Artin representation 7.2e8_7e5_43e5.24t283.1c1

• Label: 7.2e8_7e5_43e5.24t283.1c1
• Dimension: 7
• Group: $C_2^3:(C_7: C_3)$
• Conductor: $ 2^{8} \cdot 7^{5} \cdot 43^{5}$
• Root number: not computed
• Frobenius-Schur indicator: 0

Basic invariants

Dimension:	$7$
Group:	$C_2^3:(C_7: C_3)$
Conductor:	$632517350784256= 2^{8} \cdot 7^{5} \cdot 43^{5} $
Artin number field:	Splitting field of $f= x^{8} - 2 x^{7} + 2 x^{6} - 16 x^{5} + 34 x^{4} + 4 x^{3} - 94 x^{2} + 16 x + 153 $ over $\Q$
Size of Galois orbit:	2
Smallest containing permutation representation:	24T283
Parity:	Even
Determinant:	1.7_43.3t1.2c2

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 17 }$ to precision 52.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 17 }$: $ x^{3} + x + 14 $

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	$ 9\cdot 17 + 11\cdot 17^{2} + 17^{4} + 16\cdot 17^{5} + 5\cdot 17^{6} + 17^{7} + 8\cdot 17^{8} + 13\cdot 17^{9} + 7\cdot 17^{10} + 8\cdot 17^{11} + 7\cdot 17^{12} + 5\cdot 17^{13} + 3\cdot 17^{14} + 6\cdot 17^{15} + 2\cdot 17^{16} + 7\cdot 17^{17} + 11\cdot 17^{18} + 17^{19} + 9\cdot 17^{20} + 8\cdot 17^{21} + 7\cdot 17^{23} + 6\cdot 17^{24} + 4\cdot 17^{25} + 12\cdot 17^{26} + 14\cdot 17^{27} + 11\cdot 17^{28} + 15\cdot 17^{29} + 16\cdot 17^{30} + 2\cdot 17^{31} + 15\cdot 17^{32} + 3\cdot 17^{33} + 12\cdot 17^{34} + 16\cdot 17^{35} + 6\cdot 17^{36} + 3\cdot 17^{37} + 14\cdot 17^{38} + 13\cdot 17^{39} + 11\cdot 17^{40} + 10\cdot 17^{41} + 13\cdot 17^{42} + 14\cdot 17^{43} + 7\cdot 17^{44} + 17^{45} + 3\cdot 17^{46} + 7\cdot 17^{47} + 16\cdot 17^{48} + 3\cdot 17^{49} + 2\cdot 17^{50} + 5\cdot 17^{51} +O\left(17^{ 52 }\right)$
$r_{ 2 }$	$=$	$ 8 a^{2} + 9 a + 14 + \left(8 a^{2} + 5 a\right)\cdot 17 + \left(6 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 17^{2} + \left(15 a^{2} + a + 6\right)\cdot 17^{3} + \left(7 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 17^{4} + \left(11 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 17^{5} + \left(7 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 17^{6} + \left(8 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 17^{7} + \left(4 a^{2} + a + 10\right)\cdot 17^{8} + \left(15 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 17^{9} + \left(2 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 17^{10} + \left(11 a^{2} + 12\right)\cdot 17^{11} + \left(2 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 17^{12} + \left(7 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 17^{13} + \left(13 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 17^{14} + \left(9 a^{2} + a + 4\right)\cdot 17^{15} + \left(5 a^{2} + a + 8\right)\cdot 17^{16} + \left(10 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 17^{17} + \left(13 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 17^{18} + \left(14 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 17^{19} + \left(6 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 17^{20} + \left(11 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 17^{21} + \left(4 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 17^{22} + \left(5 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 17^{23} + \left(9 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 17^{24} + \left(4 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 17^{25} + \left(14 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 17^{26} + \left(5 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 17^{27} + \left(16 a^{2} + a + 13\right)\cdot 17^{28} + \left(9 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 17^{29} + \left(2 a + 11\right)\cdot 17^{30} + \left(3 a^{2} + 2 a\right)\cdot 17^{31} + \left(11 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 17^{32} + \left(5 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 17^{33} + \left(7 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 17^{34} + \left(5 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 17^{35} + \left(4 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 17^{36} + \left(2 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 17^{37} + \left(3 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 17^{38} + \left(16 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 17^{39} + \left(14 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 17^{40} + \left(10 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 17^{41} + \left(8 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 17^{42} + \left(10 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 17^{43} + \left(10 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 17^{44} + \left(16 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 17^{45} + \left(12 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 17^{46} + \left(11 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 17^{47} + \left(5 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 17^{48} + \left(a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 17^{49} + \left(5 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 17^{50} + \left(4 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 17^{51} +O\left(17^{ 52 }\right)$
$r_{ 3 }$	$=$	$ 13 a^{2} + 7 a + 5 + \left(2 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 17 + \left(8 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 17^{2} + \left(11 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 17^{3} + \left(2 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 17^{4} + \left(12 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 17^{5} + \left(10 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 17^{6} + \left(3 a^{2} + a + 8\right)\cdot 17^{7} + \left(14 a^{2} + 10\right)\cdot 17^{8} + \left(12 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 17^{9} + \left(6 a^{2} + 5 a\right)\cdot 17^{10} + \left(5 a^{2} + 11\right)\cdot 17^{11} + \left(a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 17^{12} + \left(11 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 17^{13} + \left(2 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 17^{14} + \left(8 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 17^{15} + \left(9 a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 17^{16} + \left(3 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 17^{17} + \left(9 a^{2} + a + 16\right)\cdot 17^{18} + \left(4 a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 17^{19} + \left(8 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 17^{20} + \left(3 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 17^{21} + \left(2 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 17^{22} + \left(a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 17^{23} + \left(16 a^{2} + 6 a + 13\right)\cdot 17^{24} + \left(5 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 17^{25} + \left(14 a^{2} + 8 a\right)\cdot 17^{26} + \left(13 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 17^{27} + \left(16 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 17^{28} + \left(13 a^{2} + 12\right)\cdot 17^{29} + \left(15 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 17^{30} + \left(a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 17^{31} + \left(a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 17^{32} + \left(9 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 17^{33} + \left(8 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 17^{34} + \left(14 a + 11\right)\cdot 17^{35} + \left(14 a^{2} + 7\right)\cdot 17^{36} + \left(11 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 17^{37} + \left(3 a^{2} + a\right)\cdot 17^{38} + \left(15 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 17^{39} + \left(11 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 17^{40} + \left(7 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 17^{41} + \left(14 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 17^{42} + \left(11 a + 11\right)\cdot 17^{43} + \left(2 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 17^{44} + \left(14 a + 7\right)\cdot 17^{45} + \left(12 a + 1\right)\cdot 17^{46} + \left(13 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 17^{47} + \left(16 a^{2} + a + 6\right)\cdot 17^{48} + \left(3 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 17^{49} + \left(2 a + 10\right)\cdot 17^{50} + \left(7 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 17^{51} +O\left(17^{ 52 }\right)$
$r_{ 4 }$	$=$	$ 4 a^{2} + 9 a + 16 + \left(3 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 17 + \left(13 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 17^{2} + \left(16 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 17^{3} + \left(14 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 17^{4} + \left(12 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 17^{5} + \left(10 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 17^{6} + \left(15 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 17^{7} + \left(11 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 17^{8} + \left(5 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 17^{9} + \left(16 a^{2} + 1\right)\cdot 17^{10} + \left(14 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 17^{11} + \left(12 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 17^{12} + \left(9 a^{2} + 10 a\right)\cdot 17^{13} + \left(10 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 17^{14} + \left(8 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 17^{15} + \left(9 a^{2} + 9 a\right)\cdot 17^{16} + \left(6 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 17^{17} + \left(3 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 17^{18} + \left(16 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 17^{19} + \left(13 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 17^{20} + \left(9 a + 2\right)\cdot 17^{21} + \left(10 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 17^{22} + \left(10 a + 15\right)\cdot 17^{23} + \left(4 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 17^{24} + \left(7 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 17^{25} + \left(2 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 17^{26} + \left(8 a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 17^{27} + \left(14 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 17^{28} + \left(10 a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 17^{29} + \left(14 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 17^{30} + \left(11 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 17^{31} + \left(2 a + 12\right)\cdot 17^{32} + \left(7 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 17^{33} + \left(12 a + 2\right)\cdot 17^{34} + \left(2 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 17^{35} + \left(7 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 17^{36} + \left(10 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 17^{37} + \left(3 a + 4\right)\cdot 17^{38} + \left(11 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 17^{39} + \left(12 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 17^{40} + \left(14 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 17^{41} + \left(8 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 17^{42} + \left(14 a^{2} + 9\right)\cdot 17^{43} + \left(16 a^{2} + 12\right)\cdot 17^{44} + \left(10 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 17^{45} + \left(13 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 17^{46} + \left(2 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 17^{47} + \left(8 a^{2} + 16 a\right)\cdot 17^{48} + \left(7 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 17^{49} + \left(6 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 17^{50} + \left(12 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 17^{51} +O\left(17^{ 52 }\right)$
$r_{ 5 }$	$=$	$ 7 a^{2} + a + 2 + \left(8 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 17 + \left(13 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 17^{2} + \left(16 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 17^{3} + \left(3 a^{2} + a + 10\right)\cdot 17^{4} + \left(3 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 17^{5} + \left(8 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 17^{6} + \left(15 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 17^{7} + \left(5 a^{2} + a + 5\right)\cdot 17^{8} + \left(7 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 17^{9} + \left(16 a^{2} + 14\right)\cdot 17^{10} + \left(9 a^{2} + 10 a\right)\cdot 17^{11} + \left(5 a + 9\right)\cdot 17^{12} + \left(14 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 17^{13} + \left(12 a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 17^{14} + \left(9 a + 15\right)\cdot 17^{15} + \left(16 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 17^{16} + \left(10 a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 17^{17} + \left(2 a^{2} + 9 a\right)\cdot 17^{18} + \left(8 a^{2} + a + 3\right)\cdot 17^{19} + \left(a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 17^{20} + \left(a^{2} + 6 a\right)\cdot 17^{21} + \left(2 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 17^{22} + \left(7 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 17^{23} + \left(11 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 17^{24} + \left(14 a + 10\right)\cdot 17^{25} + \left(11 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 17^{26} + \left(a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 17^{27} + \left(14 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 17^{28} + \left(9 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 17^{29} + \left(a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 17^{30} + \left(a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 17^{31} + \left(5 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 17^{32} + \left(7 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 17^{33} + \left(7 a^{2} + 7 a + 15\right)\cdot 17^{34} + \left(3 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 17^{35} + a^{2}17^{36} + \left(13 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 17^{37} + \left(6 a + 6\right)\cdot 17^{38} + \left(5 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 17^{39} + \left(12 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 17^{40} + \left(9 a^{2} + 15 a\right)\cdot 17^{41} + \left(9 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 17^{42} + \left(2 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 17^{43} + \left(2 a^{2} + 8 a\right)\cdot 17^{44} + \left(4 a^{2} + 5 a\right)\cdot 17^{45} + \left(11 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 17^{46} + \left(3 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 17^{47} + \left(6 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 17^{48} + \left(14 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 17^{49} + \left(3 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 17^{50} + \left(6 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 17^{51} +O\left(17^{ 52 }\right)$
$r_{ 6 }$	$=$	$ 2 a^{2} + 7 a + 10 + \left(3 a + 6\right)\cdot 17 + \left(14 a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 17^{2} + \left(a^{2} + 9 a + 14\right)\cdot 17^{3} + \left(5 a^{2} + 16 a + 10\right)\cdot 17^{4} + \left(2 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 17^{5} + \left(a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 17^{6} + \left(10 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 17^{7} + \left(6 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 17^{8} + \left(11 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 17^{9} + \left(14 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 17^{10} + \left(12 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 17^{11} + \left(13 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 17^{12} + \left(12 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 17^{13} + \left(7 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 17^{14} + \left(6 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 17^{15} + \left(12 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 17^{16} + \left(12 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 17^{17} + \left(7 a + 5\right)\cdot 17^{18} + \left(11 a^{2} + 3 a + 16\right)\cdot 17^{19} + \left(8 a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 17^{20} + \left(4 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 17^{21} + \left(10 a^{2} + 1\right)\cdot 17^{22} + \left(4 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 17^{23} + \left(13 a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 17^{24} + \left(11 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 17^{25} + \left(8 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 17^{26} + \left(9 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 17^{27} + \left(3 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 17^{28} + \left(14 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 17^{29} + \left(14 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 17^{30} + \left(12 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 17^{31} + \left(13 a + 4\right)\cdot 17^{32} + \left(4 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 17^{33} + \left(2 a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 17^{34} + \left(8 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 17^{35} + \left(11 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 17^{36} + \left(a^{2} + 2 a\right)\cdot 17^{37} + \left(13 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 17^{38} + \left(12 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 17^{39} + \left(6 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 17^{40} + \left(13 a^{2} + a + 8\right)\cdot 17^{41} + \left(15 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 17^{42} + \left(3 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 17^{43} + \left(4 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 17^{44} + \left(13 a^{2} + 12 a\right)\cdot 17^{45} + \left(9 a^{2} + 13\right)\cdot 17^{46} + \left(a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 17^{47} + \left(5 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 17^{48} + \left(a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 17^{49} + \left(8 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 17^{50} + \left(6 a^{2} + 8\right)\cdot 17^{51} +O\left(17^{ 52 }\right)$
$r_{ 7 }$	$=$	$ 4 + 7\cdot 17 + 13\cdot 17^{2} + 11\cdot 17^{3} + 6\cdot 17^{5} + 10\cdot 17^{6} + 13\cdot 17^{7} + 16\cdot 17^{8} + 7\cdot 17^{9} + 11\cdot 17^{10} + 3\cdot 17^{11} + 10\cdot 17^{13} + 7\cdot 17^{14} + 17^{15} + 2\cdot 17^{16} + 3\cdot 17^{17} + 12\cdot 17^{18} + 13\cdot 17^{19} + 7\cdot 17^{20} + 17^{21} + 8\cdot 17^{22} + 12\cdot 17^{23} + 12\cdot 17^{24} + 13\cdot 17^{25} + 3\cdot 17^{26} + 10\cdot 17^{27} + 10\cdot 17^{28} + 5\cdot 17^{29} + 8\cdot 17^{31} + 4\cdot 17^{32} + 3\cdot 17^{33} + 17^{34} + 15\cdot 17^{35} + 16\cdot 17^{36} + 12\cdot 17^{37} + 6\cdot 17^{38} + 16\cdot 17^{39} + 6\cdot 17^{40} + 4\cdot 17^{41} + 10\cdot 17^{42} + 11\cdot 17^{43} + 7\cdot 17^{44} + 2\cdot 17^{45} + 7\cdot 17^{46} + 2\cdot 17^{47} + 10\cdot 17^{48} + 9\cdot 17^{49} + 17^{50} + 4\cdot 17^{51} +O\left(17^{ 52 }\right)$
$r_{ 8 }$	$=$	$ a + 2 + \left(11 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 17 + \left(12 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 17^{2} + \left(5 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 17^{3} + \left(16 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 17^{4} + \left(8 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 17^{5} + \left(12 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 17^{6} + \left(14 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 17^{7} + \left(7 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 17^{8} + \left(15 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 17^{9} + \left(10 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 17^{10} + \left(13 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 17^{11} + \left(2 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 17^{12} + \left(13 a^{2} + 8\right)\cdot 17^{13} + \left(3 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 17^{14} + \left(2 a + 10\right)\cdot 17^{15} + \left(15 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 17^{16} + \left(6 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 17^{17} + \left(4 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 17^{18} + \left(13 a^{2} + 3 a\right)\cdot 17^{19} + \left(11 a^{2} + 9\right)\cdot 17^{20} + \left(12 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 17^{21} + \left(4 a^{2} + 5\right)\cdot 17^{22} + \left(15 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 17^{23} + \left(13 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 17^{24} + \left(3 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 17^{25} + \left(11 a + 2\right)\cdot 17^{26} + \left(12 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 17^{27} + \left(2 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 17^{28} + \left(9 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 17^{29} + \left(3 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 17^{30} + \left(3 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 17^{31} + \left(15 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 17^{32} + \left(14 a + 4\right)\cdot 17^{33} + \left(8 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 17^{34} + \left(14 a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 17^{35} + \left(12 a^{2} + a + 6\right)\cdot 17^{36} + \left(11 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 17^{37} + \left(12 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 17^{38} + \left(7 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 17^{39} + \left(9 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 17^{40} + \left(11 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 17^{41} + \left(10 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 17^{42} + \left(a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 17^{43} + \left(15 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 17^{44} + \left(5 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 17^{45} + \left(3 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 17^{46} + \left(a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 17^{47} + \left(9 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 17^{48} + \left(5 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 17^{49} + \left(10 a^{2} + 11 a\right)\cdot 17^{50} + \left(14 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 17^{51} +O\left(17^{ 52 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

Cycle notation

$(1,3,8)(2,7,6)$

$(1,5,3,4,2,6,7)$

$(1,2)(3,5)(4,6)(7,8)$

$(1,3)(2,5)(4,8)(6,7)$

$(1,4)(2,6)(3,8)(5,7)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$	Character value
$1$	$1$	$()$	$7$
$7$	$2$	$(1,2)(3,5)(4,6)(7,8)$	$-1$
$28$	$3$	$(1,3,8)(2,7,6)$	$\zeta_{3}$
$28$	$3$	$(1,8,3)(2,6,7)$	$-\zeta_{3} - 1$
$28$	$6$	$(1,2,3,7,8,6)(4,5)$	$\zeta_{3} + 1$
$28$	$6$	$(1,6,8,7,3,2)(4,5)$	$-\zeta_{3}$
$24$	$7$	$(1,5,3,4,2,6,7)$	$0$
$24$	$7$	$(1,4,7,3,6,5,2)$	$0$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.