Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 19 }$ to precision 35.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 19 }$: $ x^{3} + 4 x + 17 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 9 a^{2} + 2 a + 4 + \left(2 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 19 + \left(11 a + 12\right)\cdot 19^{2} + \left(6 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 19^{3} + \left(a^{2} + 9 a + 17\right)\cdot 19^{4} + \left(14 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 19^{5} + \left(4 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 19^{6} + \left(10 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 19^{7} + \left(4 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 19^{8} + \left(6 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 19^{9} + \left(10 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 19^{10} + \left(3 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 19^{11} + \left(6 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 19^{12} + \left(15 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 19^{13} + \left(2 a^{2} + 14 a\right)\cdot 19^{14} + \left(15 a^{2} + 18 a + 10\right)\cdot 19^{15} + \left(10 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 19^{16} + \left(3 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 19^{17} + \left(12 a^{2} + 16 a + 17\right)\cdot 19^{18} + \left(7 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 19^{19} + \left(11 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 19^{20} + \left(a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 19^{21} + \left(8 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 19^{22} + \left(4 a^{2} + 6\right)\cdot 19^{23} + \left(6 a^{2} + 17 a + 1\right)\cdot 19^{24} + \left(14 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 19^{25} + \left(3 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 19^{26} + \left(17 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 19^{27} + \left(18 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 19^{28} + \left(2 a + 4\right)\cdot 19^{29} + \left(3 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 19^{30} + \left(3 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 19^{31} + \left(17 a^{2} + 18 a + 2\right)\cdot 19^{32} + \left(3 a^{2} + a + 7\right)\cdot 19^{33} + \left(13 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 19^{34} +O\left(19^{ 35 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 7 a^{2} + 12 + \left(17 a^{2} + 13 a\right)\cdot 19 + \left(18 a + 7\right)\cdot 19^{2} + \left(14 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 19^{3} + \left(a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 19^{4} + \left(9 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 19^{5} + \left(4 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 19^{6} + \left(13 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 19^{7} + \left(8 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 19^{8} + \left(14 a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 19^{9} + \left(16 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 19^{10} + \left(13 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 19^{11} + \left(14 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 19^{12} + \left(a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 19^{13} + \left(18 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 19^{14} + \left(5 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 19^{15} + \left(13 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 19^{16} + \left(7 a^{2} + a + 1\right)\cdot 19^{17} + \left(18 a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 19^{18} + \left(10 a^{2} + a + 17\right)\cdot 19^{19} + \left(12 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 19^{20} + \left(8 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 19^{21} + \left(7 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 19^{22} + \left(3 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 19^{23} + \left(10 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 19^{24} + \left(2 a^{2} + 15\right)\cdot 19^{25} + \left(5 a^{2} + 18\right)\cdot 19^{26} + \left(10 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 19^{27} + \left(9 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 19^{28} + \left(13 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 19^{29} + \left(12 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 19^{30} + \left(10 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 19^{31} + \left(14 a + 1\right)\cdot 19^{32} + \left(5 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 19^{33} + \left(11 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 19^{34} +O\left(19^{ 35 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 17 a^{2} + 10 a + 7 + \left(7 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 19 + \left(14 a^{2} + 9 a + 17\right)\cdot 19^{2} + \left(17 a^{2} + 2 a + 18\right)\cdot 19^{3} + \left(15 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 19^{4} + \left(8 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 19^{5} + \left(11 a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 19^{6} + \left(17 a^{2} + 18 a + 13\right)\cdot 19^{7} + \left(3 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 19^{8} + \left(4 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 19^{9} + \left(17 a^{2} + 17\right)\cdot 19^{10} + \left(2 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 19^{11} + \left(8 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 19^{12} + \left(5 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 19^{13} + \left(5 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 19^{14} + \left(a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 19^{15} + \left(16 a^{2} + 7 a\right)\cdot 19^{16} + \left(7 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 19^{17} + \left(17 a^{2} + a + 6\right)\cdot 19^{18} + \left(18 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 19^{19} + \left(6 a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 19^{20} + \left(7 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 19^{21} + \left(5 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 19^{22} + \left(18 a^{2} + 10 a + 18\right)\cdot 19^{23} + \left(6 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 19^{24} + \left(5 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 19^{25} + \left(4 a^{2} + 18 a + 10\right)\cdot 19^{26} + \left(18 a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 19^{27} + \left(10 a^{2} + 18 a + 9\right)\cdot 19^{28} + \left(8 a^{2} + a + 7\right)\cdot 19^{29} + \left(5 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 19^{30} + \left(7 a^{2} + 7\right)\cdot 19^{31} + \left(15 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 19^{32} + \left(8 a^{2} + 6\right)\cdot 19^{33} + \left(13 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 19^{34} +O\left(19^{ 35 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 5 a^{2} + 6 a + 6 + \left(3 a^{2} + 9 a\right)\cdot 19 + \left(13 a^{2} + 16\right)\cdot 19^{2} + \left(14 a^{2} + a + 1\right)\cdot 19^{3} + \left(5 a^{2} + 9 a + 17\right)\cdot 19^{4} + \left(3 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 19^{5} + \left(5 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 19^{6} + \left(7 a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 19^{7} + \left(15 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 19^{8} + \left(13 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 19^{9} + \left(a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 19^{10} + \left(9 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 19^{11} + \left(4 a^{2} + 10 a\right)\cdot 19^{12} + \left(9 a^{2} + 14 a + 18\right)\cdot 19^{13} + \left(2 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 19^{14} + \left(12 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 19^{15} + \left(17 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 19^{16} + \left(7 a^{2} + a + 17\right)\cdot 19^{17} + \left(15 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 19^{18} + \left(a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 19^{19} + \left(a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 19^{20} + \left(14 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 19^{21} + \left(15 a^{2} + 2\right)\cdot 19^{22} + \left(4 a + 16\right)\cdot 19^{23} + \left(12 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 19^{24} + \left(15 a^{2} + 18 a + 7\right)\cdot 19^{25} + \left(7 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 19^{26} + \left(11 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 19^{27} + \left(a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 19^{28} + \left(a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 19^{29} + \left(8 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 19^{30} + \left(7 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 19^{31} + \left(8 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 19^{32} + \left(3 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 19^{33} + \left(2 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 19^{34} +O\left(19^{ 35 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 9 + 13\cdot 19^{2} + 9\cdot 19^{3} + 6\cdot 19^{4} + 2\cdot 19^{5} + 15\cdot 19^{6} + 8\cdot 19^{7} + 13\cdot 19^{8} + 9\cdot 19^{9} + 17\cdot 19^{10} + 18\cdot 19^{11} + 10\cdot 19^{12} + 13\cdot 19^{13} + 14\cdot 19^{14} + 8\cdot 19^{15} + 6\cdot 19^{16} + 4\cdot 19^{17} + 18\cdot 19^{18} + 2\cdot 19^{20} + 16\cdot 19^{21} + 16\cdot 19^{22} + 8\cdot 19^{23} + 5\cdot 19^{24} + 10\cdot 19^{25} + 16\cdot 19^{26} + 12\cdot 19^{27} + 8\cdot 19^{28} + 16\cdot 19^{29} + 3\cdot 19^{30} + 5\cdot 19^{31} + 11\cdot 19^{32} + 13\cdot 19^{33} + 17\cdot 19^{34} +O\left(19^{ 35 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 15 + 9\cdot 19 + 11\cdot 19^{2} + 16\cdot 19^{3} + 12\cdot 19^{4} + 7\cdot 19^{5} + 14\cdot 19^{6} + 19^{7} + 13\cdot 19^{8} + 11\cdot 19^{9} + 9\cdot 19^{10} + 13\cdot 19^{11} + 2\cdot 19^{12} + 7\cdot 19^{13} + 2\cdot 19^{14} + 19^{15} + 19^{16} + 7\cdot 19^{17} + 15\cdot 19^{18} + 19^{19} + 13\cdot 19^{20} + 10\cdot 19^{21} + 14\cdot 19^{22} + 2\cdot 19^{23} + 18\cdot 19^{24} + 6\cdot 19^{25} + 18\cdot 19^{26} + 8\cdot 19^{27} + 14\cdot 19^{28} + 4\cdot 19^{29} + 4\cdot 19^{30} + 13\cdot 19^{31} + 4\cdot 19^{32} + 8\cdot 19^{33} + 3\cdot 19^{34} +O\left(19^{ 35 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 5 a^{2} + 11 a + 6 + \left(13 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 19 + \left(5 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 19^{2} + \left(17 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 19^{3} + \left(11 a^{2} + 8\right)\cdot 19^{4} + \left(a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 19^{5} + \left(9 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 19^{6} + \left(a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 19^{7} + \left(18 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 19^{8} + \left(17 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 19^{9} + \left(6 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 19^{10} + \left(6 a^{2} + 16 a + 10\right)\cdot 19^{11} + \left(8 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 19^{12} + \left(13 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 19^{13} + \left(13 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 19^{14} + \left(10 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 19^{15} + \left(9 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 19^{16} + \left(7 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 19^{17} + \left(10 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 19^{18} + \left(9 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 19^{19} + \left(6 a^{2} + a + 3\right)\cdot 19^{20} + \left(3 a^{2} + 18 a\right)\cdot 19^{21} + \left(14 a^{2} + 13 a + 17\right)\cdot 19^{22} + \left(13 a^{2} + 14 a + 18\right)\cdot 19^{23} + \left(18 a + 11\right)\cdot 19^{24} + \left(8 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 19^{25} + \left(7 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 19^{26} + \left(9 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 19^{27} + \left(17 a^{2} + a + 1\right)\cdot 19^{28} + \left(16 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 19^{29} + \left(7 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 19^{30} + \left(8 a^{2} + 14 a + 9\right)\cdot 19^{31} + \left(12 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 19^{32} + \left(11 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 19^{33} + \left(3 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 19^{34} +O\left(19^{ 35 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 14 a^{2} + 9 a + 18 + \left(12 a^{2} + 10 a\right)\cdot 19 + \left(3 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 19^{2} + \left(6 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 19^{3} + \left(a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 19^{4} + \left(a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 19^{5} + \left(3 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 19^{6} + \left(7 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 19^{7} + \left(6 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 19^{8} + 12\cdot 19^{9} + \left(4 a^{2} + 6 a + 13\right)\cdot 19^{10} + \left(2 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 19^{11} + \left(15 a^{2} + a + 9\right)\cdot 19^{12} + \left(11 a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 19^{13} + \left(14 a^{2} + a + 14\right)\cdot 19^{14} + \left(11 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 19^{15} + \left(8 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 19^{16} + \left(3 a^{2} + a + 15\right)\cdot 19^{17} + \left(2 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 19^{18} + \left(8 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 19^{19} + \left(18 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 19^{20} + \left(2 a^{2} + 18 a + 7\right)\cdot 19^{21} + \left(6 a^{2} + a + 1\right)\cdot 19^{22} + \left(16 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 19^{23} + \left(a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 19^{24} + \left(11 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 19^{25} + \left(9 a^{2} + 5\right)\cdot 19^{26} + \left(9 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 19^{27} + \left(17 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 19^{28} + \left(15 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 19^{29} + \left(3 a + 16\right)\cdot 19^{30} + \left(a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 19^{31} + \left(3 a^{2} + 17 a + 1\right)\cdot 19^{32} + \left(5 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 19^{33} + \left(13 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 19^{34} +O\left(19^{ 35 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(1,7)(4,6)$ |
| $(1,7,6)(3,5,8)$ |
| $(2,8)(3,5)$ |
| $(5,8)(6,7)$ |
| $(1,8)(2,4)(3,6)(5,7)$ |
| $(2,3)(5,8)$ |
| $(1,6)(4,7)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character values |
| | |
$c1$ |
| $1$ |
$1$ |
$()$ |
$6$ |
| $3$ |
$2$ |
$(1,6)(2,5)(3,8)(4,7)$ |
$-2$ |
| $4$ |
$2$ |
$(1,3)(2,4)(5,7)(6,8)$ |
$0$ |
| $6$ |
$2$ |
$(2,3)(5,8)$ |
$2$ |
| $6$ |
$2$ |
$(1,7)(2,3)(4,6)(5,8)$ |
$-2$ |
| $12$ |
$2$ |
$(1,8)(2,4)(3,6)(5,7)$ |
$0$ |
| $12$ |
$2$ |
$(5,8)(6,7)$ |
$2$ |
| $32$ |
$3$ |
$(1,7,6)(2,5,3)$ |
$0$ |
| $12$ |
$4$ |
$(1,8,6,3)(2,7,5,4)$ |
$0$ |
| $12$ |
$4$ |
$(1,6,4,7)(2,8,3,5)$ |
$-2$ |
| $12$ |
$4$ |
$(1,3,6,8)(2,7,5,4)$ |
$0$ |
| $24$ |
$4$ |
$(1,8,7,5)(2,6,3,4)$ |
$0$ |
| $24$ |
$4$ |
$(2,8,3,5)(6,7)$ |
$0$ |
| $32$ |
$6$ |
$(1,8,7,3,6,5)(2,4)$ |
$0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
