Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 13 }$ to precision 40.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 13 }$: $ x^{3} + 2 x + 11 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 6 a^{2} + 7 a + 11 + \left(11 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13 + \left(4 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{2} + \left(6 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{3} + \left(10 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 13^{4} + \left(7 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{5} + \left(8 a + 6\right)\cdot 13^{6} + \left(6 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{7} + \left(11 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{8} + \left(3 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{9} + \left(8 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 13^{10} + \left(12 a^{2} + a + 9\right)\cdot 13^{11} + \left(a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{12} + \left(8 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 13^{13} + \left(2 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{14} + \left(4 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 13^{15} + \left(a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 13^{16} + \left(8 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{17} + \left(10 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{18} + \left(6 a^{2} + 6 a\right)\cdot 13^{19} + \left(10 a^{2} + 4\right)\cdot 13^{20} + \left(3 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{21} + \left(6 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 13^{22} + \left(12 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{23} + \left(2 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{24} + \left(11 a + 8\right)\cdot 13^{25} + \left(7 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 13^{26} + \left(8 a^{2} + 4 a\right)\cdot 13^{27} + \left(5 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{28} + \left(4 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 13^{29} + \left(6 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 13^{30} + \left(6 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{31} + \left(2 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{32} + \left(5 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{33} + \left(5 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{34} + \left(a^{2} + 7\right)\cdot 13^{35} + \left(4 a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{36} + \left(a^{2} + 8 a\right)\cdot 13^{37} + \left(8 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{38} + \left(3 a + 2\right)\cdot 13^{39} +O\left(13^{ 40 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 5 a^{2} + 8 a + 1 + \left(6 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13 + \left(6 a + 10\right)\cdot 13^{2} + \left(a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{3} + \left(2 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{4} + \left(6 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{5} + a\cdot 13^{6} + \left(2 a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{7} + \left(4 a^{2} + 12 a\right)\cdot 13^{8} + \left(9 a + 6\right)\cdot 13^{9} + \left(2 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{10} + \left(a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 13^{11} + \left(a + 10\right)\cdot 13^{12} + \left(3 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{13} + \left(a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{14} + \left(8 a^{2} + 6\right)\cdot 13^{15} + \left(8 a + 1\right)\cdot 13^{16} + \left(4 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{17} + \left(8 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{18} + \left(8 a + 1\right)\cdot 13^{19} + \left(9 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 13^{20} + \left(9 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{21} + \left(a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{22} + \left(6 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 13^{23} + \left(11 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{24} + \left(2 a^{2} + a + 2\right)\cdot 13^{25} + \left(10 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{26} + \left(4 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{27} + \left(a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 13^{28} + \left(6 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{29} + \left(12 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{30} + \left(2 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{31} + \left(9 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{32} + \left(5 a^{2} + 4\right)\cdot 13^{33} + \left(12 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 13^{34} + \left(2 a^{2} + 11\right)\cdot 13^{35} + \left(5 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{36} + \left(6 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{37} + \left(a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{38} + \left(8 a^{2} + 11 a\right)\cdot 13^{39} +O\left(13^{ 40 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 7 a^{2} + 2 a + 8 + 8\cdot 13 + \left(4 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{2} + \left(12 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{3} + \left(12 a^{2} + 5\right)\cdot 13^{4} + \left(a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{6} + 8\cdot 13^{7} + \left(2 a^{2} + 11\right)\cdot 13^{8} + \left(11 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 13^{9} + \left(12 a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{10} + \left(6 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 13^{11} + \left(10 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{12} + \left(4 a^{2} + 2 a\right)\cdot 13^{13} + \left(12 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 13^{14} + \left(6 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{15} + \left(12 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 13^{16} + \left(2 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{17} + \left(12 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{18} + \left(10 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 13^{19} + \left(3 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 13^{20} + \left(2 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 13^{21} + \left(a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{22} + \left(2 a + 1\right)\cdot 13^{23} + \left(8 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 13^{24} + \left(9 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{25} + \left(6 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{26} + \left(5 a^{2} + a + 9\right)\cdot 13^{27} + \left(3 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 13^{28} + \left(10 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{29} + \left(8 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{30} + \left(4 a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{31} + \left(3 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{32} + \left(9 a + 11\right)\cdot 13^{33} + \left(11 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 13^{34} + \left(12 a^{2} + 7 a\right)\cdot 13^{35} + \left(9 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{36} + \left(7 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13^{37} + \left(11 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{38} + \left(4 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{39} +O\left(13^{ 40 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 12 + 11\cdot 13 + 6\cdot 13^{2} + 6\cdot 13^{3} + 11\cdot 13^{4} + 7\cdot 13^{5} + 3\cdot 13^{6} + 10\cdot 13^{7} + 2\cdot 13^{8} + 8\cdot 13^{9} + 13^{10} + 5\cdot 13^{11} + 12\cdot 13^{12} + 12\cdot 13^{13} + 7\cdot 13^{14} + 5\cdot 13^{15} + 5\cdot 13^{16} + 9\cdot 13^{17} + 7\cdot 13^{19} + 11\cdot 13^{20} + 5\cdot 13^{22} + 13^{23} + 6\cdot 13^{24} + 4\cdot 13^{25} + 11\cdot 13^{26} + 8\cdot 13^{27} + 13^{28} + 12\cdot 13^{29} + 6\cdot 13^{30} + 7\cdot 13^{31} + 3\cdot 13^{32} + 13^{33} + 7\cdot 13^{34} + 10\cdot 13^{35} + 11\cdot 13^{36} + 12\cdot 13^{37} + 7\cdot 13^{38} + 2\cdot 13^{39} +O\left(13^{ 40 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 11 + 12\cdot 13 + 9\cdot 13^{2} + 13^{3} + 12\cdot 13^{4} + 5\cdot 13^{5} + 4\cdot 13^{6} + 2\cdot 13^{7} + 10\cdot 13^{8} + 4\cdot 13^{9} + 2\cdot 13^{10} + 10\cdot 13^{11} + 2\cdot 13^{12} + 7\cdot 13^{14} + 4\cdot 13^{15} + 3\cdot 13^{16} + 9\cdot 13^{17} + 2\cdot 13^{18} + 5\cdot 13^{19} + 10\cdot 13^{20} + 8\cdot 13^{21} + 2\cdot 13^{22} + 10\cdot 13^{23} + 12\cdot 13^{25} + 4\cdot 13^{27} + 12\cdot 13^{28} + 12\cdot 13^{29} + 7\cdot 13^{30} + 12\cdot 13^{31} + 9\cdot 13^{32} + 11\cdot 13^{33} + 13^{34} + 3\cdot 13^{35} + 9\cdot 13^{36} + 10\cdot 13^{37} + 3\cdot 13^{38} + 10\cdot 13^{39} +O\left(13^{ 40 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 12 a + 3 + \left(9 a^{2} + 6 a\right)\cdot 13 + \left(10 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{2} + \left(12 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{3} + \left(7 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{4} + \left(5 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{5} + \left(10 a^{2} + 2 a\right)\cdot 13^{6} + \left(11 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{7} + \left(8 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{8} + \left(7 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{9} + \left(11 a^{2} + 6 a\right)\cdot 13^{10} + \left(4 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{11} + \left(10 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 13^{12} + \left(12 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{13} + \left(5 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{14} + \left(2 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{15} + \left(3 a^{2} + 7 a\right)\cdot 13^{16} + \left(9 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 13^{17} + \left(7 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{18} + \left(8 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{19} + \left(7 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{20} + \left(6 a^{2} + a + 10\right)\cdot 13^{21} + \left(9 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{22} + \left(4 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 13^{23} + \left(10 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 13^{24} + \left(6 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{25} + \left(4 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{26} + \left(6 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{27} + \left(11 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{28} + \left(8 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{29} + \left(12 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{30} + \left(7 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{31} + \left(9 a^{2} + 11 a\right)\cdot 13^{32} + \left(7 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{33} + \left(8 a^{2} + 6\right)\cdot 13^{34} + \left(6 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 13^{35} + \left(11 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{36} + \left(6 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 13^{37} + \left(12 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{38} + \left(7 a^{2} + a\right)\cdot 13^{39} +O\left(13^{ 40 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 4 a + 3 + \left(a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 13 + \left(4 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{2} + \left(7 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{3} + \left(2 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{4} + \left(4 a^{2} + a\right)\cdot 13^{5} + \left(11 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{6} + \left(6 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{7} + \left(12 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{8} + \left(10 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{9} + \left(4 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{10} + \left(6 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{11} + \left(4 a + 6\right)\cdot 13^{12} + \left(6 a + 2\right)\cdot 13^{13} + \left(11 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{14} + \left(a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{15} + \left(12 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{16} + \left(a^{2} + a + 10\right)\cdot 13^{17} + \left(3 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 13^{18} + \left(8 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{19} + \left(11 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{20} + \left(6 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 13^{21} + \left(5 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 13^{22} + \left(a + 6\right)\cdot 13^{23} + \left(2 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{24} + \left(3 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{25} + \left(12 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 13^{26} + \left(11 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{27} + \left(3 a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{28} + \left(11 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 13^{29} + \left(10 a^{2} + 2\right)\cdot 13^{30} + \left(a^{2} + a + 2\right)\cdot 13^{31} + \left(7 a^{2} + 7 a\right)\cdot 13^{32} + \left(7 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{33} + \left(9 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{34} + \left(11 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{35} + \left(11 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{36} + \left(3 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{37} + \left(6 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{38} + \left(7 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 13^{39} +O\left(13^{ 40 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 8 a^{2} + 6 a + 5 + \left(10 a^{2} + a + 2\right)\cdot 13 + \left(a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{2} + \left(12 a^{2} + 9\right)\cdot 13^{3} + \left(2 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{4} + \left(a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{5} + \left(2 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 13^{6} + \left(12 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{7} + \left(12 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{8} + \left(4 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{9} + \left(12 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{10} + \left(6 a^{2} + 6\right)\cdot 13^{11} + \left(2 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{12} + \left(10 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 13^{13} + \left(5 a^{2} + a + 9\right)\cdot 13^{14} + \left(2 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 13^{15} + \left(9 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{16} + \left(12 a^{2} + a + 10\right)\cdot 13^{17} + \left(9 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 13^{18} + \left(3 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 13^{19} + \left(9 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{20} + \left(9 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{21} + \left(a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{22} + \left(2 a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{23} + \left(4 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 13^{24} + \left(3 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{25} + \left(11 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{26} + \left(a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 13^{27} + \left(8 a + 9\right)\cdot 13^{28} + \left(11 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{29} + \left(12 a + 12\right)\cdot 13^{30} + \left(2 a^{2} + 4\right)\cdot 13^{31} + \left(7 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{32} + \left(12 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 13^{33} + \left(4 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{34} + \left(3 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 13^{35} + \left(9 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13^{36} + \left(12 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 13^{37} + \left(11 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{38} + \left(9 a^{2} + 7\right)\cdot 13^{39} +O\left(13^{ 40 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(4,7)(6,8)$ |
| $(2,8,6)(3,4,7)$ |
| $(1,7)(2,5)(3,4)(6,8)$ |
| $(1,2)(3,5)(4,6)(7,8)$ |
| $(2,6)(5,8)$ |
| $(1,3)(2,5)(4,7)(6,8)$ |
| $(2,5)(6,8)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character values |
| | |
$c1$ |
| $1$ |
$1$ |
$()$ |
$6$ |
| $3$ |
$2$ |
$(1,3)(2,5)(4,7)(6,8)$ |
$-2$ |
| $4$ |
$2$ |
$(1,2)(3,5)(4,6)(7,8)$ |
$0$ |
| $6$ |
$2$ |
$(1,7)(2,5)(3,4)(6,8)$ |
$-2$ |
| $6$ |
$2$ |
$(1,3)(4,7)$ |
$2$ |
| $12$ |
$2$ |
$(1,6)(2,7)(3,8)(4,5)$ |
$0$ |
| $12$ |
$2$ |
$(1,4)(5,8)$ |
$-2$ |
| $32$ |
$3$ |
$(1,3,4)(2,8,5)$ |
$0$ |
| $12$ |
$4$ |
$(1,6,4,2)(3,8,7,5)$ |
$0$ |
| $12$ |
$4$ |
$(1,4,3,7)(2,6,5,8)$ |
$2$ |
| $12$ |
$4$ |
$(1,5,3,2)(4,6,7,8)$ |
$0$ |
| $24$ |
$4$ |
$(1,4,3,7)(2,5)$ |
$0$ |
| $24$ |
$4$ |
$(1,2,7,6)(3,5,4,8)$ |
$0$ |
| $32$ |
$6$ |
$(1,8,3,5,4,2)(6,7)$ |
$0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
