Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 11 }$ to precision 20.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 11 }$: $ x^{7} + 4 x + 9 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 3 + 8\cdot 11 + 8\cdot 11^{2} + 4\cdot 11^{3} + 9\cdot 11^{4} + 2\cdot 11^{5} + 2\cdot 11^{6} + 6\cdot 11^{7} + 2\cdot 11^{8} + 5\cdot 11^{9} + 2\cdot 11^{10} + 8\cdot 11^{11} + 5\cdot 11^{12} + 11^{13} + 9\cdot 11^{14} + 2\cdot 11^{15} + 2\cdot 11^{16} + 7\cdot 11^{17} + 9\cdot 11^{18} + 6\cdot 11^{19} +O\left(11^{ 20 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 5 a^{5} + a^{4} + 4 a^{2} + 5 a + \left(7 a^{6} + 7 a^{5} + 10 a^{4} + 6 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 11 + \left(2 a^{6} + 7 a^{5} + 7 a^{4} + 9 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 11^{2} + \left(8 a^{6} + 10 a^{5} + 3 a^{4} + 10 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a\right)\cdot 11^{3} + \left(8 a^{6} + 4 a^{5} + 9 a^{4} + 4 a + 5\right)\cdot 11^{4} + \left(6 a^{6} + 5 a^{5} + 5 a^{4} + 8 a^{3} + 3 a + 2\right)\cdot 11^{5} + \left(7 a^{6} + 10 a^{5} + 9 a^{4} + 2 a^{3} + 6 a + 2\right)\cdot 11^{6} + \left(a^{6} + 2 a^{5} + 10 a^{4} + 4 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a\right)\cdot 11^{7} + \left(3 a^{6} + 4 a^{5} + 6 a^{4} + 4 a^{3} + 1\right)\cdot 11^{8} + \left(8 a^{5} + 8 a^{4} + 5 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 11^{9} + \left(5 a^{6} + 7 a^{5} + 8 a^{4} + 6 a^{3} + 3 a + 2\right)\cdot 11^{10} + \left(9 a^{6} + 3 a^{5} + 4 a^{4} + 8 a^{3} + 8 a + 9\right)\cdot 11^{11} + \left(2 a^{6} + 8 a^{5} + 10 a^{4} + a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 11^{12} + \left(2 a^{6} + 9 a^{5} + 8 a^{4} + 3 a^{3} + a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 11^{13} + \left(3 a^{6} + 4 a^{5} + 5 a^{4} + 6 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 11^{14} + \left(10 a^{6} + 6 a^{5} + 10 a^{4} + 2 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 11^{15} + \left(10 a^{6} + 9 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 11^{16} + \left(5 a^{6} + 6 a^{5} + a^{4} + 8 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 11^{17} + \left(6 a^{6} + 7 a^{5} + 9 a^{4} + 5 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 11^{18} + \left(6 a^{6} + 2 a^{4} + 2 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 11^{19} +O\left(11^{ 20 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ a^{6} + 4 a^{5} + 2 a^{4} + 10 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 5 + \left(10 a^{6} + 7 a^{5} + 2 a^{4} + 5 a\right)\cdot 11 + \left(2 a^{6} + 8 a^{5} + 7 a^{4} + 3 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 11^{2} + \left(10 a^{6} + 10 a^{5} + 7 a^{4} + 2 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 11^{3} + \left(4 a^{6} + 7 a^{5} + a^{4} + 8 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 11^{4} + \left(3 a^{6} + 4 a^{5} + 10 a^{4} + 8 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 11^{5} + \left(2 a^{6} + 7 a^{5} + 10 a^{4} + 7 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 11^{6} + \left(10 a^{6} + 9 a^{5} + 9 a^{4} + 9 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 11^{7} + \left(a^{6} + 2 a^{5} + 3 a^{4} + 2 a^{3} + 9 a^{2} + a + 1\right)\cdot 11^{8} + \left(7 a^{6} + 2 a^{5} + 7 a^{4} + 2 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 11^{9} + \left(a^{6} + 3 a^{5} + 3 a^{4} + 5 a^{3} + 6 a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{10} + \left(3 a^{6} + 10 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 11^{11} + \left(3 a^{6} + 5 a^{5} + 10 a^{4} + 4 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 11^{12} + \left(5 a^{6} + 3 a^{5} + 3 a^{4} + 6 a^{2} + 10 a\right)\cdot 11^{13} + \left(5 a^{6} + 5 a^{5} + 5 a^{4} + 3 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 11^{14} + \left(7 a^{6} + 8 a^{5} + 2 a^{4} + 6 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 11^{15} + \left(4 a^{6} + 7 a^{5} + 3 a^{4} + a^{3} + 6 a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{16} + \left(a^{6} + 6 a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{2} + 2\right)\cdot 11^{17} + \left(7 a^{6} + 6 a^{5} + 2 a^{4} + 4 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 11^{18} + \left(a^{6} + 10 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{19} +O\left(11^{ 20 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 2 a^{6} + 8 a^{5} + 6 a^{4} + 8 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 10 + \left(10 a^{6} + 6 a^{5} + a^{4} + 5 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 11 + \left(9 a^{6} + 5 a^{5} + a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 11^{2} + \left(5 a^{6} + 4 a^{5} + 6 a^{4} + a^{3} + a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 11^{3} + \left(2 a^{6} + 7 a^{5} + a^{4} + 2 a^{3} + a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 11^{4} + \left(3 a^{6} + 10 a^{5} + 8 a^{4} + 2 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 11^{5} + \left(8 a^{6} + a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 11^{6} + \left(4 a^{6} + 10 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 11^{7} + \left(5 a^{6} + 9 a^{5} + 9 a^{4} + 5 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 11^{8} + \left(6 a^{6} + 4 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 11^{9} + \left(a^{6} + 7 a^{5} + 5 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 11^{10} + \left(a^{6} + 4 a^{5} + 3 a^{4} + 6 a^{2} + 2\right)\cdot 11^{11} + \left(5 a^{6} + 4 a^{5} + 5 a^{4} + 6 a^{3} + 8 a + 7\right)\cdot 11^{12} + \left(6 a^{5} + 4 a^{4} + 5 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 11^{13} + \left(4 a^{6} + 5 a^{5} + 2 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 11^{14} + \left(7 a^{6} + a^{5} + 4 a^{4} + 10 a^{3} + 7 a + 4\right)\cdot 11^{15} + \left(5 a^{6} + 7 a^{5} + 10 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 11^{16} + \left(7 a^{6} + 4 a^{5} + 3 a^{4} + 10 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 11^{17} + \left(9 a^{6} + 9 a^{5} + 2 a^{2} + 8 a\right)\cdot 11^{18} + \left(6 a^{6} + a^{5} + 9 a^{4} + 2 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 11^{19} +O\left(11^{ 20 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 2 a^{6} + 10 a^{5} + a^{4} + 4 a^{3} + 4 a + 10 + \left(4 a^{6} + 8 a^{5} + 5 a^{4} + 9 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 11 + \left(9 a^{6} + 7 a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + 5 a^{2} + 2\right)\cdot 11^{2} + \left(6 a^{6} + 10 a^{5} + 3 a^{4} + 3 a^{3} + a + 10\right)\cdot 11^{3} + \left(4 a^{6} + 6 a^{5} + 5 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + a + 1\right)\cdot 11^{4} + \left(10 a^{6} + 10 a^{5} + 5 a^{4} + 10 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 11^{5} + \left(7 a^{6} + 3 a^{5} + 9 a^{4} + 7 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 11^{6} + \left(a^{6} + 9 a^{5} + 9 a^{4} + 8 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 11^{7} + \left(6 a^{5} + 2 a^{4} + 8 a^{3} + a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 11^{8} + \left(2 a^{6} + 5 a^{5} + 9 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 11^{9} + \left(5 a^{6} + 4 a^{5} + a^{4} + 9 a^{3} + a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 11^{10} + \left(6 a^{6} + 9 a^{5} + 7 a^{4} + 4 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 11^{11} + \left(10 a^{6} + 5 a^{5} + 10 a^{4} + 10 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 11^{12} + \left(10 a^{6} + 5 a^{5} + 3 a^{4} + 5 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 11^{13} + \left(8 a^{6} + 7 a^{5} + 8 a^{4} + 8 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 11^{14} + \left(10 a^{6} + 4 a^{5} + 2 a^{4} + 10 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 11^{15} + \left(10 a^{6} + 6 a^{5} + 6 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 11^{16} + \left(a^{6} + 2 a^{5} + 3 a^{4} + 9 a^{3} + 4 a^{2} + 1\right)\cdot 11^{17} + \left(a^{6} + 9 a^{5} + 5 a^{4} + 5 a^{3} + 3 a^{2} + a + 1\right)\cdot 11^{18} + \left(8 a^{6} + 3 a^{5} + a^{4} + 5 a^{3} + 10 a\right)\cdot 11^{19} +O\left(11^{ 20 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 4 a^{6} + 7 a^{5} + a^{4} + 8 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 9 + \left(a^{6} + 8 a^{5} + 8 a^{4} + 10 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 11 + \left(10 a^{6} + 7 a^{5} + 2 a^{3} + a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 11^{2} + \left(10 a^{5} + 6 a^{4} + 3 a^{3} + 9 a^{2} + a\right)\cdot 11^{3} + \left(2 a^{6} + 10 a^{5} + 8 a^{4} + 9 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 11^{4} + \left(10 a^{6} + a^{5} + 5 a^{4} + 6 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 11^{5} + \left(2 a^{6} + a^{5} + 10 a^{4} + 3 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a\right)\cdot 11^{6} + \left(9 a^{6} + 7 a^{5} + 6 a^{4} + 5 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 11^{7} + \left(6 a^{6} + 8 a^{5} + a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 11^{8} + \left(6 a^{6} + a^{5} + a^{4} + 8 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 11^{9} + \left(9 a^{6} + 9 a^{5} + 2 a^{4} + a^{3} + 6 a^{2} + 4\right)\cdot 11^{10} + \left(9 a^{6} + 2 a^{5} + 8 a^{4} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + a + 4\right)\cdot 11^{11} + \left(7 a^{6} + 9 a^{5} + 6 a^{4} + 5 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 11^{12} + \left(2 a^{6} + 2 a^{5} + 4 a^{4} + 4 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 11^{13} + \left(10 a^{6} + 9 a^{5} + a^{4} + 4 a^{3} + 10 a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{14} + \left(6 a^{5} + 2 a^{4} + 3 a^{3} + 6 a + 4\right)\cdot 11^{15} + \left(10 a^{6} + 8 a^{5} + 6 a^{4} + 7 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 11^{16} + \left(a^{6} + 5 a^{5} + 9 a^{4} + 4 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 11^{17} + \left(a^{6} + 5 a^{4} + 5 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 11^{18} + \left(4 a^{6} + 6 a^{5} + 9 a^{4} + 8 a^{3} + 2 a^{2} + 8\right)\cdot 11^{19} +O\left(11^{ 20 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 6 a^{6} + 10 a^{5} + 5 a^{4} + 8 a^{3} + a^{2} + 8 a + 8 + \left(7 a^{6} + a^{5} + 2 a^{4} + 8 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 11 + \left(2 a^{6} + 4 a^{5} + 4 a^{4} + 7 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 11^{2} + \left(9 a^{6} + 10 a^{5} + 7 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 11^{3} + \left(3 a^{5} + 2 a^{4} + 5 a^{3} + a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 11^{4} + \left(6 a^{6} + 8 a^{4} + 10 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 11^{5} + \left(2 a^{6} + 4 a^{5} + 8 a^{4} + 5 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 11^{6} + \left(2 a^{6} + 9 a^{4} + 10 a^{3} + a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 11^{7} + \left(6 a^{6} + 2 a^{5} + a^{4} + 5 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 11^{8} + \left(5 a^{6} + 2 a^{5} + 8 a^{4} + 4 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 11^{9} + \left(2 a^{6} + 8 a^{4} + 4 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 11^{10} + \left(9 a^{6} + 6 a^{5} + 5 a^{4} + 3 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 11^{11} + \left(2 a^{6} + 9 a^{5} + a^{4} + 3 a^{3} + 2 a^{2} + 7\right)\cdot 11^{12} + \left(9 a^{6} + 10 a^{5} + 9 a^{4} + a^{2} + a + 1\right)\cdot 11^{13} + \left(10 a^{6} + 2 a^{4} + 3 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 11^{14} + \left(6 a^{6} + a^{5} + 6 a^{4} + 5 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 11^{15} + \left(4 a^{6} + 8 a^{5} + 3 a^{4} + 5 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 11^{16} + \left(6 a^{6} + 6 a^{5} + 9 a^{4} + 3 a^{3} + a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 11^{17} + \left(10 a^{6} + 5 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + 4 a^{2} + a\right)\cdot 11^{18} + \left(4 a^{6} + 10 a^{5} + a^{4} + 9 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 11^{19} +O\left(11^{ 20 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 7 a^{6} + 6 a^{4} + 6 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 2 + \left(3 a^{6} + 3 a^{5} + 3 a^{4} + 2 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 11 + \left(6 a^{6} + 2 a^{5} + 6 a^{4} + 9 a^{3} + a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 11^{2} + \left(2 a^{6} + 8 a^{5} + 5 a^{4} + 3 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 11^{3} + \left(9 a^{6} + a^{5} + 4 a^{4} + 5 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 11^{4} + \left(3 a^{6} + 10 a^{5} + 8 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 11^{5} + \left(a^{6} + 3 a^{5} + a^{4} + 3 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 11^{6} + \left(3 a^{6} + 4 a^{5} + 4 a^{4} + 8 a^{3} + a^{2} + a + 5\right)\cdot 11^{7} + \left(9 a^{6} + 9 a^{5} + 7 a^{4} + 3 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{8} + \left(4 a^{6} + 7 a^{5} + 3 a^{4} + 5 a^{3} + a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 11^{9} + \left(7 a^{6} + 8 a^{4} + 10 a^{3} + 6 a + 9\right)\cdot 11^{10} + \left(4 a^{6} + 7 a^{5} + 8 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 11^{11} + \left(10 a^{4} + a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 11^{12} + \left(2 a^{6} + 5 a^{5} + 8 a^{4} + 7 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a\right)\cdot 11^{13} + \left(a^{6} + 10 a^{5} + 8 a^{4} + 7 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 11^{14} + \left(3 a^{5} + 4 a^{4} + 5 a^{3} + a^{2} + a + 7\right)\cdot 11^{15} + \left(8 a^{6} + 5 a^{5} + 7 a^{4} + 4 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 11^{16} + \left(7 a^{6} + a^{4} + 4 a^{3} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{17} + \left(7 a^{6} + 5 a^{5} + 6 a^{4} + 3 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 11^{18} + \left(9 a^{5} + 8 a^{4} + 5 a^{3} + 5 a^{2} + a + 1\right)\cdot 11^{19} +O\left(11^{ 20 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(1,5)(2,3)(4,8)(6,7)$ |
| $(1,4,8,6,5,7,2)$ |
| $(1,4)(2,6)(3,7)(5,8)$ |
| $(1,3)(2,5)(4,7)(6,8)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character values |
| | |
$c1$ |
| $1$ |
$1$ |
$()$ |
$7$ |
| $7$ |
$2$ |
$(1,4)(2,6)(3,7)(5,8)$ |
$-1$ |
| $8$ |
$7$ |
$(2,8,6,7,3,5,4)$ |
$0$ |
| $8$ |
$7$ |
$(2,6,3,4,8,7,5)$ |
$0$ |
| $8$ |
$7$ |
$(2,7,4,6,5,8,3)$ |
$0$ |
| $8$ |
$7$ |
$(2,3,8,5,6,4,7)$ |
$0$ |
| $8$ |
$7$ |
$(2,5,7,8,4,3,6)$ |
$0$ |
| $8$ |
$7$ |
$(2,4,5,3,7,6,8)$ |
$0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
