Artin representation 7.2e10_199e5.24t283.1c1

• Label: 7.2e10_199e5.24t283.1c1
• Dimension: 7
• Group: $C_2^3:(C_7: C_3)$
• Conductor: $ 2^{10} \cdot 199^{5}$
• Root number: not computed
• Frobenius-Schur indicator: 0

Basic invariants

Dimension:	$7$
Group:	$C_2^3:(C_7: C_3)$
Conductor:	$319569511422976= 2^{10} \cdot 199^{5} $
Artin number field:	Splitting field of $f= x^{8} - 2 x^{6} - 12 x^{5} + 40 x^{4} - 76 x^{3} + 74 x^{2} - 24 x + 19 $ over $\Q$
Size of Galois orbit:	2
Smallest containing permutation representation:	24T283
Parity:	Even
Determinant:	1.199.3t1.1c2

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 19 }$ to precision 54.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 19 }$: $ x^{3} + 4 x + 17 $

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	$ 4\cdot 19 + 4\cdot 19^{2} + 10\cdot 19^{3} + 13\cdot 19^{4} + 4\cdot 19^{5} + 16\cdot 19^{6} + 7\cdot 19^{7} + 18\cdot 19^{8} + 13\cdot 19^{9} + 13\cdot 19^{10} + 6\cdot 19^{11} + 17\cdot 19^{13} + 19^{14} + 10\cdot 19^{15} + 5\cdot 19^{16} + 15\cdot 19^{17} + 11\cdot 19^{18} + 7\cdot 19^{19} + 10\cdot 19^{20} + 2\cdot 19^{21} + 6\cdot 19^{22} + 10\cdot 19^{23} + 11\cdot 19^{24} + 13\cdot 19^{25} + 2\cdot 19^{26} + 4\cdot 19^{27} + 7\cdot 19^{28} + 13\cdot 19^{29} + 19^{30} + 2\cdot 19^{31} + 18\cdot 19^{32} + 6\cdot 19^{33} + 17\cdot 19^{34} + 4\cdot 19^{35} + 5\cdot 19^{36} + 6\cdot 19^{37} + 11\cdot 19^{38} + 13\cdot 19^{39} + 19^{40} + 4\cdot 19^{41} + 4\cdot 19^{42} + 9\cdot 19^{43} + 3\cdot 19^{44} + 14\cdot 19^{45} + 4\cdot 19^{46} + 18\cdot 19^{47} + 2\cdot 19^{48} + 14\cdot 19^{49} + 6\cdot 19^{50} + 14\cdot 19^{51} + 11\cdot 19^{52} + 17\cdot 19^{53} +O\left(19^{ 54 }\right)$
$r_{ 2 }$	$=$	$ 3 a^{2} + 3 a + 1 + \left(3 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 19 + \left(15 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 19^{2} + \left(5 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 19^{3} + \left(6 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 19^{4} + \left(16 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 19^{5} + \left(16 a^{2} + 13 a + 17\right)\cdot 19^{6} + \left(6 a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 19^{7} + \left(11 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 19^{8} + \left(5 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 19^{9} + \left(8 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 19^{10} + \left(a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 19^{11} + \left(10 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 19^{12} + \left(15 a^{2} + 17 a + 2\right)\cdot 19^{13} + \left(11 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 19^{14} + \left(11 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 19^{15} + \left(10 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 19^{16} + \left(17 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 19^{17} + \left(2 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 19^{18} + \left(8 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 19^{19} + \left(a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 19^{20} + \left(9 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 19^{21} + \left(7 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 19^{22} + \left(11 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 19^{23} + \left(5 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 19^{24} + \left(12 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 19^{25} + \left(8 a^{2} + 8\right)\cdot 19^{26} + \left(17 a^{2} + a + 10\right)\cdot 19^{27} + \left(11 a + 12\right)\cdot 19^{28} + \left(2 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 19^{29} + \left(15 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 19^{30} + \left(11 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 19^{31} + \left(2 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 19^{32} + \left(13 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 19^{33} + \left(8 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 19^{34} + \left(18 a + 14\right)\cdot 19^{35} + \left(a^{2} + 12 a + 17\right)\cdot 19^{36} + \left(10 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 19^{37} + \left(2 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 19^{38} + \left(17 a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 19^{39} + \left(8 a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 19^{40} + \left(3 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 19^{41} + \left(6 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 19^{42} + \left(13 a^{2} + 17 a + 2\right)\cdot 19^{43} + \left(11 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 19^{44} + \left(7 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 19^{45} + \left(8 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 19^{46} + \left(2 a^{2} + 7 a + 15\right)\cdot 19^{47} + \left(10 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 19^{48} + \left(10 a^{2} + a + 15\right)\cdot 19^{49} + \left(7 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 19^{50} + \left(8 a^{2} + a\right)\cdot 19^{51} + \left(2 a^{2} + 18 a + 8\right)\cdot 19^{52} + \left(17 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 19^{53} +O\left(19^{ 54 }\right)$
$r_{ 3 }$	$=$	$ 3 a^{2} + a + 6 + \left(4 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 19 + \left(4 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 19^{2} + \left(7 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 19^{3} + \left(11 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 19^{4} + \left(7 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 19^{5} + \left(15 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 19^{6} + \left(4 a + 3\right)\cdot 19^{7} + \left(9 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 19^{8} + \left(4 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 19^{9} + \left(3 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 19^{10} + \left(a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 19^{11} + \left(16 a^{2} + 8 a\right)\cdot 19^{12} + \left(15 a + 16\right)\cdot 19^{13} + \left(10 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 19^{14} + \left(2 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 19^{15} + \left(9 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 19^{16} + \left(4 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 19^{17} + \left(6 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 19^{18} + \left(8 a^{2} + a + 18\right)\cdot 19^{19} + \left(3 a + 2\right)\cdot 19^{20} + \left(13 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 19^{21} + \left(9 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 19^{22} + \left(4 a^{2} + 18 a + 12\right)\cdot 19^{23} + 11 a^{2}19^{24} + \left(15 a^{2} + 2\right)\cdot 19^{25} + \left(3 a^{2} + 18 a + 7\right)\cdot 19^{26} + \left(10 a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 19^{27} + \left(12 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 19^{28} + \left(2 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 19^{29} + \left(3 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 19^{30} + \left(15 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 19^{31} + \left(a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 19^{32} + \left(5 a^{2} + 7 a\right)\cdot 19^{33} + \left(3 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 19^{34} + \left(18 a^{2} + 2 a\right)\cdot 19^{35} + \left(17 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 19^{36} + \left(6 a^{2} + 2 a + 18\right)\cdot 19^{37} + \left(3 a + 5\right)\cdot 19^{38} + \left(10 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 19^{39} + \left(4 a + 2\right)\cdot 19^{40} + \left(16 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 19^{41} + \left(18 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 19^{42} + \left(16 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 19^{43} + \left(18 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 19^{44} + \left(4 a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 19^{45} + \left(5 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 19^{46} + \left(13 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 19^{47} + \left(a^{2} + a + 5\right)\cdot 19^{48} + \left(7 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 19^{49} + \left(8 a + 7\right)\cdot 19^{50} + \left(7 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 19^{51} + \left(14 a^{2} + 9\right)\cdot 19^{52} + \left(18 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 19^{53} +O\left(19^{ 54 }\right)$
$r_{ 4 }$	$=$	$ 7 a^{2} + 9 a + 4 + \left(13 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 19 + \left(9 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 19^{2} + \left(14 a + 4\right)\cdot 19^{3} + \left(10 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 19^{4} + \left(17 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 19^{5} + \left(9 a^{2} + 8\right)\cdot 19^{6} + \left(14 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 19^{7} + \left(15 a^{2} + 9 a + 18\right)\cdot 19^{8} + \left(3 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 19^{9} + \left(11 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 19^{10} + \left(18 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 19^{11} + \left(15 a^{2} + a\right)\cdot 19^{12} + \left(2 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 19^{13} + \left(4 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 19^{14} + \left(12 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 19^{15} + \left(9 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 19^{16} + \left(7 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 19^{17} + \left(2 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 19^{18} + \left(4 a + 15\right)\cdot 19^{19} + \left(18 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 19^{20} + \left(3 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 19^{21} + \left(11 a^{2} + 4 a\right)\cdot 19^{22} + \left(11 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 19^{23} + \left(16 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 19^{24} + \left(a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 19^{25} + \left(a^{2} + 3 a + 18\right)\cdot 19^{26} + \left(8 a^{2} + 17 a + 15\right)\cdot 19^{27} + \left(7 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 19^{28} + \left(16 a^{2} + a + 11\right)\cdot 19^{29} + \left(3 a^{2} + 7 a\right)\cdot 19^{30} + 3 a^{2}19^{31} + \left(a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 19^{32} + \left(13 a^{2} + 17 a + 2\right)\cdot 19^{33} + \left(6 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 19^{34} + \left(17 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 19^{35} + \left(10 a + 8\right)\cdot 19^{36} + 15 a\cdot 19^{37} + \left(16 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 19^{38} + \left(14 a + 1\right)\cdot 19^{39} + \left(5 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 19^{40} + \left(4 a^{2} + a + 15\right)\cdot 19^{41} + \left(11 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 19^{42} + \left(7 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 19^{43} + \left(8 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 19^{44} + \left(17 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 19^{45} + \left(15 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 19^{46} + \left(13 a^{2} + 3 a\right)\cdot 19^{47} + \left(17 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 19^{48} + \left(15 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 19^{49} + \left(3 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 19^{50} + \left(6 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 19^{51} + \left(3 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 19^{52} + \left(15 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 19^{53} +O\left(19^{ 54 }\right)$
$r_{ 5 }$	$=$	$ 8 + 14\cdot 19 + 19^{2} + 7\cdot 19^{3} + 2\cdot 19^{4} + 10\cdot 19^{5} + 6\cdot 19^{6} + 14\cdot 19^{7} + 5\cdot 19^{8} + 3\cdot 19^{10} + 17\cdot 19^{11} + 4\cdot 19^{12} + 8\cdot 19^{14} + 9\cdot 19^{15} + 13\cdot 19^{16} + 8\cdot 19^{17} + 10\cdot 19^{18} + 7\cdot 19^{19} + 5\cdot 19^{20} + 17\cdot 19^{21} + 11\cdot 19^{22} + 17\cdot 19^{23} + 19^{24} + 8\cdot 19^{25} + 13\cdot 19^{26} + 6\cdot 19^{27} + 13\cdot 19^{28} + 13\cdot 19^{29} + 8\cdot 19^{30} + 5\cdot 19^{31} + 15\cdot 19^{32} + 14\cdot 19^{33} + 2\cdot 19^{34} + 3\cdot 19^{35} + 7\cdot 19^{36} + 9\cdot 19^{38} + 15\cdot 19^{39} + 4\cdot 19^{40} + 5\cdot 19^{41} + 19^{42} + 5\cdot 19^{43} + 5\cdot 19^{44} + 14\cdot 19^{45} + 6\cdot 19^{46} + 7\cdot 19^{47} + 9\cdot 19^{48} + 12\cdot 19^{49} + 14\cdot 19^{50} + 13\cdot 19^{51} + 12\cdot 19^{52} + 6\cdot 19^{53} +O\left(19^{ 54 }\right)$
$r_{ 6 }$	$=$	$ a^{2} + 13 a + 2 + \left(8 a + 15\right)\cdot 19 + \left(16 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 19^{2} + \left(a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 19^{3} + \left(6 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 19^{4} + \left(14 a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 19^{5} + \left(17 a^{2} + 5 a\right)\cdot 19^{6} + \left(12 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 19^{7} + \left(8 a^{2} + 16 a\right)\cdot 19^{8} + \left(4 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 19^{9} + \left(7 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 19^{10} + \left(14 a^{2} + 17 a + 4\right)\cdot 19^{11} + \left(16 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 19^{12} + \left(17 a^{2} + 17 a + 15\right)\cdot 19^{13} + \left(10 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 19^{14} + \left(18 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 19^{15} + \left(12 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 19^{16} + \left(7 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 19^{17} + \left(13 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 19^{18} + \left(14 a^{2} + a + 12\right)\cdot 19^{19} + \left(4 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 19^{20} + \left(14 a^{2} + 6 a\right)\cdot 19^{21} + \left(17 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 19^{22} + \left(a^{2} + 17 a + 1\right)\cdot 19^{23} + \left(4 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 19^{24} + \left(9 a^{2} + 6\right)\cdot 19^{25} + \left(9 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 19^{26} + \left(9 a^{2} + a + 14\right)\cdot 19^{27} + \left(4 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 19^{28} + \left(15 a^{2} + 15 a\right)\cdot 19^{29} + \left(2 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 19^{30} + \left(17 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 19^{31} + \left(14 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 19^{32} + \left(9 a^{2} + 11 a\right)\cdot 19^{33} + \left(5 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 19^{34} + \left(8 a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 19^{35} + \left(7 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 19^{36} + \left(12 a^{2} + 17\right)\cdot 19^{37} + \left(14 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 19^{38} + \left(5 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 19^{39} + \left(9 a + 10\right)\cdot 19^{40} + \left(9 a^{2} + 10\right)\cdot 19^{41} + \left(10 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 19^{42} + \left(10 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 19^{43} + \left(18 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 19^{44} + \left(4 a^{2} + 14 a\right)\cdot 19^{45} + \left(16 a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 19^{46} + \left(18 a^{2} + a + 14\right)\cdot 19^{47} + \left(11 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 19^{48} + \left(12 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 19^{49} + \left(15 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 19^{50} + \left(13 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 19^{51} + \left(11 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 19^{52} + \left(3 a^{2} + 17 a\right)\cdot 19^{53} +O\left(19^{ 54 }\right)$
$r_{ 7 }$	$=$	$ 15 a^{2} + 3 a + 14 + \left(15 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 19 + \left(6 a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 19^{2} + \left(11 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 19^{3} + \left(6 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 19^{4} + \left(7 a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 19^{5} + \left(3 a^{2} + 18 a + 13\right)\cdot 19^{6} + \left(18 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 19^{7} + \left(17 a^{2} + 4 a\right)\cdot 19^{8} + \left(8 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 19^{9} + \left(3 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 19^{10} + \left(3 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 19^{11} + \left(11 a^{2} + 18 a\right)\cdot 19^{12} + \left(4 a^{2} + 2 a + 18\right)\cdot 19^{13} + \left(15 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 19^{14} + \left(7 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 19^{15} + \left(14 a^{2} + a + 10\right)\cdot 19^{16} + \left(12 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 19^{17} + \left(2 a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 19^{18} + \left(15 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 19^{19} + \left(12 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 19^{20} + \left(14 a^{2} + 17 a + 14\right)\cdot 19^{21} + \left(12 a^{2} + 7 a\right)\cdot 19^{22} + \left(5 a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 19^{23} + \left(9 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 19^{24} + \left(16 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 19^{25} + \left(6 a + 12\right)\cdot 19^{26} + \left(11 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 19^{27} + \left(13 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 19^{28} + \left(a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 19^{29} + \left(a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 19^{30} + \left(9 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 19^{31} + \left(a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 19^{32} + \left(15 a^{2} + 14\right)\cdot 19^{33} + \left(4 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 19^{34} + \left(10 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 19^{35} + \left(10 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 19^{36} + \left(15 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 19^{37} + \left(a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 19^{38} + \left(15 a^{2} + 14 a + 18\right)\cdot 19^{39} + \left(9 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 19^{40} + \left(6 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 19^{41} + \left(2 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 19^{42} + \left(14 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 19^{43} + \left(7 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 19^{44} + \left(6 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 19^{45} + \left(13 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 19^{46} + \left(16 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 19^{47} + \left(15 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 19^{48} + \left(14 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 19^{49} + \left(14 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 19^{50} + \left(15 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 19^{51} + \left(4 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 19^{52} + \left(17 a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 19^{53} +O\left(19^{ 54 }\right)$
$r_{ 8 }$	$=$	$ 9 a^{2} + 9 a + 3 + \left(a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 19 + \left(5 a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 19^{2} + \left(11 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 19^{3} + \left(16 a^{2} + 17 a + 2\right)\cdot 19^{4} + \left(12 a^{2} + 18\right)\cdot 19^{5} + \left(12 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 19^{6} + \left(3 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 19^{7} + \left(13 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 19^{8} + \left(10 a^{2} + 7 a\right)\cdot 19^{9} + \left(4 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 19^{10} + \left(18 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 19^{11} + \left(5 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 19^{12} + \left(15 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 19^{13} + \left(4 a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 19^{14} + \left(4 a^{2} + 17 a + 15\right)\cdot 19^{15} + \left(17 a + 2\right)\cdot 19^{16} + \left(7 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 19^{17} + \left(10 a^{2} + 6 a + 13\right)\cdot 19^{18} + \left(10 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 19^{19} + 9\cdot 19^{20} + \left(2 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 19^{21} + \left(17 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 19^{22} + \left(2 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 19^{23} + \left(10 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 19^{24} + \left(a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 19^{25} + \left(14 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 19^{26} + \left(6 a + 9\right)\cdot 19^{27} + \left(18 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 19^{28} + \left(18 a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 19^{29} + \left(11 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 19^{30} + \left(11 a + 5\right)\cdot 19^{31} + \left(16 a^{2} + 1\right)\cdot 19^{32} + \left(13 a + 14\right)\cdot 19^{33} + \left(9 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 19^{34} + \left(2 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 19^{35} + 12\cdot 19^{36} + \left(12 a^{2} + a\right)\cdot 19^{37} + \left(2 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 19^{38} + \left(8 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 19^{39} + \left(13 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 19^{40} + \left(17 a^{2} + 8 a\right)\cdot 19^{41} + \left(7 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 19^{42} + \left(13 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 19^{43} + \left(10 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 19^{44} + \left(15 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 19^{45} + \left(16 a^{2} + a\right)\cdot 19^{46} + \left(10 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 19^{47} + \left(18 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 19^{48} + \left(14 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 19^{49} + \left(14 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 19^{50} + \left(5 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 19^{51} + \left(a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 19^{52} + \left(4 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 19^{53} +O\left(19^{ 54 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

Cycle notation

$(1,4)(2,3)(5,7)(6,8)$

$(1,7)(2,6)(3,8)(4,5)$

$(1,8,5,3,7,6)(2,4)$

$(1,3)(2,4)(5,6)(7,8)$

$(1,5,2,3,8,7,6)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$	Character value
$1$	$1$	$()$	$7$
$7$	$2$	$(1,3)(2,4)(5,6)(7,8)$	$-1$
$28$	$3$	$(1,5,7)(3,6,8)$	$\zeta_{3}$
$28$	$3$	$(1,7,5)(3,8,6)$	$-\zeta_{3} - 1$
$28$	$6$	$(1,8,5,3,7,6)(2,4)$	$\zeta_{3} + 1$
$28$	$6$	$(1,6,7,3,5,8)(2,4)$	$-\zeta_{3}$
$24$	$7$	$(1,5,2,3,8,7,6)$	$0$
$24$	$7$	$(1,3,6,2,7,5,8)$	$0$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.