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Properties

Label 7.2e8_5e4_73e4.8t36.1c1
Dimension 7
Group $C_2^3:(C_7: C_3)$
Conductor $ 2^{8} \cdot 5^{4} \cdot 73^{4}$
Root number 1
Frobenius-Schur indicator 1

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Basic invariants

Dimension:$7$
Group:$C_2^3:(C_7: C_3)$
Conductor:$4543718560000= 2^{8} \cdot 5^{4} \cdot 73^{4} $
Artin number field: Splitting field of $f= x^{8} + 4 x^{6} - 2 x^{5} + 52 x^{4} - 124 x^{3} + 352 x^{2} - 58 x + 91 $ over $\Q$
Size of Galois orbit: 1
Smallest containing permutation representation: $C_2^3:(C_7: C_3)$
Parity: Even
Determinant: 1.1.1t1.1c1

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 11 }$ to precision 66.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 11 }$: $ x^{3} + 2 x + 9 $
Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ $ 2 a^{2} + 6 a + 6 + \left(9 a^{2} + 9 a\right)\cdot 11 + \left(6 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 11^{2} + \left(6 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 11^{3} + \left(2 a^{2} + a + 2\right)\cdot 11^{4} + \left(8 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 11^{5} + \left(7 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 11^{6} + \left(7 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 11^{7} + \left(3 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 11^{8} + \left(7 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 11^{9} + \left(2 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 11^{10} + \left(8 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 11^{11} + \left(8 a^{2} + 2\right)\cdot 11^{12} + \left(8 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 11^{13} + \left(3 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{14} + \left(5 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 11^{15} + \left(7 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{16} + \left(3 a^{2} + 7\right)\cdot 11^{17} + \left(2 a + 2\right)\cdot 11^{18} + \left(10 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{19} + \left(4 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 11^{20} + \left(5 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 11^{21} + \left(8 a^{2} + 8 a\right)\cdot 11^{22} + \left(9 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 11^{23} + \left(4 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 11^{24} + \left(7 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 11^{25} + \left(a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 11^{26} + \left(8 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 11^{27} + \left(2 a^{2} + 9\right)\cdot 11^{28} + \left(2 a^{2} + 2\right)\cdot 11^{29} + \left(8 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 11^{30} + \left(10 a + 2\right)\cdot 11^{31} + \left(7 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 11^{32} + \left(2 a^{2} + 10\right)\cdot 11^{33} + \left(8 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 11^{34} + \left(3 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 11^{35} + \left(2 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 11^{36} + \left(7 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 11^{37} + \left(3 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 11^{38} + \left(8 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 11^{39} + \left(7 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 11^{40} + \left(6 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 11^{41} + \left(5 a^{2} + 7 a\right)\cdot 11^{42} + \left(2 a^{2} + a + 10\right)\cdot 11^{43} + \left(2 a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{44} + \left(6 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 11^{45} + \left(9 a^{2} + 6 a\right)\cdot 11^{46} + \left(10 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 11^{47} + \left(6 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 11^{48} + \left(5 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 11^{49} + \left(6 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 11^{50} + \left(3 a^{2} + 5 a\right)\cdot 11^{51} + \left(7 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 11^{52} + \left(9 a + 2\right)\cdot 11^{53} + \left(9 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 11^{54} + \left(10 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 11^{55} + \left(10 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 11^{56} + \left(2 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 11^{57} + \left(a^{2} + a + 5\right)\cdot 11^{58} + \left(5 a^{2} + 10\right)\cdot 11^{59} + \left(7 a^{2} + 2 a\right)\cdot 11^{60} + \left(3 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 11^{61} + \left(10 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{62} + \left(3 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 11^{63} + \left(10 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 11^{64} + \left(8 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 11^{65} +O\left(11^{ 66 }\right)$
$r_{ 2 }$ $=$ $ 4 + 10\cdot 11 + 2\cdot 11^{3} + 5\cdot 11^{4} + 2\cdot 11^{5} + 9\cdot 11^{6} + 10\cdot 11^{7} + 5\cdot 11^{8} + 7\cdot 11^{9} + 2\cdot 11^{10} + 4\cdot 11^{11} + 7\cdot 11^{12} + 5\cdot 11^{14} + 6\cdot 11^{15} + 7\cdot 11^{16} + 8\cdot 11^{17} + 3\cdot 11^{19} + 9\cdot 11^{21} + 8\cdot 11^{22} + 2\cdot 11^{24} + 11^{25} + 5\cdot 11^{26} + 3\cdot 11^{27} + 5\cdot 11^{28} + 8\cdot 11^{29} + 10\cdot 11^{30} + 6\cdot 11^{31} + 11^{33} + 5\cdot 11^{34} + 9\cdot 11^{35} + 11^{36} + 6\cdot 11^{37} + 3\cdot 11^{38} + 4\cdot 11^{39} + 8\cdot 11^{40} + 9\cdot 11^{41} + 9\cdot 11^{42} + 10\cdot 11^{43} + 3\cdot 11^{44} + 9\cdot 11^{45} + 9\cdot 11^{46} + 9\cdot 11^{47} + 2\cdot 11^{48} + 8\cdot 11^{50} + 8\cdot 11^{51} + 11^{52} + 4\cdot 11^{53} + 8\cdot 11^{54} + 2\cdot 11^{55} + 8\cdot 11^{56} + 3\cdot 11^{57} + 11^{59} + 3\cdot 11^{60} + 2\cdot 11^{61} + 4\cdot 11^{62} + 3\cdot 11^{63} + 10\cdot 11^{64} + 8\cdot 11^{65} +O\left(11^{ 66 }\right)$
$r_{ 3 }$ $=$ $ 3 a^{2} + 8 a + \left(6 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 11 + \left(10 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 11^{2} + 4 a^{2}11^{3} + \left(10 a + 10\right)\cdot 11^{4} + \left(a^{2} + 6\right)\cdot 11^{5} + \left(10 a^{2} + a + 2\right)\cdot 11^{6} + \left(4 a^{2} + 5\right)\cdot 11^{7} + \left(7 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 11^{8} + 8 a^{2}11^{9} + \left(8 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 11^{10} + \left(10 a + 1\right)\cdot 11^{11} + \left(6 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 11^{12} + \left(8 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{13} + \left(7 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 11^{14} + \left(4 a + 7\right)\cdot 11^{15} + \left(2 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{16} + \left(4 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 11^{17} + \left(7 a^{2} + 3 a\right)\cdot 11^{18} + \left(7 a^{2} + 6\right)\cdot 11^{19} + 9 a\cdot 11^{20} + \left(9 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 11^{21} + \left(7 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 11^{22} + \left(a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{23} + \left(3 a + 1\right)\cdot 11^{24} + \left(10 a + 1\right)\cdot 11^{25} + \left(7 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 11^{26} + \left(9 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 11^{27} + \left(4 a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{28} + \left(3 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 11^{29} + \left(5 a + 8\right)\cdot 11^{30} + \left(8 a^{2} + a + 2\right)\cdot 11^{31} + \left(5 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 11^{32} + \left(3 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 11^{33} + \left(2 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 11^{34} + \left(6 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 11^{35} + \left(7 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 11^{36} + \left(10 a^{2} + 9 a\right)\cdot 11^{37} + \left(8 a + 7\right)\cdot 11^{38} + \left(7 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 11^{39} + \left(10 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 11^{40} + \left(10 a^{2} + a + 2\right)\cdot 11^{41} + \left(6 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 11^{42} + \left(2 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 11^{43} + \left(4 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 11^{44} + \left(4 a + 9\right)\cdot 11^{45} + \left(9 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 11^{46} + \left(8 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 11^{47} + \left(2 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 11^{48} + \left(3 a + 1\right)\cdot 11^{49} + \left(5 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 11^{50} + \left(3 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 11^{51} + 9 a^{2}11^{52} + \left(4 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 11^{53} + \left(9 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{54} + \left(a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{55} + \left(3 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 11^{56} + \left(9 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 11^{57} + \left(9 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 11^{58} + \left(7 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 11^{59} + \left(10 a^{2} + 9 a\right)\cdot 11^{60} + \left(7 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 11^{61} + \left(6 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 11^{62} + \left(2 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 11^{63} + \left(2 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 11^{64} + \left(5 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 11^{65} +O\left(11^{ 66 }\right)$
$r_{ 4 }$ $=$ $ 6 a^{2} + 4 a + 4 + \left(9 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 11 + \left(10 a^{2} + a + 2\right)\cdot 11^{2} + \left(5 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 11^{3} + \left(8 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 11^{4} + \left(9 a^{2} + 9 a\right)\cdot 11^{5} + \left(7 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 11^{6} + \left(4 a + 10\right)\cdot 11^{7} + \left(3 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 11^{8} + \left(5 a^{2} + 10\right)\cdot 11^{9} + 3\cdot 11^{10} + 2 a\cdot 11^{11} + \left(9 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{12} + \left(6 a^{2} + 6 a\right)\cdot 11^{13} + \left(5 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 11^{14} + \left(10 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 11^{15} + \left(6 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 11^{16} + \left(8 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 11^{17} + \left(3 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 11^{18} + \left(8 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{19} + \left(6 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 11^{20} + \left(6 a^{2} + 1\right)\cdot 11^{21} + \left(10 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 11^{22} + \left(10 a + 2\right)\cdot 11^{23} + \left(7 a^{2} + 7\right)\cdot 11^{24} + \left(8 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 11^{25} + \left(7 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 11^{26} + \left(a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 11^{27} + \left(4 a^{2} + a + 9\right)\cdot 11^{28} + \left(2 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 11^{29} + \left(8 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 11^{30} + 6 a\cdot 11^{31} + \left(7 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 11^{32} + \left(5 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 11^{33} + \left(3 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 11^{34} + \left(2 a + 3\right)\cdot 11^{35} + \left(4 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 11^{36} + \left(3 a + 9\right)\cdot 11^{37} + \left(8 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 11^{38} + \left(3 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 11^{39} + \left(a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 11^{40} + \left(8 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 11^{41} + \left(8 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 11^{42} + \left(9 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 11^{43} + \left(5 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 11^{44} + \left(8 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 11^{45} + \left(6 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 11^{46} + \left(7 a^{2} + 6 a\right)\cdot 11^{47} + \left(8 a^{2} + a + 2\right)\cdot 11^{48} + \left(7 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 11^{49} + \left(5 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 11^{50} + \left(8 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 11^{51} + \left(2 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 11^{52} + \left(10 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 11^{53} + \left(6 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 11^{54} + \left(2 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 11^{55} + \left(8 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 11^{56} + \left(4 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 11^{57} + \left(a^{2} + a + 10\right)\cdot 11^{58} + \left(10 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 11^{59} + \left(2 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 11^{60} + \left(7 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 11^{61} + \left(6 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 11^{62} + \left(3 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 11^{63} + \left(7 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 11^{64} + \left(9 a^{2} + a + 6\right)\cdot 11^{65} +O\left(11^{ 66 }\right)$
$r_{ 5 }$ $=$ $ 2 a^{2} + 6 + \left(7 a^{2} + 1\right)\cdot 11 + \left(9 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 11^{2} + \left(10 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 11^{3} + \left(5 a^{2} + a + 10\right)\cdot 11^{4} + \left(3 a + 5\right)\cdot 11^{5} + \left(6 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 11^{6} + \left(7 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 11^{7} + \left(5 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 11^{8} + \left(4 a^{2} + a\right)\cdot 11^{9} + \left(4 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 11^{10} + \left(10 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 11^{11} + \left(2 a + 10\right)\cdot 11^{12} + \left(10 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 11^{13} + \left(4 a^{2} + 8 a\right)\cdot 11^{14} + \left(6 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 11^{15} + \left(2 a^{2} + 6\right)\cdot 11^{16} + \left(2 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 11^{17} + \left(8 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 11^{18} + \left(3 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{19} + \left(9 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 11^{20} + \left(2 a^{2} + a + 2\right)\cdot 11^{21} + \left(3 a^{2} + 1\right)\cdot 11^{22} + \left(4 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 11^{23} + \left(10 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 11^{24} + \left(3 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 11^{25} + \left(2 a^{2} + 10\right)\cdot 11^{26} + \left(a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 11^{27} + \left(3 a + 2\right)\cdot 11^{28} + \left(8 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 11^{29} + \left(10 a^{2} + a + 1\right)\cdot 11^{30} + \left(8 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 11^{31} + \left(7 a^{2} + a + 2\right)\cdot 11^{32} + \left(a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{33} + \left(4 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 11^{34} + \left(6 a^{2} + 4\right)\cdot 11^{35} + 4\cdot 11^{36} + \left(5 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 11^{37} + \left(2 a^{2} + a + 6\right)\cdot 11^{38} + \left(2 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 11^{39} + \left(4 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 11^{40} + \left(a^{2} + 7 a\right)\cdot 11^{41} + \left(10 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{42} + \left(7 a + 4\right)\cdot 11^{43} + \left(7 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 11^{44} + \left(8 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 11^{45} + \left(5 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 11^{46} + \left(4 a^{2} + a + 6\right)\cdot 11^{47} + 8 a\cdot 11^{48} + \left(7 a^{2} + 5\right)\cdot 11^{49} + \left(6 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 11^{50} + \left(8 a^{2} + 9 a\right)\cdot 11^{51} + \left(7 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 11^{52} + \left(6 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 11^{53} + \left(2 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 11^{54} + \left(2 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 11^{55} + \left(a + 6\right)\cdot 11^{56} + \left(6 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 11^{57} + \left(4 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 11^{58} + \left(4 a + 4\right)\cdot 11^{59} + \left(2 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 11^{60} + \left(4 a^{2} + 8\right)\cdot 11^{61} + \left(3 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 11^{62} + \left(5 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 11^{63} + \left(6 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 11^{64} + \left(4 a + 8\right)\cdot 11^{65} +O\left(11^{ 66 }\right)$
$r_{ 6 }$ $=$ $ 2 a^{2} + 10 a + 6 + \left(6 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 11 + \left(a + 3\right)\cdot 11^{2} + \left(3 a + 8\right)\cdot 11^{3} + \left(2 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 11^{4} + 9\cdot 11^{5} + \left(4 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 11^{6} + \left(5 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 11^{7} + \left(3 a + 7\right)\cdot 11^{8} + \left(8 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 11^{9} + \left(a^{2} + 1\right)\cdot 11^{10} + \left(10 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 11^{11} + \left(6 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 11^{12} + \left(6 a^{2} + a + 7\right)\cdot 11^{13} + \left(8 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 11^{14} + \left(10 a^{2} + 9\right)\cdot 11^{15} + \left(a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 11^{16} + \left(9 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 11^{17} + \left(10 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 11^{18} + \left(5 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 11^{19} + \left(3 a^{2} + 8 a\right)\cdot 11^{20} + \left(6 a^{2} + 5\right)\cdot 11^{21} + \left(3 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 11^{22} + \left(8 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 11^{23} + \left(3 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 11^{24} + \left(2 a^{2} + 4 a\right)\cdot 11^{25} + \left(7 a^{2} + a + 2\right)\cdot 11^{26} + \left(10 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 11^{27} + \left(a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 11^{28} + \left(5 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 11^{29} + \left(2 a^{2} + 5 a\right)\cdot 11^{30} + \left(2 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{31} + 9 a^{2}11^{32} + a^{2}11^{33} + \left(5 a^{2} + 10\right)\cdot 11^{34} + \left(4 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 11^{35} + \left(10 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 11^{36} + \left(10 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 11^{37} + \left(a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 11^{38} + 6\cdot 11^{39} + \left(10 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 11^{40} + \left(2 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 11^{41} + \left(6 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 11^{42} + \left(9 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 11^{43} + \left(4 a + 1\right)\cdot 11^{44} + \left(2 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 11^{45} + \left(6 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 11^{46} + \left(5 a^{2} + 1\right)\cdot 11^{47} + \left(10 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 11^{48} + \left(2 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 11^{49} + \left(9 a + 5\right)\cdot 11^{50} + \left(10 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 11^{51} + \left(9 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 11^{52} + \left(6 a^{2} + a + 4\right)\cdot 11^{53} + \left(5 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 11^{54} + \left(6 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 11^{55} + \left(10 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 11^{56} + \left(7 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 11^{57} + \left(10 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 11^{58} + \left(3 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 11^{59} + \left(8 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 11^{60} + \left(6 a^{2} + 7 a\right)\cdot 11^{61} + \left(8 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 11^{62} + \left(4 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 11^{63} + \left(a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 11^{64} + \left(7 a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{65} +O\left(11^{ 66 }\right)$
$r_{ 7 }$ $=$ $ 9 + 7\cdot 11 + 4\cdot 11^{3} + 3\cdot 11^{4} + 9\cdot 11^{5} + 4\cdot 11^{6} + 6\cdot 11^{7} + 9\cdot 11^{9} + 10\cdot 11^{10} + 11^{11} + 2\cdot 11^{12} + 4\cdot 11^{13} + 10\cdot 11^{14} + 11^{15} + 7\cdot 11^{16} + 11^{17} + 10\cdot 11^{18} + 6\cdot 11^{19} + 4\cdot 11^{21} + 3\cdot 11^{22} + 4\cdot 11^{23} + 6\cdot 11^{24} + 6\cdot 11^{25} + 6\cdot 11^{26} + 6\cdot 11^{27} + 9\cdot 11^{28} + 10\cdot 11^{29} + 2\cdot 11^{30} + 11^{31} + 3\cdot 11^{32} + 7\cdot 11^{33} + 4\cdot 11^{35} + 10\cdot 11^{36} + 10\cdot 11^{37} + 2\cdot 11^{38} + 4\cdot 11^{39} + 8\cdot 11^{40} + 7\cdot 11^{41} + 9\cdot 11^{42} + 10\cdot 11^{43} + 2\cdot 11^{44} + 3\cdot 11^{45} + 2\cdot 11^{46} + 6\cdot 11^{47} + 3\cdot 11^{48} + 9\cdot 11^{49} + 8\cdot 11^{50} + 9\cdot 11^{51} + 11^{52} + 5\cdot 11^{53} + 8\cdot 11^{54} + 5\cdot 11^{56} + 6\cdot 11^{58} + 8\cdot 11^{59} + 8\cdot 11^{60} + 11^{61} + 4\cdot 11^{62} + 7\cdot 11^{63} + 4\cdot 11^{64} + 8\cdot 11^{65} +O\left(11^{ 66 }\right)$
$r_{ 8 }$ $=$ $ 7 a^{2} + 5 a + 9 + \left(5 a^{2} + a + 6\right)\cdot 11 + \left(5 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 11^{2} + \left(4 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 11^{3} + \left(2 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 11^{4} + \left(2 a^{2} + a + 4\right)\cdot 11^{5} + \left(8 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 11^{6} + \left(6 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 11^{7} + a^{2}11^{8} + \left(10 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 11^{9} + \left(3 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 11^{10} + \left(3 a^{2} + a + 9\right)\cdot 11^{11} + \left(a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 11^{12} + \left(3 a^{2} + 7 a\right)\cdot 11^{13} + \left(2 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 11^{14} + \left(10 a^{2} + 3 a\right)\cdot 11^{15} + \left(7 a + 4\right)\cdot 11^{16} + \left(5 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 11^{17} + \left(2 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 11^{18} + \left(8 a^{2} + 4 a\right)\cdot 11^{19} + \left(7 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 11^{20} + \left(2 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 11^{21} + \left(10 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 11^{22} + \left(7 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 11^{23} + \left(6 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 11^{24} + \left(10 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 11^{25} + \left(6 a^{2} + a + 1\right)\cdot 11^{26} + \left(a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 11^{27} + \left(8 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 11^{28} + \left(7 a + 4\right)\cdot 11^{29} + \left(3 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 11^{30} + \left(a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 11^{31} + \left(7 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 11^{32} + \left(6 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 11^{33} + \left(9 a^{2} + a + 4\right)\cdot 11^{34} + \left(2 a + 8\right)\cdot 11^{35} + \left(8 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 11^{36} + \left(9 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 11^{37} + \left(4 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 11^{38} + \left(6 a + 5\right)\cdot 11^{39} + \left(10 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 11^{40} + \left(2 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 11^{41} + \left(6 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 11^{42} + \left(7 a^{2} + a + 5\right)\cdot 11^{43} + \left(a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 11^{44} + \left(7 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 11^{45} + \left(6 a^{2} + 5 a\right)\cdot 11^{46} + \left(6 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 11^{47} + \left(3 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 11^{48} + \left(9 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 11^{49} + \left(8 a^{2} + 8 a\right)\cdot 11^{50} + \left(9 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 11^{51} + \left(6 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 11^{52} + \left(3 a^{2} + a + 9\right)\cdot 11^{53} + \left(10 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 11^{54} + \left(8 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 11^{55} + \left(10 a^{2} + 9\right)\cdot 11^{56} + \left(a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 11^{57} + \left(5 a^{2} + 3\right)\cdot 11^{58} + \left(5 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 11^{59} + \left(a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 11^{60} + \left(3 a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{61} + \left(8 a^{2} + 5 a\right)\cdot 11^{62} + \left(a^{2} + 4\right)\cdot 11^{63} + \left(5 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 11^{64} + \left(a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 11^{65} +O\left(11^{ 66 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

Cycle notation
$(1,5,2,6,7,3)(4,8)$
$(1,7,5,2,6,3,4)$
$(1,6)(2,3)(4,8)(5,7)$
$(1,5)(2,8)(3,4)(6,7)$
$(1,4)(2,7)(3,5)(6,8)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$ Character value
$1$$1$$()$$7$
$7$$2$$(1,6)(2,3)(4,8)(5,7)$$-1$
$28$$3$$(1,2,7)(3,5,6)$$1$
$28$$3$$(1,7,2)(3,6,5)$$1$
$28$$6$$(1,5,2,6,7,3)(4,8)$$-1$
$28$$6$$(1,3,7,6,2,5)(4,8)$$-1$
$24$$7$$(1,7,5,2,6,3,4)$$0$
$24$$7$$(1,2,4,5,3,7,6)$$0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.