Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 193 }$ to precision 48.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 193 }$: $ x^{2} + 192 x + 5 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 69 a + 142 + \left(106 a + 177\right)\cdot 193 + \left(21 a + 144\right)\cdot 193^{2} + \left(39 a + 167\right)\cdot 193^{3} + \left(175 a + 131\right)\cdot 193^{4} + \left(23 a + 87\right)\cdot 193^{5} + \left(167 a + 25\right)\cdot 193^{6} + \left(43 a + 76\right)\cdot 193^{7} + \left(60 a + 169\right)\cdot 193^{8} + \left(152 a + 65\right)\cdot 193^{9} + \left(8 a + 55\right)\cdot 193^{10} + \left(20 a + 122\right)\cdot 193^{11} + \left(138 a + 149\right)\cdot 193^{12} + \left(48 a + 44\right)\cdot 193^{13} + \left(7 a + 38\right)\cdot 193^{14} + \left(111 a + 136\right)\cdot 193^{15} + \left(30 a + 107\right)\cdot 193^{16} + \left(58 a + 19\right)\cdot 193^{17} + \left(113 a + 175\right)\cdot 193^{18} + \left(129 a + 159\right)\cdot 193^{19} + \left(160 a + 182\right)\cdot 193^{20} + \left(169 a + 120\right)\cdot 193^{21} + \left(33 a + 147\right)\cdot 193^{22} + \left(36 a + 123\right)\cdot 193^{23} + \left(150 a + 29\right)\cdot 193^{24} + \left(165 a + 191\right)\cdot 193^{25} + \left(78 a + 189\right)\cdot 193^{26} + \left(25 a + 148\right)\cdot 193^{27} + \left(160 a + 99\right)\cdot 193^{28} + \left(41 a + 66\right)\cdot 193^{29} + \left(112 a + 167\right)\cdot 193^{30} + \left(77 a + 1\right)\cdot 193^{31} + \left(2 a + 89\right)\cdot 193^{32} + \left(186 a + 124\right)\cdot 193^{33} + \left(35 a + 9\right)\cdot 193^{34} + \left(18 a + 180\right)\cdot 193^{35} + \left(149 a + 80\right)\cdot 193^{36} + \left(76 a + 168\right)\cdot 193^{37} + \left(80 a + 62\right)\cdot 193^{38} + \left(80 a + 161\right)\cdot 193^{39} + \left(44 a + 113\right)\cdot 193^{40} + \left(88 a + 6\right)\cdot 193^{41} + \left(59 a + 15\right)\cdot 193^{42} + \left(163 a + 26\right)\cdot 193^{43} + \left(95 a + 118\right)\cdot 193^{44} + \left(57 a + 6\right)\cdot 193^{45} + \left(175 a + 138\right)\cdot 193^{46} + \left(88 a + 125\right)\cdot 193^{47} +O\left(193^{ 48 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 64 + 15\cdot 193 + 155\cdot 193^{2} + 53\cdot 193^{3} + 66\cdot 193^{4} + 7\cdot 193^{5} + 88\cdot 193^{6} + 92\cdot 193^{7} + 28\cdot 193^{8} + 164\cdot 193^{9} + 184\cdot 193^{10} + 77\cdot 193^{11} + 42\cdot 193^{12} + 119\cdot 193^{13} + 165\cdot 193^{14} + 110\cdot 193^{15} + 120\cdot 193^{16} + 43\cdot 193^{17} + 140\cdot 193^{18} + 161\cdot 193^{19} + 69\cdot 193^{20} + 118\cdot 193^{21} + 43\cdot 193^{22} + 185\cdot 193^{23} + 179\cdot 193^{24} + 147\cdot 193^{25} + 92\cdot 193^{26} + 150\cdot 193^{27} + 144\cdot 193^{28} + 165\cdot 193^{29} + 49\cdot 193^{30} + 132\cdot 193^{31} + 46\cdot 193^{32} + 51\cdot 193^{33} + 120\cdot 193^{34} + 70\cdot 193^{35} + 34\cdot 193^{36} + 97\cdot 193^{37} + 68\cdot 193^{38} + 106\cdot 193^{39} + 61\cdot 193^{40} + 135\cdot 193^{41} + 145\cdot 193^{42} + 179\cdot 193^{43} + 6\cdot 193^{44} + 152\cdot 193^{45} + 11\cdot 193^{46} + 180\cdot 193^{47} +O\left(193^{ 48 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 124 a + 18 + \left(86 a + 22\right)\cdot 193 + \left(171 a + 60\right)\cdot 193^{2} + \left(153 a + 185\right)\cdot 193^{3} + \left(17 a + 74\right)\cdot 193^{4} + \left(169 a + 129\right)\cdot 193^{5} + \left(25 a + 168\right)\cdot 193^{6} + \left(149 a + 145\right)\cdot 193^{7} + \left(132 a + 185\right)\cdot 193^{8} + \left(40 a + 157\right)\cdot 193^{9} + \left(184 a + 104\right)\cdot 193^{10} + \left(172 a + 133\right)\cdot 193^{11} + \left(54 a + 74\right)\cdot 193^{12} + \left(144 a + 148\right)\cdot 193^{13} + \left(185 a + 189\right)\cdot 193^{14} + \left(81 a + 46\right)\cdot 193^{15} + \left(162 a + 27\right)\cdot 193^{16} + \left(134 a + 47\right)\cdot 193^{17} + \left(79 a + 37\right)\cdot 193^{18} + \left(63 a + 176\right)\cdot 193^{19} + \left(32 a + 20\right)\cdot 193^{20} + \left(23 a + 130\right)\cdot 193^{21} + \left(159 a + 11\right)\cdot 193^{22} + \left(156 a + 126\right)\cdot 193^{23} + \left(42 a + 143\right)\cdot 193^{24} + \left(27 a + 13\right)\cdot 193^{25} + \left(114 a + 103\right)\cdot 193^{26} + \left(167 a + 95\right)\cdot 193^{27} + \left(32 a + 41\right)\cdot 193^{28} + \left(151 a + 141\right)\cdot 193^{29} + \left(80 a + 44\right)\cdot 193^{30} + \left(115 a + 160\right)\cdot 193^{31} + \left(190 a + 13\right)\cdot 193^{32} + \left(6 a + 115\right)\cdot 193^{33} + \left(157 a + 52\right)\cdot 193^{34} + \left(174 a + 162\right)\cdot 193^{35} + \left(43 a + 18\right)\cdot 193^{36} + \left(116 a + 96\right)\cdot 193^{37} + \left(112 a + 66\right)\cdot 193^{38} + \left(112 a + 161\right)\cdot 193^{39} + \left(148 a + 77\right)\cdot 193^{40} + \left(104 a + 50\right)\cdot 193^{41} + \left(133 a + 179\right)\cdot 193^{42} + \left(29 a + 129\right)\cdot 193^{43} + \left(97 a + 50\right)\cdot 193^{44} + \left(135 a + 161\right)\cdot 193^{45} + \left(17 a + 62\right)\cdot 193^{46} + \left(104 a + 39\right)\cdot 193^{47} +O\left(193^{ 48 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 128 a + 110 + \left(180 a + 91\right)\cdot 193 + \left(44 a + 21\right)\cdot 193^{2} + \left(65 a + 151\right)\cdot 193^{3} + \left(135 a + 173\right)\cdot 193^{4} + \left(183 a + 34\right)\cdot 193^{5} + \left(151 a + 1\right)\cdot 193^{6} + \left(27 a + 10\right)\cdot 193^{7} + \left(a + 78\right)\cdot 193^{8} + \left(19 a + 104\right)\cdot 193^{9} + \left(123 a + 173\right)\cdot 193^{10} + \left(58 a + 73\right)\cdot 193^{11} + 123\cdot 193^{12} + \left(96 a + 128\right)\cdot 193^{13} + \left(106 a + 141\right)\cdot 193^{14} + \left(109 a + 17\right)\cdot 193^{15} + \left(128 a + 146\right)\cdot 193^{16} + \left(134 a + 29\right)\cdot 193^{17} + \left(51 a + 157\right)\cdot 193^{18} + \left(161 a + 133\right)\cdot 193^{19} + \left(173 a + 23\right)\cdot 193^{20} + \left(160 a + 151\right)\cdot 193^{21} + \left(47 a + 166\right)\cdot 193^{22} + \left(65 a + 114\right)\cdot 193^{23} + \left(38 a + 65\right)\cdot 193^{24} + \left(61 a + 104\right)\cdot 193^{25} + \left(9 a + 71\right)\cdot 193^{26} + \left(129 a + 148\right)\cdot 193^{27} + \left(175 a + 149\right)\cdot 193^{28} + \left(50 a + 29\right)\cdot 193^{29} + \left(175 a + 56\right)\cdot 193^{30} + \left(150 a + 36\right)\cdot 193^{31} + \left(26 a + 92\right)\cdot 193^{32} + \left(28 a + 100\right)\cdot 193^{33} + \left(105 a + 127\right)\cdot 193^{34} + \left(125 a + 163\right)\cdot 193^{35} + \left(95 a + 57\right)\cdot 193^{36} + \left(34 a + 168\right)\cdot 193^{37} + \left(135 a + 2\right)\cdot 193^{38} + \left(105 a + 152\right)\cdot 193^{39} + \left(117 a + 164\right)\cdot 193^{40} + \left(12 a + 46\right)\cdot 193^{41} + \left(12 a + 115\right)\cdot 193^{42} + \left(27 a + 48\right)\cdot 193^{43} + \left(34 a + 79\right)\cdot 193^{44} + \left(58 a + 16\right)\cdot 193^{45} + \left(35 a + 25\right)\cdot 193^{46} + \left(a + 19\right)\cdot 193^{47} +O\left(193^{ 48 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 167 + 134\cdot 193 + 130\cdot 193^{2} + 9\cdot 193^{3} + 95\cdot 193^{4} + 67\cdot 193^{5} + 134\cdot 193^{6} + 11\cdot 193^{7} + 35\cdot 193^{8} + 188\cdot 193^{9} + 135\cdot 193^{10} + 31\cdot 193^{11} + 155\cdot 193^{12} + 106\cdot 193^{13} + 119\cdot 193^{14} + 43\cdot 193^{15} + 147\cdot 193^{16} + 83\cdot 193^{17} + 14\cdot 193^{18} + 40\cdot 193^{19} + 63\cdot 193^{20} + 171\cdot 193^{21} + 121\cdot 193^{22} + 146\cdot 193^{23} + 101\cdot 193^{24} + 6\cdot 193^{25} + 9\cdot 193^{26} + 12\cdot 193^{27} + 88\cdot 193^{28} + 92\cdot 193^{29} + 99\cdot 193^{30} + 12\cdot 193^{31} + 86\cdot 193^{32} + 132\cdot 193^{33} + 126\cdot 193^{34} + 160\cdot 193^{35} + 72\cdot 193^{36} + 13\cdot 193^{37} + 18\cdot 193^{38} + 5\cdot 193^{39} + 176\cdot 193^{40} + 68\cdot 193^{41} + 10\cdot 193^{42} + 94\cdot 193^{43} + 20\cdot 193^{44} + 177\cdot 193^{45} + 153\cdot 193^{46} + 8\cdot 193^{47} +O\left(193^{ 48 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 36 a + 95 + \left(4 a + 12\right)\cdot 193 + \left(81 a + 52\right)\cdot 193^{2} + \left(167 a + 166\right)\cdot 193^{3} + \left(58 a + 143\right)\cdot 193^{4} + \left(75 a + 172\right)\cdot 193^{5} + \left(34 a + 19\right)\cdot 193^{6} + \left(74 a + 62\right)\cdot 193^{7} + \left(58 a + 23\right)\cdot 193^{8} + \left(139 a + 137\right)\cdot 193^{9} + \left(172 a + 192\right)\cdot 193^{10} + \left(34 a + 133\right)\cdot 193^{11} + \left(179 a + 8\right)\cdot 193^{12} + \left(172 a + 3\right)\cdot 193^{13} + \left(105 a + 16\right)\cdot 193^{14} + \left(52 a + 128\right)\cdot 193^{15} + \left(36 a + 133\right)\cdot 193^{16} + \left(70 a + 142\right)\cdot 193^{17} + \left(187 a + 124\right)\cdot 193^{18} + \left(4 a + 19\right)\cdot 193^{19} + \left(91 a + 48\right)\cdot 193^{20} + \left(168 a + 125\right)\cdot 193^{21} + \left(62 a + 69\right)\cdot 193^{22} + \left(180 a + 9\right)\cdot 193^{23} + \left(167 a + 16\right)\cdot 193^{24} + \left(108 a + 120\right)\cdot 193^{25} + \left(80 a + 60\right)\cdot 193^{26} + \left(166 a + 124\right)\cdot 193^{27} + \left(41 a + 184\right)\cdot 193^{28} + \left(149 a + 131\right)\cdot 193^{29} + \left(40 a + 44\right)\cdot 193^{30} + \left(74 a + 95\right)\cdot 193^{31} + \left(116 a + 120\right)\cdot 193^{32} + \left(141 a + 60\right)\cdot 193^{33} + \left(146 a + 159\right)\cdot 193^{34} + \left(161 a + 110\right)\cdot 193^{35} + \left(99 a + 77\right)\cdot 193^{36} + \left(73 a + 170\right)\cdot 193^{37} + \left(88 a + 120\right)\cdot 193^{38} + \left(141 a + 101\right)\cdot 193^{39} + \left(25 a + 58\right)\cdot 193^{40} + \left(53 a + 54\right)\cdot 193^{41} + \left(139 a + 149\right)\cdot 193^{42} + \left(172 a + 1\right)\cdot 193^{43} + \left(25 a + 182\right)\cdot 193^{44} + \left(182 a + 30\right)\cdot 193^{45} + \left(124 a + 121\right)\cdot 193^{46} + \left(40 a + 152\right)\cdot 193^{47} +O\left(193^{ 48 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 157 a + 131 + \left(188 a + 173\right)\cdot 193 + \left(111 a + 128\right)\cdot 193^{2} + \left(25 a + 59\right)\cdot 193^{3} + \left(134 a + 35\right)\cdot 193^{4} + \left(117 a + 189\right)\cdot 193^{5} + \left(158 a + 171\right)\cdot 193^{6} + \left(118 a + 101\right)\cdot 193^{7} + \left(134 a + 7\right)\cdot 193^{8} + \left(53 a + 25\right)\cdot 193^{9} + \left(20 a + 33\right)\cdot 193^{10} + \left(158 a + 189\right)\cdot 193^{11} + \left(13 a + 152\right)\cdot 193^{12} + \left(20 a + 189\right)\cdot 193^{13} + \left(87 a + 141\right)\cdot 193^{14} + \left(140 a + 74\right)\cdot 193^{15} + \left(156 a + 117\right)\cdot 193^{16} + \left(122 a + 176\right)\cdot 193^{17} + \left(5 a + 48\right)\cdot 193^{18} + \left(188 a + 30\right)\cdot 193^{19} + \left(101 a + 134\right)\cdot 193^{20} + \left(24 a + 9\right)\cdot 193^{21} + \left(130 a + 157\right)\cdot 193^{22} + \left(12 a + 126\right)\cdot 193^{23} + \left(25 a + 3\right)\cdot 193^{24} + \left(84 a + 61\right)\cdot 193^{25} + \left(112 a + 32\right)\cdot 193^{26} + \left(26 a + 17\right)\cdot 193^{27} + \left(151 a + 60\right)\cdot 193^{28} + \left(43 a + 46\right)\cdot 193^{29} + \left(152 a + 129\right)\cdot 193^{30} + \left(118 a + 128\right)\cdot 193^{31} + \left(76 a + 162\right)\cdot 193^{32} + \left(51 a + 85\right)\cdot 193^{33} + \left(46 a + 164\right)\cdot 193^{34} + \left(31 a + 125\right)\cdot 193^{35} + \left(93 a + 15\right)\cdot 193^{36} + \left(119 a + 144\right)\cdot 193^{37} + \left(104 a + 135\right)\cdot 193^{38} + \left(51 a + 154\right)\cdot 193^{39} + \left(167 a + 135\right)\cdot 193^{40} + \left(139 a + 81\right)\cdot 193^{41} + \left(53 a + 42\right)\cdot 193^{42} + \left(20 a + 35\right)\cdot 193^{43} + \left(167 a + 35\right)\cdot 193^{44} + \left(10 a + 187\right)\cdot 193^{45} + \left(68 a + 63\right)\cdot 193^{46} + \left(152 a + 68\right)\cdot 193^{47} +O\left(193^{ 48 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 65 a + 45 + \left(12 a + 144\right)\cdot 193 + \left(148 a + 78\right)\cdot 193^{2} + \left(127 a + 171\right)\cdot 193^{3} + \left(57 a + 50\right)\cdot 193^{4} + \left(9 a + 83\right)\cdot 193^{5} + \left(41 a + 162\right)\cdot 193^{6} + \left(165 a + 78\right)\cdot 193^{7} + \left(191 a + 51\right)\cdot 193^{8} + \left(173 a + 122\right)\cdot 193^{9} + \left(69 a + 84\right)\cdot 193^{10} + \left(134 a + 9\right)\cdot 193^{11} + \left(192 a + 65\right)\cdot 193^{12} + \left(96 a + 31\right)\cdot 193^{13} + \left(86 a + 152\right)\cdot 193^{14} + \left(83 a + 20\right)\cdot 193^{15} + \left(64 a + 165\right)\cdot 193^{16} + \left(58 a + 35\right)\cdot 193^{17} + \left(141 a + 74\right)\cdot 193^{18} + \left(31 a + 50\right)\cdot 193^{19} + \left(19 a + 36\right)\cdot 193^{20} + \left(32 a + 138\right)\cdot 193^{21} + \left(145 a + 53\right)\cdot 193^{22} + \left(127 a + 132\right)\cdot 193^{23} + \left(154 a + 38\right)\cdot 193^{24} + \left(131 a + 127\right)\cdot 193^{25} + \left(183 a + 19\right)\cdot 193^{26} + \left(63 a + 75\right)\cdot 193^{27} + \left(17 a + 3\right)\cdot 193^{28} + \left(142 a + 98\right)\cdot 193^{29} + \left(17 a + 180\right)\cdot 193^{30} + \left(42 a + 11\right)\cdot 193^{31} + \left(166 a + 161\right)\cdot 193^{32} + \left(164 a + 101\right)\cdot 193^{33} + \left(87 a + 11\right)\cdot 193^{34} + \left(67 a + 184\right)\cdot 193^{35} + \left(97 a + 27\right)\cdot 193^{36} + \left(158 a + 107\right)\cdot 193^{37} + \left(57 a + 103\right)\cdot 193^{38} + \left(87 a + 122\right)\cdot 193^{39} + \left(75 a + 176\right)\cdot 193^{40} + \left(180 a + 134\right)\cdot 193^{41} + \left(180 a + 114\right)\cdot 193^{42} + \left(165 a + 63\right)\cdot 193^{43} + \left(158 a + 86\right)\cdot 193^{44} + \left(134 a + 40\right)\cdot 193^{45} + \left(157 a + 2\right)\cdot 193^{46} + \left(191 a + 178\right)\cdot 193^{47} +O\left(193^{ 48 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(2,4)$ |
| $(2,4,5,8)$ |
| $(1,2)(3,4)(5,6)(7,8)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character values |
| | |
$c1$ |
| $1$ |
$1$ |
$()$ |
$6$ |
| $6$ |
$2$ |
$(1,6)(3,7)$ |
$2$ |
| $9$ |
$2$ |
$(1,6)(2,5)(3,7)(4,8)$ |
$-2$ |
| $12$ |
$2$ |
$(2,4)$ |
$-4$ |
| $24$ |
$2$ |
$(1,2)(3,4)(5,6)(7,8)$ |
$0$ |
| $36$ |
$2$ |
$(1,3)(2,4)$ |
$2$ |
| $36$ |
$2$ |
$(1,6)(2,4)(3,7)$ |
$0$ |
| $16$ |
$3$ |
$(2,5,8)$ |
$3$ |
| $64$ |
$3$ |
$(2,5,8)(3,6,7)$ |
$0$ |
| $12$ |
$4$ |
$(1,3,6,7)$ |
$-2$ |
| $36$ |
$4$ |
$(1,3,6,7)(2,4,5,8)$ |
$-2$ |
| $36$ |
$4$ |
$(1,6)(2,4,5,8)(3,7)$ |
$2$ |
| $72$ |
$4$ |
$(1,5,6,2)(3,8,7,4)$ |
$0$ |
| $72$ |
$4$ |
$(1,3,6,7)(2,4)$ |
$0$ |
| $144$ |
$4$ |
$(1,2,3,4)(5,6)(7,8)$ |
$0$ |
| $48$ |
$6$ |
$(1,6)(2,8,5)(3,7)$ |
$-1$ |
| $96$ |
$6$ |
$(2,4)(3,7,6)$ |
$-1$ |
| $192$ |
$6$ |
$(1,4)(2,3,5,6,8,7)$ |
$0$ |
| $144$ |
$8$ |
$(1,4,3,5,6,8,7,2)$ |
$0$ |
| $96$ |
$12$ |
$(1,3,6,7)(2,5,8)$ |
$1$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
