Galois orbit of Artin representations 7.2e16_73e5.24t283.2

• Label: 7.2e16_73e5.24t283.2
• Dimension: 7
• Group: $C_2^3:(C_7: C_3)$
• Conductor: $ 2^{16} \cdot 73^{5}$
• Frobenius-Schur indicator: 0

Basic invariants

Dimension:	$7$
Group:	$C_2^3:(C_7: C_3)$
Conductor:	$135860819918848= 2^{16} \cdot 73^{5} $
Artin number field:	Splitting field of $f= x^{8} - 4 x^{7} + 12 x^{6} - 8 x^{5} - 4 x^{4} - 40 x^{3} + 344 x^{2} - 608 x + 612 $ over $\Q$
Size of Galois orbit:	2
Smallest containing permutation representation:	24T283
Parity:	Even

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 13 }$ to precision 61.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 13 }$: $ x^{3} + 2 x + 11 $

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	$ 6 a^{2} + a + 6 + \left(2 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13 + \left(4 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{2} + \left(2 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{3} + \left(8 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{4} + \left(6 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 13^{5} + \left(9 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{6} + \left(6 a^{2} + a\right)\cdot 13^{7} + \left(6 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{8} + \left(3 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{9} + \left(5 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{10} + \left(8 a^{2} + 6\right)\cdot 13^{11} + \left(2 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 13^{12} + \left(6 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{13} + \left(11 a^{2} + 4 a\right)\cdot 13^{14} + \left(4 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{15} + \left(9 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{16} + \left(8 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{17} + \left(5 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{18} + \left(9 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{19} + \left(7 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{20} + \left(10 a^{2} + 12 a\right)\cdot 13^{21} + \left(7 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{22} + \left(a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{23} + \left(a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{24} + \left(10 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{25} + \left(12 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{26} + \left(4 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{27} + \left(10 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 13^{28} + \left(2 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{29} + \left(8 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{30} + \left(5 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{31} + \left(9 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 13^{32} + \left(3 a + 3\right)\cdot 13^{33} + \left(12 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{34} + \left(12 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{35} + \left(3 a^{2} + 7\right)\cdot 13^{36} + \left(6 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{37} + \left(2 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{38} + \left(4 a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{39} + \left(8 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{40} + \left(10 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{41} + \left(3 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{42} + \left(5 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{43} + \left(3 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 13^{44} + \left(9 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{45} + \left(12 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{46} + \left(12 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{47} + \left(4 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{48} + \left(5 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{49} + \left(8 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{50} + \left(11 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{51} + \left(2 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{52} + \left(4 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{53} + \left(12 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{54} + \left(4 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{55} + \left(5 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{56} + \left(8 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 13^{57} + \left(5 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 13^{58} + \left(12 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{59} + \left(8 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 13^{60} +O\left(13^{ 61 }\right)$
$r_{ 2 }$	$=$	$ 9 a^{2} + a + 10 + \left(a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13 + \left(10 a^{2} + 5\right)\cdot 13^{2} + \left(5 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{3} + \left(3 a^{2} + 1\right)\cdot 13^{4} + \left(12 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 13^{5} + \left(10 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{6} + \left(9 a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{7} + \left(9 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{8} + \left(2 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{9} + \left(3 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 13^{10} + \left(5 a^{2} + 11\right)\cdot 13^{11} + \left(8 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{12} + \left(10 a^{2} + a + 9\right)\cdot 13^{13} + \left(11 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{14} + \left(9 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{15} + \left(5 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{16} + \left(9 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{17} + \left(8 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 13^{18} + \left(a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 13^{19} + \left(12 a^{2} + 2 a\right)\cdot 13^{20} + \left(7 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 13^{21} + \left(2 a^{2} + 1\right)\cdot 13^{22} + \left(11 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 13^{23} + \left(9 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 13^{24} + \left(6 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{25} + \left(9 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{26} + \left(a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{27} + \left(11 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{28} + \left(5 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{29} + \left(a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{30} + \left(2 a + 2\right)\cdot 13^{31} + \left(9 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{32} + \left(a + 7\right)\cdot 13^{33} + \left(10 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 13^{34} + \left(7 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 13^{35} + 8 a^{2}13^{36} + \left(11 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 13^{37} + \left(4 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{38} + \left(11 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{39} + \left(11 a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{40} + \left(9 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{41} + \left(9 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 13^{42} + \left(5 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{43} + \left(a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 13^{44} + \left(9 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 13^{45} + \left(11 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{46} + \left(2 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13^{47} + \left(7 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{48} + \left(12 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{49} + \left(3 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 13^{50} + \left(3 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 13^{51} + \left(4 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 13^{52} + \left(a^{2} + 4\right)\cdot 13^{53} + \left(8 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{54} + \left(10 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{55} + \left(12 a + 7\right)\cdot 13^{56} + \left(8 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{57} + \left(4 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{58} + \left(11 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{59} + \left(9 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{60} +O\left(13^{ 61 }\right)$
$r_{ 3 }$	$=$	$ 4 a^{2} + 8 a + 1 + \left(12 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13 + \left(3 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{2} + \left(2 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{3} + \left(9 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 13^{4} + \left(2 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{5} + \left(12 a^{2} + 4\right)\cdot 13^{6} + \left(a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{7} + \left(3 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{8} + \left(12 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{9} + \left(5 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{10} + \left(8 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{11} + \left(4 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{12} + \left(10 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 13^{13} + \left(6 a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{14} + \left(3 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{15} + \left(6 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{16} + \left(9 a + 4\right)\cdot 13^{17} + \left(12 a^{2} + 4 a\right)\cdot 13^{18} + \left(7 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 13^{19} + \left(9 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{20} + \left(3 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{21} + \left(11 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{22} + \left(12 a^{2} + 1\right)\cdot 13^{23} + \left(10 a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{24} + \left(12 a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{25} + \left(2 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{26} + \left(a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{27} + \left(12 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 13^{28} + \left(a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{29} + \left(10 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 13^{30} + \left(12 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 13^{31} + \left(7 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{32} + \left(11 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 13^{33} + \left(2 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 13^{34} + \left(6 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 13^{35} + \left(4 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{36} + \left(11 a + 4\right)\cdot 13^{37} + \left(3 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{38} + \left(5 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{39} + \left(2 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 13^{40} + \left(2 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 13^{41} + \left(11 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{42} + \left(11 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 13^{43} + \left(9 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{44} + \left(10 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 13^{45} + \left(11 a + 11\right)\cdot 13^{46} + \left(6 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{47} + \left(2 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{48} + \left(4 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{49} + \left(2 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{50} + \left(7 a^{2} + 1\right)\cdot 13^{51} + \left(a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{52} + \left(a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{53} + \left(8 a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{54} + \left(10 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13^{55} + \left(10 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{56} + \left(7 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{57} + \left(10 a^{2} + 2 a\right)\cdot 13^{58} + \left(11 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{59} + \left(12 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{60} +O\left(13^{ 61 }\right)$
$r_{ 4 }$	$=$	$ 12 + 7\cdot 13 + 3\cdot 13^{3} + 9\cdot 13^{4} + 10\cdot 13^{5} + 8\cdot 13^{6} + 2\cdot 13^{8} + 7\cdot 13^{9} + 11\cdot 13^{10} + 4\cdot 13^{11} + 7\cdot 13^{12} + 8\cdot 13^{13} + 9\cdot 13^{15} + 10\cdot 13^{16} + 10\cdot 13^{17} + 3\cdot 13^{18} + 5\cdot 13^{19} + 2\cdot 13^{20} + 8\cdot 13^{21} + 11\cdot 13^{22} + 4\cdot 13^{23} + 10\cdot 13^{24} + 6\cdot 13^{25} + 4\cdot 13^{26} + 4\cdot 13^{27} + 5\cdot 13^{28} + 4\cdot 13^{29} + 10\cdot 13^{30} + 9\cdot 13^{31} + 9\cdot 13^{32} + 12\cdot 13^{33} + 2\cdot 13^{34} + 6\cdot 13^{35} + 6\cdot 13^{36} + 8\cdot 13^{37} + 2\cdot 13^{38} + 8\cdot 13^{39} + 13^{40} + 4\cdot 13^{41} + 12\cdot 13^{42} + 6\cdot 13^{43} + 6\cdot 13^{44} + 9\cdot 13^{45} + 10\cdot 13^{46} + 2\cdot 13^{48} + 6\cdot 13^{50} + 11\cdot 13^{51} + 3\cdot 13^{52} + 10\cdot 13^{53} + 7\cdot 13^{54} + 7\cdot 13^{57} + 11\cdot 13^{58} + 13^{59} + 7\cdot 13^{60} +O\left(13^{ 61 }\right)$
$r_{ 5 }$	$=$	$ 11 + 3\cdot 13 + 2\cdot 13^{2} + 4\cdot 13^{3} + 13^{4} + 7\cdot 13^{5} + 5\cdot 13^{6} + 7\cdot 13^{7} + 8\cdot 13^{8} + 12\cdot 13^{9} + 11\cdot 13^{10} + 7\cdot 13^{11} + 11\cdot 13^{12} + 8\cdot 13^{13} + 6\cdot 13^{14} + 7\cdot 13^{15} + 6\cdot 13^{16} + 6\cdot 13^{17} + 4\cdot 13^{18} + 11\cdot 13^{19} + 9\cdot 13^{20} + 6\cdot 13^{21} + 12\cdot 13^{22} + 10\cdot 13^{23} + 9\cdot 13^{24} + 11\cdot 13^{25} + 2\cdot 13^{26} + 13^{27} + 4\cdot 13^{28} + 12\cdot 13^{29} + 3\cdot 13^{30} + 4\cdot 13^{31} + 2\cdot 13^{32} + 4\cdot 13^{33} + 2\cdot 13^{34} + 9\cdot 13^{35} + 3\cdot 13^{36} + 5\cdot 13^{37} + 11\cdot 13^{38} + 10\cdot 13^{40} + 10\cdot 13^{41} + 12\cdot 13^{42} + 11\cdot 13^{43} + 6\cdot 13^{44} + 12\cdot 13^{45} + 10\cdot 13^{46} + 11\cdot 13^{47} + 12\cdot 13^{48} + 12\cdot 13^{49} + 10\cdot 13^{50} + 10\cdot 13^{51} + 13^{52} + 5\cdot 13^{53} + 2\cdot 13^{54} + 10\cdot 13^{55} + 12\cdot 13^{56} + 11\cdot 13^{58} + 8\cdot 13^{59} + 2\cdot 13^{60} +O\left(13^{ 61 }\right)$
$r_{ 6 }$	$=$	$ 8 a^{2} + 2 + \left(2 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13 + \left(8 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{2} + \left(3 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 13^{3} + \left(11 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 13^{4} + \left(2 a + 6\right)\cdot 13^{5} + \left(4 a^{2} + 2\right)\cdot 13^{6} + \left(11 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{7} + \left(5 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 13^{8} + \left(6 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{9} + \left(8 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{10} + \left(2 a + 5\right)\cdot 13^{11} + \left(4 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{12} + \left(10 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{13} + \left(2 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 13^{14} + \left(7 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{15} + \left(8 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13^{16} + \left(2 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{17} + \left(7 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{18} + \left(a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{19} + \left(7 a + 7\right)\cdot 13^{20} + \left(6 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{21} + \left(5 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{22} + \left(9 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 13^{23} + \left(12 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{24} + \left(8 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 13^{25} + \left(7 a + 9\right)\cdot 13^{26} + \left(a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{27} + \left(5 a^{2} + 7 a\right)\cdot 13^{28} + \left(a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 13^{29} + \left(3 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{30} + \left(9 a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{31} + \left(3 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{32} + \left(11 a + 1\right)\cdot 13^{33} + \left(6 a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{34} + \left(10 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{35} + \left(10 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{36} + \left(11 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{37} + \left(7 a^{2} + 4\right)\cdot 13^{38} + \left(8 a^{2} + 2 a\right)\cdot 13^{39} + \left(7 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{40} + \left(10 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 13^{41} + \left(4 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{42} + \left(10 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 13^{43} + \left(7 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{44} + \left(11 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{45} + \left(8 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{46} + \left(3 a + 3\right)\cdot 13^{47} + \left(5 a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{48} + \left(5 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{49} + \left(8 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{50} + \left(8 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{51} + \left(10 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{52} + \left(2 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{53} + \left(8 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{54} + \left(2 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 13^{55} + \left(2 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{56} + \left(10 a^{2} + 8 a\right)\cdot 13^{57} + \left(10 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{58} + \left(7 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{59} + \left(a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{60} +O\left(13^{ 61 }\right)$
$r_{ 7 }$	$=$	$ 11 a^{2} + 11 a + 4 + \left(8 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 13 + \left(11 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{2} + \left(4 a^{2} + a + 9\right)\cdot 13^{3} + \left(a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 13^{4} + \left(7 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{5} + \left(5 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{6} + \left(9 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{7} + \left(9 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{8} + \left(6 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{9} + \left(4 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{10} + \left(12 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 13^{11} + \left(a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{12} + \left(9 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{13} + \left(2 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{14} + \left(11 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{15} + \left(10 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{16} + \left(7 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 13^{17} + \left(11 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13^{18} + \left(a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{19} + \left(6 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 13^{20} + \left(7 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 13^{21} + \left(2 a^{2} + 1\right)\cdot 13^{22} + \left(9 a + 2\right)\cdot 13^{23} + \left(2 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{24} + \left(9 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{25} + \left(3 a^{2} + a + 2\right)\cdot 13^{26} + \left(6 a^{2} + a + 10\right)\cdot 13^{27} + \left(4 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{28} + \left(4 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{29} + \left(3 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{30} + \left(7 a^{2} + 11\right)\cdot 13^{31} + \left(7 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{32} + \left(11 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 13^{33} + \left(3 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{34} + \left(5 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 13^{35} + \left(12 a + 11\right)\cdot 13^{36} + \left(8 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{37} + \left(5 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{38} + \left(10 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{39} + \left(5 a^{2} + 1\right)\cdot 13^{40} + \left(5 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 13^{41} + \left(12 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{42} + \left(a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{43} + \left(8 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{44} + \left(7 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{45} + \left(a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{46} + \left(10 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{47} + \left(5 a + 1\right)\cdot 13^{48} + \left(8 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{49} + \left(11 a + 1\right)\cdot 13^{50} + \left(11 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 13^{51} + \left(5 a^{2} + a\right)\cdot 13^{52} + \left(7 a^{2} + 3 a\right)\cdot 13^{53} + \left(5 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{54} + \left(10 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 13^{55} + \left(6 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 13^{56} + \left(9 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 13^{57} + \left(2 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{58} + \left(2 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{59} + \left(7 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{60} +O\left(13^{ 61 }\right)$
$r_{ 8 }$	$=$	$ a^{2} + 5 a + 10 + \left(11 a^{2} + 10\right)\cdot 13 + \left(3 a + 3\right)\cdot 13^{2} + \left(7 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 13^{3} + \left(5 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{4} + \left(9 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{5} + \left(9 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{6} + \left(12 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{7} + \left(3 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{8} + \left(7 a^{2} + 3\right)\cdot 13^{9} + \left(11 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{10} + \left(3 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{11} + \left(4 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{12} + \left(5 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 13^{13} + \left(3 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{14} + \left(2 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{15} + \left(11 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{16} + \left(9 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{17} + \left(6 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 13^{18} + \left(3 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{19} + \left(3 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{20} + \left(3 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{21} + \left(9 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{22} + \left(3 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{23} + \left(2 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{24} + \left(4 a^{2} + a\right)\cdot 13^{25} + \left(9 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 13^{26} + \left(10 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{27} + \left(8 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{28} + \left(9 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 13^{29} + \left(12 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{30} + \left(3 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 13^{31} + \left(a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{32} + \left(a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{33} + \left(4 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 13^{34} + \left(9 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{35} + \left(10 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{36} + \left(6 a + 9\right)\cdot 13^{37} + \left(2 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 13^{38} + \left(12 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{39} + \left(2 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{40} + \left(3 a + 7\right)\cdot 13^{41} + \left(10 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{42} + \left(3 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{43} + \left(8 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 13^{44} + \left(3 a^{2} + a + 9\right)\cdot 13^{45} + \left(3 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{46} + \left(6 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{47} + \left(5 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{48} + \left(3 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 13^{49} + \left(2 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 13^{50} + \left(10 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{51} + \left(12 a + 10\right)\cdot 13^{52} + \left(9 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{53} + \left(9 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{54} + \left(12 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{55} + \left(12 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{56} + \left(7 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{57} + \left(4 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{58} + \left(6 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{59} + \left(11 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{60} +O\left(13^{ 61 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

Cycle notation

$(1,3)(2,8)(4,6)(5,7)$

$(1,4,6)(2,7,5)$

$(1,7)(2,4)(3,5)(6,8)$

$(1,4)(2,7)(3,6)(5,8)$

$(1,3,6,5,4,8,7)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$	Character values
			$c1$	$c2$
$1$	$1$	$()$	$7$	$7$
$7$	$2$	$(1,4)(2,7)(3,6)(5,8)$	$-1$	$-1$
$28$	$3$	$(1,4,6)(2,7,5)$	$\zeta_{3}$	$-\zeta_{3} - 1$
$28$	$3$	$(1,6,4)(2,5,7)$	$-\zeta_{3} - 1$	$\zeta_{3}$
$28$	$6$	$(1,8,7,4,5,2)(3,6)$	$-\zeta_{3}$	$\zeta_{3} + 1$
$28$	$6$	$(1,2,5,4,7,8)(3,6)$	$\zeta_{3} + 1$	$-\zeta_{3}$
$24$	$7$	$(1,3,6,5,4,8,7)$	$0$	$0$
$24$	$7$	$(1,5,7,6,8,3,4)$	$0$	$0$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.