Galois orbit of Artin representations 6.3e3_7e2_211e4.12t108.2

• Label: 6.3e3_7e2_211e4.12t108.2
• Dimension: 6
• Group: $V_4^2:(S_3\times C_2)$
• Conductor: $ 3^{3} \cdot 7^{2} \cdot 211^{4}$
• Frobenius-Schur indicator: 1

Basic invariants

Dimension:	$6$
Group:	$V_4^2:(S_3\times C_2)$
Conductor:	$2622344020443= 3^{3} \cdot 7^{2} \cdot 211^{4} $
Artin number field:	Splitting field of $f= x^{8} - x^{7} - 6 x^{5} + 3 x^{4} + 8 x^{3} + 20 x^{2} + 17 x + 7 $ over $\Q$
Size of Galois orbit:	1
Smallest containing permutation representation:	12T108
Parity:	Odd

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 13 }$ to precision 42.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 13 }$: $ x^{3} + 2 x + 11 $

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	$ 2 + 8\cdot 13^{2} + 11\cdot 13^{3} + 9\cdot 13^{4} + 5\cdot 13^{5} + 11\cdot 13^{7} + 3\cdot 13^{8} + 11\cdot 13^{9} + 10\cdot 13^{10} + 8\cdot 13^{11} + 10\cdot 13^{12} + 8\cdot 13^{13} + 3\cdot 13^{14} + 5\cdot 13^{15} + 10\cdot 13^{16} + 6\cdot 13^{17} + 9\cdot 13^{18} + 12\cdot 13^{19} + 8\cdot 13^{21} + 7\cdot 13^{22} + 5\cdot 13^{23} + 12\cdot 13^{24} + 10\cdot 13^{25} + 3\cdot 13^{26} + 13^{27} + 3\cdot 13^{28} + 10\cdot 13^{29} + 6\cdot 13^{30} + 11\cdot 13^{31} + 2\cdot 13^{32} + 10\cdot 13^{33} + 6\cdot 13^{34} + 6\cdot 13^{36} + 11\cdot 13^{37} + 13^{38} + 3\cdot 13^{39} + 8\cdot 13^{40} + 11\cdot 13^{41} +O\left(13^{ 42 }\right)$
$r_{ 2 }$	$=$	$ 11 a^{2} + 9 a + \left(a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 13 + \left(a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{2} + \left(8 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{3} + \left(11 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{4} + \left(10 a + 7\right)\cdot 13^{5} + \left(3 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{6} + \left(4 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{7} + \left(6 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{8} + \left(a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{9} + \left(4 a + 8\right)\cdot 13^{10} + \left(5 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{11} + \left(9 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 13^{12} + \left(8 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{13} + \left(4 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 13^{14} + \left(7 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{15} + \left(4 a + 6\right)\cdot 13^{16} + \left(2 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{17} + \left(4 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{18} + \left(6 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{19} + \left(8 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{20} + \left(11 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{21} + \left(10 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{22} + \left(4 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{23} + \left(10 a + 3\right)\cdot 13^{24} + \left(4 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 13^{25} + \left(2 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 13^{26} + \left(5 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{27} + \left(4 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{28} + \left(4 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{29} + \left(4 a + 5\right)\cdot 13^{30} + \left(5 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{31} + \left(4 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{32} + \left(a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 13^{33} + \left(a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{34} + \left(9 a^{2} + 11 a\right)\cdot 13^{35} + \left(5 a^{2} + 3 a\right)\cdot 13^{36} + \left(8 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{37} + \left(a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 13^{38} + \left(4 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{39} + \left(2 a^{2} + 2 a\right)\cdot 13^{40} + \left(a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{41} +O\left(13^{ 42 }\right)$
$r_{ 3 }$	$=$	$ 4 a^{2} + 8 a + 7 + \left(a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13 + \left(6 a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{2} + \left(9 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 13^{3} + \left(12 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{4} + \left(12 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{5} + \left(2 a^{2} + 6 a\right)\cdot 13^{6} + \left(12 a^{2} + 9\right)\cdot 13^{7} + \left(9 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{8} + \left(8 a + 4\right)\cdot 13^{9} + \left(12 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{10} + \left(8 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{11} + \left(7 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 13^{12} + \left(a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{13} + \left(a^{2} + 11 a\right)\cdot 13^{14} + \left(11 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{15} + \left(2 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 13^{16} + \left(5 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{17} + \left(12 a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{18} + \left(4 a^{2} + 4 a\right)\cdot 13^{19} + \left(2 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 13^{20} + \left(6 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{21} + \left(7 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{22} + \left(a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{23} + \left(4 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 13^{24} + \left(12 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{25} + \left(12 a^{2} + 3 a\right)\cdot 13^{26} + \left(11 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{27} + \left(9 a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{28} + \left(5 a + 11\right)\cdot 13^{29} + \left(5 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{30} + \left(5 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{31} + \left(4 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 13^{32} + \left(8 a^{2} + 9\right)\cdot 13^{33} + \left(8 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{34} + \left(11 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{35} + \left(5 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{36} + \left(5 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 13^{37} + \left(10 a + 6\right)\cdot 13^{38} + \left(8 a + 1\right)\cdot 13^{39} + \left(a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{40} + \left(11 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{41} +O\left(13^{ 42 }\right)$
$r_{ 4 }$	$=$	$ 8 a^{2} + 8 + \left(10 a^{2} + 1\right)\cdot 13 + \left(8 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{2} + \left(7 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{3} + \left(a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{4} + \left(6 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{5} + \left(2 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{6} + \left(3 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{7} + \left(9 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 13^{8} + \left(8 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 13^{9} + \left(a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 13^{10} + \left(3 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{11} + \left(3 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 13^{12} + \left(6 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13^{13} + \left(8 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{14} + \left(11 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{15} + \left(a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 13^{16} + \left(6 a + 5\right)\cdot 13^{17} + \left(5 a^{2} + 3 a\right)\cdot 13^{18} + \left(6 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{19} + \left(12 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{20} + \left(6 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 13^{21} + 11\cdot 13^{22} + \left(10 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{23} + \left(a^{2} + 6 a\right)\cdot 13^{24} + \left(4 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{25} + \left(12 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{26} + \left(a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{27} + \left(12 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{28} + \left(12 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{29} + \left(12 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{30} + \left(a^{2} + 4\right)\cdot 13^{31} + \left(4 a + 3\right)\cdot 13^{32} + \left(a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{33} + \left(3 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 13^{34} + \left(5 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 13^{35} + \left(10 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{36} + \left(8 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 13^{37} + \left(12 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{38} + \left(7 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{39} + \left(10 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{40} + \left(6 a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{41} +O\left(13^{ 42 }\right)$
$r_{ 5 }$	$=$	$ 12 + 9\cdot 13 + 6\cdot 13^{2} + 6\cdot 13^{3} + 3\cdot 13^{4} + 3\cdot 13^{5} + 13^{6} + 3\cdot 13^{8} + 10\cdot 13^{9} + 13^{10} + 3\cdot 13^{11} + 5\cdot 13^{13} + 10\cdot 13^{14} + 7\cdot 13^{15} + 12\cdot 13^{16} + 8\cdot 13^{17} + 5\cdot 13^{18} + 3\cdot 13^{19} + 4\cdot 13^{20} + 12\cdot 13^{21} + 5\cdot 13^{22} + 4\cdot 13^{23} + 8\cdot 13^{24} + 7\cdot 13^{25} + 7\cdot 13^{26} + 12\cdot 13^{27} + 10\cdot 13^{28} + 13^{29} + 7\cdot 13^{30} + 9\cdot 13^{31} + 10\cdot 13^{32} + 9\cdot 13^{33} + 2\cdot 13^{34} + 2\cdot 13^{35} + 8\cdot 13^{36} + 13^{38} + 12\cdot 13^{39} + 4\cdot 13^{40} + 13^{41} +O\left(13^{ 42 }\right)$
$r_{ 6 }$	$=$	$ 6 a^{2} + 4 a + 2 + \left(10 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13 + \left(9 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{2} + \left(4 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{3} + \left(9 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 13^{4} + \left(7 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 13^{5} + \left(7 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{6} + \left(5 a + 12\right)\cdot 13^{7} + \left(11 a + 8\right)\cdot 13^{8} + \left(2 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 13^{9} + \left(12 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 13^{10} + \left(9 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 13^{11} + \left(9 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 13^{12} + \left(9 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{13} + \left(12 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 13^{14} + \left(2 a^{2} + 11 a\right)\cdot 13^{15} + \left(11 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{16} + \left(6 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 13^{17} + \left(3 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 13^{18} + \left(10 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 13^{19} + \left(8 a^{2} + 1\right)\cdot 13^{20} + \left(11 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{21} + \left(3 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 13^{22} + \left(9 a^{2} + 7\right)\cdot 13^{23} + \left(6 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{24} + \left(11 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{25} + \left(6 a^{2} + 7 a\right)\cdot 13^{26} + \left(7 a^{2} + a + 9\right)\cdot 13^{27} + \left(3 a + 8\right)\cdot 13^{28} + \left(4 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{29} + \left(a + 9\right)\cdot 13^{30} + \left(11 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{31} + \left(2 a^{2} + 4\right)\cdot 13^{32} + \left(9 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{33} + \left(6 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{34} + \left(2 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{35} + \left(6 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{36} + \left(8 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{37} + \left(6 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 13^{38} + \left(5 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{39} + \left(9 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 13^{40} + \left(11 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{41} +O\left(13^{ 42 }\right)$
$r_{ 7 }$	$=$	$ a^{2} + 5 a + 3 + \left(a^{2} + 6\right)\cdot 13 + \left(11 a^{2} + a + 10\right)\cdot 13^{2} + \left(8 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{3} + \left(11 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{4} + \left(6 a^{2} + 12 a\right)\cdot 13^{5} + \left(7 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{6} + \left(10 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{7} + \left(6 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{8} + \left(3 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{9} + \left(12 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 13^{10} + \left(8 a + 10\right)\cdot 13^{11} + \left(2 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 13^{12} + \left(5 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{13} + \left(3 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{14} + \left(3 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{15} + \left(8 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 13^{16} + \left(7 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{17} + \left(8 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13^{18} + \left(a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{19} + \left(11 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{20} + \left(12 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{21} + \left(4 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{22} + \left(a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{23} + \left(7 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{24} + \left(9 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{25} + \left(5 a + 6\right)\cdot 13^{26} + \left(12 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{27} + \left(3 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{28} + \left(12 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{29} + \left(7 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{30} + \left(5 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{31} + \left(8 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{32} + \left(3 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 13^{33} + \left(a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 13^{34} + 9 a^{2}13^{35} + \left(9 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{36} + \left(11 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{37} + \left(12 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{38} + \left(4 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 13^{39} + \left(a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 13^{40} + \left(8 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 13^{41} +O\left(13^{ 42 }\right)$
$r_{ 8 }$	$=$	$ 9 a^{2} + 6 + \left(4 a + 1\right)\cdot 13 + \left(2 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{2} + \left(11 a + 6\right)\cdot 13^{3} + \left(5 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{4} + \left(4 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{5} + \left(2 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 13^{6} + \left(8 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{7} + \left(6 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{8} + \left(9 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 13^{9} + \left(4 a + 1\right)\cdot 13^{10} + \left(11 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{11} + \left(6 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{12} + \left(7 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{13} + \left(8 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{14} + \left(2 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{15} + \left(a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 13^{16} + \left(4 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{17} + \left(5 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 13^{18} + \left(9 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{19} + \left(8 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{20} + \left(2 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 13^{21} + \left(11 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{22} + \left(11 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 13^{23} + \left(5 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 13^{24} + \left(10 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{25} + \left(3 a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{26} + \left(4 a + 8\right)\cdot 13^{27} + \left(8 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{28} + \left(4 a^{2} + a + 9\right)\cdot 13^{29} + \left(12 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{30} + \left(9 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{31} + \left(5 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 13^{32} + \left(2 a^{2} + 11\right)\cdot 13^{33} + \left(5 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{34} + \left(a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{35} + \left(a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{36} + \left(9 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{37} + \left(4 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{38} + \left(3 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{39} + \left(a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 13^{40} +O\left(13^{ 42 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

Cycle notation

$(1,4)(2,3)(5,6)(7,8)$

$(1,2)(6,8)$

$(2,8,6)(3,5,4)$

$(3,7)(4,5)$

$(3,4)(5,7)$

$(3,4)(6,8)$

$(1,6)(2,8)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$	Character values
			$c1$
$1$	$1$	$()$	$6$
$3$	$2$	$(1,2)(3,4)(5,7)(6,8)$	$-2$
$4$	$2$	$(1,4)(2,3)(5,6)(7,8)$	$0$
$6$	$2$	$(3,7)(4,5)$	$2$
$6$	$2$	$(1,8)(2,6)(3,7)(4,5)$	$-2$
$12$	$2$	$(1,4)(2,3)(5,8)(6,7)$	$0$
$12$	$2$	$(2,6)(4,7)$	$-2$
$32$	$3$	$(1,8,2)(3,5,4)$	$0$
$12$	$4$	$(1,3,2,4)(5,8,7,6)$	$0$
$12$	$4$	$(1,4,6,5)(2,3,8,7)$	$0$
$12$	$4$	$(1,8,2,6)(3,7,4,5)$	$2$
$24$	$4$	$(3,7,4,5)(6,8)$	$0$
$24$	$4$	$(1,3,8,7)(2,4,6,5)$	$0$
$32$	$6$	$(1,7,8,3,6,5)(2,4)$	$0$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.