↑

Properties

Label 8.11e4_23e6.12t177.2c1
Dimension 8
Group $(((C_3 \times (C_3^2 : C_2)) : C_2) : C_3) : C_2$
Conductor $ 11^{4} \cdot 23^{6}$
Root number 1
Frobenius-Schur indicator 1

Related objects

Learn more about

Basic invariants

Dimension:$8$
Group:$(((C_3 \times (C_3^2 : C_2)) : C_2) : C_3) : C_2$
Conductor:$2167393450849= 11^{4} \cdot 23^{6} $
Artin number field: Splitting field of $f= x^{9} - 2 x^{8} + 2 x^{7} - 2 x^{5} + 2 x^{4} - x + 1 $ over $\Q$
Size of Galois orbit: 1
Smallest containing permutation representation: 12T177
Parity: Even
Determinant: 1.1.1t1.1c1

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 223 }$ to precision 33.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 223 }$: $ x^{3} + 6 x + 220 $
Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ $ 2 + 197\cdot 223 + 26\cdot 223^{2} + 153\cdot 223^{3} + 88\cdot 223^{4} + 9\cdot 223^{5} + 56\cdot 223^{6} + 187\cdot 223^{7} + 69\cdot 223^{8} + 168\cdot 223^{9} + 182\cdot 223^{10} + 69\cdot 223^{11} + 124\cdot 223^{12} + 63\cdot 223^{13} + 151\cdot 223^{14} + 154\cdot 223^{15} + 88\cdot 223^{16} + 223^{17} + 70\cdot 223^{18} + 50\cdot 223^{19} + 42\cdot 223^{20} + 32\cdot 223^{21} + 34\cdot 223^{22} + 140\cdot 223^{23} + 79\cdot 223^{24} + 37\cdot 223^{25} + 221\cdot 223^{26} + 56\cdot 223^{27} + 187\cdot 223^{28} + 152\cdot 223^{29} + 214\cdot 223^{30} + 88\cdot 223^{31} + 124\cdot 223^{32} +O\left(223^{ 33 }\right)$
$r_{ 2 }$ $=$ $ 43 + 192\cdot 223 + 139\cdot 223^{2} + 54\cdot 223^{3} + 53\cdot 223^{4} + 87\cdot 223^{5} + 103\cdot 223^{6} + 212\cdot 223^{7} + 170\cdot 223^{8} + 198\cdot 223^{9} + 134\cdot 223^{10} + 187\cdot 223^{11} + 131\cdot 223^{12} + 210\cdot 223^{13} + 148\cdot 223^{14} + 161\cdot 223^{15} + 156\cdot 223^{16} + 210\cdot 223^{17} + 165\cdot 223^{18} + 29\cdot 223^{19} + 213\cdot 223^{20} + 171\cdot 223^{21} + 119\cdot 223^{22} + 71\cdot 223^{23} + 154\cdot 223^{24} + 90\cdot 223^{25} + 75\cdot 223^{26} + 30\cdot 223^{27} + 191\cdot 223^{28} + 179\cdot 223^{29} + 191\cdot 223^{30} + 179\cdot 223^{31} + 190\cdot 223^{32} +O\left(223^{ 33 }\right)$
$r_{ 3 }$ $=$ $ 70 + 50\cdot 223 + 41\cdot 223^{2} + 141\cdot 223^{3} + 116\cdot 223^{4} + 48\cdot 223^{5} + 145\cdot 223^{6} + 84\cdot 223^{7} + 96\cdot 223^{8} + 177\cdot 223^{9} + 199\cdot 223^{10} + 134\cdot 223^{11} + 158\cdot 223^{12} + 193\cdot 223^{13} + 104\cdot 223^{14} + 75\cdot 223^{15} + 60\cdot 223^{16} + 127\cdot 223^{17} + 33\cdot 223^{18} + 138\cdot 223^{19} + 159\cdot 223^{20} + 96\cdot 223^{21} + 165\cdot 223^{22} + 89\cdot 223^{23} + 27\cdot 223^{24} + 4\cdot 223^{25} + 167\cdot 223^{26} + 107\cdot 223^{27} + 153\cdot 223^{28} + 133\cdot 223^{29} + 18\cdot 223^{30} + 144\cdot 223^{31} + 165\cdot 223^{32} +O\left(223^{ 33 }\right)$
$r_{ 4 }$ $=$ $ 27 a^{2} + 100 a + 14 + \left(152 a^{2} + 10 a + 131\right)\cdot 223 + \left(79 a^{2} + 143 a + 116\right)\cdot 223^{2} + \left(31 a^{2} + 78 a + 122\right)\cdot 223^{3} + \left(112 a^{2} + 3 a + 153\right)\cdot 223^{4} + \left(a^{2} + 183 a + 34\right)\cdot 223^{5} + \left(78 a^{2} + 55 a + 97\right)\cdot 223^{6} + \left(50 a^{2} + 36 a + 206\right)\cdot 223^{7} + \left(18 a^{2} + 143 a + 81\right)\cdot 223^{8} + \left(123 a^{2} + 147 a + 160\right)\cdot 223^{9} + \left(29 a^{2} + 59 a + 83\right)\cdot 223^{10} + \left(215 a^{2} + 138 a + 97\right)\cdot 223^{11} + \left(157 a^{2} + 29 a + 151\right)\cdot 223^{12} + \left(61 a^{2} + 171 a + 22\right)\cdot 223^{13} + \left(112 a^{2} + 8 a + 39\right)\cdot 223^{14} + \left(99 a^{2} + 157 a + 92\right)\cdot 223^{15} + \left(36 a^{2} + 183 a + 193\right)\cdot 223^{16} + \left(164 a^{2} + 106 a + 31\right)\cdot 223^{17} + \left(55 a^{2} + 207 a + 196\right)\cdot 223^{18} + \left(178 a^{2} + 18 a + 15\right)\cdot 223^{19} + \left(171 a^{2} + 103 a + 79\right)\cdot 223^{20} + \left(15 a^{2} + 7 a + 145\right)\cdot 223^{21} + \left(88 a^{2} + 151 a + 84\right)\cdot 223^{22} + \left(66 a^{2} + 55 a + 197\right)\cdot 223^{23} + \left(136 a^{2} + 167 a + 204\right)\cdot 223^{24} + \left(66 a^{2} + 212 a + 35\right)\cdot 223^{25} + \left(215 a^{2} + 168 a + 205\right)\cdot 223^{26} + \left(172 a^{2} + 152 a + 68\right)\cdot 223^{27} + \left(103 a^{2} + 123 a + 3\right)\cdot 223^{28} + \left(70 a^{2} + 153 a + 145\right)\cdot 223^{29} + \left(126 a^{2} + 145 a + 199\right)\cdot 223^{30} + \left(210 a^{2} + 166 a + 198\right)\cdot 223^{31} + \left(64 a^{2} + 190 a + 203\right)\cdot 223^{32} +O\left(223^{ 33 }\right)$
$r_{ 5 }$ $=$ $ 39 a^{2} + 51 a + 62 + \left(75 a^{2} + 214 a + 46\right)\cdot 223 + \left(12 a^{2} + 109 a + 70\right)\cdot 223^{2} + \left(156 a^{2} + 115 a + 175\right)\cdot 223^{3} + \left(145 a^{2} + 130 a + 64\right)\cdot 223^{4} + \left(147 a^{2} + 58 a + 173\right)\cdot 223^{5} + \left(207 a^{2} + 209 a + 169\right)\cdot 223^{6} + \left(57 a^{2} + 203 a + 13\right)\cdot 223^{7} + \left(166 a^{2} + 197 a + 5\right)\cdot 223^{8} + \left(27 a^{2} + 37 a + 2\right)\cdot 223^{9} + \left(218 a^{2} + 219 a + 169\right)\cdot 223^{10} + \left(31 a^{2} + 187 a + 33\right)\cdot 223^{11} + \left(109 a^{2} + 113 a + 179\right)\cdot 223^{12} + \left(160 a^{2} + 199 a + 194\right)\cdot 223^{13} + \left(131 a^{2} + 94 a + 116\right)\cdot 223^{14} + \left(136 a^{2} + 6 a + 17\right)\cdot 223^{15} + \left(89 a^{2} + 104 a + 183\right)\cdot 223^{16} + \left(163 a^{2} + 158 a + 28\right)\cdot 223^{17} + \left(14 a^{2} + 2 a + 32\right)\cdot 223^{18} + \left(143 a^{2} + 106 a + 98\right)\cdot 223^{19} + \left(157 a^{2} + 113 a + 22\right)\cdot 223^{20} + \left(103 a^{2} + 195 a + 51\right)\cdot 223^{21} + \left(61 a^{2} + 89 a + 201\right)\cdot 223^{22} + \left(137 a^{2} + 15 a + 34\right)\cdot 223^{23} + \left(42 a^{2} + 19 a + 53\right)\cdot 223^{24} + \left(3 a^{2} + 198 a + 5\right)\cdot 223^{25} + \left(92 a^{2} + 51 a + 158\right)\cdot 223^{26} + \left(165 a^{2} + 61 a + 38\right)\cdot 223^{27} + \left(135 a^{2} + 169 a + 131\right)\cdot 223^{28} + \left(22 a^{2} + 154 a + 176\right)\cdot 223^{29} + \left(157 a^{2} + 189 a + 99\right)\cdot 223^{30} + \left(26 a^{2} + 69 a + 132\right)\cdot 223^{31} + \left(156 a^{2} + 3 a + 122\right)\cdot 223^{32} +O\left(223^{ 33 }\right)$
$r_{ 6 }$ $=$ $ 41 a^{2} + 89 a + 146 + \left(204 a^{2} + 5 a + 32\right)\cdot 223 + \left(100 a^{2} + 101 a + 16\right)\cdot 223^{2} + \left(198 a^{2} + 189 a + 160\right)\cdot 223^{3} + \left(171 a^{2} + 56 a + 78\right)\cdot 223^{4} + \left(170 a^{2} + 184 a + 11\right)\cdot 223^{5} + \left(10 a^{2} + 164 a + 82\right)\cdot 223^{6} + \left(3 a^{2} + 132 a + 217\right)\cdot 223^{7} + \left(165 a^{2} + 149 a + 166\right)\cdot 223^{8} + \left(36 a^{2} + 124 a + 148\right)\cdot 223^{9} + \left(11 a^{2} + 78 a + 129\right)\cdot 223^{10} + \left(195 a^{2} + 113 a + 74\right)\cdot 223^{11} + \left(25 a^{2} + 114 a + 148\right)\cdot 223^{12} + \left(29 a^{2} + 103 a + 184\right)\cdot 223^{13} + \left(183 a^{2} + 194 a + 189\right)\cdot 223^{14} + \left(60 a^{2} + 101 a + 46\right)\cdot 223^{15} + \left(167 a^{2} + 197 a + 222\right)\cdot 223^{16} + \left(156 a^{2} + 10 a + 97\right)\cdot 223^{17} + \left(45 a^{2} + 80 a + 45\right)\cdot 223^{18} + \left(195 a^{2} + 120 a + 67\right)\cdot 223^{19} + \left(90 a^{2} + 148 a + 164\right)\cdot 223^{20} + \left(126 a^{2} + 94 a + 25\right)\cdot 223^{21} + \left(120 a^{2} + 36 a + 123\right)\cdot 223^{22} + \left(205 a^{2} + 48 a + 46\right)\cdot 223^{23} + \left(84 a^{2} + 31 a + 221\right)\cdot 223^{24} + \left(204 a^{2} + 67 a + 111\right)\cdot 223^{25} + \left(40 a^{2} + 177 a + 70\right)\cdot 223^{26} + \left(146 a^{2} + 136 a + 176\right)\cdot 223^{27} + \left(205 a^{2} + 177 a + 90\right)\cdot 223^{28} + \left(8 a^{2} + 95 a + 91\right)\cdot 223^{29} + \left(145 a^{2} + 221 a + 149\right)\cdot 223^{30} + \left(22 a^{2} + 69 a + 1\right)\cdot 223^{31} + \left(33 a^{2} + 71 a + 28\right)\cdot 223^{32} +O\left(223^{ 33 }\right)$
$r_{ 7 }$ $=$ $ 157 a^{2} + 72 a + 88 + \left(218 a^{2} + 221 a + 174\right)\cdot 223 + \left(130 a^{2} + 192 a + 98\right)\cdot 223^{2} + \left(35 a^{2} + 28 a + 139\right)\cdot 223^{3} + \left(188 a^{2} + 89 a + 11\right)\cdot 223^{4} + \left(73 a^{2} + 204 a + 101\right)\cdot 223^{5} + \left(160 a^{2} + 180 a + 203\right)\cdot 223^{6} + \left(114 a^{2} + 205 a + 17\right)\cdot 223^{7} + \left(38 a^{2} + 104 a + 163\right)\cdot 223^{8} + \left(72 a^{2} + 37 a + 179\right)\cdot 223^{9} + \left(198 a^{2} + 167 a + 89\right)\cdot 223^{10} + \left(198 a^{2} + 119 a + 32\right)\cdot 223^{11} + \left(178 a^{2} + 79 a + 12\right)\cdot 223^{12} + \left(75 a + 2\right)\cdot 223^{13} + \left(202 a^{2} + 119 a + 175\right)\cdot 223^{14} + \left(209 a^{2} + 59 a + 87\right)\cdot 223^{15} + \left(96 a^{2} + 158 a + 212\right)\cdot 223^{16} + \left(118 a^{2} + 180 a + 71\right)\cdot 223^{17} + \left(152 a^{2} + 12 a + 137\right)\cdot 223^{18} + \left(124 a^{2} + 98 a + 24\right)\cdot 223^{19} + \left(116 a^{2} + 6 a + 81\right)\cdot 223^{20} + \left(103 a^{2} + 20 a + 50\right)\cdot 223^{21} + \left(73 a^{2} + 205 a + 26\right)\cdot 223^{22} + \left(19 a^{2} + 151 a + 9\right)\cdot 223^{23} + \left(44 a^{2} + 36 a + 59\right)\cdot 223^{24} + \left(153 a^{2} + 35 a + 159\right)\cdot 223^{25} + \left(138 a^{2} + 2 a + 121\right)\cdot 223^{26} + \left(107 a^{2} + 9 a + 30\right)\cdot 223^{27} + \left(206 a^{2} + 153 a + 191\right)\cdot 223^{28} + \left(129 a^{2} + 137 a + 159\right)\cdot 223^{29} + \left(162 a^{2} + 110 a + 121\right)\cdot 223^{30} + \left(208 a^{2} + 209 a + 191\right)\cdot 223^{31} + \left(a^{2} + 28 a + 174\right)\cdot 223^{32} +O\left(223^{ 33 }\right)$
$r_{ 8 }$ $=$ $ 201 a^{2} + 145 a + 117 + \left(182 a^{2} + 193 a + 170\right)\cdot 223 + \left(66 a^{2} + 187 a + 102\right)\cdot 223^{2} + \left(23 a^{2} + 135 a + 128\right)\cdot 223^{3} + \left(50 a^{2} + 91 a + 37\right)\cdot 223^{4} + \left(a^{2} + 92 a + 2\right)\cdot 223^{5} + \left(222 a^{2} + 175 a + 35\right)\cdot 223^{6} + \left(22 a^{2} + 63 a + 74\right)\cdot 223^{7} + \left(145 a^{2} + 220 a + 87\right)\cdot 223^{8} + \left(125 a^{2} + 174 a + 58\right)\cdot 223^{9} + \left(92 a^{2} + a + 9\right)\cdot 223^{10} + \left(63 a^{2} + 113 a + 217\right)\cdot 223^{11} + \left(97 a^{2} + 176 a + 210\right)\cdot 223^{12} + \left(186 a^{2} + 10 a + 144\right)\cdot 223^{13} + \left(162 a^{2} + 185 a + 108\right)\cdot 223^{14} + \left(97 a^{2} + 57 a + 194\right)\cdot 223^{15} + \left(158 a^{2} + 42 a + 186\right)\cdot 223^{16} + \left(63 a^{2} + 203 a + 171\right)\cdot 223^{17} + \left(a^{2} + 153 a + 90\right)\cdot 223^{18} + \left(130 a^{2} + 137 a + 29\right)\cdot 223^{19} + \left(93 a^{2} + 30 a + 175\right)\cdot 223^{20} + \left(178 a^{2} + 195 a + 10\right)\cdot 223^{21} + \left(74 a^{2} + 68 a + 163\right)\cdot 223^{22} + \left(44 a^{2} + 128 a + 70\right)\cdot 223^{23} + \left(165 a^{2} + 171 a + 96\right)\cdot 223^{24} + \left(184 a^{2} + 132 a + 33\right)\cdot 223^{25} + \left(50 a^{2} + 202 a + 110\right)\cdot 223^{26} + \left(133 a^{2} + 16 a + 124\right)\cdot 223^{27} + \left(8 a^{2} + 83 a + 194\right)\cdot 223^{28} + \left(83 a^{2} + 66 a + 164\right)\cdot 223^{29} + \left(119 a^{2} + 114 a + 46\right)\cdot 223^{30} + \left(216 a^{2} + 221 a + 108\right)\cdot 223^{31} + \left(5 a^{2} + 153 a + 142\right)\cdot 223^{32} +O\left(223^{ 33 }\right)$
$r_{ 9 }$ $=$ $ 204 a^{2} + 212 a + 129 + \left(58 a^{2} + 23 a + 120\right)\cdot 223 + \left(55 a^{2} + 157 a + 56\right)\cdot 223^{2} + \left(a^{2} + 120 a + 40\right)\cdot 223^{3} + \left(a^{2} + 74 a + 64\right)\cdot 223^{4} + \left(51 a^{2} + 169 a + 201\right)\cdot 223^{5} + \left(213 a^{2} + 105 a + 222\right)\cdot 223^{6} + \left(196 a^{2} + 26 a + 100\right)\cdot 223^{7} + \left(135 a^{2} + 76 a + 50\right)\cdot 223^{8} + \left(60 a^{2} + 146 a + 21\right)\cdot 223^{9} + \left(119 a^{2} + 142 a + 116\right)\cdot 223^{10} + \left(187 a^{2} + 219 a + 44\right)\cdot 223^{11} + \left(99 a^{2} + 154 a + 221\right)\cdot 223^{12} + \left(7 a^{2} + 108 a + 97\right)\cdot 223^{13} + \left(100 a^{2} + 66 a + 80\right)\cdot 223^{14} + \left(64 a^{2} + 63 a + 61\right)\cdot 223^{15} + \left(120 a^{2} + 206 a + 34\right)\cdot 223^{16} + \left(2 a^{2} + 8 a + 150\right)\cdot 223^{17} + \left(176 a^{2} + 212 a + 120\right)\cdot 223^{18} + \left(120 a^{2} + 187 a + 215\right)\cdot 223^{19} + \left(38 a^{2} + 43 a + 177\right)\cdot 223^{20} + \left(141 a^{2} + 156 a + 84\right)\cdot 223^{21} + \left(27 a^{2} + 117 a + 197\right)\cdot 223^{22} + \left(196 a^{2} + 46 a + 8\right)\cdot 223^{23} + \left(195 a^{2} + 20 a + 219\right)\cdot 223^{24} + \left(56 a^{2} + 23 a + 190\right)\cdot 223^{25} + \left(131 a^{2} + 66 a + 208\right)\cdot 223^{26} + \left(166 a^{2} + 69 a + 34\right)\cdot 223^{27} + \left(8 a^{2} + 185 a + 195\right)\cdot 223^{28} + \left(131 a^{2} + 60 a + 133\right)\cdot 223^{29} + \left(181 a^{2} + 110 a + 72\right)\cdot 223^{30} + \left(206 a^{2} + 154 a + 69\right)\cdot 223^{31} + \left(183 a^{2} + 220 a + 185\right)\cdot 223^{32} +O\left(223^{ 33 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 9 }$

Cycle notation
$(1,5,2,4)(3,7)$
$(1,2,3)$
$(4,5,7)$
$(1,4,6)(2,5,8)(3,7,9)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 9 }$ Character value
$1$$1$$()$$8$
$27$$2$$(4,5)(6,8)$$0$
$54$$2$$(1,4)(2,5)(3,7)(6,8)$$0$
$6$$3$$(6,9,8)$$-4$
$8$$3$$(1,2,3)(4,5,7)(6,8,9)$$-1$
$12$$3$$(4,7,5)(6,9,8)$$2$
$72$$3$$(1,4,6)(2,5,8)(3,7,9)$$-1$
$54$$4$$(4,6,5,8)(7,9)$$0$
$54$$6$$(1,2)(4,5)(6,8,9)$$0$
$108$$6$$(1,2)(4,6,7,9,5,8)$$0$
$72$$9$$(1,4,6,2,5,8,3,7,9)$$2$
$72$$9$$(1,4,6,3,7,9,2,5,8)$$-1$
$54$$12$$(1,5,2,4)(3,7)(6,9,8)$$0$
$54$$12$$(1,5,2,4)(3,7)(6,8,9)$$0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.