Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 19 }$ to precision 23.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 19 }$: $ x^{4} + 2 x^{2} + 11 x + 2 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 4 a^{3} + 9 a^{2} + 18 a + 9 + \left(a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 17\right)\cdot 19 + \left(10 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 19^{2} + \left(11 a^{3} + 15 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 19^{3} + \left(9 a^{3} + 17 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 19^{4} + \left(13 a^{3} + 16 a^{2} + a + 3\right)\cdot 19^{5} + \left(12 a^{3} + 16 a + 8\right)\cdot 19^{6} + \left(6 a^{3} + 16 a^{2} + 13\right)\cdot 19^{7} + \left(6 a^{3} + 16 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 19^{8} + \left(16 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 19^{9} + \left(2 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 19^{10} + \left(5 a^{3} + 18 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 19^{11} + \left(7 a^{3} + 13 a^{2} + 18 a + 2\right)\cdot 19^{12} + \left(2 a^{3} + 16 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 19^{13} + \left(7 a^{3} + 11 a + 15\right)\cdot 19^{14} + \left(4 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 19^{15} + \left(6 a^{3} + 9 a + 16\right)\cdot 19^{16} + \left(a^{3} + 17 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 19^{17} + \left(7 a^{3} + 13 a^{2} + a + 11\right)\cdot 19^{18} + \left(3 a^{2} + 11\right)\cdot 19^{19} + \left(9 a^{3} + 12 a^{2} + 1\right)\cdot 19^{20} + \left(4 a^{3} + 11 a^{2} + 16 a\right)\cdot 19^{21} + \left(9 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 19^{22} +O\left(19^{ 23 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 10 a^{3} + 9 a^{2} + 14 a + 15 + \left(5 a^{3} + 7 a^{2} + 16 a + 17\right)\cdot 19 + \left(2 a^{3} + 3 a + 7\right)\cdot 19^{2} + \left(a^{3} + a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 19^{3} + \left(6 a^{3} + 15 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 19^{4} + \left(5 a^{3} + 9 a^{2} + 4\right)\cdot 19^{5} + \left(8 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 19^{6} + \left(13 a^{3} + 18 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 19^{7} + \left(4 a^{3} + 15 a^{2}\right)\cdot 19^{8} + \left(14 a^{3} + 15 a^{2} + 16 a + 17\right)\cdot 19^{9} + \left(14 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 19^{10} + \left(10 a^{3} + 8 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 19^{11} + 7\cdot 19^{12} + \left(11 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 19^{13} + \left(9 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 19^{14} + \left(10 a^{3} + 15 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 19^{15} + \left(6 a^{3} + 15 a^{2} + a + 6\right)\cdot 19^{16} + \left(12 a^{3} + 13 a^{2} + 9 a + 14\right)\cdot 19^{17} + \left(7 a^{3} + 14 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 19^{18} + \left(14 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 19^{19} + \left(4 a^{3} + 8 a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 19^{20} + \left(a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 19^{21} + \left(17 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 19^{22} +O\left(19^{ 23 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 4 a^{3} + 17 a^{2} + a + 2 + \left(7 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 19 + \left(2 a^{3} + 16 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 19^{2} + \left(17 a^{3} + 12 a + 14\right)\cdot 19^{3} + \left(9 a^{3} + 9 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 19^{4} + \left(3 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 19^{5} + \left(16 a^{2} + 17 a + 15\right)\cdot 19^{6} + \left(11 a^{3} + 11 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 19^{7} + \left(15 a^{3} + 17 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 19^{8} + \left(6 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 19^{9} + \left(10 a^{3} + 11 a + 13\right)\cdot 19^{10} + \left(12 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 19^{11} + \left(10 a^{3} + 4 a^{2} + 18 a + 9\right)\cdot 19^{12} + \left(5 a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 19^{13} + \left(18 a^{3} + a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 19^{14} + \left(7 a^{3} + 16 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 19^{15} + \left(16 a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 19^{16} + \left(a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 19^{17} + \left(14 a^{3} + 8 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 19^{18} + \left(15 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 19^{19} + \left(17 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 19^{20} + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 19^{21} + \left(9 a^{3} + 6 a^{2} + 11\right)\cdot 19^{22} +O\left(19^{ 23 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 4 a^{3} + a^{2} + 6 a + 1 + \left(9 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 19 + \left(a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 19^{2} + \left(9 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 19^{3} + \left(10 a^{3} + 12 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 19^{4} + \left(18 a^{3} + 11 a + 14\right)\cdot 19^{5} + \left(11 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 19^{6} + \left(a^{3} + 16 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 19^{7} + \left(13 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 19^{8} + \left(6 a^{3} + 13 a^{2} + 18 a + 2\right)\cdot 19^{9} + \left(15 a^{3} + 15 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 19^{10} + \left(12 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 19^{11} + \left(a^{3} + 17 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 19^{12} + \left(10 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 15\right)\cdot 19^{13} + \left(11 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 19^{14} + \left(8 a^{3} + 13 a + 14\right)\cdot 19^{15} + \left(7 a^{3} + 16 a^{2} + 17 a + 4\right)\cdot 19^{16} + \left(5 a^{3} + 18 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 19^{17} + \left(13 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 19^{18} + \left(7 a^{3} + 10 a^{2} + 7\right)\cdot 19^{19} + \left(5 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 19^{20} + \left(8 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 19^{21} + \left(a^{3} + 17 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 19^{22} +O\left(19^{ 23 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 14 a^{3} + 17 a^{2} + 7 a + 18 + \left(17 a^{3} + 13 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 19 + \left(5 a^{3} + 6 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 19^{2} + \left(10 a^{3} + 14 a^{2} + 9 a\right)\cdot 19^{3} + \left(9 a^{3} + 18 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 19^{4} + \left(15 a^{3} + 16 a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 19^{5} + \left(5 a^{3} + 13 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 19^{6} + \left(14 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 19^{7} + \left(8 a^{3} + 16 a + 14\right)\cdot 19^{8} + \left(9 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 19^{9} + \left(14 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 19^{10} + \left(6 a^{3} + 15 a + 14\right)\cdot 19^{11} + \left(a^{3} + 13 a + 18\right)\cdot 19^{12} + \left(12 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 19^{13} + \left(4 a^{3} + 7 a^{2} + 18 a + 10\right)\cdot 19^{14} + \left(9 a^{3} + 9 a^{2} + 13 a + 18\right)\cdot 19^{15} + \left(5 a^{3} + 6 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 19^{16} + \left(6 a^{3} + 18 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 19^{17} + \left(a^{3} + a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 19^{18} + \left(18 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a\right)\cdot 19^{19} + \left(18 a^{3} + 14 a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 19^{20} + \left(2 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 19^{21} + \left(10 a^{3} + 15 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 19^{22} +O\left(19^{ 23 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 16 a^{3} + 14 a^{2} + 12 a + 18 + \left(16 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 18\right)\cdot 19 + \left(4 a^{3} + 6 a + 3\right)\cdot 19^{2} + \left(17 a^{3} + 14 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 19^{3} + \left(9 a^{3} + 5 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 19^{4} + \left(8 a^{3} + 5 a^{2} + 17 a + 7\right)\cdot 19^{5} + \left(16 a^{3} + 3 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 19^{6} + \left(6 a^{3} + 2 a^{2} + 1\right)\cdot 19^{7} + \left(10 a^{3} + 13 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 19^{8} + \left(a^{3} + a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 19^{9} + \left(12 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 16\right)\cdot 19^{10} + \left(14 a^{3} + 16 a^{2} + 13 a + 17\right)\cdot 19^{11} + \left(13 a^{3} + 15 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 19^{12} + \left(12 a^{3} + 8 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 19^{13} + \left(a^{3} + 16 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 19^{14} + \left(6 a^{3} + 14 a + 8\right)\cdot 19^{15} + \left(a^{3} + 16 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 19^{16} + \left(8 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 19^{17} + \left(16 a^{3} + 13 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 19^{18} + \left(17 a^{3} + 5 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 19^{19} + \left(9 a^{3} + 14 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 19^{20} + \left(9 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 19^{21} + \left(6 a^{3} + 4 a^{2} + 14 a\right)\cdot 19^{22} +O\left(19^{ 23 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 14 a^{3} + 14 a^{2} + 2 a + 11 + \left(10 a^{3} + 10 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 19 + \left(12 a^{3} + 15 a^{2} + a + 6\right)\cdot 19^{2} + \left(4 a^{2} + 17\right)\cdot 19^{3} + \left(8 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 19^{4} + \left(16 a^{3} + 15 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 19^{5} + \left(15 a^{3} + 8 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 19^{6} + \left(3 a^{3} + 3 a^{2} + 5\right)\cdot 19^{7} + \left(2 a^{3} + 13 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 19^{8} + \left(14 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 19^{9} + \left(7 a^{3} + 4 a^{2} + a + 16\right)\cdot 19^{10} + \left(5 a^{3} + 17 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 19^{11} + \left(15 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 19^{12} + \left(12 a^{3} + 3 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 19^{13} + \left(17 a^{3} + 14 a^{2} + a + 6\right)\cdot 19^{14} + \left(18 a^{3} + 14 a^{2} + 6 a\right)\cdot 19^{15} + \left(3 a^{3} + 5 a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 19^{16} + \left(12 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 19^{17} + \left(a^{3} + 18 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 19^{18} + \left(12 a^{3} + 17 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 19^{19} + \left(13 a^{3} + 17 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 19^{20} + \left(15 a^{3} + 14 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 19^{21} + \left(a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 19^{22} +O\left(19^{ 23 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 5 + 7\cdot 19 + 3\cdot 19^{2} + 8\cdot 19^{3} + 10\cdot 19^{4} + 12\cdot 19^{5} + 2\cdot 19^{6} + 2\cdot 19^{8} + 5\cdot 19^{9} + 3\cdot 19^{10} + 17\cdot 19^{11} + 6\cdot 19^{12} + 6\cdot 19^{13} + 14\cdot 19^{14} + 11\cdot 19^{16} + 18\cdot 19^{17} + 8\cdot 19^{18} + 7\cdot 19^{19} + 14\cdot 19^{20} + 18\cdot 19^{21} + 18\cdot 19^{22} +O\left(19^{ 23 }\right)$ |
| $r_{ 9 }$ |
$=$ |
$ 10 a^{3} + 14 a^{2} + 16 a + 1 + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 19 + \left(8 a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 19^{2} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 19^{3} + \left(12 a^{3} + 14 a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 19^{4} + \left(13 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 19^{5} + \left(12 a^{3} + 18 a^{2} + 18 a + 10\right)\cdot 19^{6} + \left(18 a^{3} + 9 a + 3\right)\cdot 19^{7} + \left(8 a^{3} + 4 a^{2} + 16 a + 10\right)\cdot 19^{8} + \left(7 a^{3} + 17 a^{2} + 11 a\right)\cdot 19^{9} + \left(17 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 19^{10} + \left(7 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 18\right)\cdot 19^{11} + \left(6 a^{3} + 14 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 19^{12} + \left(9 a^{3} + a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 19^{13} + \left(5 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 19^{14} + \left(10 a^{3} + 16 a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 19^{15} + \left(6 a^{3} + 17 a^{2} + 2 a + 18\right)\cdot 19^{16} + \left(18 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 19^{17} + \left(14 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 19^{18} + \left(8 a^{3} + 2 a^{2} + a + 6\right)\cdot 19^{19} + \left(15 a^{3} + 10 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 19^{20} + \left(10 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 19^{21} + \left(a^{3} + 5 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 19^{22} +O\left(19^{ 23 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 9 }$
| Cycle notation |
| $(1,3,2,7,4,6,8,5)$ |
| $(1,4,9)(2,7,6)(3,5,8)$ |
| $(1,8,4,2)(3,5,6,7)$ |
| $(1,4)(2,8)(3,6)(5,7)$ |
| $(1,3,7)(2,9,8)(4,5,6)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 9 }$
| Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $8$ |
| $9$ | $2$ | $(1,2)(3,8)(4,6)(7,9)$ | $0$ |
| $8$ | $3$ | $(1,4,9)(2,7,6)(3,5,8)$ | $-1$ |
| $9$ | $4$ | $(1,7,2,9)(3,6,8,4)$ | $0$ |
| $9$ | $4$ | $(1,9,2,7)(3,4,8,6)$ | $0$ |
| $9$ | $8$ | $(1,6,7,8,2,4,9,3)$ | $0$ |
| $9$ | $8$ | $(1,8,9,6,2,3,7,4)$ | $0$ |
| $9$ | $8$ | $(1,4,7,3,2,6,9,8)$ | $0$ |
| $9$ | $8$ | $(1,3,9,4,2,8,7,6)$ | $0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
