Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 59 }$ to precision 14.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 59 }$: $ x^{3} + 5 x + 57 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 19 a + 12 + \left(54 a^{2} + 57 a + 20\right)\cdot 59 + \left(41 a^{2} + 45 a + 26\right)\cdot 59^{2} + \left(44 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 59^{3} + \left(4 a^{2} + 39 a + 12\right)\cdot 59^{4} + \left(30 a^{2} + 57 a + 31\right)\cdot 59^{5} + \left(58 a^{2} + 11 a + 37\right)\cdot 59^{6} + \left(41 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 59^{7} + \left(14 a^{2} + 14 a + 46\right)\cdot 59^{8} + \left(47 a^{2} + 58 a + 51\right)\cdot 59^{9} + \left(5 a^{2} + 46 a + 27\right)\cdot 59^{10} + \left(12 a^{2} + 33 a + 24\right)\cdot 59^{11} + \left(24 a^{2} + 10 a + 32\right)\cdot 59^{12} + \left(24 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 59^{13} +O\left(59^{ 14 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 46 + 32\cdot 59^{2} + 37\cdot 59^{3} + 23\cdot 59^{4} + 47\cdot 59^{5} + 59^{6} + 57\cdot 59^{7} + 59^{8} + 4\cdot 59^{9} + 36\cdot 59^{10} + 28\cdot 59^{11} + 54\cdot 59^{12} + 27\cdot 59^{13} +O\left(59^{ 14 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 22 + 42\cdot 59 + 22\cdot 59^{2} + 14\cdot 59^{3} + 7\cdot 59^{4} + 46\cdot 59^{5} + 19\cdot 59^{6} + 8\cdot 59^{7} + 39\cdot 59^{8} + 17\cdot 59^{9} + 18\cdot 59^{10} + 22\cdot 59^{11} + 34\cdot 59^{12} + 57\cdot 59^{13} +O\left(59^{ 14 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 22 a^{2} + 8 a + 49 + \left(53 a^{2} + 38 a + 24\right)\cdot 59 + \left(22 a^{2} + 22 a + 42\right)\cdot 59^{2} + \left(4 a^{2} + 13 a + 41\right)\cdot 59^{3} + \left(37 a^{2} + 11 a + 54\right)\cdot 59^{4} + \left(37 a^{2} + 39 a + 27\right)\cdot 59^{5} + \left(3 a^{2} + 37 a + 28\right)\cdot 59^{6} + \left(11 a^{2} + 5 a + 49\right)\cdot 59^{7} + \left(22 a^{2} + 53 a + 51\right)\cdot 59^{8} + \left(24 a^{2} + 56 a + 56\right)\cdot 59^{9} + \left(33 a^{2} + 56 a + 18\right)\cdot 59^{10} + \left(31 a^{2} + 34 a + 42\right)\cdot 59^{11} + \left(47 a^{2} + 7 a + 58\right)\cdot 59^{12} + \left(24 a^{2} + 13 a + 22\right)\cdot 59^{13} +O\left(59^{ 14 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 58 a^{2} + 43 a + 48 + \left(50 a^{2} + 32 a + 29\right)\cdot 59 + \left(49 a^{2} + 23 a + 13\right)\cdot 59^{2} + \left(34 a^{2} + 7 a + 55\right)\cdot 59^{3} + \left(42 a^{2} + 12 a + 39\right)\cdot 59^{4} + \left(50 a^{2} + 21 a + 1\right)\cdot 59^{5} + \left(3 a^{2} + 52 a + 52\right)\cdot 59^{6} + \left(43 a^{2} + 47 a + 39\right)\cdot 59^{7} + \left(3 a^{2} + 40 a + 9\right)\cdot 59^{8} + \left(43 a^{2} + 3 a + 18\right)\cdot 59^{9} + \left(33 a^{2} + 48 a + 42\right)\cdot 59^{10} + \left(16 a^{2} + 45 a + 19\right)\cdot 59^{11} + \left(10 a^{2} + 12 a + 25\right)\cdot 59^{12} + \left(29 a^{2} + 31 a + 31\right)\cdot 59^{13} +O\left(59^{ 14 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ a^{2} + 56 a + 35 + \left(13 a^{2} + 27 a + 1\right)\cdot 59 + \left(26 a^{2} + 48 a + 33\right)\cdot 59^{2} + \left(38 a^{2} + 33 a + 47\right)\cdot 59^{3} + \left(11 a^{2} + 7 a + 54\right)\cdot 59^{4} + \left(37 a^{2} + 39 a + 54\right)\cdot 59^{5} + \left(55 a^{2} + 53 a + 27\right)\cdot 59^{6} + \left(32 a^{2} + 54 a + 45\right)\cdot 59^{7} + \left(40 a^{2} + 3 a + 53\right)\cdot 59^{8} + \left(27 a^{2} + 56 a + 25\right)\cdot 59^{9} + \left(19 a^{2} + 22 a + 14\right)\cdot 59^{10} + \left(30 a^{2} + 38 a + 26\right)\cdot 59^{11} + \left(24 a^{2} + 35 a + 33\right)\cdot 59^{12} + \left(5 a^{2} + 13 a + 50\right)\cdot 59^{13} +O\left(59^{ 14 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 44 a^{2} + 40 a + 24 + \left(51 a^{2} + 18 a + 19\right)\cdot 59 + \left(25 a^{2} + 2 a + 52\right)\cdot 59^{2} + \left(25 a^{2} + 47 a + 52\right)\cdot 59^{3} + \left(47 a^{2} + 23 a + 49\right)\cdot 59^{4} + \left(30 a^{2} + 24\right)\cdot 59^{5} + \left(13 a^{2} + 48 a + 2\right)\cdot 59^{6} + \left(4 a^{2} + 45 a + 7\right)\cdot 59^{7} + \left(17 a^{2} + 19 a + 15\right)\cdot 59^{8} + \left(54 a^{2} + 37 a + 58\right)\cdot 59^{9} + \left(49 a^{2} + 58 a + 14\right)\cdot 59^{10} + \left(44 a^{2} + 48 a + 47\right)\cdot 59^{11} + \left(33 a^{2} + 37 a + 12\right)\cdot 59^{12} + \left(16 a^{2} + 21 a + 15\right)\cdot 59^{13} +O\left(59^{ 14 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 30 + 10\cdot 59 + 33\cdot 59^{2} + 49\cdot 59^{3} + 9\cdot 59^{4} + 52\cdot 59^{5} + 47\cdot 59^{6} + 30\cdot 59^{7} + 33\cdot 59^{8} + 14\cdot 59^{9} + 20\cdot 59^{10} + 8\cdot 59^{11} + 59^{12} + 55\cdot 59^{13} +O\left(59^{ 14 }\right)$ |
| $r_{ 9 }$ |
$=$ |
$ 52 a^{2} + 11 a + 31 + \left(12 a^{2} + 2 a + 27\right)\cdot 59 + \left(10 a^{2} + 34 a + 39\right)\cdot 59^{2} + \left(29 a^{2} + 57 a + 45\right)\cdot 59^{3} + \left(33 a^{2} + 23 a + 42\right)\cdot 59^{4} + \left(49 a^{2} + 19 a + 8\right)\cdot 59^{5} + \left(41 a^{2} + 32 a + 18\right)\cdot 59^{6} + \left(43 a^{2} + 7 a + 40\right)\cdot 59^{7} + \left(19 a^{2} + 45 a + 43\right)\cdot 59^{8} + \left(39 a^{2} + 23 a + 47\right)\cdot 59^{9} + \left(34 a^{2} + 2 a + 42\right)\cdot 59^{10} + \left(41 a^{2} + 34 a + 16\right)\cdot 59^{11} + \left(36 a^{2} + 13 a + 42\right)\cdot 59^{12} + \left(17 a^{2} + 24 a + 18\right)\cdot 59^{13} +O\left(59^{ 14 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 9 }$
| Cycle notation |
| $(1,8)(2,5)(3,6)(4,7)$ |
| $(1,4,2)(3,6,9)(5,7,8)$ |
| $(1,6,5)(2,3,8)(4,9,7)$ |
| $(1,6,5)(2,8,3)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 9 }$
| Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $6$ |
| $9$ | $2$ | $(1,8)(2,5)(3,6)(4,7)$ | $0$ |
| $2$ | $3$ | $(1,6,5)(2,3,8)(4,9,7)$ | $-3$ |
| $3$ | $3$ | $(2,8,3)(4,9,7)$ | $0$ |
| $3$ | $3$ | $(2,3,8)(4,7,9)$ | $0$ |
| $6$ | $3$ | $(1,4,2)(3,6,9)(5,7,8)$ | $0$ |
| $6$ | $3$ | $(1,4,8)(2,6,9)(3,5,7)$ | $0$ |
| $6$ | $3$ | $(1,8,4)(2,9,6)(3,7,5)$ | $0$ |
| $9$ | $6$ | $(2,7,8,4,3,9)(5,6)$ | $0$ |
| $9$ | $6$ | $(2,9,3,4,8,7)(5,6)$ | $0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
