Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 13 }$ to precision 103.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 13 }$: $ x^{4} + 3 x^{2} + 12 x + 2 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 1 + 2\cdot 13^{2} + 8\cdot 13^{4} + 7\cdot 13^{5} + 6\cdot 13^{6} + 6\cdot 13^{7} + 12\cdot 13^{8} + 3\cdot 13^{9} + 10\cdot 13^{11} + 12\cdot 13^{12} + 9\cdot 13^{13} + 8\cdot 13^{14} + 11\cdot 13^{16} + 6\cdot 13^{17} + 7\cdot 13^{18} + 8\cdot 13^{19} + 12\cdot 13^{20} + 6\cdot 13^{21} + 5\cdot 13^{22} + 9\cdot 13^{23} + 3\cdot 13^{24} + 8\cdot 13^{25} + 13^{26} + 4\cdot 13^{27} + 11\cdot 13^{28} + 8\cdot 13^{29} + 8\cdot 13^{30} + 5\cdot 13^{31} + 12\cdot 13^{32} + 11\cdot 13^{33} + 3\cdot 13^{35} + 12\cdot 13^{36} + 9\cdot 13^{37} + 4\cdot 13^{38} + 10\cdot 13^{39} + 13^{41} + 3\cdot 13^{42} + 8\cdot 13^{43} + 10\cdot 13^{45} + 5\cdot 13^{46} + 3\cdot 13^{47} + 7\cdot 13^{48} + 5\cdot 13^{49} + 8\cdot 13^{50} + 3\cdot 13^{51} + 12\cdot 13^{52} + 13^{53} + 9\cdot 13^{54} + 9\cdot 13^{55} + 13^{56} + 11\cdot 13^{57} + 11\cdot 13^{58} + 6\cdot 13^{60} + 11\cdot 13^{61} + 4\cdot 13^{62} + 8\cdot 13^{63} + 7\cdot 13^{64} + 9\cdot 13^{65} + 4\cdot 13^{66} + 5\cdot 13^{67} + 9\cdot 13^{69} + 11\cdot 13^{70} + 10\cdot 13^{71} + 5\cdot 13^{73} + 5\cdot 13^{74} + 5\cdot 13^{75} + 8\cdot 13^{76} + 6\cdot 13^{77} + 8\cdot 13^{78} + 4\cdot 13^{79} + 6\cdot 13^{80} + 8\cdot 13^{81} + 9\cdot 13^{82} + 3\cdot 13^{83} + 7\cdot 13^{84} + 10\cdot 13^{85} + 2\cdot 13^{86} + 11\cdot 13^{87} + 3\cdot 13^{88} + 7\cdot 13^{89} + 12\cdot 13^{90} + 13^{91} + 4\cdot 13^{92} + 3\cdot 13^{93} + 3\cdot 13^{94} + 13^{95} + 3\cdot 13^{96} + 6\cdot 13^{97} + 13^{98} + 7\cdot 13^{99} + 11\cdot 13^{100} + 7\cdot 13^{101} +O\left(13^{ 103 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 5 a^{3} + 9 a^{2} + 12 + \left(9 a^{3} + a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13 + \left(5 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 13^{2} + \left(8 a^{3} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{3} + \left(12 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{4} + \left(6 a^{3} + a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{5} + \left(3 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{6} + \left(6 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{7} + \left(9 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 13^{8} + \left(9 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 13^{9} + \left(7 a^{3} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{10} + \left(7 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13^{11} + \left(9 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{12} + \left(4 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 13^{13} + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{14} + \left(5 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 13^{15} + \left(a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{16} + \left(9 a^{3} + 3 a^{2} + 3\right)\cdot 13^{17} + \left(10 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{18} + \left(5 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 13^{19} + \left(2 a^{3} + a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{20} + \left(9 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{21} + \left(11 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 13^{22} + \left(3 a^{3} + a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 13^{23} + \left(5 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{24} + \left(10 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 13^{25} + \left(11 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13^{26} + \left(8 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 13^{27} + \left(7 a^{3} + 10 a^{2} + 9\right)\cdot 13^{28} + \left(3 a^{3} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{29} + \left(6 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{30} + \left(11 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 13^{31} + \left(3 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 13^{32} + \left(6 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{33} + \left(5 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{34} + \left(2 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 13^{35} + \left(7 a^{3} + 4 a^{2}\right)\cdot 13^{36} + \left(8 a^{3} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{37} + \left(2 a^{3} + 7 a^{2} + a\right)\cdot 13^{38} + \left(10 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{39} + \left(5 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{40} + \left(3 a^{3} + 5 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{41} + \left(7 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13^{42} + \left(a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{43} + \left(9 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{44} + \left(a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{45} + \left(8 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{46} + \left(4 a^{3} + a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{47} + \left(9 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{48} + \left(5 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{49} + \left(12 a^{3} + 6 a^{2} + a\right)\cdot 13^{50} + \left(a^{3} + 5 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{51} + \left(11 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 13^{52} + \left(2 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a\right)\cdot 13^{53} + \left(6 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 13^{54} + \left(6 a^{3} + 11 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 13^{55} + \left(2 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{56} + \left(3 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{57} + \left(5 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{58} + \left(2 a^{3} + a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{59} + \left(6 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{60} + \left(9 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{61} + \left(3 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a\right)\cdot 13^{62} + \left(9 a^{3} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{63} + \left(12 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{64} + \left(12 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{65} + \left(2 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 13^{66} + \left(11 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{67} + \left(2 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 13^{68} + \left(a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 13^{69} + \left(3 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{70} + \left(2 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{71} + \left(4 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{72} + \left(6 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 13^{73} + \left(a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{74} + \left(9 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{75} + \left(8 a^{3} + a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{76} + \left(12 a^{3} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{77} + \left(9 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{78} + \left(4 a^{3} + a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{79} + \left(6 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a\right)\cdot 13^{80} + \left(4 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{81} + \left(a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 13^{82} + \left(5 a^{3} + 4 a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{83} + \left(6 a^{3} + a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{84} + \left(8 a^{3} + a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 13^{85} + \left(11 a^{3} + 12 a^{2} + 2\right)\cdot 13^{86} + \left(11 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{87} + \left(a^{3} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{88} + \left(9 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 13^{89} + \left(4 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{90} + \left(10 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13^{91} + \left(4 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{92} + \left(8 a^{3} + 6 a + 3\right)\cdot 13^{93} + \left(a^{3} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{94} + \left(3 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{95} + \left(5 a^{3} + 3 a + 11\right)\cdot 13^{96} + \left(5 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{97} + \left(6 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 13^{98} + \left(7 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 13^{99} + \left(a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{100} + \left(5 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{101} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{102} +O\left(13^{ 103 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 6 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 9 + \left(3 a^{3} + 3 a + 7\right)\cdot 13 + \left(4 a^{3} + 5 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{2} + \left(6 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{3} + \left(6 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{4} + \left(10 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{5} + \left(10 a^{3} + 8 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{6} + \left(6 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a\right)\cdot 13^{7} + \left(5 a^{3} + 3 a^{2} + 1\right)\cdot 13^{8} + \left(12 a^{3} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{9} + \left(2 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{10} + \left(11 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 13^{11} + \left(11 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{12} + \left(5 a^{3} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{13} + \left(4 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 13^{14} + \left(3 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 13^{15} + \left(12 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 13^{16} + \left(8 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{17} + \left(12 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{18} + \left(11 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a\right)\cdot 13^{19} + \left(11 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{20} + \left(8 a^{3} + 11 a^{2} + a + 9\right)\cdot 13^{21} + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{22} + \left(6 a^{3} + 12 a^{2} + 5\right)\cdot 13^{23} + \left(4 a^{3} + 4 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{24} + \left(12 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{25} + \left(4 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 13^{26} + \left(8 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{27} + \left(7 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{28} + \left(3 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{29} + \left(3 a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{30} + \left(12 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{31} + \left(7 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{32} + \left(7 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 13^{33} + \left(5 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{34} + \left(7 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{35} + \left(6 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 13^{36} + \left(2 a^{3} + 9 a + 2\right)\cdot 13^{37} + \left(10 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{38} + \left(2 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{39} + \left(11 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{40} + \left(8 a^{2} + 1\right)\cdot 13^{41} + \left(6 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13^{42} + \left(12 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{43} + \left(9 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{44} + \left(a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{45} + \left(11 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 13^{46} + \left(a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{47} + \left(6 a^{3} + 7 a + 8\right)\cdot 13^{48} + \left(6 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{49} + \left(3 a + 6\right)\cdot 13^{50} + \left(4 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 13^{51} + \left(11 a^{3} + 10 a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{52} + \left(11 a^{3} + 3 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{53} + \left(7 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{54} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{55} + \left(6 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 13^{56} + \left(9 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{57} + \left(11 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{58} + \left(9 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{59} + \left(10 a^{3} + a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13^{60} + \left(9 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 13^{61} + \left(7 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{62} + \left(6 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 13^{63} + \left(11 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{64} + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 13^{65} + \left(12 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{66} + \left(2 a^{3} + a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{67} + \left(a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 13^{68} + \left(11 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{69} + \left(8 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{70} + \left(4 a^{3} + 10 a^{2} + a + 10\right)\cdot 13^{71} + \left(9 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{72} + \left(3 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{73} + \left(12 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 13^{74} + \left(2 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{75} + \left(8 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{76} + \left(3 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{77} + \left(4 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{78} + \left(5 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 13^{79} + \left(a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{80} + \left(a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{81} + \left(11 a^{3} + 10 a + 11\right)\cdot 13^{82} + \left(2 a^{3} + 5 a^{2} + a + 9\right)\cdot 13^{83} + \left(10 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 13^{84} + \left(11 a^{3} + 7 a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{85} + \left(10 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{86} + \left(5 a^{3} + a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{87} + \left(6 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 13^{88} + \left(8 a^{3} + 11 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 13^{89} + \left(7 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{90} + \left(9 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 13^{91} + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{92} + \left(5 a^{3} + 9 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{93} + \left(5 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{94} + \left(11 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{95} + \left(11 a^{3} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{96} + \left(11 a^{3} + 5 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{97} + \left(12 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a\right)\cdot 13^{98} + \left(9 a^{3} + 10 a + 4\right)\cdot 13^{99} + \left(6 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{100} + \left(7 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 13^{101} + \left(8 a^{3} + 6 a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{102} +O\left(13^{ 103 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 9 + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + a\right)\cdot 13 + \left(2 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{2} + \left(4 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{3} + \left(12 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 13^{4} + \left(11 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{5} + \left(6 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{6} + \left(9 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 13^{7} + \left(6 a^{3} + 12 a^{2} + 6\right)\cdot 13^{8} + \left(11 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 13^{9} + \left(a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{10} + \left(10 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{11} + 6 a\cdot 13^{12} + \left(10 a^{3} + 10 a + 11\right)\cdot 13^{13} + \left(2 a^{3} + 10 a^{2} + 2\right)\cdot 13^{14} + \left(11 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 13^{15} + \left(5 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{16} + \left(12 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{17} + \left(10 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{18} + \left(4 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 13^{19} + \left(6 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{20} + \left(9 a^{2} + 8 a\right)\cdot 13^{21} + \left(5 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 13^{22} + \left(11 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 13^{23} + \left(3 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 13^{24} + \left(12 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a\right)\cdot 13^{25} + \left(10 a^{3} + 2 a^{2} + 1\right)\cdot 13^{26} + \left(12 a^{3} + a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 13^{27} + \left(a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{28} + \left(5 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 13^{29} + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{30} + \left(12 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{31} + \left(6 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{32} + \left(7 a^{3} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{33} + \left(4 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{34} + \left(3 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{35} + \left(2 a^{3} + 10 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{36} + \left(7 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a\right)\cdot 13^{37} + \left(9 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{38} + \left(8 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{39} + \left(6 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 13^{40} + \left(a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 13^{41} + \left(6 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{42} + \left(a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{43} + \left(6 a^{2} + 7\right)\cdot 13^{44} + \left(a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{45} + \left(8 a^{3} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{46} + \left(6 a^{3} + 2 a^{2} + a\right)\cdot 13^{47} + \left(9 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{48} + \left(10 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{49} + \left(a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 13^{50} + \left(6 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 13^{51} + \left(2 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 13^{52} + \left(8 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{53} + \left(8 a^{3} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{54} + \left(11 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{55} + \left(5 a^{3} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{56} + \left(2 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 13^{57} + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{58} + \left(8 a^{3} + 9 a^{2} + 9\right)\cdot 13^{59} + \left(2 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{60} + \left(12 a^{3} + a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{61} + \left(12 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{62} + \left(5 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{63} + \left(a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{64} + \left(8 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 13^{65} + \left(2 a^{3} + a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{66} + \left(4 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{67} + \left(12 a^{3} + 11 a^{2} + a\right)\cdot 13^{68} + \left(5 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 13^{69} + \left(5 a^{3} + 7 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{70} + \left(12 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{71} + \left(4 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{72} + \left(11 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 13^{73} + \left(11 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 13^{74} + \left(5 a^{3} + 12 a^{2} + a + 9\right)\cdot 13^{75} + \left(3 a^{3} + 11 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{76} + \left(8 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{77} + \left(12 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{78} + \left(9 a^{3} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{79} + \left(11 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{80} + \left(a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{81} + \left(8 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{82} + \left(9 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{83} + \left(6 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 13^{84} + \left(3 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 13^{85} + \left(11 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a\right)\cdot 13^{86} + \left(2 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{87} + \left(5 a^{3} + 11 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{88} + \left(3 a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{89} + \left(6 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{90} + \left(8 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 13^{91} + \left(10 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 13^{92} + \left(9 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{93} + \left(3 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{94} + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 13^{95} + \left(11 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{96} + \left(9 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{97} + \left(a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{98} + \left(10 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 13^{99} + \left(2 a^{3} + 7 a^{2} + 4\right)\cdot 13^{100} + \left(4 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{101} + \left(2 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{102} +O\left(13^{ 103 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 10 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 8 + \left(6 a^{3} + 4 a^{2} + a + 10\right)\cdot 13 + \left(6 a^{3} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{2} + \left(a^{3} + 8 a\right)\cdot 13^{3} + \left(11 a^{3} + 9 a^{2} + 1\right)\cdot 13^{4} + \left(4 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 13^{5} + \left(8 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 13^{6} + \left(9 a^{3} + 5 a^{2} + a + 2\right)\cdot 13^{7} + \left(3 a^{3} + 5 a^{2} + 1\right)\cdot 13^{8} + \left(9 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{9} + \left(12 a^{3} + 2 a^{2} + 7\right)\cdot 13^{10} + \left(8 a^{2} + 2 a\right)\cdot 13^{11} + \left(7 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{12} + \left(11 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 13^{13} + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{14} + \left(9 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 13^{15} + \left(9 a^{3} + a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{16} + \left(2 a^{3} + 10 a^{2} + 6\right)\cdot 13^{17} + \left(4 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 13^{18} + \left(3 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{19} + \left(9 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a\right)\cdot 13^{20} + \left(4 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{21} + \left(3 a^{3} + a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{22} + \left(a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 13^{23} + \left(12 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{24} + \left(11 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{25} + \left(3 a^{3} + 11 a^{2} + a + 10\right)\cdot 13^{26} + \left(12 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{27} + \left(7 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13^{28} + \left(8 a^{3} + 2 a^{2} + 1\right)\cdot 13^{29} + \left(2 a^{3} + 10 a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{30} + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 13^{31} + \left(10 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 13^{32} + \left(7 a^{3} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{33} + \left(4 a^{3} + 5 a + 12\right)\cdot 13^{34} + \left(10 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 13^{35} + \left(a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{36} + \left(3 a^{3} + a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{37} + \left(10 a^{3} + a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 13^{38} + \left(5 a^{3} + 3 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{39} + \left(a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{40} + \left(12 a^{3} + a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{41} + \left(8 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 13^{42} + \left(a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{43} + \left(11 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a\right)\cdot 13^{44} + \left(3 a^{3} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{45} + \left(a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{46} + \left(a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{47} + \left(9 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 13^{48} + \left(9 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{49} + \left(8 a^{3} + 2 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{50} + \left(5 a^{3} + 3 a^{2} + 1\right)\cdot 13^{51} + \left(8 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 13^{52} + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 13^{53} + \left(9 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 13^{54} + \left(12 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a\right)\cdot 13^{55} + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{56} + \left(6 a^{3} + 4 a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{57} + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{58} + \left(2 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 13^{59} + \left(7 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{60} + \left(10 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 13^{61} + \left(7 a^{3} + 3 a^{2} + 2\right)\cdot 13^{62} + \left(5 a^{3} + a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 13^{63} + \left(5 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{64} + \left(2 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{65} + \left(a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{66} + \left(3 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 13^{67} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{68} + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{69} + \left(5 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{70} + \left(12 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{71} + \left(a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{72} + \left(4 a + 4\right)\cdot 13^{73} + \left(3 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{74} + \left(5 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{75} + \left(11 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{76} + \left(10 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 13^{77} + \left(6 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{78} + \left(4 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 13^{79} + \left(4 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{80} + \left(3 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 13^{81} + \left(8 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 13^{82} + \left(6 a^{3} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{83} + \left(4 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{84} + \left(6 a^{3} + 4 a^{2} + 5\right)\cdot 13^{85} + \left(a^{3} + 11 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 13^{86} + \left(11 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{87} + \left(a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{88} + \left(7 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{89} + \left(6 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{90} + \left(5 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{91} + \left(4 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{92} + \left(4 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a\right)\cdot 13^{93} + \left(4 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{94} + \left(9 a^{3} + 9 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{95} + \left(7 a^{3} + 2\right)\cdot 13^{96} + \left(5 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 13^{97} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{98} + \left(7 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{99} + 6 a\cdot 13^{100} + \left(2 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{101} + \left(3 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{102} +O\left(13^{ 103 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 11 a^{3} + 8 a^{2} + a + 6 + \left(3 a^{2} + 8\right)\cdot 13 + \left(12 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 13^{2} + \left(11 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{3} + \left(11 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{4} + \left(4 a^{3} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{5} + \left(6 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a\right)\cdot 13^{6} + \left(5 a^{3} + 7 a^{2} + 9\right)\cdot 13^{7} + \left(a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{8} + \left(4 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 13^{9} + \left(10 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 13^{10} + \left(a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{11} + \left(11 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{12} + \left(3 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 13^{13} + \left(12 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{14} + \left(11 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{15} + \left(4 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{16} + \left(8 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{17} + \left(12 a^{3} + 11 a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{18} + \left(3 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 13^{19} + \left(11 a^{3} + a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 13^{20} + \left(12 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{21} + \left(7 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 13^{22} + \left(7 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{23} + \left(6 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 13^{24} + \left(9 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 13^{25} + \left(8 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{26} + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 13^{27} + \left(7 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 13^{28} + \left(4 a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{29} + \left(8 a^{3} + 3 a + 11\right)\cdot 13^{30} + \left(12 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{31} + \left(2 a^{3} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{32} + \left(4 a^{3} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{33} + \left(2 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{34} + \left(7 a^{3} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{35} + \left(11 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{36} + \left(2 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a\right)\cdot 13^{37} + \left(7 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 13^{38} + \left(5 a^{3} + a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{39} + \left(6 a^{3} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{40} + \left(9 a^{3} + a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{41} + \left(9 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{42} + \left(11 a^{3} + a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{43} + \left(11 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{44} + \left(2 a^{3} + 2 a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{45} + \left(12 a^{3} + 11 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{46} + \left(2 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{47} + \left(12 a^{3} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{48} + \left(9 a^{3} + a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{49} + \left(12 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{50} + \left(8 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{51} + \left(2 a^{3} + 9 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{52} + \left(5 a^{3} + 10 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{53} + \left(4 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{54} + \left(4 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{55} + \left(6 a^{3} + 2 a^{2} + 11\right)\cdot 13^{56} + \left(4 a^{3} + 4 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{57} + \left(12 a^{3} + a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{58} + \left(11 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{59} + \left(12 a^{3} + 3 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{60} + \left(a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{61} + \left(10 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{62} + \left(9 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{63} + \left(9 a^{3} + 9 a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{64} + \left(5 a^{3} + a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{65} + \left(6 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{66} + \left(10 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{67} + \left(6 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 13^{68} + \left(a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{69} + \left(2 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{70} + \left(10 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{71} + \left(a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{72} + \left(9 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{73} + \left(9 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13^{74} + \left(6 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 13^{75} + \left(7 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{76} + \left(a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{77} + \left(a^{3} + 7 a\right)\cdot 13^{78} + \left(5 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{79} + \left(7 a^{3} + 9 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{80} + \left(6 a^{3} + a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{81} + \left(2 a^{3} + 7 a^{2} + a + 2\right)\cdot 13^{82} + \left(4 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 13^{83} + \left(2 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a\right)\cdot 13^{84} + \left(10 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a\right)\cdot 13^{85} + \left(8 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 13^{86} + \left(2 a^{3} + a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{87} + \left(a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{88} + \left(a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{89} + \left(4 a + 5\right)\cdot 13^{90} + \left(6 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{91} + \left(6 a^{3} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{92} + \left(3 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a\right)\cdot 13^{93} + \left(4 a^{3} + 3 a^{2} + a + 10\right)\cdot 13^{94} + \left(8 a^{3} + 8 a^{2} + 7\right)\cdot 13^{95} + \left(a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{96} + \left(a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{97} + \left(5 a^{3} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{98} + \left(2 a^{3} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{99} + \left(11 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{100} + \left(2 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 13^{101} + \left(10 a^{3} + 10 a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{102} +O\left(13^{ 103 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 9 a^{3} + 8 a + 8 + \left(10 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13 + \left(4 a + 11\right)\cdot 13^{2} + \left(12 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{3} + \left(10 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{4} + \left(a^{3} + 3 a^{2} + 5\right)\cdot 13^{5} + \left(8 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{6} + \left(9 a^{3} + a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 13^{7} + \left(8 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 13^{8} + \left(7 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 13^{9} + \left(6 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 13^{10} + \left(10 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{11} + \left(3 a^{3} + a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{12} + \left(9 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{13} + \left(4 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{14} + \left(9 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{15} + \left(6 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{16} + \left(4 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 13^{17} + \left(9 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{18} + \left(10 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{19} + \left(a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{20} + \left(4 a^{3} + 3 a^{2} + a\right)\cdot 13^{21} + \left(4 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{22} + \left(5 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13^{23} + \left(12 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{24} + \left(4 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{25} + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a\right)\cdot 13^{26} + \left(9 a^{3} + 11 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{27} + \left(a^{3} + a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 13^{28} + \left(8 a^{3} + a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 13^{29} + \left(12 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 13^{30} + \left(11 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 13^{31} + \left(a^{3} + a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 13^{32} + \left(10 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{33} + \left(a^{3} + 12 a^{2} + 6\right)\cdot 13^{34} + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{35} + \left(12 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{36} + \left(12 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{37} + \left(11 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{38} + \left(8 a^{3} + 11 a^{2} + 3\right)\cdot 13^{39} + \left(4 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 13^{40} + \left(7 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{41} + \left(5 a^{3} + a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{42} + \left(a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{43} + \left(9 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 13^{44} + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{45} + \left(7 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{46} + \left(a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 13^{47} + \left(11 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 13^{48} + \left(5 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{49} + \left(5 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{50} + \left(4 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{51} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + 7\right)\cdot 13^{52} + \left(5 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{53} + \left(4 a^{3} + 8 a^{2} + a\right)\cdot 13^{54} + \left(10 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a\right)\cdot 13^{55} + \left(11 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{56} + \left(8 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{57} + \left(a^{3} + 12 a^{2} + a + 10\right)\cdot 13^{58} + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{59} + \left(2 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 13^{60} + \left(9 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 13^{61} + \left(4 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{62} + \left(a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{63} + \left(10 a^{3} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{64} + \left(8 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 13^{65} + \left(4 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{66} + \left(10 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{67} + \left(a^{3} + 3 a^{2} + 11 a\right)\cdot 13^{68} + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{69} + \left(10 a^{3} + 2 a^{2} + 5\right)\cdot 13^{70} + \left(2 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{71} + \left(3 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{72} + \left(8 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{73} + \left(12 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{74} + \left(5 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{75} + \left(a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 13^{76} + \left(12 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{77} + \left(12 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 13^{78} + \left(11 a^{3} + 11 a^{2} + a\right)\cdot 13^{79} + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{80} + \left(8 a^{3} + 3 a^{2} + 6\right)\cdot 13^{81} + \left(10 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{82} + \left(7 a^{3} + a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{83} + \left(6 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{84} + \left(8 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{85} + \left(11 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{86} + \left(5 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{87} + \left(2 a^{3} + a + 6\right)\cdot 13^{88} + \left(4 a^{3} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{89} + \left(10 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{90} + \left(11 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{91} + \left(11 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 13^{92} + \left(2 a^{3} + a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{93} + \left(10 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 13^{94} + \left(10 a^{3} + a^{2} + 6 a\right)\cdot 13^{95} + \left(2 a^{3} + 9 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{96} + \left(3 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{97} + \left(a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 13^{98} + \left(5 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{99} + \left(a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{100} + \left(6 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{101} + \left(4 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{102} +O\left(13^{ 103 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 8 + \left(5 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13 + \left(a^{3} + 7 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{2} + \left(6 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{3} + \left(10 a^{3} + 9 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{4} + \left(8 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{5} + \left(6 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{6} + \left(2 a^{2} + 11 a\right)\cdot 13^{7} + \left(8 a^{3} + a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 13^{8} + \left(9 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{9} + \left(3 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{10} + \left(3 a^{3} + 4 a^{2} + 3\right)\cdot 13^{11} + \left(3 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{12} + \left(12 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 13^{13} + \left(8 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{14} + \left(3 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{15} + \left(10 a^{3} + 11 a^{2} + a\right)\cdot 13^{16} + \left(4 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{17} + \left(2 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{18} + \left(11 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{19} + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{20} + \left(8 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{21} + \left(12 a^{3} + 11 a^{2} + 9\right)\cdot 13^{22} + \left(4 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{23} + \left(9 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{24} + \left(10 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{25} + \left(9 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{26} + \left(8 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{27} + \left(8 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{28} + \left(5 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 13^{29} + \left(10 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{30} + \left(5 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{31} + \left(3 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 13^{32} + \left(a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 13^{33} + \left(a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{34} + \left(5 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{35} + \left(4 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 13^{36} + \left(8 a^{3} + 12 a + 9\right)\cdot 13^{37} + \left(6 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{38} + \left(8 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a\right)\cdot 13^{39} + \left(12 a^{3} + a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{40} + \left(5 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 13^{41} + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{42} + \left(9 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{43} + \left(9 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{44} + \left(a^{3} + a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{45} + \left(6 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 13^{46} + \left(8 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{47} + \left(12 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 13^{48} + \left(9 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{49} + \left(11 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 13^{50} + \left(11 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{51} + \left(9 a^{3} + 8 a^{2} + a + 2\right)\cdot 13^{52} + \left(4 a^{3} + 9 a^{2} + 5\right)\cdot 13^{53} + \left(4 a^{3} + 8 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{54} + \left(6 a^{3} + a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{55} + \left(a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{56} + \left(9 a^{3} + 9 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{57} + \left(5 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{58} + \left(10 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 13^{59} + \left(7 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a\right)\cdot 13^{60} + \left(9 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 13^{61} + \left(5 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{62} + \left(6 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{63} + \left(12 a^{3} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{64} + \left(6 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{65} + \left(7 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{66} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{67} + \left(4 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{68} + \left(4 a^{3} + 5 a^{2} + 6\right)\cdot 13^{69} + \left(a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{70} + \left(6 a^{3} + 5 a^{2} + a + 9\right)\cdot 13^{71} + \left(11 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{72} + \left(12 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{73} + \left(11 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a\right)\cdot 13^{74} + \left(11 a^{3} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{75} + \left(4 a^{3} + a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{76} + \left(12 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 13^{77} + \left(a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{78} + \left(4 a^{3} + a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{79} + \left(a^{3} + 3 a^{2} + 6 a\right)\cdot 13^{80} + \left(10 a^{2} + 3 a\right)\cdot 13^{81} + \left(9 a^{3} + 12 a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{82} + \left(8 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{83} + \left(4 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{84} + \left(7 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{85} + \left(2 a^{3} + 2 a^{2} + 3\right)\cdot 13^{86} + \left(3 a^{3} + a^{2}\right)\cdot 13^{87} + \left(2 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{88} + \left(6 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{89} + \left(8 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{90} + \left(12 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{91} + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{92} + \left(8 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 13^{93} + \left(6 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{94} + \left(7 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{95} + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{96} + \left(5 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{97} + \left(2 a^{3} + 4 a^{2} + 6\right)\cdot 13^{98} + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{99} + \left(4 a^{3} + 4 a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{100} + \left(4 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{101} + \left(10 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{102} +O\left(13^{ 103 }\right)$ |
| $r_{ 9 }$ |
$=$ |
$ 9 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 8 + \left(12 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a\right)\cdot 13 + \left(4 a^{3} + 9 a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{2} + \left(2 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{3} + \left(2 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{4} + \left(2 a^{3} + 5 a^{2} + 2\right)\cdot 13^{5} + \left(9 a^{3} + a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 13^{6} + \left(4 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{7} + \left(8 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{8} + \left(9 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{9} + \left(6 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{10} + \left(10 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{11} + \left(3 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{12} + \left(8 a^{3} + 3 a + 3\right)\cdot 13^{13} + \left(3 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{14} + \left(10 a^{3} + 9 a + 10\right)\cdot 13^{15} + \left(a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{16} + \left(9 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{17} + \left(4 a^{3} + 3 a^{2}\right)\cdot 13^{18} + \left(2 a^{3} + 3 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{19} + \left(6 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a\right)\cdot 13^{20} + \left(3 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{21} + \left(a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{22} + \left(3 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 13^{23} + \left(10 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 13^{24} + \left(6 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{25} + \left(7 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{26} + 6 a^{2}13^{27} + \left(9 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 13^{28} + \left(3 a^{3} + 11 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{29} + \left(10 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{30} + \left(2 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 13^{31} + \left(12 a^{3} + 3 a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{32} + \left(7 a^{3} + 4 a + 6\right)\cdot 13^{33} + \left(9 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{34} + \left(5 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{35} + \left(5 a^{3} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{36} + \left(7 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{37} + \left(6 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 13^{38} + \left(11 a^{3} + a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{39} + \left(7 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{40} + \left(11 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{41} + \left(2 a^{3} + 12 a^{2} + 11\right)\cdot 13^{42} + \left(11 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 13^{43} + \left(4 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 13^{44} + \left(7 a^{3} + 7 a^{2}\right)\cdot 13^{45} + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{46} + \left(12 a^{3} + a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{47} + \left(7 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{48} + \left(12 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{49} + \left(11 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a\right)\cdot 13^{50} + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + 2\right)\cdot 13^{51} + \left(10 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{52} + \left(9 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 13^{53} + \left(6 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{54} + \left(3 a^{3} + a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{55} + \left(11 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{56} + \left(2 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{57} + \left(8 a^{3} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{58} + \left(3 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{59} + \left(4 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 13^{60} + \left(2 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{61} + \left(12 a^{3} + 6 a + 3\right)\cdot 13^{62} + \left(8 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 13^{63} + \left(2 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a\right)\cdot 13^{64} + \left(12 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 13^{65} + \left(9 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 13^{66} + \left(5 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 13^{67} + \left(10 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a\right)\cdot 13^{68} + \left(4 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 13^{69} + \left(2 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{70} + \left(a^{3} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{71} + \left(2 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{72} + \left(10 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{73} + \left(3 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a\right)\cdot 13^{74} + \left(4 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a\right)\cdot 13^{75} + \left(6 a^{3} + 4 a^{2} + 4\right)\cdot 13^{76} + \left(3 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{77} + \left(2 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 13^{78} + \left(6 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 13^{79} + \left(8 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{80} + \left(a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 13^{81} + \left(2 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{82} + \left(3 a^{3} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{83} + \left(11 a^{3} + a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{84} + \left(3 a^{3} + a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{85} + \left(7 a^{3} + a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{86} + \left(8 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a\right)\cdot 13^{87} + \left(4 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{88} + \left(2 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 13^{89} + \left(8 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{90} + \left(a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{91} + \left(8 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{92} + \left(4 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{93} + \left(3 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{94} + \left(11 a^{3} + 3 a^{2} + 1\right)\cdot 13^{95} + \left(7 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{96} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{97} + \left(5 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 13^{98} + \left(6 a^{3} + 3 a + 6\right)\cdot 13^{99} + \left(10 a^{3} + 12 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{100} + \left(4 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{101} + \left(4 a^{3} + 5 a^{2} + a + 10\right)\cdot 13^{102} +O\left(13^{ 103 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 9 }$
| Cycle notation |
| $(1,7,2,3)(4,9,5,8)$ |
| $(1,4,2,5)(3,9,7,8)$ |
| $(1,2)(3,7)(4,5)(8,9)$ |
| $(1,3,5)(2,4,7)(6,8,9)$ |
| $(3,8,4)(5,7,9)$ |
| $(1,9,4)(2,5,8)(3,6,7)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 9 }$
| Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $8$ |
| $9$ | $2$ | $(1,2)(3,7)(4,5)(8,9)$ | $0$ |
| $8$ | $3$ | $(1,9,4)(2,5,8)(3,6,7)$ | $-1$ |
| $12$ | $3$ | $(2,9,3)(4,5,6)$ | $2 \zeta_{3}$ |
| $12$ | $3$ | $(2,3,9)(4,6,5)$ | $-2 \zeta_{3} - 2$ |
| $24$ | $3$ | $(1,2,4)(3,5,8)(6,7,9)$ | $\zeta_{3} + 1$ |
| $24$ | $3$ | $(1,4,2)(3,8,5)(6,9,7)$ | $-\zeta_{3}$ |
| $54$ | $4$ | $(1,7,2,3)(4,9,5,8)$ | $0$ |
| $36$ | $6$ | $(2,5,9,6,3,4)(7,8)$ | $0$ |
| $36$ | $6$ | $(2,4,3,6,9,5)(7,8)$ | $0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
