Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 43 }$ to precision 13.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 43 }$: $ x^{3} + x + 40 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 3 + 5\cdot 43 + 23\cdot 43^{2} + 8\cdot 43^{3} + 31\cdot 43^{4} + 12\cdot 43^{6} + 21\cdot 43^{7} + 26\cdot 43^{8} + 5\cdot 43^{9} + 39\cdot 43^{10} + 28\cdot 43^{11} + 14\cdot 43^{12} +O\left(43^{ 13 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 9 + 32\cdot 43 + 14\cdot 43^{2} + 38\cdot 43^{3} + 8\cdot 43^{4} + 32\cdot 43^{5} + 20\cdot 43^{6} + 15\cdot 43^{7} + 36\cdot 43^{8} + 17\cdot 43^{9} + 14\cdot 43^{10} + 16\cdot 43^{11} + 36\cdot 43^{12} +O\left(43^{ 13 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 16 a^{2} + 7 a + 41 + \left(31 a^{2} + 19 a + 32\right)\cdot 43 + \left(29 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 43^{2} + \left(23 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 43^{3} + \left(16 a^{2} + 28 a + 30\right)\cdot 43^{4} + \left(4 a^{2} + 14 a + 38\right)\cdot 43^{5} + \left(11 a^{2} + 23 a + 12\right)\cdot 43^{6} + \left(42 a^{2} + 18 a + 15\right)\cdot 43^{7} + \left(41 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 43^{8} + \left(17 a + 18\right)\cdot 43^{9} + \left(16 a^{2} + 40 a + 8\right)\cdot 43^{10} + \left(5 a^{2} + 28 a + 26\right)\cdot 43^{11} + \left(19 a^{2} + 19 a + 13\right)\cdot 43^{12} +O\left(43^{ 13 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 32 a^{2} + 24 a + 23 + \left(32 a^{2} + 8 a + 19\right)\cdot 43 + \left(19 a^{2} + 36 a + 16\right)\cdot 43^{2} + \left(7 a^{2} + 20 a + 35\right)\cdot 43^{3} + \left(17 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 43^{4} + \left(23 a^{2} + 4 a + 37\right)\cdot 43^{5} + \left(35 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 43^{6} + \left(3 a^{2} + 9 a + 18\right)\cdot 43^{7} + \left(16 a^{2} + 20 a + 41\right)\cdot 43^{8} + \left(24 a^{2} + a + 4\right)\cdot 43^{9} + \left(27 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 43^{10} + \left(38 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 43^{11} + \left(5 a^{2} + 19 a + 19\right)\cdot 43^{12} +O\left(43^{ 13 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 41 a^{2} + 14 a + 35 + \left(28 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 43 + \left(16 a^{2} + 36 a + 22\right)\cdot 43^{2} + \left(26 a^{2} + a + 3\right)\cdot 43^{3} + \left(18 a^{2} + 12 a + 19\right)\cdot 43^{4} + \left(36 a^{2} + 32\right)\cdot 43^{5} + \left(32 a^{2} + 38 a + 19\right)\cdot 43^{6} + \left(3 a^{2} + 40 a + 35\right)\cdot 43^{7} + \left(36 a^{2} + 8 a + 26\right)\cdot 43^{8} + \left(19 a^{2} + 42 a + 9\right)\cdot 43^{9} + \left(4 a^{2} + 21 a + 7\right)\cdot 43^{10} + \left(20 a^{2} + 28 a + 16\right)\cdot 43^{11} + \left(9 a^{2} + 39 a + 18\right)\cdot 43^{12} +O\left(43^{ 13 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 35 a^{2} + 6 a + 31 + \left(14 a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 43 + \left(34 a^{2} + 34 a + 5\right)\cdot 43^{2} + \left(40 a^{2} + 6 a + 13\right)\cdot 43^{3} + \left(32 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 43^{4} + \left(27 a^{2} + 42 a + 12\right)\cdot 43^{5} + \left(18 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 43^{6} + \left(24 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 43^{7} + \left(24 a^{2} + 19 a + 19\right)\cdot 43^{8} + \left(8 a^{2} + 23 a + 16\right)\cdot 43^{9} + \left(28 a^{2} + 37\right)\cdot 43^{10} + \left(11 a^{2} + 6 a + 24\right)\cdot 43^{11} + \left(33 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 43^{12} +O\left(43^{ 13 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 10 a^{2} + 23 a + \left(42 a^{2} + 35 a + 37\right)\cdot 43 + \left(34 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 43^{2} + \left(18 a^{2} + 34 a + 27\right)\cdot 43^{3} + \left(34 a^{2} + 17 a + 29\right)\cdot 43^{4} + \left(21 a^{2} + 22\right)\cdot 43^{5} + \left(34 a^{2} + 42 a + 6\right)\cdot 43^{6} + \left(14 a^{2} + 38 a + 14\right)\cdot 43^{7} + \left(25 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 43^{8} + \left(14 a^{2} + 20 a + 6\right)\cdot 43^{9} + \left(10 a^{2} + 20 a + 11\right)\cdot 43^{10} + \left(11 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 43^{11} + \left(33 a + 12\right)\cdot 43^{12} +O\left(43^{ 13 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 7 + 29\cdot 43 + 4\cdot 43^{2} + 33\cdot 43^{3} + 11\cdot 43^{4} + 7\cdot 43^{5} + 32\cdot 43^{7} + 8\cdot 43^{8} + 21\cdot 43^{9} + 26\cdot 43^{10} + 7\cdot 43^{11} + 39\cdot 43^{12} +O\left(43^{ 13 }\right)$ |
| $r_{ 9 }$ |
$=$ |
$ 38 a^{2} + 12 a + 27 + \left(21 a^{2} + 15 a + 26\right)\cdot 43 + \left(36 a^{2} + 36 a + 27\right)\cdot 43^{2} + \left(11 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 43^{3} + \left(9 a^{2} + 7 a + 25\right)\cdot 43^{4} + \left(15 a^{2} + 24 a + 31\right)\cdot 43^{5} + \left(39 a^{2} + 5 a + 31\right)\cdot 43^{6} + \left(39 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 43^{7} + \left(27 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 43^{8} + \left(17 a^{2} + 24 a + 29\right)\cdot 43^{9} + \left(42 a^{2} + 33 a + 11\right)\cdot 43^{10} + \left(41 a^{2} + 10 a + 36\right)\cdot 43^{11} + \left(17 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 43^{12} +O\left(43^{ 13 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 9 }$
| Cycle notation |
| $(1,2,8)(3,4,9)(5,6,7)$ |
| $(3,9,4)(5,6,7)$ |
| $(1,3,7)(2,4,5)(6,8,9)$ |
| $(1,2)(3,5)(4,7)(6,9)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 9 }$
| Character values |
| | |
$c1$ |
| $1$ |
$1$ |
$()$ |
$6$ |
| $9$ |
$2$ |
$(1,2)(3,5)(4,7)(6,9)$ |
$0$ |
| $2$ |
$3$ |
$(1,2,8)(3,4,9)(5,6,7)$ |
$-3$ |
| $3$ |
$3$ |
$(1,2,8)(3,9,4)$ |
$0$ |
| $3$ |
$3$ |
$(1,8,2)(3,4,9)$ |
$0$ |
| $6$ |
$3$ |
$(1,3,7)(2,4,5)(6,8,9)$ |
$0$ |
| $6$ |
$3$ |
$(1,9,7)(2,3,5)(4,6,8)$ |
$0$ |
| $6$ |
$3$ |
$(1,7,9)(2,5,3)(4,8,6)$ |
$0$ |
| $9$ |
$6$ |
$(1,3,2,9,8,4)(6,7)$ |
$0$ |
| $9$ |
$6$ |
$(1,4,8,9,2,3)(6,7)$ |
$0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
