Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 43 }$ to precision 15.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 43 }$: $ x^{4} + 5 x^{2} + 42 x + 3 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 17 + 14\cdot 43 + 5\cdot 43^{2} + 11\cdot 43^{3} + 21\cdot 43^{4} + 23\cdot 43^{5} + 29\cdot 43^{6} + 5\cdot 43^{7} + 12\cdot 43^{8} + 33\cdot 43^{9} + 14\cdot 43^{10} + 13\cdot 43^{11} + 27\cdot 43^{12} + 18\cdot 43^{13} + 13\cdot 43^{14} +O\left(43^{ 15 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 38 a^{3} + 9 a^{2} + 29 a + 18 + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + 14 a + 40\right)\cdot 43 + \left(21 a^{3} + 10 a^{2} + 26 a + 2\right)\cdot 43^{2} + \left(8 a^{3} + 41 a^{2} + 41 a + 42\right)\cdot 43^{3} + \left(3 a^{3} + 34 a^{2} + 10 a + 20\right)\cdot 43^{4} + \left(40 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 43^{5} + \left(9 a^{3} + 36 a^{2} + 7 a + 21\right)\cdot 43^{6} + \left(40 a^{3} + 25 a^{2} + 26 a + 12\right)\cdot 43^{7} + \left(18 a^{3} + 22 a^{2} + 15 a + 25\right)\cdot 43^{8} + \left(23 a^{3} + 21 a^{2} + 37 a + 42\right)\cdot 43^{9} + \left(19 a^{3} + 22 a^{2} + 27 a + 17\right)\cdot 43^{10} + \left(6 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 30\right)\cdot 43^{11} + \left(34 a^{3} + 3 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 43^{12} + \left(38 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 28\right)\cdot 43^{13} + \left(6 a^{3} + 23 a^{2} + 5 a + 23\right)\cdot 43^{14} +O\left(43^{ 15 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 26 a^{3} + 20 a^{2} + 2 a + 24 + \left(11 a^{3} + 20 a^{2} + 3 a + 34\right)\cdot 43 + \left(12 a^{3} + 14 a^{2} + 40 a + 3\right)\cdot 43^{2} + \left(28 a^{3} + 9 a^{2} + 18 a + 36\right)\cdot 43^{3} + \left(23 a^{3} + 26 a^{2} + 25 a + 15\right)\cdot 43^{4} + \left(8 a^{3} + 23 a^{2} + 24 a + 27\right)\cdot 43^{5} + \left(38 a^{3} + 30 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 43^{6} + \left(19 a^{3} + 19 a^{2} + 17 a + 15\right)\cdot 43^{7} + \left(30 a^{3} + 26 a^{2} + 20 a + 16\right)\cdot 43^{8} + \left(39 a^{3} + 4 a^{2} + 17 a + 36\right)\cdot 43^{9} + \left(40 a^{3} + 38 a^{2} + 42 a + 2\right)\cdot 43^{10} + \left(19 a^{3} + 16 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 43^{11} + \left(21 a^{3} + 19 a^{2} + 37 a + 14\right)\cdot 43^{12} + \left(13 a^{3} + 3 a^{2} + 42 a + 3\right)\cdot 43^{13} + \left(41 a^{3} + 19 a^{2} + 16 a + 28\right)\cdot 43^{14} +O\left(43^{ 15 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 33 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 30 + \left(9 a^{3} + 28 a^{2} + 5 a + 25\right)\cdot 43 + \left(33 a^{3} + 23 a^{2} + 31 a + 7\right)\cdot 43^{2} + \left(4 a^{3} + 22 a + 38\right)\cdot 43^{3} + \left(12 a^{3} + 17 a^{2} + 9 a + 41\right)\cdot 43^{4} + \left(9 a^{3} + 36 a^{2} + 25 a + 11\right)\cdot 43^{5} + \left(27 a^{2} + 26 a + 1\right)\cdot 43^{6} + \left(11 a^{3} + 18 a^{2} + 11 a + 42\right)\cdot 43^{7} + \left(40 a^{3} + 23 a^{2} + 26 a + 10\right)\cdot 43^{8} + \left(15 a^{3} + 34 a^{2} + 17 a + 32\right)\cdot 43^{9} + \left(19 a^{3} + 27 a^{2} + 38 a + 25\right)\cdot 43^{10} + \left(8 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 43^{11} + \left(4 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 31\right)\cdot 43^{12} + \left(26 a^{2} + 19 a + 10\right)\cdot 43^{13} + \left(11 a^{3} + 42 a^{2} + 4 a + 29\right)\cdot 43^{14} +O\left(43^{ 15 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 2 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 17 + \left(12 a^{3} + a^{2} + 24 a\right)\cdot 43 + \left(12 a^{3} + 4 a^{2} + 20 a + 21\right)\cdot 43^{2} + \left(34 a^{3} + 2 a^{2} + 31 a + 13\right)\cdot 43^{3} + \left(6 a^{3} + 30 a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 43^{4} + \left(22 a^{3} + 11 a^{2} + a + 39\right)\cdot 43^{5} + \left(11 a^{3} + 21 a^{2} + 10 a + 42\right)\cdot 43^{6} + \left(35 a^{3} + 3 a^{2} + 18 a + 28\right)\cdot 43^{7} + \left(41 a^{3} + 22 a^{2} + 41 a + 40\right)\cdot 43^{8} + \left(35 a^{3} + 35 a^{2} + 38\right)\cdot 43^{9} + \left(16 a^{3} + 34 a^{2} + 22 a + 9\right)\cdot 43^{10} + \left(10 a^{3} + 8 a^{2} + 22 a + 5\right)\cdot 43^{11} + \left(33 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 43^{12} + \left(37 a^{3} + 36 a^{2} + 40 a + 11\right)\cdot 43^{13} + \left(26 a^{3} + 25 a^{2} + 18 a + 20\right)\cdot 43^{14} +O\left(43^{ 15 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 34 a^{3} + 37 a + 20 + \left(15 a^{3} + 13 a^{2} + 31 a + 5\right)\cdot 43 + \left(34 a^{3} + 17 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 43^{2} + \left(3 a^{3} + 38 a^{2} + 26 a + 16\right)\cdot 43^{3} + \left(33 a^{3} + 24 a^{2} + 29 a + 34\right)\cdot 43^{4} + \left(33 a^{3} + 24 a^{2} + 3 a + 22\right)\cdot 43^{5} + \left(10 a^{3} + 10 a^{2} + 38 a + 11\right)\cdot 43^{6} + \left(41 a^{3} + 22 a^{2} + 27 a + 36\right)\cdot 43^{7} + \left(18 a^{3} + 37 a^{2} + 5 a + 41\right)\cdot 43^{8} + \left(12 a^{3} + 23 a^{2} + 24 a + 2\right)\cdot 43^{9} + \left(31 a^{3} + 27 a^{2} + 5 a + 35\right)\cdot 43^{10} + \left(18 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 32\right)\cdot 43^{11} + \left(5 a^{3} + 27 a^{2} + 35 a + 7\right)\cdot 43^{12} + \left(10 a^{3} + 24 a^{2} + 6 a\right)\cdot 43^{13} + \left(20 a^{3} + 41 a^{2} + 39 a + 38\right)\cdot 43^{14} +O\left(43^{ 15 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 20 a^{3} + 18 a^{2} + 33 a + 2 + \left(19 a^{3} + 11 a^{2} + 26 a + 23\right)\cdot 43 + \left(4 a^{3} + 23 a^{2} + 33 a + 37\right)\cdot 43^{2} + \left(42 a^{3} + 16 a^{2} + 26 a + 37\right)\cdot 43^{3} + \left(24 a^{3} + 28 a^{2} + a + 19\right)\cdot 43^{4} + \left(35 a^{3} + 22 a^{2} + 23 a + 16\right)\cdot 43^{5} + \left(27 a^{3} + 21 a^{2} + 13 a + 41\right)\cdot 43^{6} + \left(23 a^{3} + 13 a^{2} + 33 a + 31\right)\cdot 43^{7} + \left(35 a^{3} + 26 a^{2} + 18 a + 25\right)\cdot 43^{8} + \left(18 a^{3} + 31 a^{2} + 25 a + 26\right)\cdot 43^{9} + \left(33 a^{3} + 14 a^{2} + 25 a + 9\right)\cdot 43^{10} + \left(40 a^{3} + 34 a^{2} + 15 a + 37\right)\cdot 43^{11} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + 41 a + 39\right)\cdot 43^{12} + \left(17 a^{3} + 11 a^{2} + 34 a + 10\right)\cdot 43^{13} + \left(37 a^{3} + 10 a^{2} + 28 a + 33\right)\cdot 43^{14} +O\left(43^{ 15 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 24 a^{3} + 26 a^{2} + 9 a + 28 + \left(9 a^{3} + 38 a^{2} + 34 a + 23\right)\cdot 43 + \left(40 a^{3} + 34 a^{2} + 21 a + 19\right)\cdot 43^{2} + \left(25 a^{3} + 5 a^{2} + 38 a + 8\right)\cdot 43^{3} + \left(37 a^{3} + 9 a^{2} + 35 a + 8\right)\cdot 43^{4} + \left(42 a^{3} + 27 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 43^{5} + \left(22 a^{3} + 10 a^{2} + 14 a + 9\right)\cdot 43^{6} + \left(36 a^{3} + 19 a^{2} + 20 a + 9\right)\cdot 43^{7} + \left(7 a^{3} + 2 a^{2} + 38 a + 34\right)\cdot 43^{8} + \left(34 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 19\right)\cdot 43^{9} + \left(15 a^{3} + 8 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 43^{10} + \left(9 a^{3} + 15 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 43^{11} + \left(42 a^{3} + 3 a^{2} + 25 a + 10\right)\cdot 43^{12} + \left(36 a^{3} + 25 a^{2} + 9 a + 30\right)\cdot 43^{13} + \left(4 a^{3} + 21 a^{2} + 37 a + 19\right)\cdot 43^{14} +O\left(43^{ 15 }\right)$ |
| $r_{ 9 }$ |
$=$ |
$ 38 a^{3} + 38 a^{2} + 42 a + 17 + \left(42 a^{3} + 9 a^{2} + 31 a + 4\right)\cdot 43 + \left(13 a^{3} + a^{2} + 34 a + 25\right)\cdot 43^{2} + \left(24 a^{3} + 15 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 43^{3} + \left(30 a^{3} + a^{2} + 41 a + 42\right)\cdot 43^{4} + \left(19 a^{3} + 28 a^{2} + 36 a + 2\right)\cdot 43^{5} + \left(8 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 43^{6} + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + 17 a + 33\right)\cdot 43^{7} + \left(21 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 43^{8} + \left(34 a^{3} + 14 a^{2} + 42 a + 25\right)\cdot 43^{9} + \left(37 a^{3} + 41 a^{2} + 38 a + 41\right)\cdot 43^{10} + \left(14 a^{3} + 25 a^{2} + 36 a + 38\right)\cdot 43^{11} + \left(21 a^{3} + 16 a^{2} + 39 a + 24\right)\cdot 43^{12} + \left(17 a^{3} + 35 a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 43^{13} + \left(23 a^{3} + 30 a^{2} + 21 a + 9\right)\cdot 43^{14} +O\left(43^{ 15 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 9 }$
| Cycle notation |
| $(1,9)(2,4)(3,8)(6,7)$ |
| $(1,3,7)(2,5,4)(6,8,9)$ |
| $(1,4,9,2)(3,6,8,7)$ |
| $(1,3,2,7,9,8,4,6)$ |
| $(1,2,6)(3,5,8)(4,9,7)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 9 }$
| Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $8$ |
| $9$ | $2$ | $(1,4)(2,7)(3,5)(6,9)$ | $0$ |
| $8$ | $3$ | $(1,3,7)(2,5,4)(6,8,9)$ | $-1$ |
| $9$ | $4$ | $(1,5,4,3)(2,6,7,9)$ | $0$ |
| $9$ | $4$ | $(1,3,4,5)(2,9,7,6)$ | $0$ |
| $9$ | $8$ | $(1,2,5,6,4,7,3,9)$ | $0$ |
| $9$ | $8$ | $(1,6,3,2,4,9,5,7)$ | $0$ |
| $9$ | $8$ | $(1,7,5,9,4,2,3,6)$ | $0$ |
| $9$ | $8$ | $(1,9,3,7,4,6,5,2)$ | $0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
