Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 83 }$ to precision 49.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 83 }$: $ x^{3} + 3 x + 81 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 50 a^{2} + 43 a + 17 + \left(5 a^{2} + 66 a + 11\right)\cdot 83 + \left(2 a^{2} + 74 a + 4\right)\cdot 83^{2} + \left(44 a^{2} + 59 a + 5\right)\cdot 83^{3} + \left(20 a^{2} + 72 a + 41\right)\cdot 83^{4} + \left(30 a^{2} + 34 a + 60\right)\cdot 83^{5} + \left(7 a^{2} + 73 a + 14\right)\cdot 83^{6} + \left(31 a^{2} + 62 a + 62\right)\cdot 83^{7} + \left(14 a^{2} + 36 a + 28\right)\cdot 83^{8} + \left(a^{2} + 20 a + 2\right)\cdot 83^{9} + \left(17 a^{2} + 70 a + 34\right)\cdot 83^{10} + \left(32 a^{2} + 13 a + 64\right)\cdot 83^{11} + \left(20 a^{2} + 42 a + 40\right)\cdot 83^{12} + \left(58 a^{2} + 66 a + 33\right)\cdot 83^{13} + \left(57 a^{2} + 39 a + 32\right)\cdot 83^{14} + \left(61 a^{2} + 44 a + 40\right)\cdot 83^{15} + \left(20 a^{2} + 77 a + 41\right)\cdot 83^{16} + \left(54 a^{2} + 14 a + 25\right)\cdot 83^{17} + \left(54 a^{2} + 49 a + 26\right)\cdot 83^{18} + \left(29 a^{2} + 22 a + 59\right)\cdot 83^{19} + \left(63 a^{2} + 25 a + 43\right)\cdot 83^{20} + \left(71 a^{2} + 16 a + 60\right)\cdot 83^{21} + \left(56 a^{2} + 69 a + 30\right)\cdot 83^{22} + \left(47 a^{2} + 64 a + 12\right)\cdot 83^{23} + \left(55 a^{2} + 4 a + 28\right)\cdot 83^{24} + \left(81 a^{2} + 60 a + 80\right)\cdot 83^{25} + \left(9 a^{2} + 66 a + 19\right)\cdot 83^{26} + \left(47 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 83^{27} + \left(36 a^{2} + 33 a + 73\right)\cdot 83^{28} + \left(11 a^{2} + 50 a + 22\right)\cdot 83^{29} + \left(12 a^{2} + 17 a + 24\right)\cdot 83^{30} + \left(22 a^{2} + 4 a + 44\right)\cdot 83^{31} + \left(33 a^{2} + 3 a + 66\right)\cdot 83^{32} + \left(12 a^{2} + 3 a + 24\right)\cdot 83^{33} + \left(21 a^{2} + 70 a + 42\right)\cdot 83^{34} + \left(67 a^{2} + 25 a + 51\right)\cdot 83^{35} + \left(59 a^{2} + 77 a + 36\right)\cdot 83^{36} + \left(49 a^{2} + 63 a + 16\right)\cdot 83^{37} + \left(21 a^{2} + 40 a + 43\right)\cdot 83^{38} + \left(66 a^{2} + 50 a + 49\right)\cdot 83^{39} + \left(36 a^{2} + 35 a + 73\right)\cdot 83^{40} + \left(80 a^{2} + 77 a + 77\right)\cdot 83^{41} + \left(16 a^{2} + 10 a + 33\right)\cdot 83^{42} + \left(64 a^{2} + 51 a + 45\right)\cdot 83^{43} + \left(53 a^{2} + 70 a + 24\right)\cdot 83^{44} + \left(71 a^{2} + 72 a + 60\right)\cdot 83^{45} + \left(53 a^{2} + 58 a + 24\right)\cdot 83^{46} + \left(33 a^{2} + 48 a + 67\right)\cdot 83^{47} + \left(a^{2} + 33 a + 2\right)\cdot 83^{48} +O\left(83^{ 49 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 40 a^{2} + 22 a + 80 + \left(79 a^{2} + 33 a + 75\right)\cdot 83 + \left(81 a^{2} + 48 a + 80\right)\cdot 83^{2} + \left(58 a^{2} + 22 a + 34\right)\cdot 83^{3} + \left(40 a^{2} + 2 a + 81\right)\cdot 83^{4} + \left(67 a^{2} + a + 51\right)\cdot 83^{5} + \left(70 a^{2} + 28 a + 58\right)\cdot 83^{6} + \left(50 a^{2} + 28 a + 18\right)\cdot 83^{7} + \left(18 a^{2} + 53 a + 37\right)\cdot 83^{8} + \left(60 a^{2} + 64 a + 37\right)\cdot 83^{9} + \left(27 a^{2} + 10 a + 55\right)\cdot 83^{10} + \left(68 a^{2} + 39 a + 53\right)\cdot 83^{11} + \left(4 a^{2} + 62 a + 9\right)\cdot 83^{12} + \left(53 a^{2} + 42 a + 23\right)\cdot 83^{13} + \left(4 a^{2} + 71 a + 9\right)\cdot 83^{14} + \left(59 a^{2} + a + 35\right)\cdot 83^{15} + \left(10 a^{2} + 30 a + 21\right)\cdot 83^{16} + \left(10 a^{2} + 64 a + 20\right)\cdot 83^{17} + \left(30 a^{2} + 52 a + 60\right)\cdot 83^{18} + \left(63 a^{2} + 52 a + 43\right)\cdot 83^{19} + \left(5 a^{2} + 28 a + 11\right)\cdot 83^{20} + \left(35 a^{2} + 10 a + 70\right)\cdot 83^{21} + \left(35 a^{2} + 5 a + 70\right)\cdot 83^{22} + \left(78 a^{2} + 3 a + 73\right)\cdot 83^{23} + \left(68 a^{2} + a + 54\right)\cdot 83^{24} + \left(58 a^{2} + 53 a + 34\right)\cdot 83^{25} + \left(57 a^{2} + 77 a + 32\right)\cdot 83^{26} + \left(54 a^{2} + 6 a + 26\right)\cdot 83^{27} + \left(74 a + 1\right)\cdot 83^{28} + \left(15 a^{2} + 54 a + 30\right)\cdot 83^{29} + \left(5 a^{2} + 57 a + 10\right)\cdot 83^{30} + \left(64 a^{2} + a + 45\right)\cdot 83^{31} + \left(51 a^{2} + 21 a + 20\right)\cdot 83^{32} + \left(82 a^{2} + 43 a + 82\right)\cdot 83^{33} + \left(17 a^{2} + 4 a + 35\right)\cdot 83^{34} + \left(26 a^{2} + 64 a + 52\right)\cdot 83^{35} + \left(10 a^{2} + 65 a + 20\right)\cdot 83^{36} + \left(68 a^{2} + 82 a + 53\right)\cdot 83^{37} + \left(10 a^{2} + 24 a + 21\right)\cdot 83^{38} + \left(75 a^{2} + 26 a + 67\right)\cdot 83^{39} + \left(45 a^{2} + 49 a + 8\right)\cdot 83^{40} + \left(26 a^{2} + 2 a + 53\right)\cdot 83^{41} + \left(63 a^{2} + 25 a + 43\right)\cdot 83^{42} + \left(49 a + 1\right)\cdot 83^{43} + \left(61 a^{2} + 64 a + 39\right)\cdot 83^{44} + \left(9 a^{2} + 33 a + 19\right)\cdot 83^{45} + \left(39 a^{2} + 42 a + 78\right)\cdot 83^{46} + \left(20 a^{2} + 70 a + 40\right)\cdot 83^{47} + \left(81 a^{2} + 68 a + 79\right)\cdot 83^{48} +O\left(83^{ 49 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 47 a^{2} + 32 a + 11 + \left(19 a^{2} + 65 a + 39\right)\cdot 83 + \left(71 a^{2} + 56 a + 59\right)\cdot 83^{2} + \left(70 a^{2} + 45 a + 58\right)\cdot 83^{3} + \left(37 a^{2} + 68 a + 75\right)\cdot 83^{4} + \left(35 a^{2} + 5 a + 70\right)\cdot 83^{5} + \left(54 a^{2} + 51 a + 25\right)\cdot 83^{6} + \left(76 a^{2} + 29 a + 70\right)\cdot 83^{7} + \left(15 a^{2} + 41 a + 31\right)\cdot 83^{8} + \left(25 a^{2} + 45 a + 50\right)\cdot 83^{9} + \left(44 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 83^{10} + \left(44 a^{2} + 61 a + 6\right)\cdot 83^{11} + \left(57 a^{2} + 21 a + 32\right)\cdot 83^{12} + \left(44 a^{2} + 71 a + 6\right)\cdot 83^{13} + \left(20 a^{2} + 20 a + 41\right)\cdot 83^{14} + \left(15 a^{2} + 80 a + 30\right)\cdot 83^{15} + \left(82 a^{2} + 20 a + 81\right)\cdot 83^{16} + \left(23 a^{2} + 43 a + 47\right)\cdot 83^{17} + \left(51 a^{2} + 73 a + 19\right)\cdot 83^{18} + \left(55 a^{2} + 12 a + 28\right)\cdot 83^{19} + \left(81 a^{2} + 28 a + 80\right)\cdot 83^{20} + \left(73 a^{2} + 40 a + 64\right)\cdot 83^{21} + \left(4 a^{2} + 67 a + 9\right)\cdot 83^{22} + \left(17 a^{2} + 65 a + 34\right)\cdot 83^{23} + \left(16 a^{2} + 55 a + 32\right)\cdot 83^{24} + \left(76 a^{2} + 73 a + 69\right)\cdot 83^{25} + \left(7 a^{2} + 37 a + 15\right)\cdot 83^{26} + \left(82 a^{2} + 33 a + 81\right)\cdot 83^{27} + \left(36 a^{2} + 22 a + 73\right)\cdot 83^{28} + \left(36 a^{2} + 36 a + 72\right)\cdot 83^{29} + \left(19 a^{2} + 37 a + 38\right)\cdot 83^{30} + \left(3 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 83^{31} + \left(71 a^{2} + 51 a + 59\right)\cdot 83^{32} + \left(48 a^{2} + 69 a + 14\right)\cdot 83^{33} + \left(21 a^{2} + 3 a + 43\right)\cdot 83^{34} + \left(80 a^{2} + a + 77\right)\cdot 83^{35} + \left(60 a^{2} + 79 a + 38\right)\cdot 83^{36} + \left(69 a^{2} + 13 a + 56\right)\cdot 83^{37} + \left(43 a^{2} + 21 a + 4\right)\cdot 83^{38} + \left(26 a^{2} + 80 a + 53\right)\cdot 83^{39} + \left(a^{2} + 17 a + 2\right)\cdot 83^{40} + \left(63 a^{2} + 17 a + 43\right)\cdot 83^{41} + \left(3 a^{2} + 32 a + 7\right)\cdot 83^{42} + \left(69 a^{2} + 52 a + 55\right)\cdot 83^{43} + \left(22 a^{2} + 78 a + 45\right)\cdot 83^{44} + \left(16 a^{2} + 24 a + 32\right)\cdot 83^{45} + \left(47 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 83^{46} + \left(30 a^{2} + 5 a + 61\right)\cdot 83^{47} + \left(56 a^{2} + 58 a + 29\right)\cdot 83^{48} +O\left(83^{ 49 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 19 + 29\cdot 83 + 77\cdot 83^{2} + 11\cdot 83^{3} + 33\cdot 83^{4} + 60\cdot 83^{5} + 16\cdot 83^{6} + 37\cdot 83^{7} + 77\cdot 83^{8} + 28\cdot 83^{9} + 58\cdot 83^{10} + 65\cdot 83^{11} + 39\cdot 83^{12} + 12\cdot 83^{14} + 58\cdot 83^{15} + 62\cdot 83^{16} + 81\cdot 83^{17} + 74\cdot 83^{18} + 74\cdot 83^{19} + 42\cdot 83^{20} + 82\cdot 83^{22} + 16\cdot 83^{23} + 30\cdot 83^{24} + 22\cdot 83^{25} + 2\cdot 83^{26} + 83^{27} + 83^{28} + 80\cdot 83^{29} + 69\cdot 83^{30} + 21\cdot 83^{31} + 63\cdot 83^{32} + 71\cdot 83^{33} + 24\cdot 83^{34} + 40\cdot 83^{35} + 77\cdot 83^{36} + 74\cdot 83^{37} + 14\cdot 83^{38} + 77\cdot 83^{39} + 28\cdot 83^{40} + 58\cdot 83^{41} + 79\cdot 83^{42} + 41\cdot 83^{43} + 74\cdot 83^{44} + 15\cdot 83^{45} + 18\cdot 83^{46} + 54\cdot 83^{47} + 82\cdot 83^{48} +O\left(83^{ 49 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 69 + 39\cdot 83 + 34\cdot 83^{2} + 63\cdot 83^{3} + 66\cdot 83^{4} + 35\cdot 83^{5} + 67\cdot 83^{6} + 24\cdot 83^{7} + 58\cdot 83^{8} + 39\cdot 83^{9} + 8\cdot 83^{10} + 22\cdot 83^{11} + 36\cdot 83^{12} + 79\cdot 83^{13} + 29\cdot 83^{14} + 60\cdot 83^{15} + 32\cdot 83^{16} + 58\cdot 83^{17} + 34\cdot 83^{18} + 69\cdot 83^{19} + 10\cdot 83^{20} + 56\cdot 83^{21} + 38\cdot 83^{22} + 33\cdot 83^{23} + 79\cdot 83^{24} + 8\cdot 83^{25} + 35\cdot 83^{26} + 12\cdot 83^{27} + 74\cdot 83^{28} + 37\cdot 83^{29} + 6\cdot 83^{30} + 38\cdot 83^{31} + 70\cdot 83^{32} + 68\cdot 83^{33} + 25\cdot 83^{34} + 31\cdot 83^{35} + 8\cdot 83^{36} + 53\cdot 83^{37} + 69\cdot 83^{38} + 2\cdot 83^{39} + 72\cdot 83^{40} + 51\cdot 83^{41} + 22\cdot 83^{42} + 28\cdot 83^{43} + 66\cdot 83^{44} + 43\cdot 83^{45} + 76\cdot 83^{46} + 39\cdot 83^{47} + 19\cdot 83^{48} +O\left(83^{ 49 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 21 a^{2} + 18 a + 42 + \left(69 a^{2} + 24 a + 55\right)\cdot 83 + \left(22 a^{2} + 59 a + 45\right)\cdot 83^{2} + \left(32 a^{2} + 76 a + 64\right)\cdot 83^{3} + \left(25 a^{2} + 70 a + 50\right)\cdot 83^{4} + \left(50 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 83^{5} + \left(46 a^{2} + 32 a + 10\right)\cdot 83^{6} + \left(61 a^{2} + 50 a + 40\right)\cdot 83^{7} + \left(43 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 83^{8} + \left(76 a^{2} + 76 a + 70\right)\cdot 83^{9} + \left(4 a^{2} + 74 a + 9\right)\cdot 83^{10} + \left(4 a^{2} + 21 a + 8\right)\cdot 83^{11} + \left(11 a^{2} + 7 a + 22\right)\cdot 83^{12} + \left(44 a^{2} + 30 a + 5\right)\cdot 83^{13} + \left(7 a^{2} + 60 a + 15\right)\cdot 83^{14} + \left(72 a^{2} + 29 a + 61\right)\cdot 83^{15} + \left(26 a^{2} + 52 a + 53\right)\cdot 83^{16} + \left(41 a^{2} + 15 a + 82\right)\cdot 83^{17} + \left(74 a^{2} + 77 a + 65\right)\cdot 83^{18} + \left(34 a^{2} + 9 a + 69\right)\cdot 83^{19} + \left(54 a^{2} + 32 a + 25\right)\cdot 83^{20} + \left(46 a^{2} + 59 a + 10\right)\cdot 83^{21} + \left(24 a^{2} + 7 a + 49\right)\cdot 83^{22} + \left(59 a^{2} + 32 a + 35\right)\cdot 83^{23} + \left(a^{2} + 62 a + 3\right)\cdot 83^{24} + \left(17 a^{2} + 58 a + 34\right)\cdot 83^{25} + \left(26 a^{2} + 66 a + 52\right)\cdot 83^{26} + \left(57 a^{2} + 33 a + 31\right)\cdot 83^{27} + \left(79 a^{2} + 55 a + 76\right)\cdot 83^{28} + \left(41 a^{2} + 13 a\right)\cdot 83^{29} + \left(7 a^{2} + 52 a + 15\right)\cdot 83^{30} + \left(37 a^{2} + 73 a + 74\right)\cdot 83^{31} + \left(65 a^{2} + 72 a + 47\right)\cdot 83^{32} + \left(35 a^{2} + 77 a + 71\right)\cdot 83^{33} + \left(39 a^{2} + 75 a + 78\right)\cdot 83^{34} + \left(25 a^{2} + 50\right)\cdot 83^{35} + \left(66 a^{2} + 4 a + 49\right)\cdot 83^{36} + \left(36 a^{2} + 65 a + 73\right)\cdot 83^{37} + \left(72 a^{2} + 3 a + 61\right)\cdot 83^{38} + \left(62 a^{2} + 11 a + 42\right)\cdot 83^{39} + \left(28 a^{2} + 69 a + 57\right)\cdot 83^{40} + \left(70 a^{2} + 61 a + 57\right)\cdot 83^{41} + \left(14 a^{2} + 27 a + 29\right)\cdot 83^{42} + \left(34 a^{2} + 40 a + 68\right)\cdot 83^{43} + \left(47 a^{2} + 68 a + 11\right)\cdot 83^{44} + \left(70 a^{2} + 64 a + 58\right)\cdot 83^{45} + \left(21 a^{2} + 10 a + 43\right)\cdot 83^{46} + \left(39 a^{2} + 6 a + 78\right)\cdot 83^{47} + \left(43 a^{2} + 31 a + 3\right)\cdot 83^{48} +O\left(83^{ 49 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 76 a^{2} + 18 a + 69 + \left(80 a^{2} + 66 a + 78\right)\cdot 83 + \left(81 a^{2} + 42 a + 80\right)\cdot 83^{2} + \left(62 a^{2} + 42\right)\cdot 83^{3} + \left(21 a^{2} + 8 a + 43\right)\cdot 83^{4} + \left(68 a^{2} + 47 a + 53\right)\cdot 83^{5} + \left(4 a^{2} + 64 a + 9\right)\cdot 83^{6} + \left(a^{2} + 74 a + 2\right)\cdot 83^{7} + \left(50 a^{2} + 75 a + 17\right)\cdot 83^{8} + \left(21 a^{2} + 80 a + 43\right)\cdot 83^{9} + \left(38 a^{2} + a + 76\right)\cdot 83^{10} + \left(65 a^{2} + 30 a + 47\right)\cdot 83^{11} + \left(57 a^{2} + 61 a + 32\right)\cdot 83^{12} + \left(54 a^{2} + 56 a + 26\right)\cdot 83^{13} + \left(20 a^{2} + 54 a + 41\right)\cdot 83^{14} + \left(45 a^{2} + 36 a + 7\right)\cdot 83^{15} + \left(51 a^{2} + 58 a + 20\right)\cdot 83^{16} + \left(18 a^{2} + 3 a + 37\right)\cdot 83^{17} + \left(81 a^{2} + 64 a + 79\right)\cdot 83^{18} + \left(72 a^{2} + 7 a + 62\right)\cdot 83^{19} + \left(13 a^{2} + 29 a + 27\right)\cdot 83^{20} + \left(59 a^{2} + 56 a + 35\right)\cdot 83^{21} + \left(73 a^{2} + 8 a + 64\right)\cdot 83^{22} + \left(39 a^{2} + 15 a + 79\right)\cdot 83^{23} + \left(41 a^{2} + 77 a + 82\right)\cdot 83^{24} + \left(25 a^{2} + 52 a + 50\right)\cdot 83^{25} + \left(15 a^{2} + 21 a + 30\right)\cdot 83^{26} + \left(64 a^{2} + 57 a + 45\right)\cdot 83^{27} + \left(45 a^{2} + 58 a + 8\right)\cdot 83^{28} + \left(56 a^{2} + 60 a + 30\right)\cdot 83^{29} + \left(65 a^{2} + 7 a + 48\right)\cdot 83^{30} + \left(79 a^{2} + 77 a + 76\right)\cdot 83^{31} + \left(80 a^{2} + 58 a + 78\right)\cdot 83^{32} + \left(70 a^{2} + 36 a + 58\right)\cdot 83^{33} + \left(43 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 83^{34} + \left(72 a^{2} + 76 a + 62\right)\cdot 83^{35} + \left(12 a^{2} + 22 a + 25\right)\cdot 83^{36} + \left(48 a^{2} + 19 a + 13\right)\cdot 83^{37} + \left(50 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 83^{38} + \left(24 a^{2} + 6 a + 49\right)\cdot 83^{39} + 81 a\cdot 83^{40} + \left(59 a^{2} + 2 a + 35\right)\cdot 83^{41} + \left(2 a^{2} + 47 a + 5\right)\cdot 83^{42} + \left(18 a^{2} + 65 a + 36\right)\cdot 83^{43} + \left(51 a^{2} + 30 a + 19\right)\cdot 83^{44} + \left(a^{2} + 59 a + 3\right)\cdot 83^{45} + \left(73 a^{2} + 64 a + 63\right)\cdot 83^{46} + \left(28 a^{2} + 46 a + 57\right)\cdot 83^{47} + 63 a\cdot 83^{48} +O\left(83^{ 49 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 78 + 13\cdot 83 + 54\cdot 83^{2} + 7\cdot 83^{3} + 66\cdot 83^{4} + 69\cdot 83^{5} + 81\cdot 83^{6} + 20\cdot 83^{7} + 30\cdot 83^{8} + 14\cdot 83^{9} + 16\cdot 83^{10} + 78\cdot 83^{11} + 6\cdot 83^{12} + 3\cdot 83^{13} + 41\cdot 83^{14} + 47\cdot 83^{15} + 70\cdot 83^{16} + 25\cdot 83^{17} + 56\cdot 83^{18} + 21\cdot 83^{19} + 29\cdot 83^{20} + 26\cdot 83^{21} + 45\cdot 83^{22} + 32\cdot 83^{23} + 56\cdot 83^{24} + 51\cdot 83^{25} + 45\cdot 83^{26} + 69\cdot 83^{27} + 7\cdot 83^{28} + 48\cdot 83^{29} + 6\cdot 83^{30} + 23\cdot 83^{31} + 32\cdot 83^{32} + 25\cdot 83^{33} + 32\cdot 83^{34} + 11\cdot 83^{35} + 80\cdot 83^{36} + 37\cdot 83^{37} + 81\cdot 83^{38} + 2\cdot 83^{39} + 65\cdot 83^{40} + 55\cdot 83^{41} + 63\cdot 83^{42} + 12\cdot 83^{43} + 25\cdot 83^{44} + 23\cdot 83^{45} + 71\cdot 83^{46} + 71\cdot 83^{47} + 63\cdot 83^{48} +O\left(83^{ 49 }\right)$ |
| $r_{ 9 }$ |
$=$ |
$ 15 a^{2} + 33 a + 30 + \left(77 a^{2} + 76 a + 71\right)\cdot 83 + \left(71 a^{2} + 49 a + 60\right)\cdot 83^{2} + \left(62 a^{2} + 43 a + 42\right)\cdot 83^{3} + \left(19 a^{2} + 26 a + 39\right)\cdot 83^{4} + \left(80 a^{2} + 58 a + 77\right)\cdot 83^{5} + \left(64 a^{2} + 82 a + 46\right)\cdot 83^{6} + \left(27 a^{2} + 2 a + 55\right)\cdot 83^{7} + \left(23 a^{2} + 39 a + 46\right)\cdot 83^{8} + \left(64 a^{2} + 44 a + 45\right)\cdot 83^{9} + \left(33 a^{2} + 2 a + 67\right)\cdot 83^{10} + \left(34 a^{2} + 68\right)\cdot 83^{11} + \left(14 a^{2} + 54 a + 28\right)\cdot 83^{12} + \left(77 a^{2} + 64 a + 71\right)\cdot 83^{13} + \left(54 a^{2} + a + 26\right)\cdot 83^{14} + \left(78 a^{2} + 56 a + 74\right)\cdot 83^{15} + \left(56 a^{2} + 9 a + 30\right)\cdot 83^{16} + \left(17 a^{2} + 24 a + 35\right)\cdot 83^{17} + \left(40 a^{2} + 15 a + 80\right)\cdot 83^{18} + \left(75 a^{2} + 60 a + 67\right)\cdot 83^{19} + \left(29 a^{2} + 22 a + 59\right)\cdot 83^{20} + \left(45 a^{2} + 66 a + 7\right)\cdot 83^{21} + \left(53 a^{2} + 7 a + 24\right)\cdot 83^{22} + \left(6 a^{2} + 68 a + 13\right)\cdot 83^{23} + \left(65 a^{2} + 47 a + 47\right)\cdot 83^{24} + \left(72 a^{2} + 33 a + 62\right)\cdot 83^{25} + \left(48 a^{2} + 61 a + 14\right)\cdot 83^{26} + \left(26 a^{2} + 15 a + 53\right)\cdot 83^{27} + \left(49 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 83^{28} + \left(4 a^{2} + 33 a + 9\right)\cdot 83^{29} + \left(56 a^{2} + 76 a + 29\right)\cdot 83^{30} + \left(42 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 83^{31} + \left(29 a^{2} + 42 a + 59\right)\cdot 83^{32} + \left(81 a^{2} + 18 a + 79\right)\cdot 83^{33} + \left(21 a^{2} + 3 a + 43\right)\cdot 83^{34} + \left(60 a^{2} + 81 a + 37\right)\cdot 83^{35} + \left(38 a^{2} + 82 a + 77\right)\cdot 83^{36} + \left(59 a^{2} + 3 a + 35\right)\cdot 83^{37} + \left(49 a^{2} + 58 a + 16\right)\cdot 83^{38} + \left(76 a^{2} + 74 a + 70\right)\cdot 83^{39} + \left(52 a^{2} + 78 a + 22\right)\cdot 83^{40} + \left(32 a^{2} + 3 a + 65\right)\cdot 83^{41} + \left(64 a^{2} + 23 a + 45\right)\cdot 83^{42} + \left(62 a^{2} + 73 a + 42\right)\cdot 83^{43} + \left(12 a^{2} + 18 a + 25\right)\cdot 83^{44} + \left(79 a^{2} + 76 a + 75\right)\cdot 83^{45} + \left(13 a^{2} + 59 a + 27\right)\cdot 83^{46} + \left(13 a^{2} + 71 a + 26\right)\cdot 83^{47} + \left(66 a^{2} + 76 a + 49\right)\cdot 83^{48} +O\left(83^{ 49 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 9 }$
| Cycle notation |
| $(3,5,6,4)(8,9)$ |
| $(1,3,4)(2,6,5)(7,9,8)$ |
| $(4,5,8)$ |
| $(3,6,9)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 9 }$
| Character values |
| | |
$c1$ |
$c2$ |
| $1$ |
$1$ |
$()$ |
$6$ |
$6$ |
| $27$ |
$2$ |
$(1,2)(4,5)$ |
$-2$ |
$-2$ |
| $54$ |
$2$ |
$(1,2)(3,4)(5,6)(8,9)$ |
$0$ |
$0$ |
| $6$ |
$3$ |
$(1,7,2)$ |
$3$ |
$3$ |
| $8$ |
$3$ |
$(1,2,7)(3,6,9)(4,5,8)$ |
$-3$ |
$-3$ |
| $12$ |
$3$ |
$(1,7,2)(4,8,5)$ |
$0$ |
$0$ |
| $72$ |
$3$ |
$(1,3,4)(2,6,5)(7,9,8)$ |
$0$ |
$0$ |
| $54$ |
$4$ |
$(1,5,2,4)(7,8)$ |
$0$ |
$0$ |
| $54$ |
$6$ |
$(1,2,7)(3,6)(4,5)$ |
$1$ |
$1$ |
| $108$ |
$6$ |
$(1,8,7,5,2,4)(3,6)$ |
$0$ |
$0$ |
| $72$ |
$9$ |
$(1,6,5,2,9,8,7,3,4)$ |
$0$ |
$0$ |
| $72$ |
$9$ |
$(1,9,8,7,6,5,2,3,4)$ |
$0$ |
$0$ |
| $54$ |
$12$ |
$(1,7,2)(3,5,6,4)(8,9)$ |
$-\zeta_{12}^{3} + 2 \zeta_{12}$ |
$\zeta_{12}^{3} - 2 \zeta_{12}$ |
| $54$ |
$12$ |
$(1,2,7)(3,5,6,4)(8,9)$ |
$\zeta_{12}^{3} - 2 \zeta_{12}$ |
$-\zeta_{12}^{3} + 2 \zeta_{12}$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
