Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 43 }$ to precision 12.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 43 }$: $ x^{3} + x + 40 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 18 a^{2} + 10 a + 34 + \left(13 a^{2} + 28 a\right)\cdot 43 + \left(11 a^{2} + 23 a + 7\right)\cdot 43^{2} + \left(5 a^{2} + 24 a + 12\right)\cdot 43^{3} + \left(41 a^{2} + 22 a\right)\cdot 43^{4} + \left(35 a^{2} + 27 a + 34\right)\cdot 43^{5} + \left(22 a^{2} + 39 a + 13\right)\cdot 43^{6} + \left(26 a^{2} + a + 24\right)\cdot 43^{7} + \left(15 a^{2} + 28 a + 34\right)\cdot 43^{8} + \left(23 a^{2} + 14 a + 21\right)\cdot 43^{9} + \left(6 a^{2} + 8 a + 24\right)\cdot 43^{10} + \left(15 a^{2} + 15 a + 36\right)\cdot 43^{11} +O\left(43^{ 12 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 10 + 2\cdot 43 + 37\cdot 43^{2} + 17\cdot 43^{3} + 18\cdot 43^{4} + 39\cdot 43^{5} + 13\cdot 43^{6} + 26\cdot 43^{7} + 32\cdot 43^{8} + 33\cdot 43^{9} + 35\cdot 43^{10} + 14\cdot 43^{11} +O\left(43^{ 12 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 22 + 11\cdot 43 + 2\cdot 43^{2} + 21\cdot 43^{3} + 24\cdot 43^{4} + 25\cdot 43^{5} + 20\cdot 43^{6} + 34\cdot 43^{7} + 5\cdot 43^{8} + 18\cdot 43^{9} + 18\cdot 43^{10} + 24\cdot 43^{11} +O\left(43^{ 12 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 35 a^{2} + 39 a + 26 + \left(2 a^{2} + 27 a + 11\right)\cdot 43 + \left(42 a^{2} + 32 a + 34\right)\cdot 43^{2} + \left(16 a^{2} + 5 a + 37\right)\cdot 43^{3} + \left(7 a^{2} + 6 a + 26\right)\cdot 43^{4} + \left(7 a^{2} + 42 a + 26\right)\cdot 43^{5} + \left(31 a^{2} + 13 a + 18\right)\cdot 43^{6} + \left(7 a^{2} + 25 a + 15\right)\cdot 43^{7} + \left(13 a^{2} + 30 a + 3\right)\cdot 43^{8} + \left(42 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 43^{9} + \left(21 a^{2} + 41 a + 19\right)\cdot 43^{10} + \left(25 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 43^{11} +O\left(43^{ 12 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 26 + 24\cdot 43 + 29\cdot 43^{2} + 27\cdot 43^{3} + 15\cdot 43^{4} + 11\cdot 43^{5} + 19\cdot 43^{6} + 17\cdot 43^{7} + 34\cdot 43^{8} + 29\cdot 43^{9} + 18\cdot 43^{11} +O\left(43^{ 12 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 24 a^{2} + 7 a + 33 + \left(24 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 43 + \left(28 a^{2} + 21 a + 25\right)\cdot 43^{2} + \left(27 a^{2} + 24 a + 30\right)\cdot 43^{3} + \left(37 a^{2} + 38 a + 32\right)\cdot 43^{4} + \left(42 a^{2} + 2 a + 21\right)\cdot 43^{5} + \left(34 a^{2} + 40 a + 35\right)\cdot 43^{6} + \left(30 a^{2} + 16 a + 30\right)\cdot 43^{7} + \left(7 a^{2} + 32 a + 42\right)\cdot 43^{8} + \left(26 a^{2} + 25 a + 26\right)\cdot 43^{9} + \left(33 a^{2} + 19 a + 12\right)\cdot 43^{10} + \left(23 a^{2} + 23 a + 13\right)\cdot 43^{11} +O\left(43^{ 12 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 38 a^{2} + 33 + \left(23 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 43 + \left(41 a^{2} + 27 a + 27\right)\cdot 43^{2} + \left(24 a^{2} + 14 a + 39\right)\cdot 43^{3} + \left(29 a^{2} + 31 a + 6\right)\cdot 43^{4} + \left(11 a^{2} + 13 a + 32\right)\cdot 43^{5} + \left(23 a^{2} + 13 a + 42\right)\cdot 43^{6} + \left(23 a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 43^{7} + \left(41 a^{2} + 27 a + 23\right)\cdot 43^{8} + \left(24 a^{2} + 40 a + 8\right)\cdot 43^{9} + \left(40 a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 43^{10} + \left(7 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 43^{11} +O\left(43^{ 12 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 27 a^{2} + 40 a + 35 + \left(15 a^{2} + 5\right)\cdot 43 + \left(15 a^{2} + 32 a + 2\right)\cdot 43^{2} + \left(41 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 43^{3} + \left(40 a^{2} + 41 a + 6\right)\cdot 43^{4} + \left(35 a^{2} + 40 a + 17\right)\cdot 43^{5} + \left(19 a^{2} + 31 a + 25\right)\cdot 43^{6} + \left(4 a^{2} + 27\right)\cdot 43^{7} + \left(22 a^{2} + 23 a + 23\right)\cdot 43^{8} + \left(17 a^{2} + 9 a + 35\right)\cdot 43^{9} + \left(30 a^{2} + 25 a + 24\right)\cdot 43^{10} + \left(36 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 43^{11} +O\left(43^{ 12 }\right)$ |
| $r_{ 9 }$ |
$=$ |
$ 30 a^{2} + 33 a + 42 + \left(5 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 43 + \left(33 a^{2} + 35 a + 7\right)\cdot 43^{2} + \left(12 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 43^{3} + \left(15 a^{2} + 32 a + 40\right)\cdot 43^{4} + \left(38 a^{2} + a + 6\right)\cdot 43^{5} + \left(39 a^{2} + 33 a + 25\right)\cdot 43^{6} + \left(35 a^{2} + 26 a + 30\right)\cdot 43^{7} + \left(28 a^{2} + 30 a + 14\right)\cdot 43^{8} + \left(37 a^{2} + 30 a + 31\right)\cdot 43^{9} + \left(38 a^{2} + 15 a + 31\right)\cdot 43^{10} + \left(19 a^{2} + 15 a + 39\right)\cdot 43^{11} +O\left(43^{ 12 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 9 }$
| Cycle notation |
| $(2,3,5)(4,6,8)$ |
| $(1,9)(3,5)(4,6)$ |
| $(1,5,8)(2,6,7)(3,4,9)$ |
| $(1,9,7)(2,3,5)$ |
| $(2,6)(3,4)(5,8)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 9 }$
| Character values |
| | |
$c1$ |
| $1$ |
$1$ |
$()$ |
$6$ |
| $9$ |
$2$ |
$(2,5)(4,6)(7,9)$ |
$0$ |
| $9$ |
$2$ |
$(2,6)(3,4)(5,8)$ |
$-2$ |
| $9$ |
$2$ |
$(1,6)(3,5)(4,9)(7,8)$ |
$0$ |
| $2$ |
$3$ |
$(1,7,9)(2,3,5)(4,8,6)$ |
$-3$ |
| $6$ |
$3$ |
$(1,9,7)(2,3,5)$ |
$0$ |
| $6$ |
$3$ |
$(1,2,6)(3,4,7)(5,8,9)$ |
$0$ |
| $12$ |
$3$ |
$(1,5,8)(2,6,7)(3,4,9)$ |
$0$ |
| $18$ |
$6$ |
$(1,8,3)(2,7,4,5,9,6)$ |
$0$ |
| $18$ |
$6$ |
$(1,9,7)(2,6,3,4,5,8)$ |
$1$ |
| $18$ |
$6$ |
$(1,8,9,6,7,4)(3,5)$ |
$0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
