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Properties

Label 6.2e8_3e3_79e2.8t45.1c1
Dimension 6
Group $(A_4\wr C_2):C_2$
Conductor $ 2^{8} \cdot 3^{3} \cdot 79^{2}$
Root number 1
Frobenius-Schur indicator 1

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Basic invariants

Dimension:$6$
Group:$(A_4\wr C_2):C_2$
Conductor:$43137792= 2^{8} \cdot 3^{3} \cdot 79^{2} $
Artin number field: Splitting field of $f= x^{8} - 2 x^{7} + 5 x^{6} - 12 x^{5} + 18 x^{4} - 16 x^{3} + 10 x^{2} - 6 x + 3 $ over $\Q$
Size of Galois orbit: 1
Smallest containing permutation representation: $(A_4\wr C_2):C_2$
Parity: Odd
Determinant: 1.3.2t1.1c1

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 43 }$ to precision 65.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 43 }$: $ x^{3} + x + 40 $
Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ $ 36 a^{2} + 24 a + 39 + \left(22 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 43 + \left(42 a^{2} + 5 a + 29\right)\cdot 43^{2} + \left(37 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 43^{3} + \left(37 a^{2} + 35 a + 16\right)\cdot 43^{4} + \left(9 a^{2} + 42 a + 4\right)\cdot 43^{5} + \left(a^{2} + 41 a + 30\right)\cdot 43^{6} + \left(5 a^{2} + 13 a + 21\right)\cdot 43^{7} + \left(18 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 43^{8} + \left(42 a^{2} + 6 a + 25\right)\cdot 43^{9} + \left(25 a^{2} + 22 a + 42\right)\cdot 43^{10} + \left(23 a^{2} + 22 a + 15\right)\cdot 43^{11} + \left(19 a^{2} + 35 a + 18\right)\cdot 43^{12} + \left(8 a^{2} + 32 a + 22\right)\cdot 43^{13} + \left(33 a^{2} + 11 a + 22\right)\cdot 43^{14} + \left(13 a^{2} + 21 a + 2\right)\cdot 43^{15} + \left(32 a^{2} + 27 a\right)\cdot 43^{16} + \left(29 a^{2} + 41 a + 36\right)\cdot 43^{17} + \left(36 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 43^{18} + \left(22 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 43^{19} + \left(18 a^{2} + a + 19\right)\cdot 43^{20} + \left(24 a^{2} + 13 a + 26\right)\cdot 43^{21} + \left(31 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 43^{22} + \left(12 a^{2} + 26 a + 3\right)\cdot 43^{23} + \left(25 a^{2} + 30 a + 27\right)\cdot 43^{24} + \left(7 a^{2} + 25 a + 33\right)\cdot 43^{25} + \left(2 a + 6\right)\cdot 43^{26} + \left(34 a^{2} + 7 a + 20\right)\cdot 43^{27} + \left(8 a^{2} + 30 a + 1\right)\cdot 43^{28} + \left(32 a^{2} + 30 a + 33\right)\cdot 43^{29} + \left(30 a^{2} + 26 a + 15\right)\cdot 43^{30} + \left(39 a^{2} + 28 a + 1\right)\cdot 43^{31} + \left(15 a^{2} + 14 a + 37\right)\cdot 43^{32} + \left(18 a^{2} + 4 a + 35\right)\cdot 43^{33} + \left(15 a^{2} + 30 a + 9\right)\cdot 43^{34} + \left(31 a^{2} + 36 a + 36\right)\cdot 43^{35} + \left(23 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 43^{36} + \left(19 a^{2} + 39 a + 11\right)\cdot 43^{37} + \left(38 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 43^{38} + \left(5 a^{2} + 3\right)\cdot 43^{39} + \left(2 a^{2} + 39 a + 30\right)\cdot 43^{40} + \left(17 a^{2} + 40 a\right)\cdot 43^{41} + \left(38 a^{2} + 35 a + 14\right)\cdot 43^{42} + \left(7 a^{2} + 19 a + 18\right)\cdot 43^{43} + \left(9 a^{2} + 26 a + 8\right)\cdot 43^{44} + \left(29 a^{2} + 38 a + 8\right)\cdot 43^{45} + \left(9 a^{2} + 22 a + 22\right)\cdot 43^{46} + \left(15 a^{2} + 22 a + 14\right)\cdot 43^{47} + \left(19 a^{2} + 19 a + 2\right)\cdot 43^{48} + \left(24 a^{2} + 2 a + 37\right)\cdot 43^{49} + \left(42 a^{2} + 41 a + 10\right)\cdot 43^{50} + \left(34 a^{2} + 32 a + 11\right)\cdot 43^{51} + \left(7 a^{2} + 28 a\right)\cdot 43^{52} + \left(2 a^{2} + 28 a + 1\right)\cdot 43^{53} + \left(37 a^{2} + 35 a + 29\right)\cdot 43^{54} + \left(3 a^{2} + 41 a + 2\right)\cdot 43^{55} + \left(39 a^{2} + 40 a + 21\right)\cdot 43^{56} + \left(21 a^{2} + 3 a + 39\right)\cdot 43^{57} + \left(16 a^{2} + 21 a + 19\right)\cdot 43^{58} + \left(29 a^{2} + 8 a + 17\right)\cdot 43^{59} + \left(18 a^{2} + 4 a + 36\right)\cdot 43^{60} + \left(15 a^{2} + 20 a + 35\right)\cdot 43^{61} + \left(16 a^{2} + 4 a + 30\right)\cdot 43^{62} + \left(22 a^{2} + 35 a + 21\right)\cdot 43^{63} + \left(15 a^{2} + 20 a\right)\cdot 43^{64} +O\left(43^{ 65 }\right)$
$r_{ 2 }$ $=$ $ 6 a^{2} + 24 a + 2 + \left(39 a^{2} + 24 a + 35\right)\cdot 43 + \left(34 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 43^{2} + \left(20 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 43^{3} + \left(16 a^{2} + 7 a + 22\right)\cdot 43^{4} + \left(9 a^{2} + 25 a + 34\right)\cdot 43^{5} + \left(40 a^{2} + 3 a + 27\right)\cdot 43^{6} + \left(30 a^{2} + 30 a + 36\right)\cdot 43^{7} + \left(39 a^{2} + 2 a + 22\right)\cdot 43^{8} + \left(21 a^{2} + a + 7\right)\cdot 43^{9} + \left(12 a^{2} + 9 a + 21\right)\cdot 43^{10} + \left(18 a^{2} + 15 a + 25\right)\cdot 43^{11} + \left(34 a^{2} + 7 a + 38\right)\cdot 43^{12} + \left(3 a^{2} + 29\right)\cdot 43^{13} + \left(22 a^{2} + 24 a + 12\right)\cdot 43^{14} + \left(17 a + 27\right)\cdot 43^{15} + \left(8 a^{2} + 28 a + 40\right)\cdot 43^{16} + \left(35 a^{2} + 33 a + 23\right)\cdot 43^{17} + \left(13 a^{2} + 28 a + 8\right)\cdot 43^{18} + \left(21 a^{2} + 10 a + 23\right)\cdot 43^{19} + \left(15 a^{2} + 29 a + 1\right)\cdot 43^{20} + \left(4 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 43^{21} + \left(5 a^{2} + 21 a + 30\right)\cdot 43^{22} + \left(6 a^{2} + 27 a + 4\right)\cdot 43^{23} + \left(36 a^{2} + 15\right)\cdot 43^{24} + \left(25 a^{2} + a + 30\right)\cdot 43^{25} + \left(27 a^{2} + 39 a + 2\right)\cdot 43^{26} + \left(30 a^{2} + 24 a + 26\right)\cdot 43^{27} + \left(23 a^{2} + 39 a + 27\right)\cdot 43^{28} + \left(8 a^{2} + 6 a + 20\right)\cdot 43^{29} + \left(27 a^{2} + a + 1\right)\cdot 43^{30} + \left(37 a^{2} + 34 a + 12\right)\cdot 43^{31} + \left(36 a^{2} + 32 a + 37\right)\cdot 43^{32} + \left(15 a^{2} + 13 a + 9\right)\cdot 43^{33} + \left(15 a^{2} + 23 a + 17\right)\cdot 43^{34} + \left(25 a^{2} + 20 a + 9\right)\cdot 43^{35} + \left(37 a^{2} + 10 a + 29\right)\cdot 43^{36} + \left(36 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 43^{37} + \left(4 a^{2} + 20 a + 38\right)\cdot 43^{38} + \left(17 a^{2} + 18 a + 27\right)\cdot 43^{39} + \left(32 a^{2} + 25 a + 4\right)\cdot 43^{40} + \left(33 a^{2} + 24 a + 24\right)\cdot 43^{41} + \left(2 a^{2} + 35 a + 25\right)\cdot 43^{42} + \left(11 a^{2} + 39 a + 24\right)\cdot 43^{43} + \left(18 a^{2} + 13 a + 35\right)\cdot 43^{44} + \left(12 a^{2} + 33 a + 30\right)\cdot 43^{45} + \left(3 a^{2} + 38 a + 12\right)\cdot 43^{46} + \left(24 a^{2} + 40 a + 18\right)\cdot 43^{47} + \left(38 a^{2} + 7 a + 19\right)\cdot 43^{48} + \left(39 a^{2} + 35 a + 21\right)\cdot 43^{49} + \left(23 a^{2} + 35 a + 9\right)\cdot 43^{50} + \left(9 a^{2} + 36 a + 12\right)\cdot 43^{51} + \left(20 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 43^{52} + \left(21 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 43^{53} + \left(25 a^{2} + 4 a + 33\right)\cdot 43^{54} + \left(28 a^{2} + 36 a + 37\right)\cdot 43^{55} + \left(2 a^{2} + 37 a + 17\right)\cdot 43^{56} + \left(37 a^{2} + 9 a + 21\right)\cdot 43^{57} + \left(39 a^{2} + 32 a + 10\right)\cdot 43^{58} + \left(5 a^{2} + 42 a + 10\right)\cdot 43^{59} + \left(30 a + 7\right)\cdot 43^{60} + \left(16 a^{2} + 19\right)\cdot 43^{61} + \left(28 a^{2} + 22 a + 29\right)\cdot 43^{62} + \left(21 a^{2} + 40 a + 11\right)\cdot 43^{63} + \left(20 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 43^{64} +O\left(43^{ 65 }\right)$
$r_{ 3 }$ $=$ $ 15 a^{2} + 16 a + 8 + \left(5 a^{2} + 41\right)\cdot 43 + \left(29 a^{2} + 29 a + 40\right)\cdot 43^{2} + \left(17 a^{2} + 20 a + 2\right)\cdot 43^{3} + \left(29 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 43^{4} + \left(12 a^{2} + 25 a + 8\right)\cdot 43^{5} + \left(24 a + 1\right)\cdot 43^{6} + \left(42 a^{2} + 28 a + 1\right)\cdot 43^{7} + \left(37 a^{2} + 30 a + 36\right)\cdot 43^{8} + \left(17 a^{2} + 31 a + 4\right)\cdot 43^{9} + \left(26 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 43^{10} + \left(18 a^{2} + 25 a + 11\right)\cdot 43^{11} + \left(37 a^{2} + 15 a + 26\right)\cdot 43^{12} + \left(21 a^{2} + 18 a + 27\right)\cdot 43^{13} + \left(10 a^{2} + 12 a + 33\right)\cdot 43^{14} + \left(3 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 43^{15} + \left(39 a^{2} + 23 a + 18\right)\cdot 43^{16} + \left(13 a + 15\right)\cdot 43^{17} + \left(19 a^{2} + 27 a + 26\right)\cdot 43^{18} + \left(10 a + 23\right)\cdot 43^{19} + \left(40 a^{2} + 19 a + 3\right)\cdot 43^{20} + \left(a^{2} + 26 a + 34\right)\cdot 43^{21} + \left(3 a^{2} + 2 a + 28\right)\cdot 43^{22} + \left(25 a^{2} + 38 a + 31\right)\cdot 43^{23} + \left(5 a^{2} + 31 a + 37\right)\cdot 43^{24} + \left(29 a^{2} + 21 a + 3\right)\cdot 43^{25} + \left(42 a^{2} + 41 a + 27\right)\cdot 43^{26} + \left(36 a^{2} + 38 a + 1\right)\cdot 43^{27} + \left(38 a^{2} + 41 a + 9\right)\cdot 43^{28} + \left(22 a^{2} + 24 a + 30\right)\cdot 43^{29} + \left(8 a^{2} + 25 a + 17\right)\cdot 43^{30} + \left(31 a^{2} + 12 a + 36\right)\cdot 43^{31} + \left(34 a^{2} + 26 a + 35\right)\cdot 43^{32} + \left(28 a^{2} + 5 a + 32\right)\cdot 43^{33} + \left(20 a^{2} + 6 a + 20\right)\cdot 43^{34} + \left(37 a^{2} + 30 a + 17\right)\cdot 43^{35} + \left(31 a^{2} + 39 a + 25\right)\cdot 43^{36} + \left(18 a^{2} + 9 a + 42\right)\cdot 43^{37} + \left(a^{2} + 30 a + 35\right)\cdot 43^{38} + \left(14 a^{2} + 25 a + 25\right)\cdot 43^{39} + \left(6 a^{2} + 24 a + 1\right)\cdot 43^{40} + \left(27 a^{2} + 34\right)\cdot 43^{41} + \left(38 a^{2} + 32 a + 20\right)\cdot 43^{42} + \left(15 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 43^{43} + \left(24 a^{2} + 4 a + 25\right)\cdot 43^{44} + \left(20 a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 43^{45} + \left(28 a^{2} + 18 a + 15\right)\cdot 43^{46} + \left(22 a^{2} + 37 a + 17\right)\cdot 43^{47} + \left(a^{2} + 15 a + 23\right)\cdot 43^{48} + \left(20 a^{2} + 3 a + 22\right)\cdot 43^{49} + \left(15 a^{2} + 30 a + 32\right)\cdot 43^{50} + \left(41 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 43^{51} + \left(14 a^{2} + 18 a + 26\right)\cdot 43^{52} + \left(25 a^{2} + 41 a + 33\right)\cdot 43^{53} + \left(31 a^{2} + 35 a + 22\right)\cdot 43^{54} + \left(5 a^{2} + 41 a + 22\right)\cdot 43^{55} + \left(22 a^{2} + 24 a + 16\right)\cdot 43^{56} + \left(15 a^{2} + 24 a + 21\right)\cdot 43^{57} + \left(19 a^{2} + 25 a + 25\right)\cdot 43^{58} + \left(33 a^{2} + 18 a + 28\right)\cdot 43^{59} + \left(17 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 43^{60} + \left(17 a^{2} + 37 a + 20\right)\cdot 43^{61} + \left(30 a^{2} + 34 a + 16\right)\cdot 43^{62} + \left(29 a^{2} + 41 a + 31\right)\cdot 43^{63} + \left(17 a^{2} + 18 a + 20\right)\cdot 43^{64} +O\left(43^{ 65 }\right)$
$r_{ 4 }$ $=$ $ 20 + 39\cdot 43 + 15\cdot 43^{2} + 28\cdot 43^{3} + 39\cdot 43^{4} + 39\cdot 43^{5} + 29\cdot 43^{6} + 27\cdot 43^{7} + 41\cdot 43^{8} + 28\cdot 43^{9} + 25\cdot 43^{10} + 20\cdot 43^{11} + 40\cdot 43^{12} + 18\cdot 43^{13} + 27\cdot 43^{14} + 4\cdot 43^{15} + 2\cdot 43^{16} + 35\cdot 43^{17} + 11\cdot 43^{18} + 37\cdot 43^{19} + 2\cdot 43^{20} + 24\cdot 43^{21} + 34\cdot 43^{22} + 23\cdot 43^{23} + 35\cdot 43^{24} + 2\cdot 43^{25} + 15\cdot 43^{26} + 20\cdot 43^{27} + 24\cdot 43^{28} + 6\cdot 43^{29} + 20\cdot 43^{30} + 27\cdot 43^{31} + 2\cdot 43^{32} + 6\cdot 43^{33} + 18\cdot 43^{34} + 35\cdot 43^{35} + 19\cdot 43^{36} + 15\cdot 43^{37} + 38\cdot 43^{38} + 11\cdot 43^{39} + 17\cdot 43^{40} + 35\cdot 43^{41} + 12\cdot 43^{42} + 3\cdot 43^{43} + 13\cdot 43^{44} + 41\cdot 43^{45} + 10\cdot 43^{46} + 5\cdot 43^{47} + 41\cdot 43^{48} + 41\cdot 43^{49} + 34\cdot 43^{50} + 22\cdot 43^{51} + 19\cdot 43^{52} + 35\cdot 43^{53} + 13\cdot 43^{54} + 5\cdot 43^{55} + 22\cdot 43^{56} + 4\cdot 43^{57} + 36\cdot 43^{59} + 36\cdot 43^{60} + 4\cdot 43^{61} + 19\cdot 43^{62} + 13\cdot 43^{63} + 16\cdot 43^{64} +O\left(43^{ 65 }\right)$
$r_{ 5 }$ $=$ $ 36 a^{2} + 42 a + 39 + \left(26 a^{2} + 32 a + 20\right)\cdot 43 + \left(33 a^{2} + 19 a + 37\right)\cdot 43^{2} + \left(42 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 43^{3} + \left(27 a^{2} + 6 a + 38\right)\cdot 43^{4} + \left(11 a^{2} + 19 a + 19\right)\cdot 43^{5} + \left(10 a^{2} + 26 a + 7\right)\cdot 43^{6} + \left(16 a^{2} + 42 a + 29\right)\cdot 43^{7} + \left(27 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 43^{8} + \left(34 a^{2} + 21 a + 34\right)\cdot 43^{9} + \left(32 a^{2} + 42 a + 32\right)\cdot 43^{10} + \left(7 a^{2} + 7 a + 19\right)\cdot 43^{11} + \left(5 a^{2} + a + 37\right)\cdot 43^{12} + \left(41 a^{2} + 11 a + 29\right)\cdot 43^{13} + \left(39 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 43^{14} + \left(6 a^{2} + 35 a + 12\right)\cdot 43^{15} + \left(22 a^{2} + 32 a + 36\right)\cdot 43^{16} + \left(2 a^{2} + 22 a + 17\right)\cdot 43^{17} + \left(15 a^{2} + 28 a + 3\right)\cdot 43^{18} + \left(34 a^{2} + 23 a + 10\right)\cdot 43^{19} + \left(20 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 43^{20} + \left(23 a^{2} + 40\right)\cdot 43^{21} + \left(23 a^{2} + a + 24\right)\cdot 43^{22} + \left(5 a^{2} + 28 a + 12\right)\cdot 43^{23} + \left(40 a^{2} + 34 a + 8\right)\cdot 43^{24} + \left(16 a^{2} + 39 a + 11\right)\cdot 43^{25} + \left(34 a^{2} + 37 a + 15\right)\cdot 43^{26} + \left(19 a^{2} + a + 39\right)\cdot 43^{27} + \left(20 a^{2} + 12 a + 37\right)\cdot 43^{28} + \left(25 a^{2} + 3 a + 42\right)\cdot 43^{29} + \left(2 a^{2} + 20 a + 39\right)\cdot 43^{30} + \left(41 a^{2} + 27 a + 30\right)\cdot 43^{31} + \left(17 a^{2} + 38 a + 9\right)\cdot 43^{32} + \left(3 a^{2} + 34 a + 40\right)\cdot 43^{33} + \left(37 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 43^{34} + \left(37 a^{2} + a + 26\right)\cdot 43^{35} + \left(17 a^{2} + 16 a + 32\right)\cdot 43^{36} + \left(4 a^{2} + 16 a + 29\right)\cdot 43^{37} + \left(33 a^{2} + 24 a + 9\right)\cdot 43^{38} + \left(30 a^{2} + 34\right)\cdot 43^{39} + \left(13 a^{2} + 15 a + 37\right)\cdot 43^{40} + \left(8 a^{2} + 23 a + 37\right)\cdot 43^{41} + \left(31 a + 2\right)\cdot 43^{42} + \left(19 a^{2} + 11 a + 40\right)\cdot 43^{43} + \left(12 a^{2} + 12 a + 24\right)\cdot 43^{44} + \left(11 a^{2} + 23 a + 10\right)\cdot 43^{45} + \left(17 a^{2} + 27 a + 27\right)\cdot 43^{46} + \left(33 a^{2} + 26\right)\cdot 43^{47} + \left(28 a^{2} + 22 a + 8\right)\cdot 43^{48} + \left(38 a^{2} + 39 a + 32\right)\cdot 43^{49} + \left(9 a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 43^{50} + \left(16 a^{2} + 26 a + 27\right)\cdot 43^{51} + \left(a^{2} + 20 a + 24\right)\cdot 43^{52} + \left(41 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 43^{53} + \left(2 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 43^{54} + \left(13 a^{2} + 29 a + 23\right)\cdot 43^{55} + \left(9 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 43^{56} + \left(32 a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 43^{57} + \left(13 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 43^{58} + \left(2 a^{2} + 19 a + 42\right)\cdot 43^{59} + \left(40 a^{2} + 21\right)\cdot 43^{60} + \left(30 a^{2} + 9 a + 17\right)\cdot 43^{61} + \left(11 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 43^{62} + \left(4 a^{2} + 36 a + 38\right)\cdot 43^{63} + \left(36 a^{2} + 11 a + 42\right)\cdot 43^{64} +O\left(43^{ 65 }\right)$
$r_{ 6 }$ $=$ $ 14 a^{2} + 20 a + 10 + \left(36 a^{2} + 42 a + 27\right)\cdot 43 + \left(9 a^{2} + 17 a + 21\right)\cdot 43^{2} + \left(5 a^{2} + 27 a + 12\right)\cdot 43^{3} + \left(20 a^{2} + a + 4\right)\cdot 43^{4} + \left(21 a^{2} + 24 a + 12\right)\cdot 43^{5} + \left(31 a^{2} + 17 a + 7\right)\cdot 43^{6} + \left(21 a^{2} + 29 a + 4\right)\cdot 43^{7} + \left(40 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 43^{8} + \left(8 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 43^{9} + \left(27 a^{2} + 21 a\right)\cdot 43^{10} + \left(11 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 43^{11} + \left(18 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 43^{12} + \left(36 a^{2} + 42 a + 41\right)\cdot 43^{13} + \left(12 a^{2} + 21 a + 8\right)\cdot 43^{14} + \left(22 a^{2} + 29 a + 8\right)\cdot 43^{15} + \left(31 a^{2} + 25 a + 28\right)\cdot 43^{16} + \left(10 a^{2} + 21 a + 37\right)\cdot 43^{17} + \left(34 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 43^{18} + \left(28 a^{2} + 8 a + 35\right)\cdot 43^{19} + \left(3 a^{2} + 31 a + 37\right)\cdot 43^{20} + \left(38 a^{2} + 29 a + 6\right)\cdot 43^{21} + \left(30 a^{2} + 37 a + 1\right)\cdot 43^{22} + \left(24 a^{2} + 31 a + 11\right)\cdot 43^{23} + \left(20 a^{2} + 20 a + 38\right)\cdot 43^{24} + \left(18 a^{2} + 20 a + 40\right)\cdot 43^{25} + \left(8 a^{2} + 2 a + 40\right)\cdot 43^{26} + \left(32 a^{2} + 34 a + 18\right)\cdot 43^{27} + \left(13 a^{2} + 33\right)\cdot 43^{28} + \left(28 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 43^{29} + \left(9 a^{2} + 39 a + 16\right)\cdot 43^{30} + \left(5 a^{2} + 29 a + 21\right)\cdot 43^{31} + \left(9 a^{2} + 32 a + 32\right)\cdot 43^{32} + \left(21 a^{2} + 3 a + 37\right)\cdot 43^{33} + \left(33 a^{2} + 5 a + 21\right)\cdot 43^{34} + \left(16 a^{2} + 5 a + 26\right)\cdot 43^{35} + \left(a^{2} + 10 a + 21\right)\cdot 43^{36} + \left(19 a^{2} + 30 a + 39\right)\cdot 43^{37} + \left(14 a^{2} + 3 a + 25\right)\cdot 43^{38} + \left(6 a^{2} + 42 a + 3\right)\cdot 43^{39} + \left(27 a^{2} + 31 a + 18\right)\cdot 43^{40} + \left(17 a^{2} + 21 a + 15\right)\cdot 43^{41} + \left(4 a^{2} + 18 a + 34\right)\cdot 43^{42} + \left(16 a^{2} + 11 a + 23\right)\cdot 43^{43} + \left(21 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 43^{44} + \left(2 a^{2} + 24 a + 33\right)\cdot 43^{45} + \left(16 a^{2} + 35 a + 40\right)\cdot 43^{46} + \left(37 a^{2} + 19 a + 14\right)\cdot 43^{47} + \left(37 a^{2} + a\right)\cdot 43^{48} + \left(22 a^{2} + a + 36\right)\cdot 43^{49} + \left(33 a^{2} + 27 a + 4\right)\cdot 43^{50} + \left(34 a^{2} + 26 a + 11\right)\cdot 43^{51} + \left(33 a^{2} + 36 a + 3\right)\cdot 43^{52} + \left(42 a^{2} + 2 a + 28\right)\cdot 43^{53} + \left(2 a^{2} + 39 a + 20\right)\cdot 43^{54} + \left(26 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 43^{55} + \left(37 a^{2} + 33 a + 34\right)\cdot 43^{56} + \left(31 a^{2} + 22 a + 31\right)\cdot 43^{57} + \left(12 a^{2} + 15 a + 31\right)\cdot 43^{58} + \left(11 a^{2} + 15 a + 19\right)\cdot 43^{59} + \left(27 a^{2} + 38 a + 13\right)\cdot 43^{60} + \left(39 a^{2} + 13 a + 23\right)\cdot 43^{61} + \left(14 a^{2} + 33 a + 15\right)\cdot 43^{62} + \left(16 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 43^{63} + \left(34 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 43^{64} +O\left(43^{ 65 }\right)$
$r_{ 7 }$ $=$ $ 29 + 10\cdot 43 + 3\cdot 43^{2} + 14\cdot 43^{3} + 40\cdot 43^{4} + 10\cdot 43^{5} + 8\cdot 43^{6} + 41\cdot 43^{7} + 16\cdot 43^{8} + 43^{9} + 32\cdot 43^{10} + 24\cdot 43^{11} + 25\cdot 43^{12} + 20\cdot 43^{13} + 20\cdot 43^{14} + 20\cdot 43^{15} + 42\cdot 43^{16} + 10\cdot 43^{18} + 17\cdot 43^{19} + 3\cdot 43^{20} + 19\cdot 43^{21} + 29\cdot 43^{22} + 33\cdot 43^{23} + 3\cdot 43^{24} + 43^{25} + 12\cdot 43^{26} + 13\cdot 43^{27} + 39\cdot 43^{28} + 42\cdot 43^{29} + 43^{31} + 9\cdot 43^{32} + 11\cdot 43^{33} + 5\cdot 43^{34} + 27\cdot 43^{35} + 34\cdot 43^{36} + 28\cdot 43^{37} + 22\cdot 43^{38} + 26\cdot 43^{39} + 33\cdot 43^{40} + 34\cdot 43^{41} + 36\cdot 43^{42} + 34\cdot 43^{43} + 38\cdot 43^{44} + 10\cdot 43^{45} + 39\cdot 43^{46} + 17\cdot 43^{47} + 9\cdot 43^{48} + 40\cdot 43^{49} + 36\cdot 43^{50} + 38\cdot 43^{51} + 32\cdot 43^{52} + 43^{53} + 11\cdot 43^{54} + 24\cdot 43^{55} + 30\cdot 43^{56} + 16\cdot 43^{57} + 21\cdot 43^{58} + 37\cdot 43^{59} + 41\cdot 43^{60} + 21\cdot 43^{61} + 18\cdot 43^{62} + 17\cdot 43^{63} + 29\cdot 43^{64} +O\left(43^{ 65 }\right)$
$r_{ 8 }$ $=$ $ 22 a^{2} + 3 a + 27 + \left(41 a^{2} + 18 a + 36\right)\cdot 43 + \left(21 a^{2} + 4 a + 21\right)\cdot 43^{2} + \left(4 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 43^{3} + \left(40 a^{2} + 28 a + 9\right)\cdot 43^{4} + \left(20 a^{2} + 35 a + 42\right)\cdot 43^{5} + \left(2 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 43^{6} + \left(13 a^{2} + 27 a + 10\right)\cdot 43^{7} + \left(8 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 43^{8} + \left(3 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 43^{9} + \left(4 a^{2} + 17 a + 1\right)\cdot 43^{10} + \left(6 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 43^{11} + \left(14 a^{2} + 20 a + 25\right)\cdot 43^{12} + \left(17 a^{2} + 24 a + 24\right)\cdot 43^{13} + \left(10 a^{2} + 6 a + 33\right)\cdot 43^{14} + \left(39 a^{2} + 18 a + 38\right)\cdot 43^{15} + \left(38 a^{2} + 34 a + 3\right)\cdot 43^{16} + \left(6 a^{2} + 38 a + 5\right)\cdot 43^{17} + \left(10 a^{2} + 29 a + 6\right)\cdot 43^{18} + \left(21 a^{2} + 21 a + 23\right)\cdot 43^{19} + \left(30 a^{2} + 37 a + 11\right)\cdot 43^{20} + \left(36 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 43^{21} + \left(34 a^{2} + 19 a + 21\right)\cdot 43^{22} + \left(11 a^{2} + 20 a + 8\right)\cdot 43^{23} + \left(a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 43^{24} + \left(31 a^{2} + 20 a + 5\right)\cdot 43^{25} + \left(15 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 43^{26} + \left(18 a^{2} + 22 a + 32\right)\cdot 43^{27} + \left(23 a^{2} + 4 a + 41\right)\cdot 43^{28} + \left(11 a^{2} + 11 a + 36\right)\cdot 43^{29} + \left(7 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 43^{30} + \left(17 a^{2} + 39 a + 41\right)\cdot 43^{31} + \left(14 a^{2} + 26 a + 7\right)\cdot 43^{32} + \left(41 a^{2} + 23 a + 41\right)\cdot 43^{33} + \left(6 a^{2} + 13 a + 25\right)\cdot 43^{34} + \left(23 a^{2} + 35 a + 36\right)\cdot 43^{35} + \left(16 a^{2} + 35 a\right)\cdot 43^{36} + \left(30 a^{2} + 17 a + 36\right)\cdot 43^{37} + \left(36 a^{2} + 35 a + 30\right)\cdot 43^{38} + \left(11 a^{2} + 41 a + 38\right)\cdot 43^{39} + \left(4 a^{2} + 35 a + 28\right)\cdot 43^{40} + \left(25 a^{2} + 17 a + 32\right)\cdot 43^{41} + \left(a^{2} + 18 a + 24\right)\cdot 43^{42} + \left(16 a^{2} + 13\right)\cdot 43^{43} + \left(25 a + 9\right)\cdot 43^{44} + \left(10 a^{2} + 38 a + 29\right)\cdot 43^{45} + \left(11 a^{2} + 28 a + 3\right)\cdot 43^{46} + \left(39 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 43^{47} + \left(2 a^{2} + 19 a + 24\right)\cdot 43^{48} + \left(26 a^{2} + 4 a + 26\right)\cdot 43^{49} + \left(3 a^{2} + 20 a + 24\right)\cdot 43^{50} + \left(35 a^{2} + 38 a\right)\cdot 43^{51} + \left(7 a^{2} + 20 a + 7\right)\cdot 43^{52} + \left(39 a^{2} + 42 a + 14\right)\cdot 43^{53} + \left(28 a^{2} + 2 a + 35\right)\cdot 43^{54} + \left(8 a^{2} + 8 a + 38\right)\cdot 43^{55} + \left(18 a^{2} + 23 a + 13\right)\cdot 43^{56} + \left(33 a^{2} + 8 a + 33\right)\cdot 43^{57} + \left(26 a^{2} + 28 a + 1\right)\cdot 43^{58} + \left(3 a^{2} + 24 a + 23\right)\cdot 43^{59} + \left(25 a^{2} + 9\right)\cdot 43^{60} + \left(9 a^{2} + 5 a + 29\right)\cdot 43^{61} + \left(27 a^{2} + 29 a + 28\right)\cdot 43^{62} + \left(34 a^{2} + 3 a + 34\right)\cdot 43^{63} + \left(4 a^{2} + 18 a + 40\right)\cdot 43^{64} +O\left(43^{ 65 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

Cycle notation
$(2,4,8)$
$(1,3)(2,7)(4,5)(6,8)$
$(2,4)(3,8)$
$(1,2)(3,5)(4,6)(7,8)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$ Character value
$1$$1$$()$$6$
$6$$2$$(2,4)(3,8)$$2$
$9$$2$$(1,6)(2,4)(3,8)(5,7)$$-2$
$12$$2$$(1,3)(2,7)(4,5)(6,8)$$0$
$12$$2$$(1,2)(3,5)(4,6)(7,8)$$0$
$36$$2$$(1,5)(4,8)$$2$
$16$$3$$(3,4,8)$$3$
$32$$3$$(1,7,6)(2,8,3)$$0$
$32$$3$$(1,7,6)(2,8,4)$$0$
$36$$4$$(1,5,6,7)(2,8,4,3)$$-2$
$36$$4$$(1,3,6,8)(2,5,4,7)$$0$
$36$$4$$(1,2,6,4)(3,7,8,5)$$0$
$72$$4$$(2,8,4,3)(5,6)$$0$
$48$$6$$(1,6)(3,4,8)(5,7)$$-1$
$96$$6$$(1,2,7,8,6,3)(4,5)$$0$
$96$$6$$(1,8,7,4,6,2)(3,5)$$0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.