Artin representation 7.2e6_13e4_31e4.8t36.1c1

• Label: 7.2e6_13e4_31e4.8t36.1c1
• Dimension: 7
• Group: $C_2^3:(C_7: C_3)$
• Conductor: $ 2^{6} \cdot 13^{4} \cdot 31^{4}$
• Root number: 1
• Frobenius-Schur indicator: 1

Basic invariants

Dimension:	$7$
Group:	$C_2^3:(C_7: C_3)$
Conductor:	$1688107729984= 2^{6} \cdot 13^{4} \cdot 31^{4} $
Artin number field:	Splitting field of $f= x^{8} - x^{7} + 4 x^{6} + 16 x^{4} - 20 x^{3} + 24 x^{2} + 20 x + 4 $ over $\Q$
Size of Galois orbit:	1
Smallest containing permutation representation:	$C_2^3:(C_7: C_3)$
Parity:	Even
Determinant:	1.1.1t1.1c1

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 23 }$ to precision 41.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 23 }$: $ x^{3} + 2 x + 18 $

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	$ 3 a^{2} + 12 a + 22 + \left(4 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 23 + \left(20 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 23^{2} + \left(14 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 23^{3} + \left(21 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 23^{4} + \left(8 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 23^{5} + 5\cdot 23^{6} + \left(10 a^{2} + 13 a + 20\right)\cdot 23^{7} + \left(20 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 23^{8} + \left(3 a^{2} + 19 a + 3\right)\cdot 23^{9} + \left(5 a + 7\right)\cdot 23^{10} + \left(18 a^{2} + 22 a + 22\right)\cdot 23^{11} + \left(4 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 23^{12} + \left(22 a^{2} + 16 a + 20\right)\cdot 23^{13} + \left(8 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 23^{14} + \left(a^{2} + 13 a + 22\right)\cdot 23^{15} + \left(14 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 23^{16} + \left(8 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 23^{17} + \left(9 a^{2} + 21 a + 9\right)\cdot 23^{18} + \left(3 a^{2} + 14 a + 22\right)\cdot 23^{19} + \left(5 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 23^{20} + \left(5 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 23^{21} + \left(17 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 23^{22} + \left(9 a^{2} + 3 a\right)\cdot 23^{23} + \left(2 a^{2} + 12\right)\cdot 23^{24} + \left(16 a^{2} + 22 a + 6\right)\cdot 23^{25} + \left(12 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 23^{26} + \left(14 a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 23^{27} + \left(13 a^{2} + 5\right)\cdot 23^{28} + \left(22 a^{2} + 17 a\right)\cdot 23^{29} + \left(13 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 23^{30} + \left(21 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 23^{31} + \left(19 a^{2} + 6 a\right)\cdot 23^{32} + \left(7 a^{2} + 9 a + 18\right)\cdot 23^{33} + \left(13 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 23^{34} + \left(7 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 23^{35} + \left(3 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 23^{36} + \left(11 a^{2} + 3 a + 20\right)\cdot 23^{37} + \left(20 a^{2} + 11 a + 20\right)\cdot 23^{38} + \left(3 a^{2} + 22 a + 13\right)\cdot 23^{39} + \left(2 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 23^{40} +O\left(23^{ 41 }\right)$
$r_{ 2 }$	$=$	$ 8 + 16\cdot 23 + 8\cdot 23^{2} + 11\cdot 23^{3} + 16\cdot 23^{4} + 12\cdot 23^{5} + 13\cdot 23^{7} + 21\cdot 23^{8} + 15\cdot 23^{9} + 21\cdot 23^{10} + 7\cdot 23^{11} + 7\cdot 23^{12} + 15\cdot 23^{13} + 7\cdot 23^{14} + 22\cdot 23^{15} + 19\cdot 23^{16} + 13\cdot 23^{18} + 23^{19} + 19\cdot 23^{20} + 2\cdot 23^{21} + 8\cdot 23^{22} + 11\cdot 23^{23} + 14\cdot 23^{24} + 6\cdot 23^{25} + 3\cdot 23^{26} + 8\cdot 23^{27} + 15\cdot 23^{28} + 16\cdot 23^{29} + 16\cdot 23^{30} + 19\cdot 23^{32} + 22\cdot 23^{33} + 6\cdot 23^{34} + 14\cdot 23^{35} + 5\cdot 23^{36} + 13\cdot 23^{37} + 21\cdot 23^{38} + 3\cdot 23^{39} + 7\cdot 23^{40} +O\left(23^{ 41 }\right)$
$r_{ 3 }$	$=$	$ a^{2} + 5 a + 4 + \left(2 a^{2} + 13 a\right)\cdot 23 + \left(a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 23^{2} + \left(18 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 23^{3} + \left(5 a^{2} + 5\right)\cdot 23^{4} + \left(4 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 23^{5} + \left(22 a^{2} + 19 a + 3\right)\cdot 23^{6} + \left(20 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 23^{7} + \left(8 a^{2} + 14 a + 22\right)\cdot 23^{8} + \left(17 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 23^{9} + 13 a\cdot 23^{10} + \left(a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 23^{11} + \left(18 a^{2} + 20 a + 8\right)\cdot 23^{12} + \left(7 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 23^{13} + \left(10 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 23^{14} + \left(18 a^{2} + 22\right)\cdot 23^{15} + \left(18 a^{2} + 21 a + 22\right)\cdot 23^{16} + \left(19 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 23^{17} + \left(19 a + 13\right)\cdot 23^{18} + \left(21 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 23^{19} + \left(2 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 23^{20} + \left(a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 23^{21} + \left(13 a^{2} + a + 16\right)\cdot 23^{22} + \left(16 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 23^{23} + \left(7 a^{2} + 14 a + 19\right)\cdot 23^{24} + \left(17 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 23^{25} + 15\cdot 23^{26} + \left(6 a^{2} + 9 a + 22\right)\cdot 23^{27} + \left(9 a^{2} + 9 a + 22\right)\cdot 23^{28} + \left(13 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 23^{29} + \left(4 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 23^{30} + \left(19 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 23^{31} + \left(2 a^{2} + 14 a\right)\cdot 23^{32} + \left(4 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 23^{33} + \left(3 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 23^{34} + \left(22 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 23^{35} + \left(2 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 23^{36} + \left(22 a^{2} + 15 a + 19\right)\cdot 23^{37} + \left(17 a^{2} + 14 a + 9\right)\cdot 23^{38} + \left(17 a^{2} + 20 a + 9\right)\cdot 23^{39} + \left(20 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 23^{40} +O\left(23^{ 41 }\right)$
$r_{ 4 }$	$=$	$ 19 a^{2} + 20 a + 4 + \left(21 a^{2} + 9 a + 14\right)\cdot 23 + \left(15 a^{2} + 19 a + 20\right)\cdot 23^{2} + \left(9 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 23^{3} + \left(9 a^{2} + 16 a + 10\right)\cdot 23^{4} + \left(5 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 23^{5} + \left(3 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 23^{6} + \left(6 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 23^{7} + \left(8 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 23^{8} + \left(10 a^{2} + 14 a + 20\right)\cdot 23^{9} + \left(15 a^{2} + 9 a + 22\right)\cdot 23^{10} + \left(7 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 23^{11} + \left(9 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 23^{12} + \left(21 a^{2} + 3 a\right)\cdot 23^{13} + \left(7 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 23^{14} + \left(16 a^{2} + a + 6\right)\cdot 23^{15} + \left(20 a + 10\right)\cdot 23^{16} + \left(18 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 23^{17} + \left(3 a^{2} + 12 a + 22\right)\cdot 23^{18} + \left(8 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 23^{19} + \left(20 a^{2} + a + 10\right)\cdot 23^{20} + \left(12 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 23^{21} + \left(4 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 23^{22} + \left(19 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 23^{23} + \left(8 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 23^{24} + \left(6 a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 23^{25} + \left(15 a^{2} + 19 a + 13\right)\cdot 23^{26} + \left(10 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 23^{27} + \left(2 a^{2} + 3 a + 22\right)\cdot 23^{28} + \left(4 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 23^{29} + \left(16 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 23^{30} + \left(13 a^{2} + 9 a + 14\right)\cdot 23^{31} + \left(9 a^{2} + 6 a + 17\right)\cdot 23^{32} + \left(7 a^{2} + 17 a + 2\right)\cdot 23^{33} + \left(13 a^{2} + a + 11\right)\cdot 23^{34} + \left(a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 23^{35} + \left(14 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 23^{36} + \left(16 a^{2} + 19 a + 20\right)\cdot 23^{37} + \left(6 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 23^{38} + \left(20 a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 23^{39} + \left(10 a^{2} + 4 a + 22\right)\cdot 23^{40} +O\left(23^{ 41 }\right)$
$r_{ 5 }$	$=$	$ 8 a^{2} + 7 a + 20 + \left(13 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 23 + \left(8 a^{2} + 19 a + 3\right)\cdot 23^{2} + \left(10 a + 3\right)\cdot 23^{3} + \left(9 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 23^{4} + \left(13 a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 23^{5} + \left(a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 23^{6} + \left(5 a^{2} + 22 a + 1\right)\cdot 23^{7} + \left(18 a^{2} + 14 a + 22\right)\cdot 23^{8} + \left(a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 23^{9} + \left(3 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 23^{10} + \left(12 a + 19\right)\cdot 23^{11} + \left(9 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 23^{12} + \left(11 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 23^{13} + \left(21 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 23^{14} + \left(20 a^{2} + a + 12\right)\cdot 23^{15} + \left(7 a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 23^{16} + \left(16 a^{2} + 22 a + 12\right)\cdot 23^{17} + \left(21 a^{2} + 4 a\right)\cdot 23^{18} + \left(11 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 23^{19} + \left(6 a^{2} + 14 a + 22\right)\cdot 23^{20} + \left(4 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 23^{21} + \left(20 a^{2} + 20 a + 19\right)\cdot 23^{22} + \left(2 a^{2} + 18 a + 2\right)\cdot 23^{23} + \left(19 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 23^{24} + \left(22 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 23^{25} + \left(2 a^{2} + 10 a + 20\right)\cdot 23^{26} + \left(2 a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 23^{27} + \left(3 a^{2} + 4 a\right)\cdot 23^{28} + \left(16 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 23^{29} + \left(13 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 23^{30} + \left(18 a^{2} + a + 13\right)\cdot 23^{31} + \left(4 a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 23^{32} + \left(13 a^{2} + 21 a + 18\right)\cdot 23^{33} + \left(11 a^{2} + 22 a + 8\right)\cdot 23^{34} + \left(17 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 23^{35} + \left(17 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 23^{36} + \left(4 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 23^{37} + \left(6 a^{2} + 21\right)\cdot 23^{38} + \left(16 a^{2} + 19 a + 8\right)\cdot 23^{39} + \left(20 a^{2} + 3 a + 20\right)\cdot 23^{40} +O\left(23^{ 41 }\right)$
$r_{ 6 }$	$=$	$ 19 a^{2} + 19 a + 4 + \left(10 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 23 + \left(21 a^{2} + 7 a + 20\right)\cdot 23^{2} + \left(12 a^{2} + 21 a + 19\right)\cdot 23^{3} + \left(4 a^{2} + a + 3\right)\cdot 23^{4} + \left(4 a^{2} + 3 a + 18\right)\cdot 23^{5} + \left(18 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 23^{6} + \left(11 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 23^{7} + \left(19 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 23^{8} + \left(10 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 23^{9} + \left(4 a^{2} + 22 a\right)\cdot 23^{10} + \left(15 a^{2} + a + 1\right)\cdot 23^{11} + \left(4 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 23^{12} + \left(13 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 23^{13} + \left(16 a^{2} + 13\right)\cdot 23^{14} + \left(8 a^{2} + 20 a + 3\right)\cdot 23^{15} + \left(14 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 23^{16} + \left(11 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 23^{17} + \left(20 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 23^{18} + \left(2 a^{2} + 5 a + 20\right)\cdot 23^{19} + \left(19 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 23^{20} + \left(5 a^{2} + 8 a + 22\right)\cdot 23^{21} + \left(21 a^{2} + 12\right)\cdot 23^{22} + \left(a + 15\right)\cdot 23^{23} + \left(18 a^{2} + 15 a + 22\right)\cdot 23^{24} + \left(16 a^{2} + 14 a + 20\right)\cdot 23^{25} + \left(4 a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 23^{26} + \left(10 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 23^{27} + \left(17 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 23^{28} + \left(2 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 23^{29} + \left(16 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 23^{30} + \left(13 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 23^{31} + \left(8 a^{2} + 22 a + 16\right)\cdot 23^{32} + \left(2 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 23^{33} + \left(21 a^{2} + 21 a + 6\right)\cdot 23^{34} + \left(3 a^{2} + 3 a + 18\right)\cdot 23^{35} + \left(14 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 23^{36} + \left(a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 23^{37} + \left(10 a^{2} + 19 a + 11\right)\cdot 23^{38} + \left(9 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 23^{39} + \left(14 a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 23^{40} +O\left(23^{ 41 }\right)$
$r_{ 7 }$	$=$	$ 3 + 13\cdot 23 + 21\cdot 23^{2} + 12\cdot 23^{3} + 20\cdot 23^{4} + 18\cdot 23^{5} + 16\cdot 23^{6} + 4\cdot 23^{7} + 16\cdot 23^{9} + 19\cdot 23^{10} + 8\cdot 23^{11} + 13\cdot 23^{12} + 4\cdot 23^{13} + 3\cdot 23^{14} + 8\cdot 23^{15} + 4\cdot 23^{16} + 8\cdot 23^{17} + 12\cdot 23^{18} + 10\cdot 23^{19} + 20\cdot 23^{20} + 13\cdot 23^{21} + 18\cdot 23^{22} + 6\cdot 23^{23} + 9\cdot 23^{24} + 19\cdot 23^{25} + 18\cdot 23^{26} + 16\cdot 23^{27} + 10\cdot 23^{28} + 21\cdot 23^{29} + 3\cdot 23^{30} + 14\cdot 23^{31} + 22\cdot 23^{32} + 21\cdot 23^{33} + 22\cdot 23^{34} + 5\cdot 23^{35} + 23^{36} + 21\cdot 23^{37} + 3\cdot 23^{38} + 8\cdot 23^{39} + 5\cdot 23^{40} +O\left(23^{ 41 }\right)$
$r_{ 8 }$	$=$	$ 19 a^{2} + 6 a + 5 + \left(16 a^{2} + 12\right)\cdot 23 + \left(a^{2} + 4 a\right)\cdot 23^{2} + \left(13 a^{2} + 21 a + 22\right)\cdot 23^{3} + \left(18 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 23^{4} + \left(9 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 23^{5} + \left(3 a + 5\right)\cdot 23^{6} + \left(15 a^{2} + 16 a + 19\right)\cdot 23^{7} + \left(16 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 23^{8} + \left(a^{2} + 21 a + 8\right)\cdot 23^{9} + \left(22 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 23^{10} + \left(3 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 23^{11} + 8 a\cdot 23^{12} + \left(16 a^{2} + 22 a + 20\right)\cdot 23^{13} + \left(3 a^{2} + a + 9\right)\cdot 23^{14} + \left(3 a^{2} + 9 a + 17\right)\cdot 23^{15} + \left(13 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 23^{16} + \left(17 a^{2} + 18 a + 22\right)\cdot 23^{17} + \left(12 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 23^{18} + \left(21 a^{2} + 4 a\right)\cdot 23^{19} + \left(14 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 23^{20} + \left(16 a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 23^{21} + \left(15 a^{2} + 19 a + 19\right)\cdot 23^{22} + \left(19 a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 23^{23} + \left(12 a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 23^{24} + \left(12 a^{2} + 17 a + 1\right)\cdot 23^{25} + \left(9 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 23^{26} + \left(2 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 23^{27} + \left(13 a + 3\right)\cdot 23^{28} + \left(10 a^{2} + 22 a + 14\right)\cdot 23^{29} + \left(4 a^{2} + 8 a + 19\right)\cdot 23^{30} + \left(5 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 23^{31} + \left(a + 12\right)\cdot 23^{32} + \left(11 a^{2} + 20 a + 14\right)\cdot 23^{33} + \left(6 a^{2} + 7 a + 20\right)\cdot 23^{34} + \left(16 a^{2} + 17 a + 1\right)\cdot 23^{35} + \left(16 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 23^{36} + \left(12 a^{2} + 3 a + 22\right)\cdot 23^{37} + \left(7 a^{2} + 20 a + 18\right)\cdot 23^{38} + \left(a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 23^{39} + \left(3 a + 3\right)\cdot 23^{40} +O\left(23^{ 41 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

Cycle notation

$(1,5,7)(2,6,4)$

$(1,8,4,3,6,5,7)$

$(1,8)(2,3)(4,5)(6,7)$

$(1,6)(2,5)(3,4)(7,8)$

$(1,5)(2,6)(3,7)(4,8)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$	Character value
$1$	$1$	$()$	$7$
$7$	$2$	$(1,6)(2,5)(3,4)(7,8)$	$-1$
$28$	$3$	$(1,5,7)(2,6,4)$	$1$
$28$	$3$	$(1,7,5)(2,4,6)$	$1$
$28$	$6$	$(1,4,7,3,6,5)(2,8)$	$-1$
$28$	$6$	$(1,5,6,3,7,4)(2,8)$	$-1$
$24$	$7$	$(1,5,2,7,4,6,8)$	$0$
$24$	$7$	$(1,7,8,2,6,5,4)$	$0$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.