Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 163 }$ to precision 10.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 163 }$: $ x^{3} + 7 x + 161 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 84 + 137\cdot 163 + 56\cdot 163^{2} + 34\cdot 163^{3} + 143\cdot 163^{4} + 29\cdot 163^{5} + 131\cdot 163^{6} + 135\cdot 163^{7} + 17\cdot 163^{8} + 21\cdot 163^{9} +O\left(163^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 85 + 116\cdot 163 + 32\cdot 163^{2} + 68\cdot 163^{3} + 72\cdot 163^{4} + 51\cdot 163^{5} + 29\cdot 163^{6} + 72\cdot 163^{7} + 65\cdot 163^{8} + 128\cdot 163^{9} +O\left(163^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 138 + 89\cdot 163^{2} + 88\cdot 163^{3} + 64\cdot 163^{4} + 19\cdot 163^{5} + 163^{6} + 26\cdot 163^{7} + 41\cdot 163^{8} + 37\cdot 163^{9} +O\left(163^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 70 a^{2} + 24 a + 49 + \left(154 a^{2} + 104 a + 25\right)\cdot 163 + \left(76 a^{2} + 54 a + 26\right)\cdot 163^{2} + \left(83 a^{2} + 102 a + 127\right)\cdot 163^{3} + \left(95 a^{2} + 105 a + 76\right)\cdot 163^{4} + \left(132 a^{2} + 134 a + 38\right)\cdot 163^{5} + \left(152 a^{2} + 31 a + 125\right)\cdot 163^{6} + \left(98 a^{2} + 58 a + 100\right)\cdot 163^{7} + \left(131 a^{2} + 47\right)\cdot 163^{8} + \left(162 a^{2} + 128 a + 46\right)\cdot 163^{9} +O\left(163^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 88 a^{2} + 19 a + 98 + \left(31 a^{2} + 118 a + 105\right)\cdot 163 + \left(86 a^{2} + 156 a + 23\right)\cdot 163^{2} + \left(40 a^{2} + 66 a + 116\right)\cdot 163^{3} + \left(100 a^{2} + 54 a + 145\right)\cdot 163^{4} + \left(70 a^{2} + 53 a + 6\right)\cdot 163^{5} + \left(92 a^{2} + 141 a + 96\right)\cdot 163^{6} + \left(33 a^{2} + 68 a + 113\right)\cdot 163^{7} + \left(59 a^{2} + 15 a + 40\right)\cdot 163^{8} + \left(51 a^{2} + 40 a + 130\right)\cdot 163^{9} +O\left(163^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 106 a^{2} + 14 a + 54 + \left(48 a^{2} + 145 a + 129\right)\cdot 163 + \left(149 a^{2} + 130 a + 37\right)\cdot 163^{2} + \left(137 a^{2} + 136 a + 55\right)\cdot 163^{3} + \left(51 a^{2} + 130 a + 90\right)\cdot 163^{4} + \left(89 a^{2} + 96 a + 162\right)\cdot 163^{5} + \left(117 a^{2} + 141 a + 14\right)\cdot 163^{6} + \left(84 a^{2} + 105 a + 143\right)\cdot 163^{7} + \left(46 a^{2} + 86 a + 30\right)\cdot 163^{8} + \left(33 a^{2} + 144 a + 148\right)\cdot 163^{9} +O\left(163^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 110 a^{2} + 156 a + 92 + \left(114 a^{2} + 132 a + 4\right)\cdot 163 + \left(67 a^{2} + 17 a + 46\right)\cdot 163^{2} + \left(92 a^{2} + 96 a + 32\right)\cdot 163^{3} + \left(96 a^{2} + 79 a + 74\right)\cdot 163^{4} + \left(55 a^{2} + 57 a + 45\right)\cdot 163^{5} + \left(20 a^{2} + 30 a + 31\right)\cdot 163^{6} + \left(71 a^{2} + 149 a + 17\right)\cdot 163^{7} + \left(77 a^{2} + 47 a + 17\right)\cdot 163^{8} + \left(3 a^{2} + 31 a + 124\right)\cdot 163^{9} +O\left(163^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 128 a^{2} + 151 a + 13 + \left(16 a^{2} + 74 a + 91\right)\cdot 163 + \left(9 a^{2} + 151 a + 98\right)\cdot 163^{2} + \left(30 a^{2} + 162 a + 121\right)\cdot 163^{3} + \left(129 a^{2} + 28 a + 117\right)\cdot 163^{4} + \left(36 a^{2} + 52 a + 120\right)\cdot 163^{5} + \left(50 a^{2} + 154 a + 7\right)\cdot 163^{6} + \left(58 a^{2} + 107 a + 66\right)\cdot 163^{7} + \left(26 a^{2} + 99 a + 50\right)\cdot 163^{8} + \left(108 a^{2} + 91 a + 69\right)\cdot 163^{9} +O\left(163^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 9 }$ |
$=$ |
$ 150 a^{2} + 125 a + 42 + \left(122 a^{2} + 76 a + 41\right)\cdot 163 + \left(99 a^{2} + 140 a + 78\right)\cdot 163^{2} + \left(104 a^{2} + 86 a + 8\right)\cdot 163^{3} + \left(15 a^{2} + 89 a + 30\right)\cdot 163^{4} + \left(104 a^{2} + 94 a + 14\right)\cdot 163^{5} + \left(55 a^{2} + 152 a + 52\right)\cdot 163^{6} + \left(142 a^{2} + 161 a + 140\right)\cdot 163^{7} + \left(147 a^{2} + 75 a + 14\right)\cdot 163^{8} + \left(129 a^{2} + 53 a + 110\right)\cdot 163^{9} +O\left(163^{ 10 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 9 }$
| Cycle notation |
| $(1,2,3)(4,9,6)(5,8,7)$ |
| $(1,9)(2,4)(3,6)(5,7)$ |
| $(1,9,8)(2,6,7)(3,4,5)$ |
| $(1,3,2)(4,9,6)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 9 }$
| Character values |
| | |
$c1$ |
| $1$ |
$1$ |
$()$ |
$6$ |
| $9$ |
$2$ |
$(1,9)(2,4)(3,6)(5,7)$ |
$0$ |
| $2$ |
$3$ |
$(1,2,3)(4,9,6)(5,8,7)$ |
$-3$ |
| $3$ |
$3$ |
$(1,3,2)(5,8,7)$ |
$0$ |
| $3$ |
$3$ |
$(1,2,3)(5,7,8)$ |
$0$ |
| $6$ |
$3$ |
$(1,9,8)(2,6,7)(3,4,5)$ |
$0$ |
| $6$ |
$3$ |
$(1,6,7)(2,4,5)(3,9,8)$ |
$0$ |
| $6$ |
$3$ |
$(1,7,6)(2,5,4)(3,8,9)$ |
$0$ |
| $9$ |
$6$ |
$(1,8,3,7,2,5)(6,9)$ |
$0$ |
| $9$ |
$6$ |
$(1,5,2,7,3,8)(6,9)$ |
$0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
