Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 83 }$ to precision 24.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 83 }$: $ x^{2} + 82 x + 2 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 45 + 77\cdot 83 + 33\cdot 83^{2} + 75\cdot 83^{3} + 57\cdot 83^{4} + 51\cdot 83^{5} + 30\cdot 83^{6} + 57\cdot 83^{7} + 65\cdot 83^{8} + 74\cdot 83^{9} + 29\cdot 83^{10} + 50\cdot 83^{11} + 36\cdot 83^{12} + 44\cdot 83^{13} + 20\cdot 83^{14} + 56\cdot 83^{15} + 5\cdot 83^{16} + 66\cdot 83^{17} + 22\cdot 83^{18} + 19\cdot 83^{19} + 5\cdot 83^{20} + 68\cdot 83^{21} + 79\cdot 83^{22} + 42\cdot 83^{23} +O\left(83^{ 24 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 11 a + 4 + \left(77 a + 28\right)\cdot 83 + \left(31 a + 42\right)\cdot 83^{2} + \left(57 a + 14\right)\cdot 83^{3} + \left(7 a + 68\right)\cdot 83^{4} + \left(7 a + 38\right)\cdot 83^{5} + \left(49 a + 29\right)\cdot 83^{6} + \left(79 a + 58\right)\cdot 83^{7} + \left(36 a + 34\right)\cdot 83^{8} + \left(3 a + 78\right)\cdot 83^{9} + \left(23 a + 46\right)\cdot 83^{10} + \left(4 a + 18\right)\cdot 83^{11} + \left(69 a + 25\right)\cdot 83^{12} + \left(49 a + 44\right)\cdot 83^{13} + \left(24 a + 39\right)\cdot 83^{14} + \left(19 a + 79\right)\cdot 83^{15} + \left(32 a + 50\right)\cdot 83^{16} + \left(68 a + 57\right)\cdot 83^{17} + \left(38 a + 16\right)\cdot 83^{18} + \left(33 a + 12\right)\cdot 83^{19} + \left(13 a + 50\right)\cdot 83^{20} + \left(63 a + 45\right)\cdot 83^{21} + \left(17 a + 4\right)\cdot 83^{22} + \left(56 a + 42\right)\cdot 83^{23} +O\left(83^{ 24 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 66 a + 50 + \left(25 a + 25\right)\cdot 83 + \left(47 a + 42\right)\cdot 83^{2} + \left(5 a + 27\right)\cdot 83^{3} + \left(15 a + 40\right)\cdot 83^{4} + \left(51 a + 76\right)\cdot 83^{5} + \left(61 a + 44\right)\cdot 83^{6} + \left(22 a + 5\right)\cdot 83^{7} + \left(74 a + 71\right)\cdot 83^{8} + \left(45 a + 80\right)\cdot 83^{9} + \left(25 a + 43\right)\cdot 83^{10} + \left(72 a + 52\right)\cdot 83^{11} + \left(47 a + 28\right)\cdot 83^{12} + \left(7 a + 40\right)\cdot 83^{13} + \left(58 a + 74\right)\cdot 83^{14} + \left(48 a + 5\right)\cdot 83^{15} + \left(11 a + 49\right)\cdot 83^{16} + \left(52 a + 20\right)\cdot 83^{17} + \left(79 a + 37\right)\cdot 83^{18} + \left(51 a + 68\right)\cdot 83^{19} + \left(43 a + 60\right)\cdot 83^{20} + \left(46 a + 51\right)\cdot 83^{21} + \left(3 a + 14\right)\cdot 83^{22} + \left(25 a + 54\right)\cdot 83^{23} +O\left(83^{ 24 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 72 a + 15 + \left(5 a + 11\right)\cdot 83 + \left(51 a + 80\right)\cdot 83^{2} + \left(25 a + 39\right)\cdot 83^{3} + \left(75 a + 18\right)\cdot 83^{4} + \left(75 a + 38\right)\cdot 83^{5} + \left(33 a + 71\right)\cdot 83^{6} + \left(3 a + 5\right)\cdot 83^{7} + \left(46 a + 75\right)\cdot 83^{8} + \left(79 a + 44\right)\cdot 83^{9} + \left(59 a + 66\right)\cdot 83^{10} + \left(78 a + 82\right)\cdot 83^{11} + \left(13 a + 6\right)\cdot 83^{12} + \left(33 a + 25\right)\cdot 83^{13} + \left(58 a + 14\right)\cdot 83^{14} + \left(63 a + 74\right)\cdot 83^{15} + \left(50 a + 63\right)\cdot 83^{16} + \left(14 a + 10\right)\cdot 83^{17} + \left(44 a + 70\right)\cdot 83^{18} + \left(49 a + 6\right)\cdot 83^{19} + \left(69 a + 30\right)\cdot 83^{20} + \left(19 a + 12\right)\cdot 83^{21} + \left(65 a + 42\right)\cdot 83^{22} + \left(26 a + 80\right)\cdot 83^{23} +O\left(83^{ 24 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 67 a + 32 + \left(37 a + 24\right)\cdot 83 + \left(69 a + 16\right)\cdot 83^{2} + \left(9 a + 37\right)\cdot 83^{3} + \left(20 a + 5\right)\cdot 83^{4} + \left(27 a + 13\right)\cdot 83^{5} + \left(44 a + 14\right)\cdot 83^{6} + \left(64 a + 72\right)\cdot 83^{7} + \left(80 a + 60\right)\cdot 83^{8} + \left(65 a + 24\right)\cdot 83^{9} + \left(45 a + 59\right)\cdot 83^{10} + \left(40 a + 52\right)\cdot 83^{11} + \left(35 a + 16\right)\cdot 83^{12} + \left(3 a + 11\right)\cdot 83^{13} + \left(57 a + 3\right)\cdot 83^{14} + \left(9 a + 11\right)\cdot 83^{15} + \left(68 a + 70\right)\cdot 83^{16} + \left(34 a + 81\right)\cdot 83^{17} + \left(4 a + 31\right)\cdot 83^{18} + \left(67 a + 24\right)\cdot 83^{19} + \left(22 a + 61\right)\cdot 83^{20} + \left(23 a + 74\right)\cdot 83^{21} + \left(77 a + 15\right)\cdot 83^{22} + \left(39 a + 37\right)\cdot 83^{23} +O\left(83^{ 24 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 16 a + 16 + \left(45 a + 78\right)\cdot 83 + \left(13 a + 47\right)\cdot 83^{2} + \left(73 a + 60\right)\cdot 83^{3} + \left(62 a + 15\right)\cdot 83^{4} + \left(55 a + 20\right)\cdot 83^{5} + \left(38 a + 31\right)\cdot 83^{6} + \left(18 a + 9\right)\cdot 83^{7} + \left(2 a + 77\right)\cdot 83^{8} + \left(17 a + 9\right)\cdot 83^{9} + \left(37 a + 39\right)\cdot 83^{10} + \left(42 a + 47\right)\cdot 83^{11} + \left(47 a + 11\right)\cdot 83^{12} + \left(79 a + 62\right)\cdot 83^{13} + \left(25 a + 56\right)\cdot 83^{14} + \left(73 a + 46\right)\cdot 83^{15} + \left(14 a + 45\right)\cdot 83^{16} + \left(48 a + 48\right)\cdot 83^{17} + \left(78 a + 1\right)\cdot 83^{18} + \left(15 a + 4\right)\cdot 83^{19} + \left(60 a + 17\right)\cdot 83^{20} + \left(59 a + 75\right)\cdot 83^{21} + \left(5 a + 69\right)\cdot 83^{22} + \left(43 a + 82\right)\cdot 83^{23} +O\left(83^{ 24 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 54 + 18\cdot 83 + 5\cdot 83^{2} + 8\cdot 83^{3} + 76\cdot 83^{4} + 63\cdot 83^{5} + 54\cdot 83^{6} + 73\cdot 83^{7} + 73\cdot 83^{8} + 48\cdot 83^{9} + 22\cdot 83^{10} + 11\cdot 83^{11} + 36\cdot 83^{12} + 21\cdot 83^{13} + 81\cdot 83^{14} + 61\cdot 83^{15} + 34\cdot 83^{16} + 68\cdot 83^{17} + 3\cdot 83^{18} + 73\cdot 83^{19} + 54\cdot 83^{20} + 32\cdot 83^{21} + 50\cdot 83^{22} + 82\cdot 83^{23} +O\left(83^{ 24 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 17 a + 33 + \left(57 a + 68\right)\cdot 83 + \left(35 a + 63\right)\cdot 83^{2} + \left(77 a + 68\right)\cdot 83^{3} + \left(67 a + 49\right)\cdot 83^{4} + \left(31 a + 29\right)\cdot 83^{5} + \left(21 a + 55\right)\cdot 83^{6} + \left(60 a + 49\right)\cdot 83^{7} + \left(8 a + 39\right)\cdot 83^{8} + \left(37 a + 52\right)\cdot 83^{9} + \left(57 a + 23\right)\cdot 83^{10} + \left(10 a + 16\right)\cdot 83^{11} + \left(35 a + 4\right)\cdot 83^{12} + 75 a\cdot 83^{13} + \left(24 a + 42\right)\cdot 83^{14} + \left(34 a + 79\right)\cdot 83^{15} + \left(71 a + 11\right)\cdot 83^{16} + \left(30 a + 61\right)\cdot 83^{17} + \left(3 a + 64\right)\cdot 83^{18} + \left(31 a + 40\right)\cdot 83^{19} + \left(39 a + 52\right)\cdot 83^{20} + \left(36 a + 54\right)\cdot 83^{21} + \left(79 a + 54\right)\cdot 83^{22} + \left(57 a + 75\right)\cdot 83^{23} +O\left(83^{ 24 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(2,6,4)(3,5,8)$ |
| $(1,7)(2,3)$ |
| $(2,6)(3,5)(4,8)$ |
| $(2,3)(5,6)$ |
| $(4,8)(5,6)$ |
| $(1,2,8,7,3,4)(5,6)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character values |
| | |
$c1$ |
| $1$ |
$1$ |
$()$ |
$8$ |
| $1$ |
$2$ |
$(1,7)(2,3)(4,8)(5,6)$ |
$-8$ |
| $6$ |
$2$ |
$(1,7)(2,3)$ |
$0$ |
| $12$ |
$2$ |
$(1,8)(2,5)(3,6)(4,7)$ |
$0$ |
| $24$ |
$2$ |
$(2,6)(3,5)(4,8)$ |
$0$ |
| $32$ |
$3$ |
$(1,8,3)(2,7,4)$ |
$-1$ |
| $6$ |
$4$ |
$(1,6,7,5)(2,8,3,4)$ |
$0$ |
| $6$ |
$4$ |
$(1,8,7,4)(2,6,3,5)$ |
$0$ |
| $12$ |
$4$ |
$(4,5,8,6)$ |
$0$ |
| $12$ |
$4$ |
$(1,7)(2,3)(4,5,8,6)$ |
$0$ |
| $32$ |
$6$ |
$(1,2,8,7,3,4)(5,6)$ |
$1$ |
| $24$ |
$8$ |
$(1,2,8,5,7,3,4,6)$ |
$0$ |
| $24$ |
$8$ |
$(1,4,6,3,7,8,5,2)$ |
$0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
