Artin representation 7.2e6_3e10_7e9.24t283.1c1

• Label: 7.2e6_3e10_7e9.24t283.1c1
• Dimension: 7
• Group: $C_2^3:(C_7: C_3)$
• Conductor: $ 2^{6} \cdot 3^{10} \cdot 7^{9}$
• Root number: not computed
• Frobenius-Schur indicator: 0

Basic invariants

Dimension:	$7$
Group:	$C_2^3:(C_7: C_3)$
Conductor:	$152501768943552= 2^{6} \cdot 3^{10} \cdot 7^{9} $
Artin number field:	Splitting field of $f= x^{8} - 3 x^{7} - 7 x^{6} + 35 x^{5} - 21 x^{4} - 77 x^{3} + 189 x^{2} - 171 x + 72 $ over $\Q$
Size of Galois orbit:	2
Smallest containing permutation representation:	24T283
Parity:	Even
Determinant:	1.3e2_7.3t1.1c1

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 13 }$ to precision 56.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 13 }$: $ x^{3} + 2 x + 11 $

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	$ 2 + 9\cdot 13 + 3\cdot 13^{2} + 13^{3} + 2\cdot 13^{4} + 4\cdot 13^{5} + 6\cdot 13^{7} + 4\cdot 13^{8} + 10\cdot 13^{9} + 10\cdot 13^{10} + 10\cdot 13^{11} + 5\cdot 13^{12} + 9\cdot 13^{13} + 12\cdot 13^{14} + 7\cdot 13^{15} + 8\cdot 13^{16} + 10\cdot 13^{17} + 8\cdot 13^{18} + 2\cdot 13^{19} + 9\cdot 13^{20} + 12\cdot 13^{21} + 3\cdot 13^{22} + 4\cdot 13^{23} + 7\cdot 13^{24} + 8\cdot 13^{25} + 3\cdot 13^{26} + 2\cdot 13^{27} + 10\cdot 13^{28} + 11\cdot 13^{29} + 5\cdot 13^{31} + 12\cdot 13^{32} + 13^{33} + 5\cdot 13^{34} + 2\cdot 13^{35} + 6\cdot 13^{36} + 12\cdot 13^{37} + 12\cdot 13^{38} + 4\cdot 13^{40} + 10\cdot 13^{41} + 6\cdot 13^{42} + 11\cdot 13^{43} + 8\cdot 13^{44} + 2\cdot 13^{45} + 6\cdot 13^{46} + 11\cdot 13^{47} + 2\cdot 13^{50} + 5\cdot 13^{51} + 5\cdot 13^{53} + 12\cdot 13^{54} + 4\cdot 13^{55} +O\left(13^{ 56 }\right)$
$r_{ 2 }$	$=$	$ 11 a^{2} + 7 a + 1 + \left(10 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13 + \left(7 a^{2} + 1\right)\cdot 13^{2} + 12 a^{2}13^{3} + \left(8 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{4} + \left(10 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 13^{5} + \left(5 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{6} + \left(2 a + 7\right)\cdot 13^{7} + \left(4 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{8} + \left(11 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{9} + \left(3 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{10} + \left(a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{11} + \left(a + 6\right)\cdot 13^{12} + \left(6 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 13^{13} + \left(12 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{14} + \left(7 a + 10\right)\cdot 13^{15} + \left(3 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 13^{16} + \left(10 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 13^{17} + \left(8 a^{2} + 6 a\right)\cdot 13^{18} + \left(5 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{19} + \left(3 a + 5\right)\cdot 13^{20} + \left(a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{21} + \left(2 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{22} + \left(8 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{23} + \left(5 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{24} + \left(10 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{25} + \left(4 a + 5\right)\cdot 13^{26} + \left(6 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 13^{27} + \left(9 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 13^{28} + \left(9 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{29} + \left(7 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{30} + \left(10 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{31} + \left(11 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{32} + \left(6 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 13^{33} + \left(3 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{34} + \left(a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{35} + \left(10 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{36} + \left(a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 13^{37} + \left(10 a^{2} + a + 10\right)\cdot 13^{38} + \left(2 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{39} + \left(10 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{40} + \left(4 a + 4\right)\cdot 13^{41} + \left(3 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 13^{42} + \left(7 a^{2} + 2 a\right)\cdot 13^{43} + \left(2 a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{44} + \left(8 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{45} + 11\cdot 13^{46} + \left(4 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{47} + \left(a^{2} + a + 9\right)\cdot 13^{48} + \left(3 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{49} + \left(6 a^{2} + 7\right)\cdot 13^{50} + \left(10 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{51} + \left(9 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 13^{52} + \left(8 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{53} + \left(7 a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{54} + \left(11 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{55} +O\left(13^{ 56 }\right)$
$r_{ 3 }$	$=$	$ 3 a^{2} + 7 a + 12 + \left(2 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13 + \left(11 a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{2} + \left(5 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{3} + \left(6 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{4} + \left(7 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{5} + \left(2 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{6} + \left(3 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{7} + \left(7 a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{8} + \left(3 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 13^{9} + \left(9 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{10} + \left(6 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 13^{11} + \left(10 a^{2} + 3\right)\cdot 13^{12} + \left(8 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{13} + \left(8 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{14} + \left(2 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{15} + \left(6 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{16} + \left(a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{17} + \left(9 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{18} + \left(9 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{19} + \left(11 a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{20} + \left(a^{2} + 1\right)\cdot 13^{21} + \left(3 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 13^{22} + \left(a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 13^{23} + \left(6 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{24} + \left(4 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 13^{25} + \left(12 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{26} + \left(4 a + 12\right)\cdot 13^{27} + \left(7 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{28} + \left(7 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{29} + \left(2 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{30} + \left(8 a^{2} + 12 a\right)\cdot 13^{31} + \left(a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{32} + \left(3 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{33} + \left(6 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 13^{34} + \left(a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13^{35} + \left(4 a^{2} + 1\right)\cdot 13^{36} + \left(8 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{37} + \left(12 a^{2} + 4 a\right)\cdot 13^{38} + \left(4 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{39} + \left(a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{40} + \left(a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{41} + \left(3 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{42} + \left(9 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{43} + \left(4 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{44} + \left(8 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 13^{45} + \left(3 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 13^{46} + \left(2 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 13^{47} + \left(5 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 13^{48} + \left(5 a^{2} + a + 2\right)\cdot 13^{49} + \left(11 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{50} + \left(12 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 13^{51} + \left(6 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{52} + \left(12 a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{53} + \left(7 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{54} + \left(11 a^{2} + 9\right)\cdot 13^{55} +O\left(13^{ 56 }\right)$
$r_{ 4 }$	$=$	$ 12 a^{2} + 12 a + 11 + \left(12 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13 + \left(6 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 13^{2} + \left(7 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 13^{3} + \left(10 a^{2} + 2\right)\cdot 13^{4} + \left(7 a^{2} + 12 a\right)\cdot 13^{5} + \left(4 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{6} + \left(9 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{7} + \left(a^{2} + 3 a\right)\cdot 13^{8} + \left(11 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{9} + \left(12 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{10} + \left(4 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 13^{11} + \left(2 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{12} + \left(11 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 13^{13} + \left(4 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{14} + \left(9 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{15} + \left(3 a^{2} + a + 2\right)\cdot 13^{16} + \left(a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{17} + \left(8 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{18} + \left(10 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{19} + \left(7 a + 9\right)\cdot 13^{20} + \left(10 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{21} + \left(7 a^{2} + 2\right)\cdot 13^{22} + \left(3 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{23} + a^{2}13^{24} + \left(11 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{25} + \left(12 a^{2} + 3 a\right)\cdot 13^{26} + \left(5 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{27} + \left(9 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{28} + \left(8 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 13^{29} + \left(2 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{30} + \left(7 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{31} + 12 a^{2}13^{32} + \left(2 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{33} + \left(3 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 13^{34} + \left(10 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{35} + \left(11 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 13^{36} + \left(2 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{37} + \left(3 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{38} + \left(5 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{39} + \left(a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{40} + \left(11 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 13^{41} + \left(6 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 13^{42} + \left(9 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 13^{43} + \left(5 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 13^{44} + \left(9 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{45} + \left(8 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{46} + \left(6 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{47} + \left(6 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13^{48} + \left(4 a^{2} + 4 a\right)\cdot 13^{49} + \left(8 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{50} + \left(2 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{51} + \left(9 a^{2} + 1\right)\cdot 13^{52} + \left(4 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 13^{53} + 10 a^{2}13^{54} + \left(2 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 13^{55} +O\left(13^{ 56 }\right)$
$r_{ 5 }$	$=$	$ 9 + 8\cdot 13 + 9\cdot 13^{2} + 4\cdot 13^{3} + 6\cdot 13^{4} + 6\cdot 13^{5} + 11\cdot 13^{6} + 2\cdot 13^{7} + 11\cdot 13^{8} + 5\cdot 13^{9} + 2\cdot 13^{11} + 8\cdot 13^{12} + 10\cdot 13^{13} + 3\cdot 13^{14} + 5\cdot 13^{15} + 7\cdot 13^{16} + 8\cdot 13^{17} + 4\cdot 13^{18} + 3\cdot 13^{20} + 10\cdot 13^{21} + 10\cdot 13^{22} + 13^{23} + 7\cdot 13^{24} + 13^{25} + 4\cdot 13^{26} + 9\cdot 13^{27} + 7\cdot 13^{28} + 13^{29} + 11\cdot 13^{30} + 5\cdot 13^{31} + 8\cdot 13^{32} + 8\cdot 13^{33} + 11\cdot 13^{34} + 5\cdot 13^{35} + 9\cdot 13^{36} + 9\cdot 13^{38} + 11\cdot 13^{39} + 10\cdot 13^{41} + 4\cdot 13^{42} + 10\cdot 13^{43} + 6\cdot 13^{44} + 3\cdot 13^{45} + 4\cdot 13^{46} + 9\cdot 13^{47} + 10\cdot 13^{48} + 13^{49} + 6\cdot 13^{51} + 9\cdot 13^{54} + 9\cdot 13^{55} +O\left(13^{ 56 }\right)$
$r_{ 6 }$	$=$	$ 7 a^{2} + 8 a + 3 + \left(10 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13 + \left(10 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{2} + \left(11 a^{2} + 4\right)\cdot 13^{3} + \left(5 a + 1\right)\cdot 13^{4} + \left(5 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{5} + \left(10 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{6} + \left(8 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 13^{7} + \left(9 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 13^{8} + \left(2 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{9} + \left(11 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{10} + \left(7 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 13^{11} + \left(a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 13^{12} + \left(12 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 13^{13} + \left(7 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{14} + \left(6 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{15} + \left(7 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{16} + \left(10 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{17} + \left(9 a^{2} + 2\right)\cdot 13^{18} + \left(7 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{19} + \left(4 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{20} + \left(5 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{21} + \left(2 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{22} + \left(11 a^{2} + a\right)\cdot 13^{23} + \left(12 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{24} + \left(3 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{25} + \left(12 a^{2} + 4\right)\cdot 13^{26} + \left(10 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{27} + \left(6 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{28} + \left(4 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{29} + \left(7 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{30} + \left(2 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{31} + \left(5 a + 9\right)\cdot 13^{32} + \left(8 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{33} + \left(2 a^{2} + 7 a\right)\cdot 13^{34} + \left(6 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{35} + \left(2 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{36} + \left(a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 13^{37} + \left(9 a^{2} + 3\right)\cdot 13^{38} + \left(5 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{39} + \left(2 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 13^{40} + \left(10 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13^{41} + \left(6 a + 3\right)\cdot 13^{42} + \left(10 a + 10\right)\cdot 13^{43} + \left(7 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{44} + \left(5 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{45} + \left(10 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{46} + \left(a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{47} + \left(a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{48} + \left(9 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 13^{49} + \left(11 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13^{50} + \left(9 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 13^{51} + \left(12 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{52} + \left(6 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{53} + \left(6 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{54} + \left(3 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{55} +O\left(13^{ 56 }\right)$
$r_{ 7 }$	$=$	$ 9 a^{2} + 8 a + 10 + \left(10 a^{2} + 6\right)\cdot 13 + \left(11 a + 1\right)\cdot 13^{2} + \left(7 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{3} + \left(a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{4} + \left(11 a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{5} + \left(a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{6} + \left(8 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{7} + \left(8 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{8} + \left(2 a^{2} + 2\right)\cdot 13^{9} + \left(10 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{10} + \left(11 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{11} + 11\cdot 13^{12} + \left(3 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{13} + \left(9 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{14} + \left(2 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{15} + \left(6 a^{2} + 9\right)\cdot 13^{16} + \left(2 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{17} + \left(4 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{18} + \left(a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{19} + \left(9 a^{2} + 3\right)\cdot 13^{20} + \left(12 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 13^{21} + \left(3 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{22} + \left(4 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{23} + \left(a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{24} + \left(8 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{25} + \left(11 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{26} + \left(10 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{27} + \left(10 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{28} + \left(10 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{29} + \left(10 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{30} + \left(4 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{31} + \left(7 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 13^{32} + \left(9 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 13^{33} + \left(4 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 13^{34} + \left(8 a^{2} + 7 a\right)\cdot 13^{35} + \left(4 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{36} + \left(7 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{37} + \left(11 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{38} + \left(12 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{39} + \left(3 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{40} + \left(a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{41} + \left(8 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{42} + \left(5 a^{2} + 3 a\right)\cdot 13^{43} + \left(9 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{44} + \left(10 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{45} + \left(a^{2} + 1\right)\cdot 13^{46} + \left(11 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 13^{47} + \left(4 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{48} + \left(4 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{49} + \left(12 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{50} + \left(9 a^{2} + 7 a\right)\cdot 13^{51} + \left(a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{52} + \left(7 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{53} + \left(a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{54} + \left(12 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{55} +O\left(13^{ 56 }\right)$
$r_{ 8 }$	$=$	$ 10 a^{2} + 10 a + 7 + \left(4 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13 + \left(a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 13^{2} + \left(7 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{3} + \left(10 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{4} + \left(9 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 13^{5} + \left(5 a + 6\right)\cdot 13^{6} + \left(9 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 13^{7} + \left(7 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{8} + \left(7 a^{2} + 5\right)\cdot 13^{9} + \left(4 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{10} + \left(6 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{11} + \left(10 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{12} + \left(10 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{13} + \left(8 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{14} + \left(3 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 13^{15} + \left(12 a^{2} + 6 a\right)\cdot 13^{16} + \left(12 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 13^{17} + \left(11 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 13^{18} + \left(3 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 13^{19} + \left(12 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 13^{20} + \left(7 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{21} + \left(6 a^{2} + 2\right)\cdot 13^{22} + \left(10 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{23} + \left(11 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{24} + \left(10 a + 3\right)\cdot 13^{25} + \left(2 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{26} + \left(4 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{27} + \left(8 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{28} + \left(10 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{29} + \left(7 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{30} + \left(5 a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{31} + \left(5 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{32} + \left(8 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13^{33} + \left(5 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{34} + \left(11 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{35} + \left(5 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{36} + \left(4 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{37} + \left(5 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{38} + \left(7 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{39} + \left(6 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{40} + \left(a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{41} + \left(4 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 13^{42} + \left(7 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{43} + \left(9 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{44} + \left(9 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 13^{45} + 4 a\cdot 13^{46} + \left(a + 12\right)\cdot 13^{47} + \left(7 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{48} + \left(12 a^{2} + 3\right)\cdot 13^{49} + \left(a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 13^{50} + \left(6 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{51} + \left(11 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{52} + \left(11 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{53} + \left(4 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{54} + \left(10 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{55} +O\left(13^{ 56 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

Cycle notation

$(1,7)(2,5)(3,4)(6,8)$

$(1,3,7,2,5,4,8)$

$(1,4)(2,8)(3,7)(5,6)$

$(1,2)(3,6)(4,8)(5,7)$

$(1,4,7,5,6,2)(3,8)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$	Character value
$1$	$1$	$()$	$7$
$7$	$2$	$(1,5)(2,7)(3,8)(4,6)$	$-1$
$28$	$3$	$(1,7,6)(2,4,5)$	$\zeta_{3}$
$28$	$3$	$(1,6,7)(2,5,4)$	$-\zeta_{3} - 1$
$28$	$6$	$(1,4,7,5,6,2)(3,8)$	$\zeta_{3} + 1$
$28$	$6$	$(1,2,6,5,7,4)(3,8)$	$-\zeta_{3}$
$24$	$7$	$(1,3,7,2,5,4,8)$	$0$
$24$	$7$	$(1,2,8,7,4,3,5)$	$0$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.