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Properties

Label 6.2e8_3e9_5e4.12t161.1
Dimension 6
Group $(A_4\wr C_2):C_2$
Conductor $ 2^{8} \cdot 3^{9} \cdot 5^{4}$
Frobenius-Schur indicator 1

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Basic invariants

Dimension:$6$
Group:$(A_4\wr C_2):C_2$
Conductor:$3149280000= 2^{8} \cdot 3^{9} \cdot 5^{4} $
Artin number field: Splitting field of $f= x^{8} - x^{7} - 2 x^{6} - 4 x^{5} + 13 x^{4} + 8 x^{3} - 20 x^{2} - 7 x + 13 $ over $\Q$
Size of Galois orbit: 1
Smallest containing permutation representation: 12T161
Parity: Odd

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 73 }$ to precision 56.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 73 }$: $ x^{3} + 2 x + 68 $
Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ $ 4 + 40\cdot 73 + 58\cdot 73^{2} + 67\cdot 73^{3} + 65\cdot 73^{4} + 41\cdot 73^{5} + 33\cdot 73^{6} + 67\cdot 73^{7} + 4\cdot 73^{8} + 65\cdot 73^{9} + 35\cdot 73^{10} + 73^{11} + 12\cdot 73^{12} + 12\cdot 73^{13} + 31\cdot 73^{14} + 17\cdot 73^{15} + 44\cdot 73^{16} + 2\cdot 73^{17} + 59\cdot 73^{18} + 42\cdot 73^{19} + 23\cdot 73^{20} + 21\cdot 73^{21} + 42\cdot 73^{22} + 15\cdot 73^{23} + 17\cdot 73^{24} + 55\cdot 73^{25} + 42\cdot 73^{26} + 2\cdot 73^{27} + 31\cdot 73^{28} + 16\cdot 73^{29} + 50\cdot 73^{30} + 8\cdot 73^{31} + 30\cdot 73^{32} + 19\cdot 73^{33} + 15\cdot 73^{34} + 51\cdot 73^{35} + 20\cdot 73^{36} + 29\cdot 73^{37} + 36\cdot 73^{38} + 13\cdot 73^{39} + 53\cdot 73^{40} + 2\cdot 73^{41} + 12\cdot 73^{42} + 37\cdot 73^{43} + 61\cdot 73^{44} + 60\cdot 73^{45} + 8\cdot 73^{46} + 70\cdot 73^{47} + 57\cdot 73^{48} + 67\cdot 73^{49} + 58\cdot 73^{51} + 34\cdot 73^{52} + 10\cdot 73^{53} + 26\cdot 73^{54} + 4\cdot 73^{55} +O\left(73^{ 56 }\right)$
$r_{ 2 }$ $=$ $ 13 a^{2} + 10 a + 19 + \left(45 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 73 + \left(58 a^{2} + 55 a + 28\right)\cdot 73^{2} + \left(61 a^{2} + 42 a + 30\right)\cdot 73^{3} + \left(4 a^{2} + 7 a + 25\right)\cdot 73^{4} + \left(18 a^{2} + 29 a + 53\right)\cdot 73^{5} + \left(32 a^{2} + 50 a + 30\right)\cdot 73^{6} + \left(54 a^{2} + 50 a + 22\right)\cdot 73^{7} + \left(6 a^{2} + 51 a + 38\right)\cdot 73^{8} + \left(57 a^{2} + 34 a + 71\right)\cdot 73^{9} + 47 a^{2}73^{10} + \left(45 a^{2} + 68\right)\cdot 73^{11} + \left(11 a^{2} + 63 a + 52\right)\cdot 73^{12} + \left(a^{2} + 33 a + 3\right)\cdot 73^{13} + \left(36 a^{2} + 64 a + 14\right)\cdot 73^{14} + \left(21 a^{2} + 29 a + 36\right)\cdot 73^{15} + \left(62 a^{2} + 15 a + 24\right)\cdot 73^{16} + \left(36 a^{2} + 22 a + 64\right)\cdot 73^{17} + \left(65 a^{2} + 58 a\right)\cdot 73^{18} + \left(57 a^{2} + 43 a + 49\right)\cdot 73^{19} + \left(66 a^{2} + 47 a + 62\right)\cdot 73^{20} + \left(22 a^{2} + 37 a + 68\right)\cdot 73^{21} + \left(57 a^{2} + 48 a + 3\right)\cdot 73^{22} + \left(15 a^{2} + 64 a + 36\right)\cdot 73^{23} + \left(32 a^{2} + 45 a + 69\right)\cdot 73^{24} + \left(16 a^{2} + 66 a + 57\right)\cdot 73^{25} + \left(31 a^{2} + 34 a + 65\right)\cdot 73^{26} + \left(26 a^{2} + 55 a + 24\right)\cdot 73^{27} + \left(65 a^{2} + 29\right)\cdot 73^{28} + \left(54 a^{2} + 32 a + 68\right)\cdot 73^{29} + \left(37 a^{2} + 45 a + 4\right)\cdot 73^{30} + \left(24 a^{2} + 70 a + 53\right)\cdot 73^{31} + \left(11 a^{2} + 10 a + 62\right)\cdot 73^{32} + \left(63 a^{2} + 41 a + 72\right)\cdot 73^{33} + \left(53 a^{2} + 37 a + 48\right)\cdot 73^{34} + \left(49 a^{2} + 31 a + 5\right)\cdot 73^{35} + \left(58 a + 2\right)\cdot 73^{36} + \left(38 a^{2} + 45 a + 55\right)\cdot 73^{37} + \left(66 a^{2} + 3 a + 19\right)\cdot 73^{38} + \left(46 a^{2} + 32 a + 20\right)\cdot 73^{39} + \left(39 a^{2} + 19 a + 16\right)\cdot 73^{40} + \left(51 a^{2} + 9 a + 31\right)\cdot 73^{41} + \left(49 a^{2} + 63 a + 18\right)\cdot 73^{42} + \left(22 a^{2} + 3 a + 62\right)\cdot 73^{43} + \left(52 a^{2} + 28 a + 39\right)\cdot 73^{44} + \left(43 a^{2} + 2 a\right)\cdot 73^{45} + \left(22 a^{2} + 50 a + 49\right)\cdot 73^{46} + \left(15 a^{2} + 48 a + 49\right)\cdot 73^{47} + \left(10 a^{2} + 31 a + 22\right)\cdot 73^{48} + \left(29 a^{2} + 57 a + 10\right)\cdot 73^{49} + \left(8 a^{2} + 68 a + 6\right)\cdot 73^{50} + \left(29 a^{2} + 36 a + 42\right)\cdot 73^{51} + \left(28 a^{2} + 41 a + 63\right)\cdot 73^{52} + \left(14 a^{2} + 43 a + 65\right)\cdot 73^{53} + \left(51 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 73^{54} + \left(17 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 73^{55} +O\left(73^{ 56 }\right)$
$r_{ 3 }$ $=$ $ 25 a^{2} + 48 a + 39 + \left(56 a^{2} + 59 a + 6\right)\cdot 73 + \left(68 a^{2} + 69\right)\cdot 73^{2} + \left(70 a^{2} + 11 a + 47\right)\cdot 73^{3} + \left(32 a^{2} + 51 a + 13\right)\cdot 73^{4} + \left(24 a^{2} + 52 a + 37\right)\cdot 73^{5} + \left(22 a^{2} + 21 a + 67\right)\cdot 73^{6} + \left(17 a^{2} + 57 a + 17\right)\cdot 73^{7} + \left(61 a^{2} + 31 a + 9\right)\cdot 73^{8} + \left(49 a^{2} + 22 a + 36\right)\cdot 73^{9} + \left(15 a^{2} + a + 9\right)\cdot 73^{10} + \left(45 a^{2} + 33 a + 36\right)\cdot 73^{11} + \left(66 a^{2} + 19 a + 39\right)\cdot 73^{12} + \left(21 a^{2} + 3 a + 50\right)\cdot 73^{13} + \left(15 a^{2} + 43 a + 56\right)\cdot 73^{14} + \left(7 a + 42\right)\cdot 73^{15} + \left(26 a^{2} + 50 a + 19\right)\cdot 73^{16} + \left(38 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 73^{17} + \left(31 a^{2} + 68 a + 8\right)\cdot 73^{18} + \left(37 a^{2} + 26 a + 37\right)\cdot 73^{19} + \left(23 a^{2} + 38 a + 50\right)\cdot 73^{20} + \left(16 a^{2} + 16 a + 33\right)\cdot 73^{21} + \left(32 a^{2} + 57 a + 36\right)\cdot 73^{22} + \left(41 a^{2} + 37 a + 32\right)\cdot 73^{23} + \left(29 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 73^{24} + \left(61 a^{2} + 32 a + 36\right)\cdot 73^{25} + \left(62 a^{2} + a + 63\right)\cdot 73^{26} + \left(56 a^{2} + 66 a + 43\right)\cdot 73^{27} + \left(59 a^{2} + 5 a + 26\right)\cdot 73^{28} + \left(20 a^{2} + 27 a + 62\right)\cdot 73^{29} + \left(4 a^{2} + 50 a + 4\right)\cdot 73^{30} + \left(49 a^{2} + 64 a + 4\right)\cdot 73^{31} + \left(56 a^{2} + 11 a + 32\right)\cdot 73^{32} + \left(66 a^{2} + 45 a + 20\right)\cdot 73^{33} + \left(3 a^{2} + a + 53\right)\cdot 73^{34} + \left(27 a^{2} + 21 a + 5\right)\cdot 73^{35} + \left(46 a^{2} + 24 a + 20\right)\cdot 73^{36} + \left(38 a^{2} + 37 a + 21\right)\cdot 73^{37} + \left(56 a^{2} + 12 a + 40\right)\cdot 73^{38} + \left(33 a^{2} + 15 a + 49\right)\cdot 73^{39} + \left(23 a^{2} + 49 a + 42\right)\cdot 73^{40} + \left(49 a^{2} + 27 a + 20\right)\cdot 73^{41} + \left(19 a^{2} + 65 a + 69\right)\cdot 73^{42} + \left(25 a^{2} + 40 a + 55\right)\cdot 73^{43} + \left(9 a^{2} + 66 a + 58\right)\cdot 73^{44} + \left(52 a^{2} + 4 a + 35\right)\cdot 73^{45} + \left(70 a^{2} + 8 a + 42\right)\cdot 73^{46} + \left(13 a^{2} + 5 a + 27\right)\cdot 73^{47} + \left(22 a^{2} + 61 a + 25\right)\cdot 73^{48} + \left(38 a^{2} + 56 a + 12\right)\cdot 73^{49} + \left(37 a^{2} + 45 a + 9\right)\cdot 73^{50} + \left(38 a^{2} + 71 a + 43\right)\cdot 73^{51} + \left(35 a^{2} + 71 a + 55\right)\cdot 73^{52} + \left(71 a^{2} + 36 a + 51\right)\cdot 73^{53} + \left(54 a^{2} + 46 a + 21\right)\cdot 73^{54} + \left(5 a^{2} + 62 a + 28\right)\cdot 73^{55} +O\left(73^{ 56 }\right)$
$r_{ 4 }$ $=$ $ 48 + 29\cdot 73 + 13\cdot 73^{2} + 9\cdot 73^{3} + 41\cdot 73^{4} + 2\cdot 73^{5} + 36\cdot 73^{6} + 25\cdot 73^{7} + 51\cdot 73^{8} + 39\cdot 73^{9} + 40\cdot 73^{10} + 49\cdot 73^{11} + 23\cdot 73^{12} + 63\cdot 73^{13} + 34\cdot 73^{14} + 51\cdot 73^{15} + 30\cdot 73^{16} + 56\cdot 73^{17} + 9\cdot 73^{18} + 7\cdot 73^{19} + 71\cdot 73^{20} + 46\cdot 73^{21} + 48\cdot 73^{22} + 7\cdot 73^{23} + 11\cdot 73^{24} + 47\cdot 73^{25} + 18\cdot 73^{26} + 51\cdot 73^{27} + 9\cdot 73^{28} + 40\cdot 73^{29} + 15\cdot 73^{30} + 41\cdot 73^{31} + 30\cdot 73^{32} + 73^{33} + 55\cdot 73^{34} + 2\cdot 73^{35} + 28\cdot 73^{36} + 48\cdot 73^{37} + 56\cdot 73^{38} + 26\cdot 73^{39} + 22\cdot 73^{40} + 26\cdot 73^{41} + 2\cdot 73^{42} + 19\cdot 73^{43} + 35\cdot 73^{44} + 67\cdot 73^{45} + 16\cdot 73^{46} + 34\cdot 73^{47} + 61\cdot 73^{49} + 63\cdot 73^{50} + 29\cdot 73^{51} + 9\cdot 73^{52} + 53\cdot 73^{53} + 5\cdot 73^{54} + 47\cdot 73^{55} +O\left(73^{ 56 }\right)$
$r_{ 5 }$ $=$ $ 43 a^{2} + 50 a + 59 + \left(27 a^{2} + 71 a + 57\right)\cdot 73 + \left(14 a^{2} + 40 a + 17\right)\cdot 73^{2} + \left(68 a^{2} + 6 a + 63\right)\cdot 73^{3} + \left(70 a^{2} + 66 a + 64\right)\cdot 73^{4} + \left(62 a^{2} + 44 a + 15\right)\cdot 73^{5} + \left(10 a^{2} + 48 a + 2\right)\cdot 73^{6} + \left(12 a^{2} + 43 a + 39\right)\cdot 73^{7} + \left(72 a + 29\right)\cdot 73^{8} + \left(2 a^{2} + 26 a + 22\right)\cdot 73^{9} + \left(a^{2} + 28 a + 60\right)\cdot 73^{10} + \left(56 a^{2} + 19 a + 8\right)\cdot 73^{11} + \left(58 a^{2} + 55 a + 67\right)\cdot 73^{12} + \left(12 a^{2} + 42 a + 67\right)\cdot 73^{13} + \left(9 a^{2} + 48 a + 26\right)\cdot 73^{14} + \left(33 a^{2} + 57 a + 27\right)\cdot 73^{15} + \left(60 a^{2} + 64 a + 46\right)\cdot 73^{16} + \left(18 a^{2} + 58 a + 64\right)\cdot 73^{17} + \left(50 a^{2} + 35 a + 4\right)\cdot 73^{18} + \left(12 a^{2} + 40 a + 13\right)\cdot 73^{19} + \left(72 a^{2} + 9 a + 21\right)\cdot 73^{20} + \left(37 a^{2} + 44 a + 40\right)\cdot 73^{21} + \left(4 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 73^{22} + \left(49 a + 15\right)\cdot 73^{23} + \left(56 a^{2} + 14 a + 28\right)\cdot 73^{24} + \left(6 a^{2} + 52 a + 69\right)\cdot 73^{25} + \left(24 a^{2} + 56 a + 31\right)\cdot 73^{26} + \left(32 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 73^{27} + \left(18 a^{2} + 61 a + 64\right)\cdot 73^{28} + \left(45 a^{2} + 29 a + 6\right)\cdot 73^{29} + \left(16 a^{2} + 27 a + 1\right)\cdot 73^{30} + \left(38 a^{2} + 17 a + 47\right)\cdot 73^{31} + \left(14 a^{2} + 25 a + 42\right)\cdot 73^{32} + \left(5 a^{2} + 68\right)\cdot 73^{33} + \left(11 a^{2} + 14 a + 64\right)\cdot 73^{34} + \left(22 a^{2} + 62 a + 41\right)\cdot 73^{35} + \left(39 a^{2} + 48 a + 53\right)\cdot 73^{36} + \left(68 a^{2} + 57 a + 22\right)\cdot 73^{37} + \left(8 a^{2} + 62 a + 40\right)\cdot 73^{38} + \left(21 a^{2} + 44 a + 34\right)\cdot 73^{39} + \left(21 a^{2} + 25 a + 40\right)\cdot 73^{40} + \left(42 a^{2} + 64 a + 67\right)\cdot 73^{41} + \left(23 a^{2} + 32 a + 7\right)\cdot 73^{42} + \left(48 a^{2} + 6 a + 72\right)\cdot 73^{43} + \left(48 a^{2} + 2 a + 34\right)\cdot 73^{44} + \left(71 a^{2} + 18 a + 13\right)\cdot 73^{45} + \left(43 a^{2} + 7 a + 53\right)\cdot 73^{46} + \left(69 a^{2} + 47 a + 24\right)\cdot 73^{47} + \left(62 a^{2} + 32 a + 44\right)\cdot 73^{48} + \left(35 a^{2} + 30 a + 43\right)\cdot 73^{49} + \left(71 a^{2} + 53 a + 41\right)\cdot 73^{50} + \left(35 a^{2} + 71 a + 2\right)\cdot 73^{51} + \left(14 a^{2} + 71 a + 45\right)\cdot 73^{52} + \left(57 a^{2} + 24 a + 25\right)\cdot 73^{53} + \left(35 a^{2} + 8 a + 64\right)\cdot 73^{54} + \left(45 a^{2} + 44 a + 22\right)\cdot 73^{55} +O\left(73^{ 56 }\right)$
$r_{ 6 }$ $=$ $ 3 a^{2} + 20 a + 34 + \left(58 a^{2} + 63 a + 57\right)\cdot 73 + \left(37 a^{2} + 52 a + 27\right)\cdot 73^{2} + \left(54 a^{2} + 62 a + 50\right)\cdot 73^{3} + \left(4 a^{2} + 8 a + 24\right)\cdot 73^{4} + \left(51 a^{2} + a + 48\right)\cdot 73^{5} + \left(49 a^{2} + 23 a + 6\right)\cdot 73^{6} + \left(32 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 73^{7} + \left(43 a^{2} + 3 a + 34\right)\cdot 73^{8} + \left(59 a^{2} + 30 a\right)\cdot 73^{9} + \left(35 a^{2} + 72 a + 12\right)\cdot 73^{10} + \left(31 a^{2} + 61 a + 42\right)\cdot 73^{11} + \left(42 a^{2} + 52 a + 31\right)\cdot 73^{12} + \left(12 a^{2} + 11 a + 62\right)\cdot 73^{13} + \left(38 a^{2} + 15 a + 62\right)\cdot 73^{14} + \left(58 a^{2} + 70 a + 71\right)\cdot 73^{15} + \left(46 a^{2} + 41 a + 22\right)\cdot 73^{16} + \left(69 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 73^{17} + \left(7 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 73^{18} + \left(8 a^{2} + 23 a + 71\right)\cdot 73^{19} + \left(22 a^{2} + 5 a + 72\right)\cdot 73^{20} + \left(4 a^{2} + a + 41\right)\cdot 73^{21} + \left(28 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 73^{22} + \left(38 a^{2} + 49 a + 4\right)\cdot 73^{23} + \left(26 a^{2} + 57 a + 48\right)\cdot 73^{24} + \left(59 a^{2} + 8 a + 57\right)\cdot 73^{25} + \left(52 a^{2} + 50 a + 25\right)\cdot 73^{26} + \left(69 a^{2} + 56 a + 12\right)\cdot 73^{27} + \left(71 a^{2} + 52 a + 67\right)\cdot 73^{28} + \left(29 a^{2} + 39 a + 25\right)\cdot 73^{29} + \left(29 a^{2} + 27 a + 38\right)\cdot 73^{30} + \left(22 a^{2} + 46 a + 41\right)\cdot 73^{31} + \left(72 a^{2} + 28\right)\cdot 73^{32} + \left(45 a^{2} + 70 a + 41\right)\cdot 73^{33} + \left(10 a^{2} + 72 a + 13\right)\cdot 73^{34} + \left(7 a^{2} + 40 a + 52\right)\cdot 73^{35} + \left(40 a^{2} + 27 a + 11\right)\cdot 73^{36} + \left(71 a^{2} + 2 a + 65\right)\cdot 73^{37} + \left(72 a^{2} + 46 a + 37\right)\cdot 73^{38} + \left(11 a^{2} + 40 a + 20\right)\cdot 73^{39} + \left(49 a^{2} + 24 a + 28\right)\cdot 73^{40} + \left(38 a^{2} + 59 a + 6\right)\cdot 73^{41} + \left(25 a^{2} + 31 a + 4\right)\cdot 73^{42} + \left(27 a^{2} + 43 a + 10\right)\cdot 73^{43} + \left(19 a^{2} + 57 a + 72\right)\cdot 73^{44} + \left(28 a^{2} + 57 a + 3\right)\cdot 73^{45} + \left(63 a^{2} + 66 a + 57\right)\cdot 73^{46} + \left(29 a^{2} + 67 a + 48\right)\cdot 73^{47} + \left(35 a^{2} + 53 a + 18\right)\cdot 73^{48} + \left(12 a^{2} + 65 a + 2\right)\cdot 73^{49} + \left(46 a^{2} + 13 a + 45\right)\cdot 73^{50} + \left(51 a^{2} + 42 a + 60\right)\cdot 73^{51} + \left(50 a^{2} + 69 a + 2\right)\cdot 73^{52} + \left(28 a^{2} + 62 a + 19\right)\cdot 73^{53} + \left(67 a^{2} + 49 a + 38\right)\cdot 73^{54} + \left(69 a^{2} + 31 a + 16\right)\cdot 73^{55} +O\left(73^{ 56 }\right)$
$r_{ 7 }$ $=$ $ 17 a^{2} + 13 a + \left(58 a + 70\right)\cdot 73 + \left(49 a + 22\right)\cdot 73^{2} + \left(16 a^{2} + 23 a + 42\right)\cdot 73^{3} + \left(70 a^{2} + 72 a + 39\right)\cdot 73^{4} + \left(64 a^{2} + 71 a + 18\right)\cdot 73^{5} + \left(29 a^{2} + 46 a + 3\right)\cdot 73^{6} + \left(6 a^{2} + 51 a + 7\right)\cdot 73^{7} + \left(66 a^{2} + 21 a + 20\right)\cdot 73^{8} + \left(13 a^{2} + 11 a + 38\right)\cdot 73^{9} + \left(24 a^{2} + 44 a + 42\right)\cdot 73^{10} + \left(44 a^{2} + 53 a + 17\right)\cdot 73^{11} + \left(2 a^{2} + 27 a + 65\right)\cdot 73^{12} + \left(59 a^{2} + 69 a + 7\right)\cdot 73^{13} + \left(27 a^{2} + 32 a + 3\right)\cdot 73^{14} + \left(18 a^{2} + 58 a + 32\right)\cdot 73^{15} + \left(23 a^{2} + 65 a + 45\right)\cdot 73^{16} + \left(17 a^{2} + 64 a + 62\right)\cdot 73^{17} + \left(30 a^{2} + 51 a + 26\right)\cdot 73^{18} + \left(2 a^{2} + 61 a + 72\right)\cdot 73^{19} + \left(7 a^{2} + 15 a + 55\right)\cdot 73^{20} + \left(12 a^{2} + 64 a + 5\right)\cdot 73^{21} + \left(11 a^{2} + 16 a + 64\right)\cdot 73^{22} + \left(57 a^{2} + 32 a + 66\right)\cdot 73^{23} + \left(57 a^{2} + 12 a + 54\right)\cdot 73^{24} + \left(49 a^{2} + 27 a + 53\right)\cdot 73^{25} + \left(17 a^{2} + 54 a + 47\right)\cdot 73^{26} + \left(14 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 73^{27} + \left(62 a^{2} + 11 a + 25\right)\cdot 73^{28} + \left(45 a^{2} + 11 a + 56\right)\cdot 73^{29} + \left(18 a^{2} + 3\right)\cdot 73^{30} + \left(10 a^{2} + 58 a + 34\right)\cdot 73^{31} + \left(47 a^{2} + 36 a + 37\right)\cdot 73^{32} + \left(4 a^{2} + 31 a + 43\right)\cdot 73^{33} + \left(8 a^{2} + 21 a + 36\right)\cdot 73^{34} + \left(a^{2} + 52 a + 62\right)\cdot 73^{35} + \left(33 a^{2} + 38 a + 20\right)\cdot 73^{36} + \left(39 a^{2} + 42 a + 8\right)\cdot 73^{37} + \left(70 a^{2} + 6 a + 25\right)\cdot 73^{38} + \left(4 a^{2} + 69 a + 37\right)\cdot 73^{39} + \left(12 a^{2} + 27 a + 52\right)\cdot 73^{40} + \left(52 a^{2} + 72 a + 7\right)\cdot 73^{41} + \left(72 a^{2} + 49 a + 49\right)\cdot 73^{42} + \left(a^{2} + 62 a + 34\right)\cdot 73^{43} + \left(45 a^{2} + 42 a + 54\right)\cdot 73^{44} + \left(30 a^{2} + 52 a + 31\right)\cdot 73^{45} + \left(6 a^{2} + 15 a + 27\right)\cdot 73^{46} + \left(61 a^{2} + 50 a + 13\right)\cdot 73^{47} + \left(72 a^{2} + 8 a + 33\right)\cdot 73^{48} + \left(7 a^{2} + 58 a + 6\right)\cdot 73^{49} + \left(66 a^{2} + 23 a + 10\right)\cdot 73^{50} + \left(7 a^{2} + 37 a + 38\right)\cdot 73^{51} + \left(30 a^{2} + 32 a + 41\right)\cdot 73^{52} + \left(a^{2} + 4 a + 48\right)\cdot 73^{53} + \left(59 a^{2} + 47 a + 46\right)\cdot 73^{54} + \left(9 a^{2} + 18 a + 72\right)\cdot 73^{55} +O\left(73^{ 56 }\right)$
$r_{ 8 }$ $=$ $ 45 a^{2} + 5 a + 17 + \left(31 a^{2} + 23 a + 22\right)\cdot 73 + \left(39 a^{2} + 19 a + 54\right)\cdot 73^{2} + \left(20 a^{2} + 72 a + 53\right)\cdot 73^{3} + \left(35 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 73^{4} + \left(70 a^{2} + 19 a + 1\right)\cdot 73^{5} + \left(28 a + 39\right)\cdot 73^{6} + \left(23 a^{2} + 10 a + 25\right)\cdot 73^{7} + \left(41 a^{2} + 38 a + 31\right)\cdot 73^{8} + \left(36 a^{2} + 20 a + 18\right)\cdot 73^{9} + \left(21 a^{2} + 72 a + 17\right)\cdot 73^{10} + \left(69 a^{2} + 50 a + 68\right)\cdot 73^{11} + \left(36 a^{2} + 72\right)\cdot 73^{12} + \left(38 a^{2} + 58 a + 23\right)\cdot 73^{13} + \left(19 a^{2} + 14 a + 62\right)\cdot 73^{14} + \left(14 a^{2} + 68 a + 12\right)\cdot 73^{15} + \left(53 a + 58\right)\cdot 73^{16} + \left(38 a^{2} + 42 a + 15\right)\cdot 73^{17} + \left(33 a^{2} + 66 a + 35\right)\cdot 73^{18} + \left(27 a^{2} + 22 a + 72\right)\cdot 73^{19} + \left(27 a^{2} + 29 a + 6\right)\cdot 73^{20} + \left(52 a^{2} + 55 a + 33\right)\cdot 73^{21} + \left(12 a^{2} + 72 a + 10\right)\cdot 73^{22} + \left(66 a^{2} + 58 a + 41\right)\cdot 73^{23} + \left(16 a^{2} + a + 59\right)\cdot 73^{24} + \left(25 a^{2} + 32 a + 60\right)\cdot 73^{25} + \left(30 a^{2} + 21 a + 68\right)\cdot 73^{26} + \left(19 a^{2} + 23 a + 66\right)\cdot 73^{27} + \left(14 a^{2} + 14 a + 38\right)\cdot 73^{28} + \left(22 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 73^{29} + \left(39 a^{2} + 68 a + 27\right)\cdot 73^{30} + \left(a^{2} + 34 a + 62\right)\cdot 73^{31} + \left(17 a^{2} + 60 a + 27\right)\cdot 73^{32} + \left(33 a^{2} + 30 a + 24\right)\cdot 73^{33} + \left(58 a^{2} + 71 a + 4\right)\cdot 73^{34} + \left(38 a^{2} + 10 a + 70\right)\cdot 73^{35} + \left(59 a^{2} + 21 a + 61\right)\cdot 73^{36} + \left(35 a^{2} + 33 a + 41\right)\cdot 73^{37} + \left(16 a^{2} + 14 a + 35\right)\cdot 73^{38} + \left(27 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 73^{39} + \left(72 a + 36\right)\cdot 73^{40} + \left(58 a^{2} + 58 a + 56\right)\cdot 73^{41} + \left(27 a^{2} + 48 a + 55\right)\cdot 73^{42} + \left(20 a^{2} + 61 a\right)\cdot 73^{43} + \left(44 a^{2} + 21 a + 8\right)\cdot 73^{44} + \left(65 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 73^{45} + \left(11 a^{2} + 71 a + 37\right)\cdot 73^{46} + \left(29 a^{2} + 72 a + 23\right)\cdot 73^{47} + \left(15 a^{2} + 30 a + 16\right)\cdot 73^{48} + \left(22 a^{2} + 23 a + 15\right)\cdot 73^{49} + \left(62 a^{2} + 13 a + 42\right)\cdot 73^{50} + \left(55 a^{2} + 32 a + 17\right)\cdot 73^{51} + \left(59 a^{2} + 4 a + 39\right)\cdot 73^{52} + \left(45 a^{2} + 46 a + 17\right)\cdot 73^{53} + \left(23 a^{2} + 49 a + 4\right)\cdot 73^{54} + \left(70 a^{2} + 51 a + 17\right)\cdot 73^{55} +O\left(73^{ 56 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

Cycle notation
$(3,6)(4,8)$
$(1,3)(2,4)(5,6)(7,8)$
$(1,4)(2,6)(3,7)(5,8)$
$(3,6,8)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$ Character values
$c1$
$1$ $1$ $()$ $6$
$6$ $2$ $(1,5)(2,7)$ $2$
$9$ $2$ $(1,5)(2,7)(3,6)(4,8)$ $-2$
$12$ $2$ $(1,3)(2,4)(5,6)(7,8)$ $0$
$12$ $2$ $(1,4)(2,6)(3,7)(5,8)$ $0$
$36$ $2$ $(4,6)(5,7)$ $-2$
$16$ $3$ $(3,8,4)$ $3$
$32$ $3$ $(1,7,5)(3,8,6)$ $0$
$32$ $3$ $(1,7,5)(3,8,4)$ $0$
$36$ $4$ $(1,6,5,3)(2,8,7,4)$ $0$
$36$ $4$ $(1,7,5,2)(3,4,6,8)$ $2$
$36$ $4$ $(1,4,5,8)(2,6,7,3)$ $0$
$72$ $4$ $(1,7,5,2)(6,8)$ $0$
$48$ $6$ $(1,5)(2,7)(3,8,4)$ $-1$
$96$ $6$ $(1,8,7,6,5,3)(2,4)$ $0$
$96$ $6$ $(1,4,7,3,5,8)(2,6)$ $0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.