# Properties

 Label 7.375226779375.8t43.a Dimension 7 Group $\PGL(2,7)$ Conductor $3^{6} \cdot 5^{4} \cdot 7^{7}$ Frobenius-Schur indicator 1

# Related objects

## Basic invariants

 Dimension: $7$ Group: $\PGL(2,7)$ Conductor: $375226779375= 3^{6} \cdot 5^{4} \cdot 7^{7}$ Artin number field: Splitting field of $f= x^{8} - 4 x^{7} - 21 x^{4} - 21 x^{2} - 15 x - 3$ over $\Q$ Size of Galois orbit: 1 Smallest containing permutation representation: $\PGL(2,7)$ Parity: Odd Projective image: $SO(3,7)$ Projective field: Galois closure of 8.2.375226779375.1

## Galois action

### Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 11 }$ to precision 56.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 11 }$: $x^{3} + 2 x + 9$
Roots:
 $r_{ 1 }$ $=$ $7 a^{2} + 7 a + 4 + \left(3 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 11 + \left(a + 7\right)\cdot 11^{2} + \left(10 a^{2} + 8\right)\cdot 11^{3} + \left(9 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 11^{4} + \left(4 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{5} + \left(6 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 11^{6} + \left(8 a + 9\right)\cdot 11^{7} + \left(3 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 11^{8} + \left(4 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 11^{9} + \left(a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 11^{10} + \left(3 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 11^{11} + \left(4 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 11^{12} + \left(5 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 11^{13} + \left(9 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 11^{14} + \left(5 a + 8\right)\cdot 11^{15} + \left(10 a^{2} + a + 9\right)\cdot 11^{16} + \left(4 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 11^{17} + \left(7 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 11^{18} + \left(7 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 11^{19} + \left(10 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 11^{20} + \left(8 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 11^{21} + \left(a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 11^{22} + \left(6 a^{2} + 2 a\right)\cdot 11^{23} + \left(a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 11^{24} + \left(a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 11^{25} + \left(a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 11^{26} + \left(9 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 11^{27} + \left(6 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 11^{28} + \left(4 a^{2} + 9 a\right)\cdot 11^{29} + \left(6 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 11^{30} + \left(3 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 11^{31} + \left(a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 11^{32} + \left(4 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 11^{33} + \left(8 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 11^{34} + \left(9 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 11^{35} + \left(6 a^{2} + 9\right)\cdot 11^{36} + \left(5 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 11^{37} + \left(9 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 11^{38} + \left(9 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 11^{39} + \left(8 a^{2} + 10 a\right)\cdot 11^{40} + \left(7 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 11^{41} + \left(10 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 11^{42} + \left(6 a^{2} + 5\right)\cdot 11^{43} + \left(3 a^{2} + 2\right)\cdot 11^{44} + \left(10 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 11^{45} + \left(6 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 11^{46} + \left(10 a^{2} + 8\right)\cdot 11^{47} + \left(2 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 11^{48} + \left(a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 11^{49} + \left(a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 11^{50} + 3\cdot 11^{51} + \left(a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 11^{52} + \left(4 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 11^{53} + \left(7 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 11^{54} + \left(4 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 11^{55} +O\left(11^{ 56 }\right)$ $r_{ 2 }$ $=$ $4 + 5\cdot 11 + 5\cdot 11^{2} + 4\cdot 11^{4} + 10\cdot 11^{5} + 7\cdot 11^{6} + 9\cdot 11^{8} + 8\cdot 11^{9} + 5\cdot 11^{11} + 2\cdot 11^{13} + 6\cdot 11^{14} + 2\cdot 11^{15} + 11^{16} + 10\cdot 11^{17} + 10\cdot 11^{18} + 8\cdot 11^{19} + 2\cdot 11^{20} + 5\cdot 11^{21} + 5\cdot 11^{22} + 4\cdot 11^{23} + 5\cdot 11^{25} + 9\cdot 11^{26} + 2\cdot 11^{27} + 4\cdot 11^{28} + 5\cdot 11^{29} + 11^{30} + 6\cdot 11^{31} + 10\cdot 11^{33} + 11^{34} + 4\cdot 11^{35} + 6\cdot 11^{36} + 7\cdot 11^{37} + 4\cdot 11^{38} + 7\cdot 11^{39} + 2\cdot 11^{41} + 3\cdot 11^{42} + 4\cdot 11^{43} + 4\cdot 11^{44} + 2\cdot 11^{45} + 11^{46} + 9\cdot 11^{47} + 5\cdot 11^{48} + 5\cdot 11^{49} + 7\cdot 11^{51} + 7\cdot 11^{53} + 9\cdot 11^{54} + 6\cdot 11^{55} +O\left(11^{ 56 }\right)$ $r_{ 3 }$ $=$ $4 a^{2} + 8 a + \left(8 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 11 + \left(6 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 11^{2} + \left(7 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 11^{3} + \left(8 a + 9\right)\cdot 11^{4} + \left(2 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 11^{5} + \left(5 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 11^{6} + \left(10 a^{2} + 1\right)\cdot 11^{7} + \left(2 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 11^{8} + \left(8 a^{2} + 7\right)\cdot 11^{9} + \left(3 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 11^{10} + \left(4 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{11} + \left(10 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 11^{12} + \left(2 a^{2} + 7 a\right)\cdot 11^{13} + \left(6 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 11^{14} + 8 a^{2}11^{15} + \left(7 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 11^{16} + \left(2 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 11^{17} + \left(6 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{18} + 8\cdot 11^{19} + \left(a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 11^{20} + \left(5 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 11^{21} + \left(2 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 11^{22} + \left(2 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 11^{23} + \left(9 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 11^{24} + \left(5 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 11^{25} + \left(6 a + 1\right)\cdot 11^{26} + \left(10 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 11^{27} + 2\cdot 11^{28} + \left(10 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 11^{29} + \left(9 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 11^{30} + \left(4 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 11^{31} + \left(4 a^{2} + 3 a\right)\cdot 11^{32} + \left(8 a^{2} + 4\right)\cdot 11^{33} + \left(9 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 11^{34} + \left(5 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{35} + \left(6 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 11^{36} + \left(10 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 11^{37} + \left(5 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{38} + \left(9 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 11^{39} + \left(8 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 11^{40} + \left(6 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 11^{41} + \left(a^{2} + a + 7\right)\cdot 11^{42} + \left(5 a + 3\right)\cdot 11^{43} + \left(3 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 11^{44} + \left(10 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 11^{45} + \left(8 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 11^{46} + \left(6 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 11^{47} + \left(5 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 11^{48} + \left(2 a + 8\right)\cdot 11^{49} + \left(9 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 11^{50} + \left(2 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 11^{51} + \left(7 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 11^{52} + \left(9 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 11^{53} + \left(6 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 11^{54} + \left(10 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{55} +O\left(11^{ 56 }\right)$ $r_{ 4 }$ $=$ $a^{2} + 10 a + 2 + \left(7 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 11 + \left(7 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 11^{2} + \left(9 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 11^{3} + \left(3 a^{2} + a + 2\right)\cdot 11^{4} + \left(a^{2} + 8\right)\cdot 11^{5} + \left(10 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 11^{6} + \left(9 a^{2} + 3\right)\cdot 11^{7} + \left(10 a^{2} + a + 4\right)\cdot 11^{8} + \left(5 a + 1\right)\cdot 11^{9} + \left(7 a^{2} + 7 a\right)\cdot 11^{10} + \left(a^{2} + 2 a\right)\cdot 11^{11} + \left(7 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 11^{12} + \left(3 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 11^{13} + \left(10 a^{2} + a + 5\right)\cdot 11^{14} + \left(10 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 11^{15} + \left(9 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 11^{16} + \left(5 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 11^{17} + \left(6 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 11^{18} + \left(9 a + 8\right)\cdot 11^{19} + \left(9 a + 3\right)\cdot 11^{20} + \left(4 a^{2} + a + 9\right)\cdot 11^{21} + \left(a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 11^{22} + \left(6 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 11^{23} + \left(4 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 11^{24} + \left(4 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 11^{25} + \left(9 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 11^{26} + \left(3 a + 6\right)\cdot 11^{27} + \left(2 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 11^{28} + \left(2 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 11^{29} + \left(3 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 11^{30} + \left(8 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 11^{31} + \left(4 a^{2} + 3 a\right)\cdot 11^{32} + \left(5 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 11^{33} + \left(7 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 11^{34} + \left(4 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 11^{35} + \left(3 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 11^{36} + \left(a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 11^{37} + \left(9 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 11^{38} + \left(4 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 11^{39} + \left(9 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 11^{40} + \left(7 a^{2} + \frac{73}{8} a + 9\right)\cdot 11^{41} + \left(3 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 11^{42} + \left(4 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 11^{43} + \left(6 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 11^{44} + \left(9 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 11^{45} + \left(9 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 11^{46} + \left(10 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 11^{47} + \left(7 a^{2} + 8\right)\cdot 11^{48} + \left(8 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 11^{49} + \left(6 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 11^{50} + \left(5 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 11^{51} + \left(5 a^{2} + 1\right)\cdot 11^{52} + \left(7 a^{2} + 9\right)\cdot 11^{53} + \left(4 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 11^{54} + \left(7 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{55} +O\left(11^{ 56 }\right)$ $r_{ 5 }$ $=$ $8 a^{2} + 7 a + 4 + \left(6 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 11 + \left(6 a + 2\right)\cdot 11^{2} + \left(2 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 11^{3} + \left(a^{2} + a + 5\right)\cdot 11^{4} + \left(8 a + 1\right)\cdot 11^{5} + \left(9 a + 2\right)\cdot 11^{6} + \left(9 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 11^{7} + \left(7 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 11^{8} + 8 a^{2}11^{9} + \left(3 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 11^{10} + \left(8 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 11^{11} + \left(8 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 11^{12} + \left(9 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 11^{13} + \left(2 a^{2} + 2 a\right)\cdot 11^{14} + \left(8 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 11^{15} + \left(9 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 11^{16} + \left(8 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 11^{17} + \left(5 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 11^{18} + \left(9 a + 7\right)\cdot 11^{19} + \left(6 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 11^{20} + \left(a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 11^{21} + \left(8 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 11^{22} + \left(9 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 11^{23} + \left(8 a^{2} + 6\right)\cdot 11^{24} + \left(10 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 11^{25} + \left(4 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 11^{26} + \left(10 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 11^{27} + \left(6 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 11^{28} + \left(9 a^{2} + 8 a\right)\cdot 11^{29} + \left(a + 1\right)\cdot 11^{30} + \left(a^{2} + 8\right)\cdot 11^{31} + \left(9 a^{2} + 8\right)\cdot 11^{32} + \left(2 a + 4\right)\cdot 11^{33} + 6\cdot 11^{34} + \left(8 a + 10\right)\cdot 11^{35} + \left(10 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 11^{36} + \left(5 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 11^{37} + \left(10 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 11^{38} + \left(9 a + 1\right)\cdot 11^{39} + \left(a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 11^{40} + \left(10 a^{2} + 5 a\right)\cdot 11^{41} + \left(3 a^{2} + 10 a\right)\cdot 11^{42} + \left(10 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 11^{43} + \left(3 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 11^{44} + \left(5 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 11^{45} + \left(8 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 11^{46} + \left(6 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 11^{47} + \left(3 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 11^{48} + \left(2 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 11^{49} + \left(10 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 11^{50} + \left(2 a + 10\right)\cdot 11^{51} + \left(6 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 11^{52} + \left(5 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 11^{53} + \left(7 a^{2} + 5 a\right)\cdot 11^{54} + \left(7 a^{2} + 10\right)\cdot 11^{55} +O\left(11^{ 56 }\right)$ $r_{ 6 }$ $=$ $3 + 10\cdot 11 + 10\cdot 11^{2} + 2\cdot 11^{3} + 2\cdot 11^{4} + 6\cdot 11^{5} + 7\cdot 11^{6} + 7\cdot 11^{7} + 5\cdot 11^{8} + 7\cdot 11^{9} + 8\cdot 11^{10} + 2\cdot 11^{11} + 9\cdot 11^{14} + 5\cdot 11^{15} + 4\cdot 11^{16} + 7\cdot 11^{17} + 4\cdot 11^{18} + 11^{19} + 2\cdot 11^{20} + 10\cdot 11^{21} + 5\cdot 11^{22} + 3\cdot 11^{23} + 4\cdot 11^{24} + 5\cdot 11^{25} + 8\cdot 11^{26} + 7\cdot 11^{28} + 7\cdot 11^{29} + 11^{30} + 10\cdot 11^{31} + 3\cdot 11^{32} + 2\cdot 11^{33} + 6\cdot 11^{34} + 2\cdot 11^{35} + 7\cdot 11^{36} + 3\cdot 11^{37} + 8\cdot 11^{39} + 3\cdot 11^{40} + 10\cdot 11^{41} + 5\cdot 11^{42} + 9\cdot 11^{44} + 8\cdot 11^{45} + 2\cdot 11^{46} + 8\cdot 11^{47} + 4\cdot 11^{48} + 9\cdot 11^{49} + 2\cdot 11^{50} + 2\cdot 11^{52} + 6\cdot 11^{53} + 5\cdot 11^{54} + 7\cdot 11^{55} +O\left(11^{ 56 }\right)$ $r_{ 7 }$ $=$ $2 a^{2} + 5 a + 7 + \left(a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 11 + \left(6 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 11^{2} + \left(3 a^{2} + 7\right)\cdot 11^{3} + \left(6 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 11^{4} + \left(2 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 11^{5} + \left(7 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 11^{6} + \left(4 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 11^{7} + \left(2 a^{2} + a + 2\right)\cdot 11^{8} + \left(9 a^{2} + a + 5\right)\cdot 11^{9} + \left(9 a^{2} + 10\right)\cdot 11^{10} + \left(7 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 11^{11} + \left(2 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 11^{12} + \left(8 a + 1\right)\cdot 11^{13} + \left(a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 11^{14} + \left(9 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 11^{15} + \left(a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 11^{16} + \left(9 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 11^{17} + \left(4 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 11^{18} + \left(10 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 11^{19} + \left(5 a^{2} + a + 4\right)\cdot 11^{20} + \left(4 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 11^{21} + \left(9 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 11^{22} + \left(5 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 11^{23} + \left(a + 10\right)\cdot 11^{24} + \left(10 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 11^{25} + \left(a^{2} + 9\right)\cdot 11^{26} + \left(10 a + 9\right)\cdot 11^{27} + \left(7 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 11^{28} + \left(8 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 11^{29} + \left(a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 11^{30} + \left(3 a + 8\right)\cdot 11^{31} + \left(7 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 11^{32} + \left(3 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 11^{33} + \left(2 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 11^{34} + \left(4 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 11^{35} + \left(a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 11^{36} + \left(a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 11^{37} + \left(3 a + 6\right)\cdot 11^{38} + \left(3 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 11^{39} + \left(4 a + 2\right)\cdot 11^{40} + \left(5 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 11^{41} + \left(3 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 11^{42} + \left(7 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 11^{43} + \left(7 a + 2\right)\cdot 11^{44} + \left(7 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 11^{45} + \left(3 a^{2} + 4 a\right)\cdot 11^{46} + \left(4 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 11^{47} + \left(10 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 11^{48} + \left(10 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 11^{49} + \left(4 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 11^{50} + 4 a^{2}11^{51} + \left(10 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 11^{52} + \left(8 a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{53} + \left(9 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 11^{54} + \left(6 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 11^{55} +O\left(11^{ 56 }\right)$ $r_{ 8 }$ $=$ $7 a + 2 + \left(7 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 11 + \left(10 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 11^{2} + \left(6 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 11^{3} + \left(7 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 11^{4} + \left(6 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 11^{5} + 10 a^{2}11^{6} + \left(3 a^{2} + 9\right)\cdot 11^{7} + \left(9 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 11^{8} + \left(9 a^{2} + 2\right)\cdot 11^{9} + \left(8 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 11^{10} + \left(a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 11^{11} + \left(5 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 11^{12} + \left(7 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 11^{13} + \left(a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 11^{14} + \left(10 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 11^{15} + \left(3 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 11^{16} + \left(7 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 11^{17} + \left(2 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 11^{18} + \left(9 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 11^{19} + \left(10 a + 6\right)\cdot 11^{20} + 6 a\cdot 11^{21} + \left(4 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 11^{22} + \left(2 a^{2} + 3\right)\cdot 11^{23} + \left(9 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 11^{24} + \left(7 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 11^{25} + \left(5 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 11^{26} + \left(5 a^{2} + a + 8\right)\cdot 11^{27} + \left(5 a + 8\right)\cdot 11^{28} + \left(7 a^{2} + 6\right)\cdot 11^{29} + \left(7 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 11^{30} + \left(2 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 11^{31} + \left(9 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 11^{32} + \left(5 a + 2\right)\cdot 11^{33} + \left(10 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 11^{34} + \left(10 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 11^{35} + \left(2 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{36} + \left(3 a^{2} + 3\right)\cdot 11^{37} + \left(5 a + 7\right)\cdot 11^{38} + \left(10 a + 3\right)\cdot 11^{39} + \left(5 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 11^{40} + \left(8 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 11^{41} + \left(9 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 11^{42} + \left(3 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 11^{43} + \left(4 a^{2} + a + 7\right)\cdot 11^{44} + \left(a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 11^{45} + \left(6 a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{46} + \left(4 a^{2} + 7\right)\cdot 11^{47} + \left(2 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 11^{48} + \left(9 a^{2} + a + 9\right)\cdot 11^{49} + \left(6 a + 5\right)\cdot 11^{50} + \left(8 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{51} + \left(2 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 11^{52} + \left(8 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 11^{53} + \left(7 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 11^{54} + \left(6 a^{2} + 9 a\right)\cdot 11^{55} +O\left(11^{ 56 }\right)$

### Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

 Cycle notation $(1,5,3,7,8,4)$ $(1,2)(3,8)(4,7)(5,6)$

### Character values on conjugacy classes

 Size Order Action on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$ Character values $c1$ $1$ $1$ $()$ $7$ $21$ $2$ $(1,2)(3,8)(4,7)(5,6)$ $-1$ $28$ $2$ $(2,4)(3,6)(7,8)$ $1$ $56$ $3$ $(2,8,3)(4,7,6)$ $1$ $42$ $4$ $(1,5,3,8)(2,6,4,7)$ $-1$ $56$ $6$ $(2,6,8,4,3,7)$ $1$ $48$ $7$ $(1,2,6,8,5,4,7)$ $0$ $42$ $8$ $(1,2,5,6,3,4,8,7)$ $-1$ $42$ $8$ $(1,6,8,2,3,7,5,4)$ $-1$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.