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Properties

Label 6.2e8_5e3_31e5.24t703.1
Dimension 6
Group $A_4\wr C_2$
Conductor $ 2^{8} \cdot 5^{3} \cdot 31^{5}$
Frobenius-Schur indicator 0

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Basic invariants

Dimension:$6$
Group:$A_4\wr C_2$
Conductor:$916132832000= 2^{8} \cdot 5^{3} \cdot 31^{5} $
Artin number field: Splitting field of $f= x^{8} + 2 x^{6} - 4 x^{5} - x^{4} - 4 x^{3} + 12 x^{2} - 6 x + 1 $ over $\Q$
Size of Galois orbit: 2
Smallest containing permutation representation: 24T703
Parity: Even

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 19 }$ to precision 66.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 19 }$: $ x^{3} + 4 x + 17 $
Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ $ 16 a^{2} + 10 a + 18 + \left(10 a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 19 + \left(13 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 19^{2} + \left(11 a + 10\right)\cdot 19^{3} + \left(7 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 19^{4} + \left(8 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 19^{5} + \left(3 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 19^{6} + \left(5 a^{2} + 8 a\right)\cdot 19^{7} + \left(5 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 19^{8} + \left(2 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 19^{9} + \left(3 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 19^{10} + \left(17 a^{2} + 1\right)\cdot 19^{11} + \left(17 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 19^{12} + \left(13 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 19^{13} + \left(8 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 19^{14} + \left(7 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 19^{15} + \left(15 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 19^{16} + \left(15 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 19^{17} + \left(4 a + 14\right)\cdot 19^{18} + \left(6 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 19^{19} + \left(8 a^{2} + 6 a + 13\right)\cdot 19^{20} + \left(15 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 19^{21} + \left(6 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 19^{22} + \left(2 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 19^{23} + \left(16 a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 19^{24} + \left(4 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 19^{25} + \left(11 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 19^{26} + \left(17 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 19^{27} + \left(3 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 19^{28} + \left(18 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 19^{29} + \left(11 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 19^{30} + \left(11 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 19^{31} + \left(16 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 19^{32} + \left(9 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 19^{33} + \left(18 a + 1\right)\cdot 19^{34} + \left(14 a + 6\right)\cdot 19^{35} + \left(7 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 19^{36} + \left(16 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 19^{37} + \left(5 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 19^{38} + \left(4 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 19^{39} + \left(5 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 19^{40} + \left(18 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 19^{41} + \left(14 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 19^{42} + \left(18 a^{2} + 9 a + 18\right)\cdot 19^{43} + \left(18 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 19^{44} + \left(a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 19^{45} + \left(a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 19^{46} + \left(15 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 19^{47} + \left(3 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 19^{48} + \left(8 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 19^{49} + \left(2 a^{2} + a + 3\right)\cdot 19^{50} + \left(17 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 19^{51} + \left(16 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 19^{52} + \left(a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 19^{53} + \left(9 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 19^{54} + \left(3 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 19^{55} + \left(16 a^{2} + a + 3\right)\cdot 19^{56} + \left(17 a^{2} + 1\right)\cdot 19^{57} + \left(14 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 19^{58} + \left(18 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 19^{59} + \left(16 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 19^{60} + \left(3 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 19^{61} + \left(10 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 19^{62} + \left(13 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 19^{63} + \left(6 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 19^{64} + \left(3 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 19^{65} +O\left(19^{ 66 }\right)$
$r_{ 2 }$ $=$ $ 5 a^{2} + 15 a + 14 + \left(17 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 19 + \left(13 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 19^{2} + \left(11 a + 3\right)\cdot 19^{3} + \left(13 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 19^{4} + \left(9 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 19^{5} + \left(14 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 19^{6} + \left(8 a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 19^{7} + \left(15 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 19^{8} + \left(16 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 19^{9} + \left(4 a^{2} + 17 a + 2\right)\cdot 19^{10} + \left(15 a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 19^{11} + \left(13 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 19^{12} + \left(14 a^{2} + 6 a + 13\right)\cdot 19^{13} + \left(3 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 19^{14} + \left(3 a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 19^{15} + \left(14 a^{2} + 4\right)\cdot 19^{16} + \left(7 a^{2} + 1\right)\cdot 19^{17} + \left(2 a^{2} + 10 a\right)\cdot 19^{18} + \left(10 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 19^{19} + \left(11 a + 5\right)\cdot 19^{20} + \left(15 a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 19^{21} + \left(7 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 19^{22} + \left(16 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 19^{23} + \left(12 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 19^{24} + \left(17 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 19^{25} + \left(7 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 19^{26} + \left(8 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 19^{27} + \left(14 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 19^{28} + \left(6 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 19^{29} + \left(4 a + 18\right)\cdot 19^{30} + \left(13 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 19^{31} + \left(2 a^{2} + 9 a\right)\cdot 19^{32} + \left(6 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 19^{33} + \left(8 a + 7\right)\cdot 19^{34} + \left(13 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 19^{35} + \left(a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 19^{36} + \left(18 a^{2} + 17 a + 14\right)\cdot 19^{37} + \left(a^{2} + 2 a\right)\cdot 19^{38} + \left(12 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 19^{39} + \left(13 a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 19^{40} + \left(18 a^{2} + 10 a + 18\right)\cdot 19^{41} + \left(4 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 19^{42} + \left(4 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 19^{43} + \left(3 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 19^{44} + \left(16 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 19^{45} + 19^{46} + \left(5 a^{2} + 18 a + 9\right)\cdot 19^{47} + \left(14 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 19^{48} + \left(13 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 19^{49} + \left(14 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 19^{50} + \left(14 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 19^{51} + \left(14 a^{2} + 13 a + 18\right)\cdot 19^{52} + \left(5 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 19^{53} + \left(16 a^{2} + a + 16\right)\cdot 19^{54} + \left(15 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 19^{55} + \left(2 a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 19^{56} + \left(17 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 19^{57} + \left(8 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 19^{58} + \left(8 a + 2\right)\cdot 19^{59} + \left(16 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 19^{60} + \left(15 a^{2} + 13\right)\cdot 19^{61} + \left(4 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 19^{62} + \left(9 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 19^{63} + \left(4 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 19^{64} + \left(15 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 19^{65} +O\left(19^{ 66 }\right)$
$r_{ 3 }$ $=$ $ 13 + 13\cdot 19 + 3\cdot 19^{2} + 6\cdot 19^{3} + 12\cdot 19^{4} + 16\cdot 19^{5} + 19^{6} + 17\cdot 19^{7} + 5\cdot 19^{8} + 18\cdot 19^{9} + 18\cdot 19^{10} + 18\cdot 19^{11} + 7\cdot 19^{12} + 9\cdot 19^{13} + 17\cdot 19^{15} + 8\cdot 19^{16} + 13\cdot 19^{17} + 14\cdot 19^{18} + 16\cdot 19^{19} + 2\cdot 19^{20} + 11\cdot 19^{21} + 18\cdot 19^{22} + 8\cdot 19^{23} + 5\cdot 19^{24} + 5\cdot 19^{25} + 17\cdot 19^{26} + 13\cdot 19^{27} + 17\cdot 19^{28} + 7\cdot 19^{29} + 2\cdot 19^{30} + 5\cdot 19^{31} + 4\cdot 19^{32} + 13\cdot 19^{33} + 9\cdot 19^{34} + 19^{35} + 4\cdot 19^{37} + 7\cdot 19^{38} + 7\cdot 19^{39} + 14\cdot 19^{40} + 8\cdot 19^{41} + 14\cdot 19^{42} + 11\cdot 19^{43} + 17\cdot 19^{46} + 12\cdot 19^{47} + 14\cdot 19^{48} + 5\cdot 19^{49} + 12\cdot 19^{50} + 9\cdot 19^{51} + 17\cdot 19^{52} + 12\cdot 19^{53} + 13\cdot 19^{54} + 4\cdot 19^{55} + 9\cdot 19^{56} + 3\cdot 19^{57} + 4\cdot 19^{58} + 7\cdot 19^{59} + 14\cdot 19^{60} + 15\cdot 19^{61} + 10\cdot 19^{62} + 17\cdot 19^{63} + 14\cdot 19^{64} + 7\cdot 19^{65} +O\left(19^{ 66 }\right)$
$r_{ 4 }$ $=$ $ 13 a^{2} + 4 a + 5 + \left(16 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 19 + \left(11 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 19^{2} + \left(15 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 19^{3} + \left(14 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 19^{4} + \left(18 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 19^{5} + \left(a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 19^{6} + \left(2 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 19^{7} + \left(2 a^{2} + a + 9\right)\cdot 19^{8} + \left(10 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 19^{9} + \left(8 a^{2} + 3\right)\cdot 19^{10} + \left(2 a^{2} + 2 a\right)\cdot 19^{11} + \left(7 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 19^{12} + \left(a^{2} + a\right)\cdot 19^{13} + \left(15 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 19^{14} + \left(6 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 19^{15} + \left(5 a + 4\right)\cdot 19^{16} + \left(18 a^{2} + 15 a + 18\right)\cdot 19^{17} + \left(9 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 19^{18} + \left(17 a^{2} + 14 a + 9\right)\cdot 19^{19} + \left(8 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 19^{20} + \left(16 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 19^{21} + \left(3 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 19^{22} + \left(12 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 19^{23} + \left(18 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 19^{24} + \left(3 a^{2} + 17 a + 2\right)\cdot 19^{25} + \left(18 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 19^{26} + \left(5 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 19^{27} + \left(5 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 19^{28} + \left(2 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 19^{29} + \left(3 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 19^{30} + \left(15 a^{2} + 15 a\right)\cdot 19^{31} + \left(15 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 19^{32} + \left(a^{2} + 9 a\right)\cdot 19^{33} + \left(a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 19^{34} + \left(18 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 19^{35} + \left(6 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 19^{36} + \left(16 a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 19^{37} + \left(8 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 19^{38} + \left(12 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 19^{39} + \left(10 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 19^{40} + \left(9 a + 4\right)\cdot 19^{41} + \left(9 a^{2} + 10 a\right)\cdot 19^{42} + \left(11 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 19^{43} + \left(3 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 19^{44} + \left(7 a^{2} + 12\right)\cdot 19^{45} + \left(6 a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 19^{46} + \left(7 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 19^{47} + \left(2 a^{2} + 1\right)\cdot 19^{48} + \left(8 a^{2} + a + 7\right)\cdot 19^{49} + \left(16 a + 3\right)\cdot 19^{50} + \left(17 a + 3\right)\cdot 19^{51} + \left(4 a + 13\right)\cdot 19^{52} + \left(17 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 19^{53} + \left(7 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 19^{54} + \left(a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 19^{55} + \left(7 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 19^{56} + \left(16 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 19^{57} + \left(9 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 19^{58} + \left(15 a^{2} + a + 7\right)\cdot 19^{59} + \left(11 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 19^{60} + \left(14 a^{2} + a + 2\right)\cdot 19^{61} + \left(8 a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 19^{62} + \left(13 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 19^{63} + \left(a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 19^{64} + \left(8 a + 10\right)\cdot 19^{65} +O\left(19^{ 66 }\right)$
$r_{ 5 }$ $=$ $ 17 a^{2} + 13 a + 8 + \left(9 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 19 + \left(10 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 19^{2} + \left(17 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 19^{3} + \left(17 a^{2} + 18 a + 15\right)\cdot 19^{4} + \left(2 a + 12\right)\cdot 19^{5} + \left(a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 19^{6} + \left(5 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 19^{7} + \left(17 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 19^{8} + \left(18 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 19^{9} + \left(10 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 19^{10} + \left(5 a^{2} + 15\right)\cdot 19^{11} + \left(6 a^{2} + 13\right)\cdot 19^{12} + \left(9 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 19^{13} + \left(6 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 19^{14} + \left(8 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 19^{15} + \left(8 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 19^{16} + \left(14 a^{2} + 16 a\right)\cdot 19^{17} + \left(15 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 19^{18} + \left(2 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 19^{19} + \left(10 a^{2} + 12\right)\cdot 19^{20} + \left(7 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 19^{21} + \left(4 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 19^{22} + \left(16 a + 18\right)\cdot 19^{23} + \left(9 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 19^{24} + \left(15 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 19^{25} + \left(18 a^{2} + a\right)\cdot 19^{26} + \left(11 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 19^{27} + \left(17 a + 7\right)\cdot 19^{28} + \left(13 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 19^{29} + \left(6 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 19^{30} + \left(13 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 19^{31} + \left(18 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 19^{32} + \left(2 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 19^{33} + \left(18 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 19^{34} + \left(5 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 19^{35} + \left(10 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 19^{36} + \left(3 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 19^{37} + \left(11 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 19^{38} + \left(2 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 19^{39} + \left(16 a + 12\right)\cdot 19^{40} + \left(a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 19^{41} + \left(18 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 19^{42} + \left(14 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 19^{43} + \left(15 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 19^{44} + \left(12 a + 4\right)\cdot 19^{45} + \left(17 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 19^{46} + \left(17 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 19^{47} + \left(8 a + 14\right)\cdot 19^{48} + \left(16 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 19^{49} + \left(a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 19^{50} + \left(6 a^{2} + 18\right)\cdot 19^{51} + \left(6 a^{2} + 9 a + 14\right)\cdot 19^{52} + \left(11 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 19^{53} + \left(12 a^{2} + 3 a\right)\cdot 19^{54} + \left(18 a^{2} + 8\right)\cdot 19^{55} + \left(18 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 19^{56} + \left(2 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 19^{57} + \left(14 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 19^{58} + \left(18 a^{2} + a + 13\right)\cdot 19^{59} + \left(4 a^{2} + 4\right)\cdot 19^{60} + \left(18 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 19^{61} + \left(3 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 19^{62} + \left(15 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 19^{63} + \left(7 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 19^{64} + \left(16 a + 18\right)\cdot 19^{65} +O\left(19^{ 66 }\right)$
$r_{ 6 }$ $=$ $ 17 + 5\cdot 19^{2} + 13\cdot 19^{3} + 19^{4} + 7\cdot 19^{5} + 17\cdot 19^{6} + 2\cdot 19^{7} + 15\cdot 19^{8} + 9\cdot 19^{9} + 12\cdot 19^{10} + 17\cdot 19^{11} + 8\cdot 19^{12} + 2\cdot 19^{13} + 15\cdot 19^{14} + 7\cdot 19^{15} + 5\cdot 19^{16} + 19^{17} + 10\cdot 19^{19} + 6\cdot 19^{20} + 11\cdot 19^{21} + 17\cdot 19^{22} + 2\cdot 19^{23} + 16\cdot 19^{24} + 18\cdot 19^{25} + 16\cdot 19^{26} + 7\cdot 19^{27} + 2\cdot 19^{28} + 6\cdot 19^{29} + 3\cdot 19^{30} + 2\cdot 19^{31} + 3\cdot 19^{33} + 18\cdot 19^{34} + 3\cdot 19^{36} + 6\cdot 19^{37} + 13\cdot 19^{38} + 17\cdot 19^{39} + 17\cdot 19^{41} + 19^{43} + 19^{44} + 13\cdot 19^{45} + 19^{46} + 13\cdot 19^{47} + 19^{48} + 5\cdot 19^{49} + 10\cdot 19^{50} + 12\cdot 19^{51} + 5\cdot 19^{52} + 19^{53} + 4\cdot 19^{54} + 11\cdot 19^{55} + 4\cdot 19^{56} + 6\cdot 19^{57} + 3\cdot 19^{58} + 14\cdot 19^{59} + 6\cdot 19^{60} + 9\cdot 19^{61} + 16\cdot 19^{62} + 5\cdot 19^{63} + 12\cdot 19^{64} + 3\cdot 19^{65} +O\left(19^{ 66 }\right)$
$r_{ 7 }$ $=$ $ 6 a^{2} + 13 a + 18 + \left(7 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 19 + \left(6 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 19^{2} + \left(12 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 19^{3} + \left(2 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 19^{4} + \left(8 a^{2} + 9\right)\cdot 19^{5} + \left(4 a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 19^{6} + \left(5 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 19^{7} + \left(18 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 19^{8} + \left(18 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 19^{9} + \left(9 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 19^{10} + \left(17 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 19^{11} + \left(17 a^{2} + 17 a + 7\right)\cdot 19^{12} + \left(16 a^{2} + 10\right)\cdot 19^{13} + \left(5 a^{2} + 15\right)\cdot 19^{14} + \left(17 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 19^{15} + \left(3 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 19^{16} + \left(14 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 19^{17} + \left(17 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 19^{18} + \left(5 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 19^{19} + \left(11 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 19^{20} + \left(4 a^{2} + 17 a + 2\right)\cdot 19^{21} + \left(13 a + 7\right)\cdot 19^{22} + \left(5 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 19^{23} + \left(4 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 19^{24} + \left(5 a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 19^{25} + \left(15 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 19^{26} + \left(3 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 19^{27} + \left(8 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 19^{28} + \left(18 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 19^{29} + \left(16 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 19^{30} + \left(10 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 19^{31} + \left(6 a^{2} + 3\right)\cdot 19^{32} + \left(8 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 19^{33} + \left(10 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 19^{34} + \left(3 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 19^{35} + \left(a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 19^{36} + \left(11 a^{2} + a + 15\right)\cdot 19^{37} + \left(4 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 19^{38} + \left(5 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 19^{39} + \left(6 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 19^{40} + \left(15 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 19^{41} + \left(6 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 19^{42} + \left(17 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 19^{43} + \left(5 a^{2} + 18 a + 15\right)\cdot 19^{44} + \left(2 a^{2} + 3 a + 18\right)\cdot 19^{45} + \left(3 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 19^{46} + \left(10 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 19^{47} + \left(3 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 19^{48} + \left(5 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 19^{49} + \left(6 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 19^{50} + \left(a + 10\right)\cdot 19^{51} + \left(4 a^{2} + 16 a + 17\right)\cdot 19^{52} + \left(14 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 19^{53} + \left(2 a^{2} + 9\right)\cdot 19^{54} + \left(a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 19^{55} + \left(15 a^{2} + 11 a + 18\right)\cdot 19^{56} + \left(17 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 19^{57} + \left(12 a + 1\right)\cdot 19^{58} + \left(17 a^{2} + 5\right)\cdot 19^{59} + \left(9 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 19^{60} + \left(15 a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 19^{61} + \left(12 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 19^{62} + \left(a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 19^{63} + \left(15 a^{2} + 14 a + 9\right)\cdot 19^{64} + \left(3 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 19^{65} +O\left(19^{ 66 }\right)$
$r_{ 8 }$ $=$ $ 2 a + 2 + \left(14 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 19 + \left(a + 7\right)\cdot 19^{2} + \left(10 a^{2} + 15 a + 18\right)\cdot 19^{3} + \left(a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 19^{4} + \left(11 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 19^{5} + \left(12 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 19^{6} + \left(11 a^{2} + 2 a\right)\cdot 19^{7} + \left(17 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 19^{8} + \left(8 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 19^{9} + \left(15 a + 7\right)\cdot 19^{10} + \left(18 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 19^{11} + \left(12 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 19^{12} + \left(16 a + 17\right)\cdot 19^{13} + \left(17 a^{2} + 13 a\right)\cdot 19^{14} + \left(13 a^{2} + 6\right)\cdot 19^{15} + \left(14 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 19^{16} + \left(5 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 19^{17} + \left(10 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 19^{18} + \left(14 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 19^{19} + \left(17 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 19^{20} + \left(16 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 19^{21} + \left(14 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 19^{22} + \left(a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 19^{23} + \left(15 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 19^{24} + \left(9 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 19^{25} + \left(4 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 19^{26} + \left(9 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 19^{27} + \left(5 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 19^{28} + \left(17 a^{2} + a + 5\right)\cdot 19^{29} + \left(17 a^{2} + 15\right)\cdot 19^{30} + \left(11 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 19^{31} + \left(15 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 19^{32} + \left(8 a^{2} + 3 a\right)\cdot 19^{33} + \left(7 a^{2} + 17 a + 4\right)\cdot 19^{34} + \left(16 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 19^{35} + \left(10 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 19^{36} + \left(10 a^{2} + 7\right)\cdot 19^{37} + \left(5 a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 19^{38} + \left(a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 19^{39} + \left(2 a^{2} + a\right)\cdot 19^{40} + \left(3 a^{2} + 18\right)\cdot 19^{41} + \left(3 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 19^{42} + \left(9 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 19^{43} + \left(9 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 19^{44} + \left(9 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 19^{45} + \left(9 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 19^{46} + \left(a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 19^{47} + \left(13 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 19^{48} + \left(5 a^{2} + 18 a\right)\cdot 19^{49} + \left(12 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 19^{50} + \left(18 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 19^{51} + \left(14 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 19^{52} + \left(6 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 19^{53} + \left(8 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 19^{54} + \left(16 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 19^{55} + \left(15 a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 19^{56} + \left(3 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 19^{57} + \left(8 a^{2} + 7\right)\cdot 19^{58} + \left(5 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 19^{59} + \left(16 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 19^{60} + \left(7 a^{2} + 9\right)\cdot 19^{61} + \left(16 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 19^{62} + \left(3 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 19^{63} + \left(2 a^{2} + a + 7\right)\cdot 19^{64} + \left(15 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 19^{65} +O\left(19^{ 66 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

Cycle notation
$(1,5)(2,6)$
$(2,6,5)$
$(3,4)(7,8)$
$(1,2)(5,6)$
$(3,7)(4,8)$
$(1,3)(2,4)(5,7)(6,8)$
$(3,7,8)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$ Character values
$c1$ $c2$
$1$ $1$ $()$ $6$ $6$
$6$ $2$ $(1,5)(2,6)$ $2$ $2$
$9$ $2$ $(1,5)(2,6)(3,7)(4,8)$ $-2$ $-2$
$12$ $2$ $(1,3)(2,4)(5,7)(6,8)$ $0$ $0$
$8$ $3$ $(3,7,8)$ $-3 \zeta_{3} - 3$ $3 \zeta_{3}$
$8$ $3$ $(3,8,7)$ $3 \zeta_{3}$ $-3 \zeta_{3} - 3$
$16$ $3$ $(1,6,5)(3,8,7)$ $0$ $0$
$16$ $3$ $(1,5,6)(3,7,8)$ $0$ $0$
$32$ $3$ $(2,6,5)(3,8,7)$ $0$ $0$
$36$ $4$ $(1,7,5,3)(2,8,6,4)$ $0$ $0$
$24$ $6$ $(1,5)(2,6)(3,7,8)$ $\zeta_{3} + 1$ $-\zeta_{3}$
$24$ $6$ $(1,5)(2,6)(3,8,7)$ $-\zeta_{3}$ $\zeta_{3} + 1$
$48$ $6$ $(1,8,6,7,5,3)(2,4)$ $0$ $0$
$48$ $6$ $(1,3,5,7,6,8)(2,4)$ $0$ $0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.