Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 67 }$ to precision 14.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 67 }$: $ x^{3} + 6 x + 65 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 27 a^{2} + 31 a + 65 + \left(33 a^{2} + 44 a + 55\right)\cdot 67 + \left(66 a^{2} + a + 52\right)\cdot 67^{2} + \left(11 a^{2} + 11 a + 34\right)\cdot 67^{3} + \left(45 a^{2} + 21 a + 63\right)\cdot 67^{4} + \left(11 a + 26\right)\cdot 67^{5} + \left(35 a^{2} + 59 a + 34\right)\cdot 67^{6} + \left(38 a^{2} + 34 a + 51\right)\cdot 67^{7} + \left(40 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 67^{8} + \left(60 a^{2} + 22 a + 50\right)\cdot 67^{9} + \left(39 a^{2} + 35 a + 50\right)\cdot 67^{10} + \left(6 a^{2} + 35 a + 15\right)\cdot 67^{11} + \left(19 a^{2} + 15 a + 43\right)\cdot 67^{12} + \left(17 a^{2} + 4 a + 62\right)\cdot 67^{13} +O\left(67^{ 14 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 18 a^{2} + 56 a + 29 + \left(32 a^{2} + 18 a + 51\right)\cdot 67 + \left(17 a^{2} + 19 a + 57\right)\cdot 67^{2} + \left(25 a^{2} + 30 a + 20\right)\cdot 67^{3} + \left(31 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 67^{4} + \left(28 a^{2} + 56 a + 4\right)\cdot 67^{5} + \left(16 a^{2} + 49 a + 27\right)\cdot 67^{6} + \left(2 a^{2} + 8 a + 40\right)\cdot 67^{7} + \left(42 a^{2} + 48 a + 10\right)\cdot 67^{8} + \left(3 a^{2} + 55 a + 23\right)\cdot 67^{9} + \left(61 a^{2} + 54 a + 1\right)\cdot 67^{10} + \left(35 a^{2} + 17 a + 66\right)\cdot 67^{11} + \left(29 a^{2} + 22 a + 17\right)\cdot 67^{12} + \left(33 a^{2} + 61 a + 60\right)\cdot 67^{13} +O\left(67^{ 14 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 45 + 24\cdot 67 + 25\cdot 67^{2} + 31\cdot 67^{3} + 54\cdot 67^{4} + 19\cdot 67^{5} + 63\cdot 67^{6} + 15\cdot 67^{7} + 64\cdot 67^{8} + 33\cdot 67^{9} + 9\cdot 67^{10} + 50\cdot 67^{11} + 55\cdot 67^{12} + 67^{13} +O\left(67^{ 14 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 14 a^{2} + 49 a + 39 + \left(21 a^{2} + 52 a + 49\right)\cdot 67 + \left(7 a^{2} + 7 a + 37\right)\cdot 67^{2} + \left(5 a^{2} + 29 a + 65\right)\cdot 67^{3} + \left(24 a^{2} + 18 a + 30\right)\cdot 67^{4} + \left(25 a^{2} + 64 a + 53\right)\cdot 67^{5} + \left(17 a^{2} + 45\right)\cdot 67^{6} + \left(60 a^{2} + 20 a + 20\right)\cdot 67^{7} + \left(a^{2} + 49 a + 19\right)\cdot 67^{8} + \left(55 a^{2} + 37 a + 4\right)\cdot 67^{9} + \left(53 a^{2} + 66 a + 10\right)\cdot 67^{10} + \left(27 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 67^{11} + \left(6 a^{2} + 4 a + 46\right)\cdot 67^{12} + \left(13 a^{2} + 5 a + 24\right)\cdot 67^{13} +O\left(67^{ 14 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 22 a^{2} + 47 a + 45 + \left(a^{2} + 3 a + 61\right)\cdot 67 + \left(50 a^{2} + 46 a + 53\right)\cdot 67^{2} + \left(29 a^{2} + 25 a + 38\right)\cdot 67^{3} + \left(57 a^{2} + 30 a + 45\right)\cdot 67^{4} + \left(37 a^{2} + 66 a + 41\right)\cdot 67^{5} + \left(15 a^{2} + 24 a + 23\right)\cdot 67^{6} + \left(26 a^{2} + 23 a + 2\right)\cdot 67^{7} + \left(51 a^{2} + 3 a + 48\right)\cdot 67^{8} + \left(2 a^{2} + 56 a + 19\right)\cdot 67^{9} + \left(33 a^{2} + 43 a + 23\right)\cdot 67^{10} + \left(24 a^{2} + 13 a + 20\right)\cdot 67^{11} + \left(18 a^{2} + 29 a + 40\right)\cdot 67^{12} + \left(16 a^{2} + a + 58\right)\cdot 67^{13} +O\left(67^{ 14 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 3 + 46\cdot 67 + 52\cdot 67^{2} + 6\cdot 67^{3} + 24\cdot 67^{4} + 51\cdot 67^{5} + 56\cdot 67^{6} + 14\cdot 67^{7} + 38\cdot 67^{8} + 51\cdot 67^{9} + 61\cdot 67^{10} + 10\cdot 67^{11} + 49\cdot 67^{12} + 33\cdot 67^{13} +O\left(67^{ 14 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 38 a^{2} + 15 a + 1 + \left(20 a^{2} + 25 a + 47\right)\cdot 67 + \left(38 a^{2} + 58 a + 27\right)\cdot 67^{2} + \left(59 a^{2} + 46 a + 15\right)\cdot 67^{3} + \left(59 a^{2} + 61 a + 40\right)\cdot 67^{4} + \left(4 a^{2} + a + 38\right)\cdot 67^{5} + \left(46 a^{2} + 53 a + 26\right)\cdot 67^{6} + \left(54 a^{2} + 51 a + 65\right)\cdot 67^{7} + \left(52 a^{2} + 49 a + 21\right)\cdot 67^{8} + \left(61 a^{2} + 4 a + 31\right)\cdot 67^{9} + \left(63 a^{2} + 66 a + 50\right)\cdot 67^{10} + \left(23 a^{2} + 37 a + 63\right)\cdot 67^{11} + \left(56 a^{2} + 25 a + 44\right)\cdot 67^{12} + \left(4 a^{2} + 62 a + 58\right)\cdot 67^{13} +O\left(67^{ 14 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 15 a^{2} + 3 a + 43 + \left(25 a^{2} + 56 a + 65\right)\cdot 67 + \left(21 a^{2} + 26\right)\cdot 67^{2} + \left(2 a^{2} + 58 a + 54\right)\cdot 67^{3} + \left(50 a^{2} + 53 a\right)\cdot 67^{4} + \left(36 a^{2} + 32\right)\cdot 67^{5} + \left(3 a^{2} + 13 a + 57\right)\cdot 67^{6} + \left(19 a^{2} + 62 a + 56\right)\cdot 67^{7} + \left(12 a^{2} + 34 a + 60\right)\cdot 67^{8} + \left(17 a^{2} + 24 a + 53\right)\cdot 67^{9} + \left(16 a^{2} + a + 60\right)\cdot 67^{10} + \left(15 a^{2} + 12 a + 28\right)\cdot 67^{11} + \left(4 a^{2} + 37 a + 37\right)\cdot 67^{12} + \left(49 a^{2} + 66 a + 34\right)\cdot 67^{13} +O\left(67^{ 14 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(1,2,3,4)(5,8,7,6)$ |
| $(1,2,6,4)(3,5,8,7)$ |
| $(3,5)(4,6)$ |
| $(3,4)(5,6)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $8$ |
| $1$ | $2$ | $(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$ | $-8$ |
| $6$ | $2$ | $(1,3)(2,4)(5,7)(6,8)$ | $0$ |
| $6$ | $2$ | $(1,3)(2,5)(4,7)(6,8)$ | $0$ |
| $6$ | $2$ | $(1,8)(4,5)$ | $0$ |
| $12$ | $2$ | $(3,5)(4,6)$ | $0$ |
| $12$ | $2$ | $(1,8)(2,6)(3,7)(4,5)$ | $0$ |
| $32$ | $3$ | $(1,3,7)(2,8,6)$ | $-1$ |
| $12$ | $4$ | $(1,6,8,3)(2,5,7,4)$ | $0$ |
| $24$ | $4$ | $(1,2,3,4)(5,8,7,6)$ | $0$ |
| $24$ | $4$ | $(1,5,3,2)(4,6,7,8)$ | $0$ |
| $24$ | $4$ | $(1,8)(3,4,6,5)$ | $0$ |
| $32$ | $6$ | $(1,2,3,8,7,6)(4,5)$ | $1$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
