Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 23 }$ to precision 36.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 23 }$: $ x^{3} + 2 x + 18 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 21 a^{2} + 3 a + 8 + \left(9 a^{2} + 1\right)\cdot 23 + \left(11 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 23^{2} + \left(13 a^{2} + 21 a + 13\right)\cdot 23^{3} + \left(15 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 23^{4} + \left(a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 23^{5} + \left(6 a^{2} + 20 a + 1\right)\cdot 23^{6} + \left(12 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 23^{7} + \left(4 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 23^{8} + \left(7 a^{2} + 22\right)\cdot 23^{9} + \left(2 a^{2} + 22 a + 12\right)\cdot 23^{10} + \left(10 a^{2} + 5 a + 19\right)\cdot 23^{11} + \left(12 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 23^{12} + \left(14 a^{2} + 18 a + 2\right)\cdot 23^{13} + \left(13 a^{2} + 11 a\right)\cdot 23^{14} + \left(15 a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 23^{15} + \left(14 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 23^{16} + \left(6 a^{2} + 21 a + 16\right)\cdot 23^{17} + \left(9 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 23^{18} + \left(10 a^{2} + 20\right)\cdot 23^{19} + \left(15 a^{2} + a + 15\right)\cdot 23^{20} + \left(5 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 23^{21} + \left(12 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 23^{22} + \left(21 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 23^{23} + \left(18 a^{2} + 4 a + 20\right)\cdot 23^{24} + \left(a + 12\right)\cdot 23^{25} + \left(14 a^{2} + 19 a + 7\right)\cdot 23^{26} + \left(6 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 23^{27} + \left(12 a^{2} + 20 a + 9\right)\cdot 23^{28} + \left(16 a^{2} + 7 a + 22\right)\cdot 23^{29} + \left(16 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 23^{30} + \left(6 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 23^{31} + \left(3 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 23^{32} + \left(10 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 23^{33} + \left(18 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 23^{34} + \left(4 a + 11\right)\cdot 23^{35} +O\left(23^{ 36 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 13 a^{2} + 6 a + 5 + \left(5 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 23 + \left(3 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 23^{2} + \left(15 a + 11\right)\cdot 23^{3} + \left(21 a^{2} + a + 17\right)\cdot 23^{4} + \left(21 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 23^{5} + \left(2 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 23^{6} + \left(9 a^{2} + 17 a + 1\right)\cdot 23^{7} + \left(11 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 23^{8} + \left(20 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 23^{9} + \left(17 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 23^{10} + \left(4 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 23^{11} + \left(a^{2} + 18\right)\cdot 23^{12} + \left(14 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 23^{13} + \left(19 a^{2} + 21 a\right)\cdot 23^{14} + \left(12 a^{2} + 3 a + 19\right)\cdot 23^{15} + \left(10 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 23^{16} + \left(10 a^{2} + 16 a + 21\right)\cdot 23^{17} + \left(3 a^{2} + 9\right)\cdot 23^{18} + \left(6 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 23^{19} + \left(17 a^{2} + 9 a + 18\right)\cdot 23^{20} + \left(2 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 23^{21} + \left(12 a^{2} + 22 a + 2\right)\cdot 23^{22} + \left(20 a^{2} + 3 a + 20\right)\cdot 23^{23} + \left(21 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 23^{24} + \left(16 a^{2} + 11\right)\cdot 23^{25} + \left(6 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 23^{26} + \left(17 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 23^{27} + \left(12 a^{2} + 18 a + 2\right)\cdot 23^{28} + \left(10 a^{2} + 22\right)\cdot 23^{29} + \left(16 a + 20\right)\cdot 23^{30} + \left(4 a^{2} + 22 a + 7\right)\cdot 23^{31} + \left(6 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 23^{32} + \left(13 a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 23^{33} + \left(22 a^{2} + 5 a + 20\right)\cdot 23^{34} + \left(8 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 23^{35} +O\left(23^{ 36 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 18 + 8\cdot 23 + 17\cdot 23^{2} + 5\cdot 23^{3} + 22\cdot 23^{4} + 15\cdot 23^{5} + 22\cdot 23^{7} + 15\cdot 23^{8} + 8\cdot 23^{9} + 18\cdot 23^{10} + 7\cdot 23^{11} + 3\cdot 23^{12} + 12\cdot 23^{13} + 5\cdot 23^{14} + 18\cdot 23^{15} + 18\cdot 23^{16} + 23^{17} + 8\cdot 23^{18} + 10\cdot 23^{19} + 7\cdot 23^{20} + 13\cdot 23^{21} + 17\cdot 23^{22} + 14\cdot 23^{23} + 16\cdot 23^{24} + 11\cdot 23^{25} + 23^{26} + 12\cdot 23^{27} + 23^{28} + 13\cdot 23^{29} + 6\cdot 23^{30} + 19\cdot 23^{31} + 7\cdot 23^{32} + 6\cdot 23^{33} + 17\cdot 23^{34} + 12\cdot 23^{35} +O\left(23^{ 36 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 6 a^{2} + 21 a + 20 + \left(17 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 23 + \left(6 a^{2} + 17 a + 20\right)\cdot 23^{2} + \left(11 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 23^{3} + \left(15 a^{2} + 11\right)\cdot 23^{4} + \left(2 a^{2} + 17 a + 21\right)\cdot 23^{5} + \left(2 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 23^{6} + \left(3 a^{2} + 13 a + 17\right)\cdot 23^{7} + \left(21 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 23^{8} + \left(21 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 23^{9} + \left(3 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 23^{10} + \left(17 a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 23^{11} + \left(22 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 23^{12} + \left(12 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 23^{13} + \left(6 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 23^{14} + \left(11 a^{2} + 18 a + 7\right)\cdot 23^{15} + \left(5 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 23^{16} + \left(6 a^{2} + 7 a + 22\right)\cdot 23^{17} + \left(14 a^{2} + 22 a\right)\cdot 23^{18} + \left(6 a^{2} + 5 a + 20\right)\cdot 23^{19} + \left(11 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 23^{20} + \left(21 a^{2} + 6 a + 19\right)\cdot 23^{21} + \left(19 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 23^{22} + \left(19 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 23^{23} + \left(11 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 23^{24} + \left(7 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 23^{25} + \left(a^{2} + 16 a\right)\cdot 23^{26} + \left(17 a^{2} + 20 a + 13\right)\cdot 23^{27} + \left(17 a^{2} + 22 a + 16\right)\cdot 23^{28} + \left(16 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 23^{29} + \left(12 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 23^{30} + \left(8 a^{2} + a + 5\right)\cdot 23^{31} + \left(9 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 23^{32} + \left(7 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 23^{33} + \left(3 a^{2} + 14 a + 21\right)\cdot 23^{34} + \left(4 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 23^{35} +O\left(23^{ 36 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 12 a^{2} + 14 a + 19 + \left(7 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 23 + \left(8 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 23^{2} + \left(9 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 23^{3} + \left(9 a^{2} + 16 a + 17\right)\cdot 23^{4} + \left(22 a^{2} + 20 a + 17\right)\cdot 23^{5} + \left(13 a^{2} + 14 a + 19\right)\cdot 23^{6} + \left(a^{2} + 16 a + 21\right)\cdot 23^{7} + \left(7 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 23^{8} + \left(18 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 23^{9} + \left(2 a^{2} + 19 a + 21\right)\cdot 23^{10} + \left(8 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 23^{11} + \left(9 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 23^{12} + \left(17 a^{2} + 17 a + 6\right)\cdot 23^{13} + \left(12 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 23^{14} + \left(17 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 23^{15} + \left(20 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 23^{16} + \left(5 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 23^{17} + \left(10 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 23^{18} + \left(6 a^{2} + 7 a + 15\right)\cdot 23^{19} + \left(13 a^{2} + 12 a + 20\right)\cdot 23^{20} + \left(14 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 23^{21} + \left(21 a^{2} + 21 a + 22\right)\cdot 23^{22} + \left(3 a^{2} + 11 a + 20\right)\cdot 23^{23} + \left(5 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 23^{24} + \left(5 a^{2} + 21 a + 11\right)\cdot 23^{25} + \left(2 a^{2} + 15 a + 22\right)\cdot 23^{26} + \left(22 a^{2} + 9 a + 14\right)\cdot 23^{27} + \left(20 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 23^{28} + \left(18 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 23^{29} + \left(5 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 23^{30} + \left(12 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 23^{31} + \left(13 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 23^{32} + \left(22 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 23^{33} + \left(4 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 23^{34} + \left(13 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 23^{35} +O\left(23^{ 36 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 15 a^{2} + 20 a + 9 + \left(11 a^{2} + 4 a + 22\right)\cdot 23 + \left(12 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 23^{2} + \left(17 a^{2} + 22 a + 2\right)\cdot 23^{3} + \left(8 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 23^{4} + \left(7 a^{2} + 21 a + 4\right)\cdot 23^{5} + \left(6 a + 17\right)\cdot 23^{6} + \left(3 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 23^{7} + \left(9 a^{2} + 12 a + 21\right)\cdot 23^{8} + \left(19 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 23^{9} + \left(18 a^{2} + 13 a + 9\right)\cdot 23^{10} + \left(15 a^{2} + 18 a + 22\right)\cdot 23^{11} + \left(21 a^{2} + 17 a + 14\right)\cdot 23^{12} + \left(2 a^{2} + 3 a + 18\right)\cdot 23^{13} + \left(6 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 23^{14} + \left(4 a^{2} + 6 a + 21\right)\cdot 23^{15} + \left(6 a^{2} + a + 11\right)\cdot 23^{16} + \left(12 a^{2} + 10 a + 22\right)\cdot 23^{17} + \left(5 a^{2} + 8 a + 19\right)\cdot 23^{18} + \left(20 a^{2} + 15 a + 22\right)\cdot 23^{19} + \left(21 a^{2} + 19 a + 4\right)\cdot 23^{20} + \left(6 a^{2} + 2 a\right)\cdot 23^{21} + \left(10 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 23^{22} + \left(17 a + 4\right)\cdot 23^{23} + \left(19 a^{2} + 22 a + 18\right)\cdot 23^{24} + \left(6 a^{2} + 3 a + 16\right)\cdot 23^{25} + \left(9 a^{2} + 15 a + 10\right)\cdot 23^{26} + \left(10 a^{2} + 17 a + 19\right)\cdot 23^{27} + \left(22 a^{2} + 15 a + 22\right)\cdot 23^{28} + \left(4 a^{2} + 12 a\right)\cdot 23^{29} + \left(4 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 23^{30} + \left(9 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 23^{31} + \left(2 a^{2} + 6 a + 19\right)\cdot 23^{32} + \left(18 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 23^{33} + \left(11 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 23^{34} + \left(8 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 23^{35} +O\left(23^{ 36 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 7 + 6\cdot 23 + 23^{2} + 2\cdot 23^{3} + 13\cdot 23^{4} + 12\cdot 23^{5} + 14\cdot 23^{6} + 16\cdot 23^{7} + 5\cdot 23^{8} + 15\cdot 23^{9} + 22\cdot 23^{10} + 15\cdot 23^{11} + 11\cdot 23^{12} + 16\cdot 23^{13} + 6\cdot 23^{14} + 21\cdot 23^{15} + 5\cdot 23^{16} + 3\cdot 23^{17} + 7\cdot 23^{18} + 4\cdot 23^{19} + 10\cdot 23^{20} + 7\cdot 23^{21} + 23^{22} + 19\cdot 23^{23} + 19\cdot 23^{24} + 21\cdot 23^{25} + 13\cdot 23^{26} + 14\cdot 23^{27} + 16\cdot 23^{28} + 2\cdot 23^{29} + 11\cdot 23^{30} + 13\cdot 23^{31} + 18\cdot 23^{32} + 17\cdot 23^{33} + 4\cdot 23^{34} + 8\cdot 23^{35} +O\left(23^{ 36 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 2 a^{2} + 5 a + 7 + \left(17 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 23 + \left(3 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 23^{2} + \left(17 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 23^{3} + \left(21 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 23^{4} + \left(12 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 23^{5} + \left(20 a^{2} + 4 a + 21\right)\cdot 23^{6} + \left(16 a^{2} + 20 a + 12\right)\cdot 23^{7} + \left(15 a^{2} + 16 a + 22\right)\cdot 23^{8} + \left(4 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 23^{9} + \left(5 a + 22\right)\cdot 23^{10} + \left(13 a^{2} + 16 a + 10\right)\cdot 23^{11} + \left(a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 23^{12} + \left(7 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 23^{13} + \left(10 a^{2} + 22 a + 20\right)\cdot 23^{14} + \left(7 a^{2} + 20 a + 17\right)\cdot 23^{15} + \left(11 a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 23^{16} + \left(4 a^{2} + 5 a + 19\right)\cdot 23^{17} + \left(3 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 23^{18} + \left(19 a^{2} + a + 13\right)\cdot 23^{19} + \left(12 a^{2} + 19 a\right)\cdot 23^{20} + \left(17 a^{2} + 13 a + 22\right)\cdot 23^{21} + \left(15 a^{2} + 20 a + 20\right)\cdot 23^{22} + \left(2 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 23^{23} + \left(15 a^{2} + 15 a + 20\right)\cdot 23^{24} + \left(8 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 23^{25} + \left(12 a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 23^{26} + \left(18 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 23^{27} + \left(5 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 23^{28} + \left(a^{2} + a + 11\right)\cdot 23^{29} + \left(6 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 23^{30} + \left(5 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 23^{31} + \left(11 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 23^{32} + \left(20 a^{2} + a + 20\right)\cdot 23^{33} + \left(7 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 23^{34} + \left(10 a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 23^{35} +O\left(23^{ 36 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(2,7,5)(3,8,6)$ |
| $(5,7)(6,8)$ |
| $(3,8)(4,6)$ |
| $(1,2)(3,8)(4,6)(5,7)$ |
| $(3,4)(6,8)$ |
| $(1,3)(2,4)(5,6)(7,8)$ |
| $(1,7)(2,5)(3,8)(4,6)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $6$ |
| $3$ | $2$ | $(1,5)(2,7)(3,8)(4,6)$ | $-2$ |
| $4$ | $2$ | $(1,8)(2,6)(3,5)(4,7)$ | $0$ |
| $6$ | $2$ | $(1,2)(3,8)(4,6)(5,7)$ | $2$ |
| $6$ | $2$ | $(1,5)(2,7)$ | $-2$ |
| $12$ | $2$ | $(1,3)(2,4)(5,6)(7,8)$ | $-2$ |
| $12$ | $2$ | $(1,2)(3,4)$ | $0$ |
| $32$ | $3$ | $(2,5,7)(3,4,6)$ | $0$ |
| $12$ | $4$ | $(1,8,5,3)(2,4,7,6)$ | $2$ |
| $12$ | $4$ | $(1,3,5,8)(2,4,7,6)$ | $0$ |
| $12$ | $4$ | $(1,5,2,7)(3,6,4,8)$ | $0$ |
| $24$ | $4$ | $(1,3,7,8)(2,4,5,6)$ | $0$ |
| $24$ | $4$ | $(3,6,4,8)(5,7)$ | $0$ |
| $32$ | $6$ | $(1,8)(2,4,5,6,7,3)$ | $0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
