^{14} + 13^{15} + 2\cdot 13^{17} + 7\cdot 13^{18} + 4\cdot 13^{19} + 11\cdot 13^{20} + 12\cdot 13^{21} + 3\cdot 13^{22} + 9\cdot 13^{23} + 4\cdot 13^{25} + 13^{26} + 5\cdot 13^{27} + 5\cdot 13^{28} + 6\cdot 13^{29} + 11\cdot 13^{30} + 8\cdot 13^{31} + 10\cdot 13^{32} + 12\cdot 13^{33} + 10\cdot 13^{34} + 4\cdot 13^{35} + 3\cdot 13^{36} + 10\cdot 13^{38} + 4\cdot 13^{39} + 4\cdot 13^{40} +O\left(13^{ 41 }\right)$
$r_{ 5 }$	$=$	$ 3 + 12\cdot 13 + 6\cdot 13^{2} + 4\cdot 13^{3} + 13^{4} + 11\cdot 13^{5} + 4\cdot 13^{6} + 5\cdot 13^{7} + 2\cdot 13^{8} + 5\cdot 13^{9} + 4\cdot 13^{10} + 12\cdot 13^{11} + 8\cdot 13^{12} + 13^{13} + 8\cdot 13^{14} + 4\cdot 13^{15} + 9\cdot 13^{16} + 3\cdot 13^{17} + 2\cdot 13^{18} + 3\cdot 13^{19} + 12\cdot 13^{20} + 12\cdot 13^{21} + 13^{22} + 6\cdot 13^{23} + 8\cdot 13^{24} + 6\cdot 13^{25} + 2\cdot 13^{26} + 6\cdot 13^{27} + 12\cdot 13^{28} + 11\cdot 13^{29} + 3\cdot 13^{30} + 3\cdot 13^{31} + 5\cdot 13^{32} + 3\cdot 13^{33} + 4\cdot 13^{34} + 4\cdot 13^{35} + 2\cdot 13^{36} + 8\cdot 13^{37} + 3\cdot 13^{38} + 3\cdot 13^{39} + 12\cdot 13^{40} +O\left(13^{ 41 }\right)$
$r_{ 6 }$	$=$	$ 7 a + 10 + \left(12 a + 5\right)\cdot 13 + \left(a + 6\right)\cdot 13^{2} + \left(10 a + 3\right)\cdot 13^{3} + \left(11 a + 5\right)\cdot 13^{4} + 12\cdot 13^{5} + \left(8 a + 7\right)\cdot 13^{6} + \left(4 a + 10\right)\cdot 13^{7} + \left(12 a + 5\right)\cdot 13^{8} + \left(5 a + 11\right)\cdot 13^{9} + 12\cdot 13^{10} + \left(5 a + 6\right)\cdot 13^{11} + \left(11 a + 12\right)\cdot 13^{12} + \left(9 a + 10\right)\cdot 13^{13} + a\cdot 13^{14} + \left(10 a + 5\right)\cdot 13^{15} + \left(a + 4\right)\cdot 13^{16} + \left(2 a + 4\right)\cdot 13^{17} + \left(5 a + 9\right)\cdot 13^{18} + \left(4 a + 5\right)\cdot 13^{19} + \left(9 a + 4\right)\cdot 13^{20} + 8 a\cdot 13^{21} + \left(8 a + 6\right)\cdot 13^{22} + \left(2 a + 11\right)\cdot 13^{23} + \left(10 a + 1\right)\cdot 13^{24} + \left(2 a + 12\right)\cdot 13^{25} + \left(6 a + 9\right)\cdot 13^{26} + \left(7 a + 10\right)\cdot 13^{27} + \left(a + 7\right)\cdot 13^{28} + \left(3 a + 6\right)\cdot 13^{29} + \left(9 a + 1\right)\cdot 13^{30} + \left(3 a + 3\right)\cdot 13^{31} + \left(4 a + 11\right)\cdot 13^{32} + \left(9 a + 11\right)\cdot 13^{33} + \left(5 a + 6\right)\cdot 13^{34} + \left(10 a + 7\right)\cdot 13^{35} + \left(a + 2\right)\cdot 13^{36} + \left(10 a + 5\right)\cdot 13^{37} + \left(8 a + 1\right)\cdot 13^{38} + \left(2 a + 1\right)\cdot 13^{39} + \left(12 a + 11\right)\cdot 13^{40} +O\left(13^{ 41 }\right)$
$r_{ 7 }$	$=$	$ 6 a + 4 + 11\cdot 13 + \left(11 a + 8\right)\cdot 13^{2} + \left(2 a + 11\right)\cdot 13^{3} + \left(a + 6\right)\cdot 13^{4} + \left(12 a + 1\right)\cdot 13^{5} + \left(4 a + 2\right)\cdot 13^{6} + \left(8 a + 7\right)\cdot 13^{7} + \left(7 a + 5\right)\cdot 13^{9} + \left(12 a + 7\right)\cdot 13^{10} + \left(7 a + 11\right)\cdot 13^{11} + \left(a + 5\right)\cdot 13^{12} + \left(3 a + 9\right)\cdot 13^{13} + \left(11 a + 5\right)\cdot 13^{14} + 2 a\cdot 13^{15} + \left(11 a + 9\right)\cdot 13^{16} + \left(10 a + 4\right)\cdot 13^{17} + \left(7 a + 12\right)\cdot 13^{18} + \left(8 a + 4\right)\cdot 13^{19} + \left(3 a + 9\right)\cdot 13^{20} + \left(4 a + 12\right)\cdot 13^{21} + \left(4 a + 5\right)\cdot 13^{22} + \left(10 a + 5\right)\cdot 13^{23} + \left(2 a + 9\right)\cdot 13^{24} + \left(10 a + 4\right)\cdot 13^{25} + 6 a\cdot 13^{26} + \left(5 a + 12\right)\cdot 13^{27} + \left(11 a + 1\right)\cdot 13^{28} + \left(9 a + 8\right)\cdot 13^{29} + \left(3 a + 7\right)\cdot 13^{30} + \left(9 a + 10\right)\cdot 13^{31} + \left(8 a + 11\right)\cdot 13^{32} + \left(3 a + 3\right)\cdot 13^{33} + \left(7 a + 3\right)\cdot 13^{34} + \left(2 a + 12\right)\cdot 13^{35} + \left(11 a + 6\right)\cdot 13^{36} + 2 a\cdot 13^{37} + 4 a\cdot 13^{38} + \left(10 a + 8\right)\cdot 13^{39} + 7\cdot 13^{40} +O\left(13^{ 41 }\right)$
$r_{ 8 }$	$=$	$ 9 a + 7 + \left(11 a + 7\right)\cdot 13 + \left(a + 8\right)\cdot 13^{2} + \left(11 a + 12\right)\cdot 13^{3} + \left(10 a + 4\right)\cdot 13^{4} + \left(7 a + 8\right)\cdot 13^{5} + 4 a\cdot 13^{6} + \left(3 a + 6\right)\cdot 13^{7} + 12 a\cdot 13^{8} + \left(11 a + 2\right)\cdot 13^{9} + \left(5 a + 1\right)\cdot 13^{10} + \left(5 a + 3\right)\cdot 13^{11} + \left(11 a + 12\right)\cdot 13^{12} + \left(a + 11\right)\cdot 13^{13} + \left(7 a + 12\right)\cdot 13^{14} + a\cdot 13^{15} + \left(10 a + 7\right)\cdot 13^{16} + \left(7 a + 4\right)\cdot 13^{17} + 2 a\cdot 13^{18} + \left(3 a + 5\right)\cdot 13^{19} + \left(2 a + 6\right)\cdot 13^{20} + \left(7 a + 1\right)\cdot 13^{21} + \left(4 a + 8\right)\cdot 13^{22} + \left(9 a + 3\right)\cdot 13^{23} + \left(10 a + 7\right)\cdot 13^{24} + \left(12 a + 11\right)\cdot 13^{25} + \left(5 a + 11\right)\cdot 13^{26} + \left(11 a + 12\right)\cdot 13^{27} + 6\cdot 13^{28} + \left(8 a + 10\right)\cdot 13^{29} + \left(5 a + 4\right)\cdot 13^{30} + \left(6 a + 11\right)\cdot 13^{31} + \left(a + 10\right)\cdot 13^{32} + \left(6 a + 12\right)\cdot 13^{33} + \left(5 a + 1\right)\cdot 13^{34} + \left(8 a + 3\right)\cdot 13^{35} + \left(5 a + 8\right)\cdot 13^{36} + \left(12 a + 10\right)\cdot 13^{37} + \left(8 a + 1\right)\cdot 13^{38} + a\cdot 13^{39} + \left(12 a + 12\right)\cdot 13^{40} +O\left(13^{ 41 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

Cycle notation

$(2,6)(7,8)$

$(1,4,2)(3,5,6)$

$(2,4,8)(5,7,6)$

$(1,8,5)(3,7,4)$

$(1,6,8,5,3,2,7,4)$

$(4,5)(7,8)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$	Character value
$1$	$1$	$()$	$8$
$1$	$2$	$(1,3)(2,6)(4,5)(7,8)$	$-8$
$6$	$2$	$(2,6)(7,8)$	$0$
$12$	$2$	$(1,7)(2,4)(3,8)(5,6)$	$0$
$24$	$2$	$(1,6)(2,3)(4,5)$	$0$
$32$	$3$	$(1,4,2)(3,5,6)$	$-1$
$6$	$4$	$(1,8,3,7)(2,4,6,5)$	$0$
$6$	$4$	$(1,7,3,8)(2,4,6,5)$	$0$
$12$	$4$	$(1,6,3,2)(4,5)(7,8)$	$0$
$12$	$4$	$(1,6,3,2)$	$0$
$32$	$6$	$(1,3)(2,8,5,6,7,4)$	$1$
$24$	$8$	$(1,6,8,5,3,2,7,4)$	$0$
$24$	$8$	$(1,6,7,5,3,2,8,4)$	$0$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.