Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 71 }$ to precision 28.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 71 }$: $ x^{2} + 69 x + 7 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 51 + 71 + 33\cdot 71^{2} + 48\cdot 71^{3} + 71^{4} + 7\cdot 71^{5} + 40\cdot 71^{6} + 58\cdot 71^{7} + 51\cdot 71^{8} + 18\cdot 71^{9} + 13\cdot 71^{10} + 13\cdot 71^{11} + 31\cdot 71^{12} + 27\cdot 71^{13} + 13\cdot 71^{14} + 13\cdot 71^{15} + 56\cdot 71^{16} + 9\cdot 71^{17} + 51\cdot 71^{18} + 51\cdot 71^{19} + 38\cdot 71^{20} + 64\cdot 71^{22} + 11\cdot 71^{23} + 28\cdot 71^{24} + 49\cdot 71^{25} + 56\cdot 71^{26} + 8\cdot 71^{27} +O\left(71^{ 28 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 5 a + 10 + \left(37 a + 10\right)\cdot 71 + \left(4 a + 68\right)\cdot 71^{2} + \left(52 a + 37\right)\cdot 71^{3} + \left(14 a + 8\right)\cdot 71^{4} + \left(31 a + 23\right)\cdot 71^{5} + \left(32 a + 40\right)\cdot 71^{6} + \left(3 a + 27\right)\cdot 71^{7} + \left(8 a + 16\right)\cdot 71^{8} + \left(41 a + 37\right)\cdot 71^{9} + \left(55 a + 29\right)\cdot 71^{10} + \left(11 a + 43\right)\cdot 71^{11} + \left(57 a + 9\right)\cdot 71^{12} + \left(38 a + 55\right)\cdot 71^{13} + \left(33 a + 27\right)\cdot 71^{14} + \left(25 a + 61\right)\cdot 71^{15} + \left(39 a + 47\right)\cdot 71^{16} + \left(19 a + 10\right)\cdot 71^{17} + \left(59 a + 50\right)\cdot 71^{18} + \left(62 a + 25\right)\cdot 71^{19} + \left(39 a + 48\right)\cdot 71^{20} + \left(19 a + 8\right)\cdot 71^{21} + \left(62 a + 31\right)\cdot 71^{22} + \left(22 a + 32\right)\cdot 71^{23} + \left(2 a + 26\right)\cdot 71^{24} + \left(3 a + 25\right)\cdot 71^{25} + \left(33 a + 44\right)\cdot 71^{26} + \left(56 a + 21\right)\cdot 71^{27} +O\left(71^{ 28 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 46 + 56\cdot 71 + 13\cdot 71^{2} + 12\cdot 71^{3} + 4\cdot 71^{4} + 61\cdot 71^{5} + 5\cdot 71^{6} + 23\cdot 71^{7} + 64\cdot 71^{8} + 70\cdot 71^{9} + 47\cdot 71^{10} + 36\cdot 71^{11} + 66\cdot 71^{12} + 8\cdot 71^{13} + 10\cdot 71^{14} + 35\cdot 71^{15} + 11\cdot 71^{16} + 24\cdot 71^{17} + 36\cdot 71^{18} + 21\cdot 71^{19} + 45\cdot 71^{20} + 50\cdot 71^{21} + 14\cdot 71^{22} + 20\cdot 71^{23} + 45\cdot 71^{24} + 67\cdot 71^{25} + 45\cdot 71^{26} + 4\cdot 71^{27} +O\left(71^{ 28 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 30 a + 46 + \left(68 a + 61\right)\cdot 71 + \left(64 a + 36\right)\cdot 71^{2} + \left(6 a + 30\right)\cdot 71^{3} + \left(64 a + 47\right)\cdot 71^{4} + \left(18 a + 43\right)\cdot 71^{5} + \left(31 a + 46\right)\cdot 71^{6} + \left(2 a + 9\right)\cdot 71^{7} + \left(65 a + 7\right)\cdot 71^{8} + \left(20 a + 3\right)\cdot 71^{9} + \left(34 a + 15\right)\cdot 71^{10} + \left(31 a + 54\right)\cdot 71^{11} + \left(68 a + 38\right)\cdot 71^{12} + \left(a + 2\right)\cdot 71^{13} + \left(19 a + 27\right)\cdot 71^{14} + \left(56 a + 23\right)\cdot 71^{15} + \left(40 a + 69\right)\cdot 71^{16} + \left(54 a + 63\right)\cdot 71^{17} + \left(23 a + 68\right)\cdot 71^{18} + \left(41 a + 11\right)\cdot 71^{19} + \left(22 a + 8\right)\cdot 71^{20} + \left(62 a + 37\right)\cdot 71^{21} + \left(42 a + 44\right)\cdot 71^{22} + \left(36 a + 3\right)\cdot 71^{23} + \left(33 a + 40\right)\cdot 71^{24} + \left(8 a + 13\right)\cdot 71^{25} + \left(59 a + 68\right)\cdot 71^{26} + \left(33 a + 14\right)\cdot 71^{27} +O\left(71^{ 28 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 66 a + 20 + \left(33 a + 8\right)\cdot 71 + \left(66 a + 40\right)\cdot 71^{2} + \left(18 a + 66\right)\cdot 71^{3} + \left(56 a + 56\right)\cdot 71^{4} + \left(39 a + 70\right)\cdot 71^{5} + \left(38 a + 2\right)\cdot 71^{6} + \left(67 a + 2\right)\cdot 71^{7} + \left(62 a + 29\right)\cdot 71^{8} + \left(29 a + 40\right)\cdot 71^{9} + \left(15 a + 28\right)\cdot 71^{10} + \left(59 a + 11\right)\cdot 71^{11} + \left(13 a + 41\right)\cdot 71^{12} + \left(32 a + 4\right)\cdot 71^{13} + \left(37 a + 56\right)\cdot 71^{14} + \left(45 a + 7\right)\cdot 71^{15} + \left(31 a + 30\right)\cdot 71^{16} + \left(51 a + 10\right)\cdot 71^{17} + \left(11 a + 7\right)\cdot 71^{18} + \left(8 a + 21\right)\cdot 71^{19} + \left(31 a + 65\right)\cdot 71^{20} + \left(51 a + 7\right)\cdot 71^{21} + \left(8 a + 65\right)\cdot 71^{22} + \left(48 a + 15\right)\cdot 71^{23} + \left(68 a + 8\right)\cdot 71^{24} + \left(67 a + 29\right)\cdot 71^{25} + \left(37 a + 36\right)\cdot 71^{26} + \left(14 a + 30\right)\cdot 71^{27} +O\left(71^{ 28 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 41 a + 35 + \left(2 a + 26\right)\cdot 71 + \left(6 a + 27\right)\cdot 71^{2} + \left(64 a + 50\right)\cdot 71^{3} + \left(6 a + 26\right)\cdot 71^{4} + \left(52 a + 17\right)\cdot 71^{5} + \left(39 a + 19\right)\cdot 71^{6} + \left(68 a + 54\right)\cdot 71^{7} + \left(5 a + 63\right)\cdot 71^{8} + \left(50 a + 50\right)\cdot 71^{9} + \left(36 a + 62\right)\cdot 71^{10} + \left(39 a + 11\right)\cdot 71^{11} + \left(2 a + 2\right)\cdot 71^{12} + \left(69 a + 9\right)\cdot 71^{13} + \left(51 a + 63\right)\cdot 71^{14} + \left(14 a + 45\right)\cdot 71^{15} + \left(30 a + 23\right)\cdot 71^{16} + \left(16 a + 61\right)\cdot 71^{17} + \left(47 a + 61\right)\cdot 71^{18} + \left(29 a + 70\right)\cdot 71^{19} + \left(48 a + 11\right)\cdot 71^{20} + \left(8 a + 68\right)\cdot 71^{21} + \left(28 a + 67\right)\cdot 71^{22} + \left(34 a + 33\right)\cdot 71^{23} + \left(37 a + 70\right)\cdot 71^{24} + \left(62 a + 67\right)\cdot 71^{25} + \left(11 a + 35\right)\cdot 71^{26} + \left(37 a + 23\right)\cdot 71^{27} +O\left(71^{ 28 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 55 a + 56 + \left(42 a + 8\right)\cdot 71 + \left(19 a + 34\right)\cdot 71^{2} + \left(60 a + 39\right)\cdot 71^{3} + \left(19 a + 8\right)\cdot 71^{4} + 40 a\cdot 71^{5} + \left(46 a + 38\right)\cdot 71^{6} + \left(23 a + 18\right)\cdot 71^{7} + \left(35 a + 2\right)\cdot 71^{8} + \left(36 a + 48\right)\cdot 71^{9} + \left(6 a + 19\right)\cdot 71^{10} + \left(40 a + 55\right)\cdot 71^{11} + \left(69 a + 68\right)\cdot 71^{12} + \left(45 a + 5\right)\cdot 71^{13} + \left(18 a + 12\right)\cdot 71^{14} + \left(39 a + 54\right)\cdot 71^{15} + \left(30 a + 11\right)\cdot 71^{16} + \left(5 a + 26\right)\cdot 71^{17} + \left(56 a + 57\right)\cdot 71^{18} + \left(52 a + 15\right)\cdot 71^{19} + \left(35 a + 59\right)\cdot 71^{20} + \left(16 a + 56\right)\cdot 71^{21} + \left(57 a + 55\right)\cdot 71^{22} + \left(a + 38\right)\cdot 71^{23} + \left(57 a + 47\right)\cdot 71^{24} + \left(64 a + 14\right)\cdot 71^{25} + \left(67 a + 69\right)\cdot 71^{26} + \left(39 a + 12\right)\cdot 71^{27} +O\left(71^{ 28 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 16 a + 24 + \left(28 a + 39\right)\cdot 71 + \left(51 a + 30\right)\cdot 71^{2} + \left(10 a + 69\right)\cdot 71^{3} + \left(51 a + 58\right)\cdot 71^{4} + \left(30 a + 60\right)\cdot 71^{5} + \left(24 a + 19\right)\cdot 71^{6} + \left(47 a + 19\right)\cdot 71^{7} + \left(35 a + 49\right)\cdot 71^{8} + \left(34 a + 14\right)\cdot 71^{9} + \left(64 a + 67\right)\cdot 71^{10} + \left(30 a + 57\right)\cdot 71^{11} + \left(a + 25\right)\cdot 71^{12} + \left(25 a + 28\right)\cdot 71^{13} + \left(52 a + 3\right)\cdot 71^{14} + \left(31 a + 43\right)\cdot 71^{15} + \left(40 a + 33\right)\cdot 71^{16} + \left(65 a + 6\right)\cdot 71^{17} + \left(14 a + 22\right)\cdot 71^{18} + \left(18 a + 65\right)\cdot 71^{19} + \left(35 a + 6\right)\cdot 71^{20} + \left(54 a + 54\right)\cdot 71^{21} + \left(13 a + 11\right)\cdot 71^{22} + \left(69 a + 56\right)\cdot 71^{23} + \left(13 a + 17\right)\cdot 71^{24} + \left(6 a + 16\right)\cdot 71^{25} + \left(3 a + 69\right)\cdot 71^{26} + \left(31 a + 24\right)\cdot 71^{27} +O\left(71^{ 28 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(2,8,5)(4,7,6)$ |
| $(1,6,7)(3,5,8)$ |
| $(5,6)(7,8)$ |
| $(1,4,5,7,3,2,6,8)$ |
| $(2,4)(7,8)$ |
| $(1,2,3,4)(5,8,6,7)$ |
| $(1,3)(7,8)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $8$ |
| $1$ | $2$ | $(1,3)(2,4)(5,6)(7,8)$ | $-8$ |
| $6$ | $2$ | $(1,3)(7,8)$ | $0$ |
| $12$ | $2$ | $(1,7)(2,5)(3,8)(4,6)$ | $0$ |
| $24$ | $2$ | $(1,4)(2,3)(5,6)$ | $0$ |
| $32$ | $3$ | $(1,6,7)(3,5,8)$ | $-1$ |
| $6$ | $4$ | $(1,2,3,4)(5,8,6,7)$ | $0$ |
| $6$ | $4$ | $(1,5,3,6)(2,8,4,7)$ | $0$ |
| $12$ | $4$ | $(1,4,3,2)(5,6)(7,8)$ | $0$ |
| $12$ | $4$ | $(2,8,4,7)$ | $0$ |
| $32$ | $6$ | $(1,5,2,3,6,4)(7,8)$ | $1$ |
| $24$ | $8$ | $(1,4,5,7,3,2,6,8)$ | $0$ |
| $24$ | $8$ | $(1,8,4,5,3,7,2,6)$ | $0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
