Artin representation 7.2e6_13e5_31e5.24t283.2c1

• Label: 7.2e6_13e5_31e5.24t283.2c1
• Dimension: 7
• Group: $C_2^3:(C_7: C_3)$
• Conductor: $ 2^{6} \cdot 13^{5} \cdot 31^{5}$
• Root number: not computed
• Frobenius-Schur indicator: 0

Basic invariants

Dimension:	$7$
Group:	$C_2^3:(C_7: C_3)$
Conductor:	$680307415183552= 2^{6} \cdot 13^{5} \cdot 31^{5} $
Artin number field:	Splitting field of $f= x^{8} - x^{7} + 4 x^{6} - 2 x^{5} + 4 x^{4} - 60 x^{3} + 120 x^{2} - 88 x + 24 $ over $\Q$
Size of Galois orbit:	2
Smallest containing permutation representation:	24T283
Parity:	Even
Determinant:	1.13_31.3t1.2c1

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 19 }$ to precision 49.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 19 }$: $ x^{3} + 4 x + 17 $

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	$ 7 a^{2} + 16 a + 11 + \left(18 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 19 + \left(a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 19^{2} + \left(a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 19^{3} + \left(a + 12\right)\cdot 19^{4} + \left(17 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 19^{5} + \left(11 a^{2} + 4 a\right)\cdot 19^{6} + \left(8 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 19^{7} + \left(7 a^{2} + 8 a + 17\right)\cdot 19^{8} + \left(11 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 19^{9} + \left(12 a^{2} + 17\right)\cdot 19^{10} + \left(a^{2} + 14\right)\cdot 19^{11} + \left(4 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 19^{12} + \left(6 a^{2} + 18 a\right)\cdot 19^{13} + \left(7 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 19^{14} + \left(4 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 19^{15} + \left(18 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 19^{16} + \left(a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 19^{17} + \left(12 a^{2} + a + 14\right)\cdot 19^{18} + \left(6 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 19^{19} + \left(13 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 19^{20} + \left(5 a^{2} + 6 a\right)\cdot 19^{21} + \left(5 a^{2} + 18 a + 13\right)\cdot 19^{22} + \left(3 a^{2} + 18 a + 3\right)\cdot 19^{23} + \left(14 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 19^{24} + \left(5 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 19^{25} + \left(18 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 19^{26} + \left(9 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 19^{27} + \left(6 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 19^{28} + \left(11 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 19^{29} + \left(16 a + 6\right)\cdot 19^{30} + \left(13 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 19^{31} + \left(8 a^{2} + 11 a + 18\right)\cdot 19^{32} + \left(3 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 19^{33} + \left(5 a^{2} + 2 a\right)\cdot 19^{34} + \left(13 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 19^{35} + \left(18 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 19^{36} + \left(14 a^{2} + 3 a\right)\cdot 19^{37} + \left(16 a + 12\right)\cdot 19^{38} + \left(6 a^{2} + 18\right)\cdot 19^{39} + \left(14 a^{2} + 4\right)\cdot 19^{40} + 12\cdot 19^{41} + \left(6 a^{2} + 12 a + 17\right)\cdot 19^{42} + \left(12 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 19^{43} + \left(12 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 19^{44} + \left(16 a + 16\right)\cdot 19^{45} + \left(18 a^{2} + 17 a + 1\right)\cdot 19^{46} + \left(18 a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 19^{47} + \left(4 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 19^{48} +O\left(19^{ 49 }\right)$
$r_{ 2 }$	$=$	$ 18 + 17\cdot 19 + 2\cdot 19^{2} + 10\cdot 19^{3} + 18\cdot 19^{4} + 17\cdot 19^{5} + 7\cdot 19^{7} + 4\cdot 19^{8} + 12\cdot 19^{9} + 8\cdot 19^{10} + 11\cdot 19^{11} + 18\cdot 19^{12} + 18\cdot 19^{13} + 13\cdot 19^{14} + 9\cdot 19^{15} + 17\cdot 19^{16} + 19^{17} + 6\cdot 19^{18} + 5\cdot 19^{19} + 19^{21} + 4\cdot 19^{22} + 7\cdot 19^{23} + 15\cdot 19^{26} + 9\cdot 19^{27} + 10\cdot 19^{28} + 17\cdot 19^{29} + 11\cdot 19^{30} + 12\cdot 19^{31} + 7\cdot 19^{32} + 19^{33} + 13\cdot 19^{34} + 12\cdot 19^{35} + 11\cdot 19^{36} + 10\cdot 19^{37} + 11\cdot 19^{38} + 15\cdot 19^{39} + 2\cdot 19^{40} + 6\cdot 19^{41} + 11\cdot 19^{42} + 18\cdot 19^{44} + 3\cdot 19^{45} + 18\cdot 19^{47} + 18\cdot 19^{48} +O\left(19^{ 49 }\right)$
$r_{ 3 }$	$=$	$ a^{2} + 15 a + 14 + \left(16 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 19 + \left(4 a^{2} + 4 a\right)\cdot 19^{2} + \left(11 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 19^{3} + \left(8 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 19^{4} + \left(16 a^{2} + 11 a\right)\cdot 19^{5} + \left(6 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 19^{6} + \left(9 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 19^{7} + \left(6 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 19^{8} + \left(12 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 19^{9} + \left(14 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 19^{10} + \left(14 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 19^{11} + \left(14 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 19^{12} + \left(3 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 19^{13} + \left(9 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 19^{14} + \left(a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 19^{15} + \left(13 a^{2} + a\right)\cdot 19^{16} + \left(17 a^{2} + 5\right)\cdot 19^{17} + \left(12 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 19^{18} + \left(13 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 19^{19} + \left(11 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 19^{20} + \left(a^{2} + 16 a\right)\cdot 19^{21} + \left(3 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 19^{22} + \left(4 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 19^{23} + \left(4 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 19^{24} + \left(4 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 19^{25} + \left(9 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 19^{26} + \left(4 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 19^{27} + 18 a\cdot 19^{28} + \left(3 a^{2} + 7 a + 15\right)\cdot 19^{29} + \left(12 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 19^{30} + \left(7 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 19^{31} + \left(8 a^{2} + 12 a + 17\right)\cdot 19^{32} + \left(6 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 19^{33} + \left(8 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 19^{34} + \left(12 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 19^{35} + \left(6 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 19^{36} + \left(6 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 19^{37} + \left(5 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 19^{38} + \left(15 a^{2} + 17\right)\cdot 19^{39} + \left(13 a^{2} + a + 16\right)\cdot 19^{40} + \left(9 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 19^{41} + \left(5 a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 19^{42} + \left(6 a^{2} + 11\right)\cdot 19^{43} + \left(9 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 19^{44} + \left(15 a^{2} + 4\right)\cdot 19^{45} + \left(15 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 19^{46} + \left(17 a^{2} + a + 17\right)\cdot 19^{47} + \left(11 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 19^{48} +O\left(19^{ 49 }\right)$
$r_{ 4 }$	$=$	$ 5 a^{2} + 18 a + 12 + \left(11 a + 9\right)\cdot 19 + \left(10 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 19^{2} + \left(3 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 19^{3} + 12\cdot 19^{4} + \left(16 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 19^{5} + \left(7 a^{2} + 14\right)\cdot 19^{6} + \left(12 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 19^{7} + \left(14 a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 19^{8} + \left(2 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 19^{9} + \left(18 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 19^{10} + \left(17 a^{2} + a + 7\right)\cdot 19^{11} + \left(17 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 19^{12} + \left(17 a^{2} + a\right)\cdot 19^{13} + \left(18 a^{2} + 14 a + 18\right)\cdot 19^{14} + \left(12 a^{2} + 10\right)\cdot 19^{15} + \left(12 a + 8\right)\cdot 19^{16} + \left(17 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 19^{17} + \left(18 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 19^{18} + \left(4 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 19^{19} + \left(4 a^{2} + 17 a + 6\right)\cdot 19^{20} + \left(a^{2} + 7\right)\cdot 19^{21} + \left(9 a + 5\right)\cdot 19^{22} + \left(11 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 19^{23} + \left(9 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 19^{24} + \left(14 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 19^{25} + \left(15 a^{2} + a + 7\right)\cdot 19^{26} + \left(17 a^{2} + a + 16\right)\cdot 19^{27} + \left(4 a^{2} + a + 14\right)\cdot 19^{28} + \left(15 a^{2} + 18 a + 15\right)\cdot 19^{29} + 2 a\cdot 19^{30} + \left(2 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 19^{31} + \left(10 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 19^{32} + \left(8 a^{2} + 6\right)\cdot 19^{33} + \left(7 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 19^{34} + \left(a^{2} + 16 a\right)\cdot 19^{35} + \left(17 a + 4\right)\cdot 19^{36} + \left(15 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 19^{37} + \left(12 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 19^{38} + \left(3 a^{2} + 10 a + 18\right)\cdot 19^{39} + \left(a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 19^{40} + \left(18 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 19^{41} + \left(18 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 19^{42} + \left(6 a + 17\right)\cdot 19^{43} + \left(13 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 19^{44} + \left(11 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 19^{45} + \left(9 a^{2} + 13 a + 17\right)\cdot 19^{46} + \left(6 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 19^{47} + \left(16 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 19^{48} +O\left(19^{ 49 }\right)$
$r_{ 5 }$	$=$	$ 9 a^{2} + 7 a + 10 + \left(15 a + 6\right)\cdot 19 + \left(10 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 19^{2} + \left(17 a^{2} + 18 a + 7\right)\cdot 19^{3} + \left(16 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 19^{4} + \left(11 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 19^{5} + \left(6 a^{2} + 8\right)\cdot 19^{6} + \left(4 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 19^{7} + \left(14 a^{2} + 14\right)\cdot 19^{8} + \left(14 a^{2} + a + 5\right)\cdot 19^{9} + \left(12 a^{2} + 7 a\right)\cdot 19^{10} + \left(14 a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 19^{11} + \left(11 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 19^{12} + \left(6 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 19^{13} + \left(18 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 19^{14} + \left(13 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 19^{15} + \left(5 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 19^{16} + \left(12 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 19^{17} + \left(16 a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 19^{18} + \left(17 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 19^{19} + \left(15 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 19^{20} + \left(4 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 19^{21} + \left(15 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 19^{22} + \left(3 a^{2} + 15 a + 18\right)\cdot 19^{23} + \left(16 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 19^{24} + \left(11 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 19^{25} + \left(12 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 19^{26} + \left(9 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 19^{27} + \left(10 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 19^{28} + \left(10 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 19^{29} + \left(13 a^{2} + 8\right)\cdot 19^{30} + \left(7 a^{2} + 14 a + 9\right)\cdot 19^{31} + \left(11 a^{2} + 2 a\right)\cdot 19^{32} + \left(16 a^{2} + a + 2\right)\cdot 19^{33} + \left(12 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 19^{34} + \left(17 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 19^{35} + 10 a\cdot 19^{36} + \left(12 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 19^{37} + \left(3 a^{2} + a + 15\right)\cdot 19^{38} + \left(9 a + 2\right)\cdot 19^{39} + \left(4 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 19^{40} + \left(15 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 19^{41} + \left(5 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 19^{42} + \left(15 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 19^{43} + \left(16 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 19^{44} + \left(2 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 19^{45} + \left(8 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 19^{46} + \left(9 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 19^{47} + \left(18 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 19^{48} +O\left(19^{ 49 }\right)$
$r_{ 6 }$	$=$	$ 9 a^{2} + 16 a + 10 + \left(2 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 19 + \left(4 a^{2} + 9 a + 17\right)\cdot 19^{2} + \left(9 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 19^{3} + \left(12 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 19^{4} + \left(9 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 19^{5} + \left(5 a^{2} + 3 a + 18\right)\cdot 19^{6} + \left(5 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 19^{7} + \left(17 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 19^{8} + \left(10 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 19^{9} + \left(10 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 19^{10} + \left(8 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 19^{11} + \left(11 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 19^{12} + \left(8 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 19^{13} + \left(10 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 19^{14} + \left(3 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 19^{15} + \left(7 a + 16\right)\cdot 19^{16} + \left(8 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 19^{17} + \left(8 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 19^{18} + \left(6 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 19^{19} + \left(10 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 19^{20} + \left(12 a^{2} + 16 a + 17\right)\cdot 19^{21} + \left(11 a + 16\right)\cdot 19^{22} + \left(11 a^{2} + 18\right)\cdot 19^{23} + \left(17 a^{2} + a + 11\right)\cdot 19^{24} + \left(2 a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 19^{25} + \left(16 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 19^{26} + \left(4 a^{2} + 15 a\right)\cdot 19^{27} + \left(8 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 19^{28} + \left(5 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 19^{29} + \left(12 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 19^{30} + \left(3 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 19^{31} + \left(18 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 19^{32} + \left(14 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 19^{33} + \left(16 a^{2} + 11 a + 18\right)\cdot 19^{34} + \left(7 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 19^{35} + \left(11 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 19^{36} + \left(6 a + 14\right)\cdot 19^{37} + \left(10 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 19^{38} + \left(3 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 19^{39} + \left(a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 19^{40} + \left(13 a^{2} + 18 a + 3\right)\cdot 19^{41} + \left(7 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 19^{42} + \left(16 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 19^{43} + \left(11 a^{2} + 14 a + 9\right)\cdot 19^{44} + \left(12 a + 2\right)\cdot 19^{45} + \left(14 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 19^{46} + \left(10 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 19^{47} + \left(7 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 19^{48} +O\left(19^{ 49 }\right)$
$r_{ 7 }$	$=$	$ 7 a^{2} + 4 a + 11 + \left(18 a + 3\right)\cdot 19 + \left(7 a^{2} + 8 a + 17\right)\cdot 19^{2} + \left(14 a^{2} + 14\right)\cdot 19^{3} + \left(18 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 19^{4} + \left(4 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 19^{5} + \left(18 a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 19^{6} + \left(16 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 19^{7} + \left(15 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 19^{8} + \left(4 a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 19^{9} + \left(7 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 19^{10} + \left(18 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 19^{11} + \left(15 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 19^{12} + \left(13 a^{2} + 18 a + 8\right)\cdot 19^{13} + \left(11 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 19^{14} + \left(a^{2} + 14 a + 18\right)\cdot 19^{15} + \left(18 a + 6\right)\cdot 19^{16} + \left(a + 4\right)\cdot 19^{17} + \left(7 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 19^{18} + \left(7 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 19^{19} + \left(a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 19^{20} + \left(12 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 19^{21} + \left(13 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 19^{22} + \left(4 a^{2} + 13\right)\cdot 19^{23} + \left(14 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 19^{24} + \left(17 a^{2} + 11\right)\cdot 19^{25} + \left(3 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 19^{26} + \left(10 a^{2} + 18 a + 8\right)\cdot 19^{27} + \left(7 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 19^{28} + \left(11 a^{2} + a + 11\right)\cdot 19^{29} + \left(17 a^{2} + 18 a + 7\right)\cdot 19^{30} + \left(3 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 19^{31} + 8\cdot 19^{32} + \left(7 a^{2} + 15\right)\cdot 19^{33} + \left(6 a^{2} + 9\right)\cdot 19^{34} + \left(4 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 19^{35} + \left(10 a + 10\right)\cdot 19^{36} + \left(8 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 19^{37} + \left(5 a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 19^{38} + \left(9 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 19^{39} + \left(3 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 19^{40} + \left(9 a + 17\right)\cdot 19^{41} + \left(13 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 19^{42} + \left(5 a^{2} + a + 17\right)\cdot 19^{43} + \left(12 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 19^{44} + \left(6 a^{2} + 18 a\right)\cdot 19^{45} + \left(10 a^{2} + 6 a + 13\right)\cdot 19^{46} + \left(12 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 19^{47} + \left(16 a^{2} + a + 2\right)\cdot 19^{48} +O\left(19^{ 49 }\right)$
$r_{ 8 }$	$=$	$ 10 + 15\cdot 19 + 19^{2} + 8\cdot 19^{3} + 13\cdot 19^{4} + 3\cdot 19^{5} + 6\cdot 19^{6} + 7\cdot 19^{7} + 15\cdot 19^{8} + 16\cdot 19^{9} + 7\cdot 19^{10} + 5\cdot 19^{11} + 2\cdot 19^{12} + 16\cdot 19^{13} + 5\cdot 19^{14} + 16\cdot 19^{15} + 7\cdot 19^{16} + 16\cdot 19^{17} + 11\cdot 19^{18} + 19^{19} + 15\cdot 19^{20} + 15\cdot 19^{21} + 10\cdot 19^{22} + 19^{23} + 13\cdot 19^{24} + 19^{25} + 8\cdot 19^{26} + 6\cdot 19^{27} + 4\cdot 19^{28} + 17\cdot 19^{29} + 18\cdot 19^{30} + 2\cdot 19^{31} + 2\cdot 19^{33} + 11\cdot 19^{34} + 11\cdot 19^{35} + 2\cdot 19^{36} + 10\cdot 19^{37} + 18\cdot 19^{38} + 7\cdot 19^{39} + 4\cdot 19^{40} + 19^{41} + 14\cdot 19^{42} + 6\cdot 19^{43} + 3\cdot 19^{44} + 7\cdot 19^{45} + 17\cdot 19^{47} + 10\cdot 19^{48} +O\left(19^{ 49 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

Cycle notation

$(2,5,4,8,3,7,6)$

$(1,2)(3,7)(4,6)(5,8)$

$(1,5)(2,8)(3,4)(6,7)$

$(1,6)(2,4)(3,8)(5,7)$

$(2,4,6)(3,8,5)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$	Character value
$1$	$1$	$()$	$7$
$7$	$2$	$(1,5)(2,8)(3,4)(6,7)$	$-1$
$28$	$3$	$(2,4,6)(3,8,5)$	$\zeta_{3}$
$28$	$3$	$(2,6,4)(3,5,8)$	$-\zeta_{3} - 1$
$28$	$6$	$(1,5,4,7,6,8)(2,3)$	$-\zeta_{3}$
$28$	$6$	$(1,8,6,7,4,5)(2,3)$	$\zeta_{3} + 1$
$24$	$7$	$(2,5,4,8,3,7,6)$	$0$
$24$	$7$	$(2,8,6,4,7,5,3)$	$0$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.